自動控制原理 第5章習題參考答案

第5章習題參考答案

5.1根據給出的單位負反饋系統的開環傳遞函數G(s),求在給定信號為

Xj(f)=sinQ+45。)時，系統的穩態輸出。

57

(1)G(s)=(2)G(s)=/、

s+l\)s(s+2)

5

解：(1)對于開環傳遞函數G(s)=,其單位負反饋系統的傳遞函數①(s)為:

5+1

5

G(s)

①⑸=_L2-5+1_5

1+G(s)心55+6

5-1

5

—

jo>+6

對于給定信號X.(r)=sin"+45。)

5305.

當0=1時，①(7)=j+6"?7-37J

-5

幅值4(。)=41)=嗚+=0.822

137；<37

相位。=。⑴=arctan(總)=一9.46。

2(。=A(⑹sin(1+45°+0(⑹)=0.822sin(/+35.54°)

(2)對于開環傳遞函數G(s)=qAj,其單位反饋系統的傳遞函數①(s)為:

<G(s)_s(s+2)_2

1+G(s)[2/+2S+2

7(772)

①(j0)=------T-------------

(j<y)"4-2j^+2

對于給定信號可⑺=sin(r+45°)

2

當3=1時，O(j1)=^^-------=0.4-0.8j

(j)~+2j+2

幅值A3)=A⑴=>/0.42+0.82=0.894

相位⑴=arctan=-63.4°

系統的穩態輸出為:

X。(/)=/A(<y)sin(r+45。+°(。))=0.894sin(/-18.4°)

5.2根據開環傳遞函數G(s),繪制開環奈奎斯特曲線、確定與坐標軸的交點并

判斷閉環系統穩定性。

(1)G(s)=*

')5+16⑵G⑸二行

,、2

(3)G(s)=---------⑷⑹

')?(5+4)G二湍嵩

解：(1)開環傳遞函數的標準形式:

G⑸F

16

開環頻率特性函數為:

—jo+l

16

實部和虛部表達式為：

..z、療+64/、12口

U(co)=------------?V17(a))=------------

')療+256')#+256

由實部的表達式可知，系統的奈奎斯特曲線不穿過虛軸，即與虛軸沒有交點。

幅值和相位的表達式為：

co=0+O'j,4(回=0.25,^(69)=0°；<y=+oo時,A3)=1,。(0=0。。

該系統的奈奎斯特曲線如圖5-1所示，奈奎斯特曲線與實軸的交點為(0.25,j0)

和(l.jO)。奈奎斯特曲線不包圍(-l.jO)點，繞(TjO)點逆時針旋轉圈數Q=0,由

于開環傳遞函數的不穩定極點數4=(),得出閉環不穩定極點數6=兄-。=0,根

據奈奎斯特穩定性判據可知系統穩定。

2

題解5.2圖（1）的開環奈奎斯特曲線

（2）開環傳遞函數的標準形式:

3

系統的開環頻率特性函數為：

1

G（js）=g

網料+1）2

實部和虛部表達式為：

U（小諼*,V⑼二就』

漸近線：

-62

劭=Iim—、---r=-----

°-。（蘇+打27

幅值和相位的表達式為：

-2arctan—

3

CO-0+U;f,A（69）=8,=-90°；o=+oo時，A?）=0,0（切=-270。。

實部恒為負，故不與虛軸相交。

令虛部丫（。）=0,得出與實軸交點處的頻率0=3,此時實部為=,

3

奈奎斯特曲線與實軸交點為——J0

I54I

該系統的奈奎斯特曲線如圖5-2所示，奈奎斯特曲線與實軸的交點為

’-右,jo）。奈奎斯特曲線不包圍（-LjO）點，則。=0,由于開環傳遞函數的不穩定

極點數兄=0,得出閉環不穩定極點數凡=1-。=0,根據奈奎斯特穩定性判據可

題解5.2圖（2）的開環奈奎斯特曲線

（3）開環傳遞函數的標準形式：

]_

G⑸二^^

r（-5+l）

系統的開環頻率特性函數為：

1

G（M=----j------

實部和虛部表達式為:

U（69）=--彳-,V（69）=------—

'3（16+刃~）

由實部的表達式可知,奈奎斯特曲線與虛軸無交點。

幅值和相位的表達式為:

4

=-----/2,=-^--arctan—

I）蘇序新'）4

0=。+時，A（69）=+CO,0（69）=-18O°；<y=+oo時，A（69）=0,^（69）=-270°O

由實部和虛部可知，只有。為無窮大時，奈奎斯特曲線才與實軸和虛軸有交點。

奈奎斯特曲線如圖5-3所示，曲線繞（7,j0）點順時針旋轉兩圈，則。=-2,

由于開環傳遞函數的不穩定極點數％=0，得出閉環不穩定極點數Pb=Pk-Q=2,

根據奈奎斯特穩定性判據可知系統不穩定。

題解5.2圖（3）的開環奈奎斯特曲線

（4）開環傳遞函數的標準形式:

系統的開環頻率特性函數為:

24f1.?

亍y+1

G（j3）=

（j①+1）（綱+1

實部和虛部表達式為:

8（5療+21）-8啰（17+療）

U（69）=丫（。）二

。4+504+49〃+50蘇+49

由實部的表達式可知，奈奎斯特曲線與虛軸無交點。

幅值和相位的表達式為：

5

/\\（o2+9,/co（0

Ax（勿=8o?一/,。（0x）=arctan---arctanco-arctan—

'7J（療+1）（/+49）八）37

0=。+時，4（0*3.429,0（M=0。；g=+oo時，A?）=0,0（3）=-90。。

令V（0）=0,得出G=0,U（G卜3.429,與實軸的交點為（3.429,j0）,奈奎斯

特曲線如圖5-4所示，曲線不包圍（T,j0）點，繞（-l,j0）點逆時針旋轉圈數Q=0,

由于開環傳遞函數的不穩定極點數R=0,得出閉環不穩定極點數%二兄-Q=0,

根據奈奎斯特穩定性判據可知系統穩定。

題解5.2圖（4）的開環奈奎斯特曲線

5.3根據下述奈奎斯特曲線，寫出開環傳遞函數的形式，并判斷閉環系統是否

穩定，圖中6為開環傳遞函數在右半s平面的開環不穩定極點數。

6

圖5-57題5.3圖

解：(1)根據圖5-5(1)可知，開環不穩定極點數4=0,繞(-LjO)點逆時針旋轉

圈數Q=0,閉環不穩定極點數幾=兄-。=0,根據奈奎斯特穩定性判據可知

閉環系統穩定。

由于該系統為0型系統，通過分析奈奎斯特曲線的走向可知，相位逐漸減

小。曲線最終又以-180。趨于原點，說明有兩個產生負角度(arctan7；^,

-arctanT2co)的叫;節。

綜上可得該系統的相位(/)(co)=-arctanTxco-aictanT2CD,進而得出

G(M=”二一，所以系統的開環傳遞函數G(s)=：°

(J1①+1)(J(0+1)(工s+1乂(s+1)

(2)根據圖5-5(2)可知，開環不穩定極點數A=0,繞(-1J0)點逆時針旋

轉圈數Q=-2,閉環不穩定極點數兄=4-Q=2,根據奈奎斯特穩定性判據

可知閉環系統不穩定。

由于該系統為H型系統，所以相位破(0)的表達式中第一項為-180。，通

過分析奈奎斯特曲線的走向可知，隨著切的逐漸增大，相位0(0一直減小，

曲線最終以-270。趨向于原點。

綜上可得該系統的相位^(<y)=-180°-arctanr<y，進而得出

6刎=、可所以系統的開環傳遞函數G(上^

(3)根據圖5-5(3)可知，開環不穩定極點數兄=1,繞(-1/0)點逆時針旋

轉圈數Q=l,閉環不穩定極點數兄=4-。=0,根據奈奎斯特穩定性判據可

知閉環系統穩定。

通過分析奈奎斯特曲線的走向可知，當①=0時，奈奎斯特曲線并不是趨

近于無窮遠的，所以沒有積分環節。隨著切的逐漸增大，相位0(團逐漸增大，

最終以-90。趨向于原點。

綜上可得該系統的相位。(3)=-18()。+arctanr口,進而得出

7

KK

G(M=,所以系統的開環傳遞函數G（s）=

}T(o-\T^\

（4）根據圖5-5（4）可知，開環不穩定極點數冗=0,繞（-l,j0）點逆時針旋

轉圈數。=0,閉環不穩定極點數6=凡-。=0,根據奈奎斯特穩定性判據可

知閉環系統穩定。

通過分析奈奎斯特曲線的走向可知，當。=0時，奈奎斯特曲線是趨近于

無窮遠的，所以存在積分環節。隨著。的逐漸增大，相位。（⑺一直減小，最

終以-270。趨于原點，所以不存在微分環節。

綜上可得該系統的相位。（0）=-90。-30對1a9-arctan7^0,法而得出

G（j。）一…七丁八，所以系統的開環傳遞函數

G（.v）=———=------o

''s（〃s+l）（7；s+l）

5.4請根據給出的傳遞函數，畫出相應的對數頻率特性曲線。

10

10(2)G(s)=zx

(1)G(s)=

i7s(s+100)

O.OOk+1

5+0.4

(3)G(s)=(4)G(s)=?^

s(s+0.04)'7f+4s+4

解：(1)G(j<y)=---

')jO.OO1^+1

幅值和相位的表達式為：

A（=/,（/）（co\=-arctan0.00\co

1°-2--

J（o.ooi^）+1

為了便于繪制伯德圖”①）可以寫成如下的形式：

201g10,(^1000)

L(①)=,201g」一，?>1000)

00.00。'7

當L（（y）=0時,開環幅值穿越頻率％*10000。當（〃從0逐漸增大時，相位蟻6）

從。逐漸減小，當由1000時，°（助二-45。，當切趨于無窮大時，相位創M趨于

-90°,相應的對數頻率特性曲線如圖5-6所示。

8

題解5.4圖（1）的對數頻率特性曲線

（2）標準形式:

1

G(s)=

頻率特性函數為:

1

而

G6G)=

1?.

\(0+\

100

幅值和相位的表達式為：

10

A（＜y）=--------------,(ty)=-90°-arctan

①個①?+I002

為了便于繪制伯德圖”功可以寫成如下的形式:

201g』-,(0400)

1()0/I)

L(①)二?

201g2,(蘇＞100)

①一

當）=0時，開環幅值穿越頻率4^0.1,當折100時，L（＜y）?-60o當0

從0逐漸增大時，相位。?）從-90。逐漸減小，當3=100時，卜-135。，當力

趨于無窮大時，。（回趨于-180。，相應的對數頻率特性曲線如下所示。

9

題解5.4圖(2)的對數頻率特性曲線

幅值和相位的表達式為：

A(co)=—#+二,(6y)=arctan--arctan-90'

V)—蘇+O.W八70.40.04

為了便于繪制伯德圖可以寫成如下的形式：

0.4

201g二201gl0-201g3,（廬0.04）

0.04。

（）44

L（<y）=<201g^=201g401g協（0.04〈啰W0.4）

co-co10

201g-^-=-201g^（<w>0.4）

coco

當“3)二0時，開環幅值穿越頻率%=1,當但0.04時，卜48,當3=10

時，卜-20。當0從0逐漸增大時，相位例0)從-90。先逐漸減小，當折0.04

時，03)—35。,當折0.4時，0(3h-135。，當。趨于無窮大時,相位。(3)趨

于-90。，相應的對數頻率特性曲線如圖5-8所示。

10

題解5.4圖(3)的對數頻率特性曲線

(4)czx100(0.1^1)_1OO(O.1S4-1)

'I)52+45+4(s+2)2

標準形式:

100(0.ls+l)25(0.15+1)

G(s)=

(s+2)(s+2)(l$+i)(ls+i)

22

25(0.1j6?+l)

G(j。)

幅值和相位的表達式坐_______

/、25—0.10)2+1/、

A(0)=(050)—arctan0#169-2arctan0.5<w

為了便于繪制伯德圖L(Q)可以寫成如下的形式：

201g25,3W2)

25

L(s)=.201g=40-401g<y,(2<^<10)

(0.5O)2

250.16)_(0>10)

20=20207

(OS]&、

ii

當〃功=()時，開環幅值穿越頻率牡=10,當折1時，L?)=28,當M1O時,

“①)=0。當/從0逐漸增大時，相位0(助從0。先逐漸減小，再增加。當加2時,

。⑼、-79°，當3=10時，q-112。，當o趨于無窮大時,相位。(⑼趨于一90。,

相應的對數頻率特性曲線如圖5-9所示。

題解5.4圖(4)的對數頻率特性曲線

5.5請根據給出的最小相位系統的開環對數幅頻特性曲線，寫出傳遞函數并繪

出近似的對數相頻特性曲線。

(2)

12

(3)(4)

圖5-58題5.5圖

解：（1）根據圖（1）可知G（s）=

(拿+1)(總+1)

式中，7；=1；7；=—

,~1000

由3=1000時，L（M=201gKk-201g3=0得出凡=1000,系統的傳遞函數為:

?\1000

G（S）=-r~\—

5（5+1）——5+1

、,（1000）

（b（co\=-90°-arctanco-arctan-—co

v71000

當①從0逐漸增大時，相位°3）從-90。逐漸減小，當①趨于無窮大的，。（切

趨于-270。，相應的對數相頻特性曲線如圖5-11所示。

題解5.5圖（1）的對數相頻特性曲線

8(率+1)

(2)根據圖5-1()(2)可知G(s)=

一(為+1)

式中，7；=—=10；7；=1

0.1

13

根據圖5-10(2)可知，利=1,此時L(g)=201gl°K*=0,得出A；=0.1,

穌

系統的傳遞函數為:

0.1(105+1)

G(s)=

?(5+1)

°（3）=—180°+circtan1Oco-arctanco

當。從0逐漸增大時，相位。（⑹從-180。先逐漸增大，當3=0.1時，

卜-135。，當（y=l時,°（69卜-141。，當①趨于無窮大時，趨于一180。,

相應的對數相頻特性曲線如圖5-12所示。

題解5.5圖（2）的對數相頻特性曲線

⑶根據圖5」。⑶可知G（s）=%1整

式中，片丁亮

由"3=201g人=20得出鼠=10，系統的傳遞函數為:

10(1.2345x10452+0.00445+1)

G(s)=

0.04/+oas+i

0.04。0.0044口

^(6y)=-arclan---------7+arctan：-r

"0.04/1—1.2345x10"

當①從0逐漸增大時，相位。（團從0。先逐漸減小，當3=5時，0?卜-89。，

當出=90時，。（切90。，當0趨于無窮大時，。（功趨于0。，相應的對數相頻特

性曲線如圖5-13所示。

-180

14

題解5.5圖(3)的對數相頻特性曲線

(4)根據圖5-10(4)可知G(s)=

(串+1乂勾+1)(7>+1)

式中，7；=1；T)=—；T=----

'-103400

由〃刃)=201g8=60得出勺=1000,所以系統的傳遞函數為:

1000

G(s)=

——5+1

400)

\=-arctanco-arctan—1(o-arctan--1---co

''10400

當“從()逐漸增大時，相位。(切從0。逐漸減小，當3=1時，。(⑹k-51。，當

訪10時,0(3卜-130.7。，當口趨于無窮大時，。(切趨于-270。,相應的對數相

頻特性曲線如圖5-14所示。

5.6請根據系統的開環傳遞函數G(s),繪制系統的開環伯德圖，并求解系統的

相位裕量及增益裕量，判斷系統的穩定性。

(1)G(s\=________16________片)=50((Ms+l)

I75(0.25.?+1)(0.095+1)，尸/(0.025s+1)(0.004s+1)

解：(1)G(jco)=--7—------?~:--------x

叫產IJUF+IJ

幅值和相位的表達式為：

15

L(69)=20IgA(69)

201g16-201gd＞-201g

為了便于繪制伯德圖，可以寫成如下的形式:

201g—,（^4）

（0

16

L(69)=-201g

叱0.25。

16

201g

69-0.2569-0.0969

當刃=1時，“0卜24.1,交接頻率外=4,g=11.1。

當①從（）逐漸增大時，相位0（切從-90°逐漸減小，當0=4時，0?）、-135°,

當0=11.1時，b-206。，當切趨于無窮大時，0（。）趨于-270。，該系統的伯

題解5.6圖（1）的伯德圖

根據圖5-15可知，回＜/＜在，令島=1，得開環幅值穿越頻率

4=5/64=8o

相位裕量y(4)=180。+)=90。—63.4°-35.8°=-9.2°

、=-5.4416(0.0225^-1)

22

‘叼一(1+0.25%2)(1+0.09%21'叼一”1+0.25%2)(i+o.O96y|

16

令V?)=0,得出=44.4,即開環相位穿越頻率穌=6.663

0.0225

U(°p)=-1.06

幅值裕量￡=201g—!—=—0.51dB

1.06

由上述計算結果可知，相位裕量以)=-9.2。<(),幅值裕量￡=-0.51<0,系

統不穩定。

(2)G(加卜一J%彳——-

(i0)2j_L^lj—CO+\I

I40+A250J

幅值和相位的表達式為:

CDCOco

液?)=-180°+arctan-----arctan—arctan-----

1040250

￡(口)=2()lgA?)

。城崗

=201g50+201g+l-401g<y-201gJ^+T+1

為了便于繪制伯德圖〃砌可以寫成如下的形式:

201g當，?W10)

co-

201g(10<^40)

L(①)=.

2020。(40〈-250)

00250、7

500.10

201g，(夜>250)

療0.025。0.004。

當&二1時，“s)=33.98,交接頻率例=10,牡=40,q=250。

當。從0逐漸增大時，相位°(°)從-180。先逐漸增大，當°=10時，

0?卜一135。,當加40時，0(。卜一158。，當折250時，0①人一218。，當①趨于

無窮大時，趨于-270。，該系統的伯德圖如圖5-16所示。

17

題解5.6圖(2)的伯德圖

根據圖5-16可知，/〈外，令4(4)B|,得開環幅值穿越頻率@=回

得出相位裕量如下。

7(4)=180。+°(4)

arctan^-arctan^

=180°-180°+arctan—

1040250

X23.6°

、-50(0.0028〃+1)山、50(0.0000l6y2-0.071)

叼一切20+00252療)(1+0.004%2)'(切一”1+0.0252〃)(1+0.00424)

令丫5)=0,得出屋=E2ZL=71OO,即開環相位穿越頻率6。84

U(%)=-0.024

幅值裕量e=201g—!—=32.4dB

0.024

由上述計算結果可知，相位裕量/(4)=23.6。＞0,幅值裕量”32.4dBX),

系統穩定。

25

5.7已知單位負反饋系統的開環傳遞函數為G(s)=,計算該閉環系統

s(s+2)

的諧振頻率及諧振峰值。

18

7S

解：對于G(S)=/K

''5(54-2)

閉環傳遞函數：(P(s)=-^-=——=--/——-

2

1+G(s)s?+2s+255+2^cons+(t>~

式中，2gn=2,①;=25,即J=0.2,4=5。

得出諧振頻率例=4J1-2三=57092工4.8,諧振峰值Mf=―?2.55。

10

5.8根據給出的系統開環傳遞函數G(s)用MATLAB繪

$(5+6乂$2+4$+3)

制其奈奎斯特圖和伯德圖，并求解其幅值裕量￡和相位裕量八&)。

解：對于G(s)=二一-------其奈奎斯特曲線如圖5-17所示，伯德圖如圖

s(s+6/s~+4s+3)

5-18所示。

MATLAB程序:

?num=10;

?den=conv([l,0],conv([l,6],conv([l,1],[1,3])));

?sys=tf(num,den);

?nyquist(sys);

?margin(sys);

圖5-17題5.8的奈奎斯特曲線

19

頻用

越并。

穿，標

值數指

函

幅,性

遞特)

B傳6

d率+

其s

1.頻5

3出8+

1的.8

寫要0~$

“請1乂

量，主3

其+

裕示s

10析(

1值所

9分）

幅,5s

圖s-面圖（

德/。5方9G

d°.

伯0圖兩5為0

a5題2

圖r如數數

49

3=，

.1.84）

13.函5函

:)1-。

s-53圖

/:)5

d8"4遞遞

ard（示

s((解框

yye7圖

scd8y傳傳

:nu4/所

meti0題統

etun:環環

sqg)0率量

yera?/3系圖

SFMd1-

>r:)裕閉開

s(g頻下;

yyo的)

scd]

:n(位和的

me>越統如6

etu

sqM*,

yerh相數統

SFP穿系，5

函系,

位,饋析圖1

s/遞[;

相d反分出德,])

a傳得3ne

的r個域伯,d

9環9;1[,

統4一頻5-環:8(;

.開序.8vm)s

0系0知環5開0nuy

=從程1on(s

E該已開圖的f(

epn-6ew(Bep)?seudBB=ctni

49A）據統==g

.L1Amr

率5（根系Lunesa

TTndysm

A；A

M解M????

20

o

System:sys

o

Frequency(rad/s):4.58

Magnitude(dB):-2.81

o

o

-28

-4

-6

-Y85

B

a0

p

r-93

s5

e

j80

d

225

題解5.9圖的開環伯德圖

根據圖5-20可知，相位穿越頻率4.58rad/s,幅值裕量￡=2.79dB,幅值

穿越頻率4=3.95rad/s,相位裕量7(4)=11.33。，系統穩定。

(2)閉環頻域分析

G(s)_108.8

系統的閉環傳遞函數中(s)系統的閉環伯德圖,

l4