2025~2026學年河北省唐山市古冶區高一下冊期中考試數學試題【含答案】

/數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求.1.已知圓錐的側面展開圖為半圓，則該圓錐的側面積與其表面積之比為（）A. B. C. D.2.“平面內有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內”用符號語言表述是（）A. B.C. D.l∈α3.“兩條直線異面”的（）條件是“兩條直線不相交”A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.非充分且非必要4.已知復數，則（）A. B. C. D.55.已知某圓錐的底面積為，軸截面為等邊三角形，則該圓錐的側面積為（）A. B. C. D.6.已知復數，且，則的虛部為（）A. B. C. D.7.如圖，在正四棱錐中，側棱長均為，且相鄰兩條側棱的夾角為，，分別是線段，上的一點，則的最小值為（）A. B. C. D.8.已知正四棱臺的上、下底面的面積分別為1和4，側面積為6，則該棱臺的體積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.設復數在復平面內對應的點為為坐標原點，為虛數單位，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則或C.若點的坐標為，則對應的點在第三象限D.若，則點的集合所構成的圖形的面積為10.如圖，在棱長為6的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，BC的中點，點Q滿足，則下列說法正確的有（）A.平面B.若Q，M，N，P四點共面，則C.若，點F在側面內（包括邊界），且平面，則點F的軌跡長度為D.若，過A，P，Q三點作該正方體的截面將該正方體分成兩部分，較小體積與較大體積的比值為11.已知向量，，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若且，則C.的最大值為2D.若在上的投影向量為，則向量與的夾角為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓心角為，面積為的扇形的弧長為______．13.________.14.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術．圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，為圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的取值范圍為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.隨著社會的進步、科技的發展，人民對自己生活的環境要求越來越高，尤其是居住環境的環保和綠化受到每一位市民的關注，因此，年月日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員依分類搬運，提高垃圾的資源價值和經濟價值，力爭物盡其用.某市環衛局在、兩個小區分別隨機抽取戶，進行生活垃圾分類調研工作，依據住戶情況對近期一周（天）進行生活垃圾分類占用時間統計如下表：住戶編號小區（分鐘）小區（分鐘）（1）分別計算、小區每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；（2）如果兩個小區住戶均按照戶計算，小區的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環衛局與兩個小區物業及住戶協商，初步實施下列方案：①小區方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每位住戶至少需要一名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照元（按照天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？②小區方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業讓專職人員進行生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當于位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作小時）月工資按照元（按照天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？③市環衛局與兩個小區物業及住戶協商分別試行一個月，根據實施情況，試分析哪個方案惠民力度大，值得進行推廣？16.如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點.求證：，，，四點共面.17.如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點．證明：，，，四點共面18.如圖，在四邊形中，，四邊形繞所在直線旋轉一周所形成新的幾何體．（1）求該幾何體的表面積和體積；（2）若旋轉過程中，點和點始終落在球上，求球的表面積．19.已知向量.（1）設求；（2）若與垂直，求的值.

數學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試時間120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求.1.已知圓錐的側面展開圖為半圓，則該圓錐的側面積與其表面積之比為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根據給定條件，求出圓錐底面圓半徑與母線的關系即可求解.解答過程：設圓錐底面圓半徑為，母線長為，依題意，，則，所以該圓錐側面積與其表面積的比為.故選：B2.“平面內有一條直線，則這條直線上的一點必在這個平面內”用符號語言表述是（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：根據給出的條件逐步分析即可得出結論.解答過程：由題意，∵平面內有一條直線，∴，∵點在這條直線上，∴，∵得出這條直線上的一點必在這個平面內，∴，∴.3.“兩條直線異面”的（）條件是“兩條直線不相交”A.充分非必要 B.必要非充分C.充要 D.非充分且非必要答案：B解析：思路：根據充分、必要條件的定義，分析即可得答案.解答過程：兩條直線異面，則兩條直線不相交，反之，若兩條直線不相交，則可能共面平行，不一定異面，所以“兩條直線不相交”是“兩條直線異面”的必要非充分條件，即“兩條直線異面”的必要非充分條件是“兩條直線不相交”.故選：B4.已知復數，則（）A. B. C. D.5答案：C解析：思路：根據條件，利用復數的運算得到，再利用模長的計算公式，即可求解.解答過程：因為，所以，故選：C.5.已知某圓錐的底面積為，軸截面為等邊三角形，則該圓錐的側面積為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根據圓錐的底面積求出底面半徑，再由軸截面為等邊三角形求得圓錐的母線長，再代入圓錐的側面積公式求解.解答過程：因為底面積為，所以圓錐的底面半徑為2，軸截面為等邊三角形，所以該圓錐的母線長為4，所以.6.已知復數，且，則的虛部為（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用復數的除法化簡復數，利用復數的概念可得結果.解答過程：因為，所以，故的虛部為.7.如圖，在正四棱錐中，側棱長均為，且相鄰兩條側棱的夾角為，，分別是線段，上的一點，則的最小值為（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：將正四棱柱的側面展開，可知的最小值為，然后在中求解即可解答過程：如圖，將正四棱柱的側面展開，則的最小值為．在中，，，則．故選：D8.已知正四棱臺的上、下底面的面積分別為1和4，側面積為6，則該棱臺的體積為（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：根據正四棱臺的截面特征求出棱臺的高，代入棱臺的體積公式求解即可.解答過程：由題意知，該正四棱臺上表面邊長為1，下表面邊長為2，設側面梯形的高為，棱臺的高為.作正四棱臺的截面圖如下：則，解得.所以.所以該棱臺的體積為.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.9.設復數在復平面內對應的點為為坐標原點，為虛數單位，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則或C.若點的坐標為，則對應的點在第三象限D.若，則點的集合所構成的圖形的面積為答案：ACD解析：思路：利用復數模的運算即可判斷AB，利用復數的幾何意義即可判斷CD.解答過程：對于A，，故A正確；對于B，因為當時，滿足，故B錯誤；對于C，因點的坐標為，則，，則對應的點在第三象限，故C正確；對于D，由，可知點的集合所構成的圖形為圓環,其面積為，故D正確.故選：ACD.10.如圖，在棱長為6的正方體中，已知M，N，P分別是棱，，BC的中點，點Q滿足，則下列說法正確的有（）A.平面B.若Q，M，N，P四點共面，則C.若，點F在側面內（包括邊界），且平面，則點F的軌跡長度為D.若，過A，P，Q三點作該正方體的截面將該正方體分成兩部分，較小體積與較大體積的比值為答案：ACD解析：思路：根據正方體的結構特征可知側面互相平行，可判斷A；根據平面的性質及正方體的截面可判斷B；根據面面平行的判定可判斷點F的軌跡，進而判斷C；時，先找出過A，P，Q三點的正方體的截面，進而可判斷D.解答過程：A，根據正方體的結構特征可知，平面平面，又平面，所以平面，故A正確；B，因為三個不共線的點M，N，P確定一個平面，如圖1：當分別為所在棱的中點時，T，M，N，P四點共面，所以重合，平面與正方體的截面為平面六邊形，此時，故B錯誤；C，取的中點E，上靠近的三等分點G，連接，如圖2：則，又平面，平面，則平面，因為，，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，則平面，由，平面，所以平面平面，所以點F的軌跡為線段，由勾股定理可知其長度為，故C正確；D，延長，與的延長線交于點H，連接，與棱交于I，與的延長線交于點J，連接，與棱交于點K，如圖3：則過A，P，Q三點的正方體的截面為五邊形，由比例關系可得，，，所以較小體積與較大體積的比值為，故D正確.11.已知向量，，則下列結論正確的是（）A.若，則B.若且，則C.的最大值為2D.若在上的投影向量為，則向量與的夾角為答案：ABD解析：思路：對于A，利用向量垂直的坐標表示化簡即可判斷；對于B，利用向量平行的坐標表示化簡即可判斷；對于C，利用代入向量的數量積計算即可求解；對于D，利用投影向量公式化簡即可求解.解答過程：已知，，，.選項A：若，則，得，A正確.選項B：若，則，得，又

，所以

，B正確.選項C：，最大值為，C錯誤.選項D：在上的投影向量為，得，，，D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓心角為，面積為的扇形的弧長為______．答案：解析：思路：根據扇形的面積公式以及弧長公式，簡單計算可得結果.解答過程：因為，所以，解得．所以弧長．13.________.答案：2解析：思路：利用虛數的性質，逐步化簡即可求得結果.解答過程：，∴z=14.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術．圖1是一張由卷曲紋和回紋構成的正六邊形剪紙窗花．圖2中正六邊形的邊長為，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，為圓的直徑，點在正六邊形的邊上運動，則的取值范圍為______．答案：解析：思路：由圖可推得，結合點的位置分析，求出的范圍即得.解答過程：由題可知，，故；由圖可知，當點位于正六邊形的某個頂點時，取最大值，當點為正六邊形各邊的中點時，取得最小值，即，所以，，從而.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.隨著社會的進步、科技的發展，人民對自己生活的環境要求越來越高，尤其是居住環境的環保和綠化受到每一位市民的關注，因此，年月日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲存、分類投放，方便工作人員依分類搬運，提高垃圾的資源價值和經濟價值，力爭物盡其用.某市環衛局在、兩個小區分別隨機抽取戶，進行生活垃圾分類調研工作，依據住戶情況對近期一周（天）進行生活垃圾分類占用時間統計如下表：住戶編號小區（分鐘）小區（分鐘）（1）分別計算、小區每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；（2）如果兩個小區住戶均按照戶計算，小區的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環衛局與兩個小區物業及住戶協商，初步實施下列方案：①小區方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每位住戶至少需要一名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照元（按照天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？②小區方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業讓專職人員進行生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當于位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作小時）月工資按照元（按照天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？③市環衛局與兩個小區物業及住戶協商分別試行一個月，根據實施情況，試分析哪個方案惠民力度大，值得進行推廣？答案：（1）210分鐘，215分鐘；，；（2）①15元；②64元；③選擇方案推廣，有利于國民熱愛勞動及素質的提升.解析：思路：（1）利用表格中數值，代入平均值和方差計算即可；（2）①計算小區一月至少需要名工作人員的費用和每位住戶每月需要承擔的費用即可；②由一位專職工人一天的工作時間按照小時作為計算標準，每月按照天作為計算標準，一位專職工作人員對生活垃圾分類效果相當于名普通居民對生活垃圾分類的效果，計算出小區一月需要專職工作人員數量即可；③根據以上的運算，分析可以得出結論.解答過程：（1）（分鐘），（分鐘），，；（2）①按照方案，小區一月至少需要名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，其費用是元，每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為（元），②由（1）知，小區平均每位住戶每周需要分鐘進行垃圾分類，一月需要（分鐘），小區一月平均需要分鐘的時間用于生活垃圾分類，∵一位專職工人一天的工作時間按照小時作為計算標準，每月按照天作為計算標準，一位專職工作人員對生活垃圾分類效果相當于名普通居民對生活垃圾分類的效果，∴小區一月需要專職工作人員至少（名），則每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為（元），③根據上述計算可知，按照每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費來說，選擇方案惠民力度大，但需要住戶平時做好生活垃圾分類事項；如果對于高檔小區的居民來說，可以選擇方案，這只是方便個別高收入住戶，綜上，選擇方案推廣，有利于國民熱愛勞動及素質的提升.【點評】本題文字較多，能夠正確分析題意、理解題意是解決問題的關鍵，所以提醒同學們在備考過程中可以適當的做一些輔助閱讀幫助提升此能力.16.如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點.求證：，，，四點共面.答案：證明見解析解析：思路：通過證明即可證明，，，四點共面.解答過程：連接，在長方體中，∵∴四邊形是平行四邊形，∴，又因為，分別為棱，的中點，所以，所以，所以，，，四點共面.1