湖北省黃梅縣某中學2025-2026學年高二年級下冊4月月考數學試卷（試卷+解析）

黃梅二中高二數學4月月考試卷

一、單選題

1.下列求導運算正確的是()

A.[111(2x7)]'=JB.(x+Q=1--V

2xTVX)x~

C.&)'=2宿1D.j史]=G+pe'

[x}x-

2.已知函數y=/(x)的圖象在點M(l,f(l))處的切線方程是y=；x+2,則/(1)+/'(1)的值等于

5

A.0B.IC.-D.3

2

3.從包含甲、乙兩人的7人中選出3人分別擔任學習委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人都入選的

不同選法共有()種

A.120B.60C.30D.20

2

4.函數/(x)=與的大致圖像為()

5.有4封不同的信投入3個不同的信箱，可有不同的投入方法種數為()

A.81B.64C.27D.24

6.已知函數/(x)=lnx-gar?—2x在存在單調遞減區間，則實數《的取值范圍是()

A.[0,+co)B.(0,4-a?)C.[-l,+oo)D.(-1,-Ko)

7.已知函數及其導函數r(“的定義域均為R，若/(-2)=3,且及(x)+4'(x)＞。,則不等式

(312-5x)/(3x2—5x)<—6的解集為()

(1

C.(-8,o)u—,+8D.(-oo,-l)u(l,+oo)

8.已知等差數列｛q｝的前〃項和為s“，且S”>SX>512.當S“取得最大值時〃的值為k,使得S“>0成

立的最大正整數〃的值為/〃.則A+m的值為()

A.28B.29C.30D.31

二、多選題

9.用數字0,1,2,3,5組成數字，下列說法正確的有()

A.可以組成60個沒有重復數字的三位數

B.可以組成54個沒有重夏數字的四位奇數

C.可以組成15個小于500且沒有重復數字的三位偶數

D.可以組成14個沒有重復數字且十位上的數字最大的三位數

10,數列｛4｝是等比數列，公比qr±l,其前〃項和為S“，則()

A.當4>1時，｛4｝為遞增數列

B.若&=3,$0=9,貝ij5)5=21

C.若S5,兀，Ho成等差數列，則牝，%,成等差數列

D.若明生用，成等差數列，則3，§3”，52“成等差數列

11.如果一個函數/(X)在其定義區間內對任意X,1都滿足f(乎］?/(“：/()‘),則稱這個函數為

下凸函數，下列函數為下凸函數的是()

A.f(x)=2'B./(x)=3sin^2x+yj

C./(x)=log2x(x>0)D.=

三、填空題

12.若直線y=3x+2。與曲線y=ln_E+2x相切，則實數。的值為.

13.已知在等比數列｛q｝中，首項％=2,公比“>1,a2,%是函數/(x)=；V—6/+32X的兩個極值

點，則數列｛〃”｝的前9項和是.

14.設“力與g"）是定義在同一區間句上的兩個函數,若函數〃（x）=〃x）-g（x）在句上有兩

個不同的零點，則稱/（X）與g（x）在句上是“關聯函數”.若與g（H=1f+2%在

32

［0,3］上是“關聯函數”，則實數用的取值范圍是.

四、解答題

15.已知函數/（x）=f+加-2x在1=1處取得極值.

（1）求函數/（x）的解析式及單調區間；

（2）求函數/（力在區間［—1,2］的最大值與最小值.

16.記S”為等比數列｛q｝的前〃頃和，已知3s“+《用=1.

（1）求｛《,｝的通項公式;

（2）設2=（-1廣隗,求數列｛右｝的前〃項和..

17.已知函數〃x）=e'（x2_

（1）若〃=一1,求函數/（x）的極值：

（2）若函數g（x）=〃x）-x有兩個零點，求《的取值范圍.

18.已知數列｛4｝的前〃項和為S“，q=3,｛S“｝是公比為3的等比數列.

（1）求S〃與/；

（2）設，=a￡,求數列出｝的前1項和7；僅之2）；

（3）判斷是否存在正整數s,，，r（S</<一），使得生，%,耳成等差數列？若存在，寫出s,f,r的一

組值；若不存在，請說明理由.

19.已知函數/（x）=￡+a］nx,a^R.

（1）若曲線/（x）在x=l處的切線與直線2x+3），+l=0垂直，求。的值；

（2）討論了（"的單調性；

(3)當xu，,e時，/(x)>(dl2)x,求。的取值范圍.

c

黃梅二中高二數學4月月考試卷

一、單選題

1.下列求導運算正確的是()

A.[111(2x7)]'=JB.(x+Q=1--V

2xTVX)x~

C.&)'=2宿1D.j史]=G+pe'

【答案】B

【解析】

【分析】根據基本初等函數的導數和求導法則判斷.

】，12

【詳解】對于A,rln(2x-l)=；；—x(2x-l)r=-----，故A錯誤；

L」2x-l2x-l

對干B,(不十_!_)=1+卜-)=1—X2=1--y?故B正確；

對干c,(e2'J=e2v(24=2e2^故C錯誤；

對干D,上)…'")故D錯誤.

29

yXJXr

故選：B.

2.已知函數y=/(x)的圖象在點M(l,f(l))處的切線方程是y=gx+2,則/、(l)+r(l)的值等于

A.0B.1cID.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據導數定義，求得/'(1)的值；根據點在切線方程上，求得/(1)的值，進而求得f(l)+/'(l)

的值.

【詳解】點M(l,f(l))在切線上，所以/(l)=gxl+2=g

根據導數幾何意義，所以/'(1)=；

所以/(1)+/'。)="|+3=3

所以選D

【點睛】本題考查了導數的幾何意義及點在曲線上的意義，屬于基礎題.

3.從包含甲、乙兩人的7人中選出3人分別擔任學習委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人都入選的

不同選法共有（）種

A.120B.60C.30D.20

【答案】C

【解析】

【分析】從除了甲乙外的5人中任選一人，再將甲，乙和所選的人進行全排列，即可求出甲、乙兩人都入選

的不同選法的種數.

【詳解】由題意，

甲乙兩人都入選，還要先在其他5人里選一人有C：種，再和甲乙一起全排列有A；,

??.甲乙兩人都入選的不同選法有C；A；=5x3x2x1=30（種）.

故選：C.

2

4.函數的大致圖像為（）

【解析】

【分析】利用排除法，先利用函數值正負的分布判斷B錯誤，再利用特殊值判斷D錯誤，根據極值點確定

C錯誤，即得答案.

【詳解】函數“幻=0中，e'>0,當xwO吐看住像知B選項錯誤；

e

2

A

函數中，e>0.當x=0時,/（外=0,看圖像知D選項錯誤；

2xex-exx22x-x2x（2-x）

f'M==0

㈤eev

解得玉=0,々=2,故玉=0,/=2為函數的極值點，故C選項不符合，A選項正確.

故選:A.

5.有4封不同的信投入3個不同的信箱，可有不同的投入方法種數為()

A.81B.61C.27D.24

【答案】A

【解析】

【分析】利用分步計數原理，每封信獨立選擇信箱，將各步的方法數相乘得到總方法數。

【詳解】每封信都有3種選擇，所以將4封不同的信投入3個不同的信箱，共有34=81種方法.

故選：A.

6.已知函數/(x)=lnx-；or2-2工在存在單調遞減區間，則實數。的取值范圍是()

A.[0,+oo)B.(O,4-??)C.[-l,+<x))D.(-1,400)

【答案】D

【解析】

【分析】先得到了")的定義域，由題意得到r(x)<o在pi上有解，參變分離得到實數。的取值范

圍.

【詳解】由題意得/'(大)='-以-2<()在上有解，

X一乙

12「1

即W---在—,1上有解，

xx2

其中，'=5一：=已一)一％卜1，°卜

所以。>—1

故實數。的取值范圍是(-1,+8).

故選:D

7.己知函數f（x）及其導函數f'（x）的定義域均為R,若〃-2）=3,且〃力+短（x）>0,則不等式

（31~—5x）/（3廠一5x）<—6的解集為（)

A.B.C.（一雙0）42,+力D.(-co,-l)U(l,-Ko)

°5刖13

【答案】B

【解析】

【分析】利用構造法求導可知g（x）=M\x）是在R上單調遞增.然后再利用單調性即可解不等式.

【詳解】令g（x）=?（x）,因為/（力+0*'（%）>0,所以g'（x）=/（x）+礦（力>0,

所以g（x）在R上單調遞增.

又/1（一2）=3,所以g（-2）=-6,

因此不等式（3上2-5x）/（3f-5x）<-6可化為g（3x?-5x）<g（-2）,

2

所以3/—5%<一2,解得

即不等式（3x“一5/）/（3工2—5工）<一6的解集為（§』）.

故選:B.

8.已知等差數列｛q｝的前〃項和為S”，且S“>S8>5|2?當S”取得最大值時〃的值為匕使得3>0成

立的最大正整數"的值為m.則4+，〃的值為（）

A.28B.29C.30D.31

【答案】B

【解析】

【分析】由S”>S8>S]2可知。|0〉0>41,結合等差數列的選項公式及前〃項和公式確定太〃2,即可得.

S]2-S&=《2+。10+〃9<°

【詳解】因為Su>Ss>，2,所以SI2-Sn=《2<()

.A]-Sg=q]+go+%>0

42+34)<04q+38d<0

令數列公差為d,所以《al2<0=>4+lld<0,

3〃io>0q+94>0

所以加〃｝是單調遞減數列，且4>0>”,則，

4+9”>0

19

所以4o>(),6[=q+l()d<q+彳〃<0,則S”取得最大值時對應〃=10,即左=10,

因為S19=19“+19；8d=19(%+9J)>0,520=20%20^,+yjl<0,

且d〈0,(幾SJ在開口向下的拋物線上，

所以S”>o成立的最大〃=19,即6=19,故攵+6=29.

二、多選題

9.用數字0,1,2,3,5組成數字，下列說法正確的有()

A.可以組成60個沒有重復數字的三位數

B.可以組成54個沒有重復數字的四位奇數

C.可以組成15個小于500且沒有重復數字的三位偶數

D.可以組成14個沒有重復數字且十位上的數字最大的三位數

【答案】BCD

【解析】

【分析】考慮各個位置上的選法數，結合兩個計數原理逐項分析即可.

【詳解】對于A,百位上的數字有4種選擇，十位上的數字有4種選擇，個位上的數字有3種選擇，

由分步乘法計數原理，可以組成4x4x3=48個沒有重復數字的三位數，故A錯誤；

對于B,因為是奇數，所以個位上的數字有1,3,5,共3種選擇，

千位上的數字有3種選擇，百位上的數字有3種選擇，十位上的數字有2種選擇，

由分步乘法計數原理，可以組成3x3x3x2=54個沒有重復數字的四位奇數，故B正確；

對干C,因為是偶數，所以個位上的數字有0，2,共2種選擇，

若個位上的數字是0,因為組成的數小于500,所以百位上的數字有1,2,3,共3種選擇，十位上的數

字有3種選擇，

由分步乘法計數原理，可以組成3x3=9個小于50()且沒有重復數字的三位偶數，

若個位上的數字是2,因為組成的數小于500,所以百位上的數字有1,3,共2種選擇，十位上的數字有

3種選擇，

由分步乘法計數原理，可以組成2x3=6個小于500且沒有重復數字的三位偶數.

由分類加法計數原理，可以組成9+6=15個小于500且沒有重夏數字的三位偶數，故C正確；

因為十位上的數字最大，所以十位上的數字可以是2,3,5,

當H立上的數字是5時，若個位上的數字是0,則百位上的數字有3種選擇，

若個位上的數字不是0,則個位上的數字有3種選擇，百位上的數字有2種選擇，

所以可以組成3+3x2=9個符合要求的三位數；

當十位上的數字是3時，個位和百位都有2種選擇，所以可以組成2x2=4個符合要求的三位數，

當十位上的數字是2時，符合要求的三位數只有120,共1個，

綜上，可以組成9+4+1=14個沒有重復數字且十位上的數字最大的三位數，故D正確：

故逐BCD.

10.數列｛4｝是等比數列，公比其前〃項和為S“，則（）

A.當時，｛q｝為遞增數列

B.若&=3,Si。=9,則S]$=21

C若S15,Ho成等差數列，則處.%,成等差數列

D.若%+1，，生用成等差數列，則S”，邑“，§2”成等差數列

【答案】BCD

【解析】

【詳解】對于A,當弓<0時，4>1時，，｛%｝為遞減數列，故A錯誤；

對于B,若§‘一3,So-9,S’，S10-S5,Ss-So成等比數列，

則兒=21,故B正確；

對于C,若S$,5I5,So成等差數列，則2sl5=工+品），即2囚（1_.）j（j）+?（1一4）,

\-q\-q\-q

4

即2"s=q'+q'°,即2%q"=①夕+a4,即2a[5=a5+ai0,

所以。5，a15,%。成等差數列，故C正確；

對于D，，a3n+\?。2〃+1成等差數列，所以2。"+1=%+1+%”+1，

即2%q3〃=+%q2”,所以％3"=/+優，

即2（1-/"）=（1-0+（1-產），即2%（「,16°一°）+”（「門

1-i7\-q\~q

所以2s3“=S〃+S2〃,所以S“，S3nt$2〃成等差數列,故D正確.

11.如果一個函數/(X)在其定義區間內對任意x,1都滿足于(受JW/(*)；//)，則稱這個函數為

下凸函數，下列函數為下凸函數的是()

A./("=2、B./(x)=3sin(2x+?

x,x<0

C./(x)=logx(x>0)D.

22x,x>0

【答案】AD

【解析】

【分析】

定義域內任取為，芻，先求出/‘三小的解析式以及:［/(芭)+/(9)］的解析式，利用函數的單調

性、基本不等式判斷它們的大小關系，再根據“下凸函數''的定義，得出結論.

【詳解】A.對于函數/(x)=21定義域內任取.%，

有/（土玉］=21二

4［/（石）+/（9）］=*2）

k27

???f(x)=2'下凸函數.

B.對函數/(x)=3sin卜x+g］,在定義域內取內二當二1，

（內+/、.（兀1）.（兀兀兀13

=3osinx-vx+—=3sin—+—+—=—,

12）<l23J\633J2

1[/（^i）+/（^2）]=13sin71+3sin2X2+][

+3

3sinf2x-4--l+3sinf2x-4--ll=^,因為3〉地,

I63jI33〃424

即f(5蘆■)>；［/(x)+/(w)］，不滿足任意性，所以不是下凸函數.

C.對于函數/(x)=k>g2Mx>°)，定義域內任取王，工2,

有當三,0

=§231/(2)+)]=^(10g2^,+10g2X2)=10g2

故f（x）=logax（工>°）不是下凸函數;

D./（"二［：/<?,由已知）（%）：/（/）,若滿足下凸函數，則任取兩個數的中點的

2x,x20\272

函數值應該小于等于兩個函數值的中點，反映到圖象上則任取兩個點的連線應該在所給函數圖象的上方或

重合，由圖象可知，此函數滿足下凸函數定義

故選：AD

【點睛】本題考查新定義，考查基本不等式的應用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題.

三、填空題

12.若直線），=3/+2。與曲線y=lnx+2x相切，則實數。的值為.

【答案】二

2

【解析】

【分析】由切線的斜率為3可知>'=‘+2=3,進而得切點（1,2）,代入直線y=3x+2。中可得.

.X

【詳解】由y=lar+2x得:/=,+2,

令y=j■十2=3得％=1,此時了=加1十2=2,故切點為（1,2）,

X

故2=3x1+〃，得。二一,，

2

故答案為：

2

13.已知在等比數列｛〃“｝中，首項q=2,公比“>1,%,%是函數/（x）=g/-6/+32x的兩個極值

點，則數列｛〃”｝的前9項和是.

【答案】1022

【解析】

【分析】利用導數求出函數/(x)的兩個極值點，進而求出數列公比，再求出前9項和.

【詳解】由)(力=；/一6/+32天，求導得/'*)=/一］24+32=*-4)。-8),

當工<4或大>8時，f\x)>0；當4vxv8時，fM<0,

則4,8分別為函數/(x)的極大值點和極小值點，

在等比數列｛〃〃｝中，4=2,公比“>1,則?<小，

又生,〃3是函數的兩個極值點，因此。2=4,%=8,4=2,

,(,

所以數列｛4｝的前9項和s9=2(；手=2-2=1022.

故答案為：1022

14.設/(x)與g(x)是定義在同一區間以上的兩個函數，若函數〃(%)=〃%)-8(%)在［。肉上有兩

個不同的零點，則稱/⑺與屋外在句上是“關聯函數”.若〃x)=33+機與g")=gx2+2x在

［0,3］上是“關聯函數”，則實數加的取值范圍是.

Li守坐

［23；

【解析】

【分析】

令/*(x)=g(x)得"7二一十_112+2x,設函數/?(力=一,丁+_1工2+2x,則直線y=〃z與函數

y二〃(X)在區間［0,3］上的圖象有兩個交點，利用導數分析函數y=〃(x)的單調性與極值，利用數形結合

思想可求得實數機的取值范圍.

【詳解】令/(x)=g(x)得〃7=-1/+2_工2+2］，設函數/2(X)=-,X3+_LW+2X,

3232

則直線y=m與函數y=/?(x)在區間［0,3］上的圖象有兩個交點，

//(x)=-x2+x+2=-(x-2)(x+l),令"(力=0,可得x=2w(0,3),列表如下：

X[0,2)2(23

“（X）+0—

極大值當

g)/

3

3

/z(0)=0,/?(3)=-,如下圖所示:

3in

由上圖可知，當時，直線）'=〃?與函數y=〃（x）在區間［0,3］上的圖象有兩個交點,

23

因此，實數〃?的取值范圍是1,yj.

-310、

故答案為：—.

［23）

【點睛】本題考查函數的新定義，本質上考查利用函數的零點個數求參數，考查數形結合思想的應用，屬

于中等題.

四、解答題

15.已知函數/（x）=d+加-2x在x=1處取得極值.

（1）求函數/（x）的解析式及單調區間；

（2）求函數“X）在區間［-1,2］的最大值與最小值.

【答案】（1）/（X）=X3-1X2-2X,單調遞增區間為（-8,一：）,（1,+8）,單調遞減區間為，一］』｝

（2）最大值為2'最小值為一*

【解析】

【分析】（1）求導，根據/'（1）=。，求出。=-g,求出解析式，并解不等式，求出單調區間;

（2）在（1）基礎上，得到函數極值情況，和端點值比較后得到答案.

【小問1詳解】

/'（x）=312+2or-2,

由題意得了'（1）=。，即3+2々-2=0,解得a=-g,

故解析式為/（力二/一^^"-定義域為R,

2

令r（x）=3f-x-2,令/'（工）＞。得工＞1或1＜一§,

2

令、f'（X）V。得-§＜x＜1,

（2、（2、

故"X）在一8,-4,（1,+8）上單調遞增，在一可,1上單調遞減，

顯然x=l為極小值點，故。二-2，

9

/（X）單調遞增區間為（F,—",（1,+8）,單調遞減區間為

?5/\JJ

【小問2詳解】

由（1）知，〃力在（一1,一|卜L2）上單調遞增，在（一|1）上單調遞減,

表格如下：

2

(1,2)

X-31

八力+0-0+

極大值極小值

單調遞增22單調遞減_3單調遞增

?7~2

又"T）=T，〃2）=2,

故f（x）的最大值為2,最小值為-

16.記S“為等比數列｛q｝的前〃頂和，已知3S〃+q加

（1）求｛%｝的通項公式;

（2）設包=（一1廣）%,求數列也｝的前〃項和小

【答案】⑴例=（一2戶

rt

（2）7；f=（n-l）-24-l

【解析】

【分析】（1）根據題設結合S“與屋”的關系可得勺+]=-2%（〃之2）,進而得到數列｛4｝的公比為—2，即

可得到再由題設得到3q+%=l即可求得4=1，進而求解即可；

（2）由（1）可得”=〃?2小，進而利用錯位相減法求解即可.

【小問1詳解】

由35“+4川=1,

當〃N2時，3S,I+%=1,

兩式相減得，3%+。用一%=0,即4+1=—2%（〃之2）,

因為數列｛%｝為等比數列，所以數列｛4｝的公比為一2,

當〃=|時，34+4=1，而。2=-2q,解得q=l,

所以％=（2廣1

【小問2詳解】

由（1）知，凡=（一2戶，則"=（—1）"Ty=（—

所以7；=l?20+2?2i+3?22+???+^2”T,

則27；=1?21+2?22+3"+—+5-1)?21+h2〃，

2°(l-2n)

兩式相減得,I2,,,,,

-7；I=2°+2+2+...+2--/?-2=〃?2〃=(1一〃)?2"-1，

1-2

則［=(〃-1>2"+1.

17.已知函數/(x)=e'(￡-2x-a).

(1)若〃=—1,求函數/(力的極值;

(2)若函數g(x)=/(x)7有兩個零點，求。的取值范圍.

【答案】(1)答案見解析

(2)-1——，+8

IeJ

【解析】

【分析】(1)根據導函數判斷函數的單調性即可;

YY

(2)將問題轉化為直線y=〃與曲線)，二/一2工一_有兩個交點，利用導函數求出)，二f—一_^的單

ee

調性和取值范圍即可.

【小問1詳解】

當。=一1時,/(x)=ex(X2-2X+1),則f(%)=已,任一1),

當工變化時，/(無)，/(同的變億情況如下表所示：

X(fT)-1(-U)1(1,+00)

/W十0—0十

4

單調遞增單調遞減0單調遞增

e

當上=一1時，函數/(“取得極大值，極大值為

e

當x=1時，函數〃力取得極小值，極小值為0.

【小問2詳解】

由寇意知方程/(x)=x有兩個根，即。=d-2x-二■有兩個根,

e

則直線y=a與曲線),二/一2/一二_有兩個交點，

e

設力(x)=J_2x—三，則/(x)=2x_2-■!~^=(工_1)2+4

當"1時，h(x)<0,/z(x)在(-oo,1)上單調遞減，

當上>1時,/?(x)>0，Mx)在(1,+8)上單調遞增，

貝IJa=__,

e

當了f-oo時，+00,當X->+8時，A（x）—

綜上，〃的取值范圍是（一1一：，+8）.

18.已知數列｛q｝的前〃項和為s“，q=3,｛S〃｝是公比為3的等比數歹人

（1）求S〃與

（2）設2=。￡,求數列｛2｝的前1項和￡（無之2）；

（3）判斷是否存在正整數s,/,r（$</<〃），使得巴，《，。『成等差數列？若存在，寫出s,37?的一

組值；若不存在，請說明理由.

小】—，…棋3,〃=、1,”

QW*+l

⑵7；=-+--

人44

（3）不存在，理由見解析

【解析】

【分析】⑴應用〃〃=S”-S“T分〃=1,〃之2計算求解；

（2）應用等比數列求和公式計算數列的和；

（3）應用反證法假設生，《，4成等差數列，再計算得出矛盾即可證明.

【小問1詳解】

因為｛5｝是公比為3的等比數列，且工=4=3,

所以S“=3x3""二3",

3,/?=1,

當〃N2時，q=S“一S,i=3“一3"T=2x3"T,所以=

2x3H-',n>2.

【小問2詳解】

3,〃二1,

因為S“=3x3i=3",a?=.

〃2x3'i,〃之2,

9,n=1,,.

所以2=。￡=L-I當,壯2時，也是公比為9的等比數列，

6x9,n>2.

因為攵之2,所以n=9+如二211=2+空.

k1-944

【小問3詳解】

假設存在s,「(sue),使得&,4,%成等差數列，