2025~2026學年安徽省蚌埠市高一下冊5月份區域高中合作性教研質量評價數學試題【含答案】

/數學考試時間：120分鐘試卷分值：150分一、選擇題：（本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求）1.如圖，中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.在中，已知，，那么（）A.8 B. C.12 D.4.已知，則（）A. B. C. D.5.已知向量，滿足，，則，的夾角為（）A. B. C. D.6.已知，則（）A. B. C. D.7.已知函數，當時函數取得最大值，則（）A. B. C. D.8.已知函數，在曲線與直線的交點中，若相鄰交點的距離為．若且關于的方程有三個不等的實根，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.有下列說法，其中錯誤的說法為（）．A.若∥，∥，則∥B.若，，則C.若非零向量,,，滿足，則D.若∥，則存在唯一實數使得10.黃金三角形是一種特殊的等腰三角形，其底與腰的長度之比為黃金比例（黃金分割比），這一比例在自然界、藝術及建筑設計中都有著廣泛的應用，它象征著和諧與完美．已知在頂角為的黃金中，它的底角正好是頂角的兩倍，且它的底與腰之比為黃金分割比，為邊上的中點，則下列選項正確的有（）A. B.C. D.11.已知向量滿足，且對任意的實數t，恒成立，則下列結論正確的是（

）A. B.C.在上的投影向量為 D.當取最小值時，第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點，，向量，若，則實數______.13.已知，，則______.14.如圖，正六邊形的邊長為，半徑為的圓的圓心為正六邊形的中心，若點在正六邊形的邊上運動，動點、在圓上運動且關于圓心對稱，則的最大值為______四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在等邊中，，點在邊上，且.過點的直線分別交射線于不同的兩點.（1）設，試用表示：（2）設，求的最小值.16.已知，為銳角，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值17.向量是同一平面內的兩個向量，其中.（1）若，且與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍；（2）若，與共線且，求.18.已知函數（1）求在上的值域；（2）將的圖象向右平移個單位長度，再把曲線上所有點的橫坐標變為原來的倍縱坐標不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區間；19.設為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數”為：，向量稱為函數的“相伴向量.”（1）設函數，求的“相伴向量”；（2）記的“相伴函數”為，若函數與直線有且僅有四個不同的交點，求實數的取值范圍；（3）記的“相伴函數”為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

數學考試時間：120分鐘試卷分值：150分一、選擇題：（本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求）1.如圖，中，點D是線段BC的中點，E是線段AD的靠近A的三等分點，則（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根據向量線性運算先利用表示，再表示，再根據求結論.解答過程：因為是的中點，所以，因為是的靠近的三等分點，所以，所以．2.（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：利用三角函數和差公式即可.解答過程：；故選：B.3.在中，已知，，那么（）A.8 B. C.12 D.答案：D解析：解答過程：由題意可得，，所以是等腰直角三角形，所以，所以.4.已知，則（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：先利用輔助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式結合誘導公式即可得答案解答過程：由，得，即，則，故．故選：A.5.已知向量，滿足，，則，的夾角為（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根據平面向量數量積的運算律及夾角的余弦公式即可求解．解答過程：由兩邊平方得，，又得，所以，則．6.已知，則（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：確定角的范圍，求出值，利用正弦和余弦的差角公式求出和，最后用半角公式即可求解.解答過程：已知，因此，所以，所以，化簡得①；而，化簡得②；聯立①②，相加得：相減得：，由，得，根據半角公式，代入得.7.已知函數，當時函數取得最大值，則（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用輔助角公式得，其中，由題意可得，進而可求得，利用兩角差的正弦公式可求值.解答過程：，其中，當時函數取得最大值，則，所以，所以，所以，所以，，所以.故選：C.8.已知函數，在曲線與直線的交點中，若相鄰交點的距離為．若且關于的方程有三個不等的實根，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根據二倍角公式，降冪公式及輔助角公式化簡，再結合已知得出，由方程有三個不等的實根，得出方程有兩解，結合的圖像即可求解．解答過程：，因為在曲線與直線的交點中，相鄰交點的距離為，所以，所以，，則或，畫出函數在之間的圖象，觀察圖象可得方程在內有且只有一個根，又方程有三個不等的實根，所以方程有兩解，由在的圖象可得，．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.有下列說法，其中錯誤的說法為（）．A.若∥，∥，則∥B.若，，則C.若非零向量,,，滿足，則D.若∥，則存在唯一實數使得答案：ACD解析：思路：根據向量的基本概念以及數量積運算法則對各選項逐一判斷即可.解答過程：對于A，若，則當∥，∥時不一定滿足∥，故A錯誤.對于B，當，時，根據向量的傳遞性則有，故B正確.對于C，若，則，即，無法推出，故C錯誤.對于D，若，則當∥時不一定存在唯一實數使得，故D錯誤.故選:ACD10.黃金三角形是一種特殊的等腰三角形，其底與腰的長度之比為黃金比例（黃金分割比），這一比例在自然界、藝術及建筑設計中都有著廣泛的應用，它象征著和諧與完美．已知在頂角為的黃金中，它的底角正好是頂角的兩倍，且它的底與腰之比為黃金分割比，為邊上的中點，則下列選項正確的有（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：根據題意作三角形，然后由三角形內角和定理求得頂角和底角度數，設底邊長得到腰長.由等腰三角形三線合一得到對應的角，由銳角三角函數得到，判斷A選項；同理求得，然后判斷B選項；巧用，利用正切的和差角公式化簡，然后判斷C選項；由二倍角公式化簡，利用A選項/B選項結果結合勾股定理化簡，然后代入邊長即可求得結果，判斷D選項.解答過程：由題意可知：，，又∵，∴，，∵為等腰三角形底邊上中點，由三角形三線合一可知：，，設，則，∴，∴A選項錯誤；，B選項正確；∵，C選項正確；∵，代入邊長∴，D選項正確.故選：BCD11.已知向量滿足，且對任意的實數t，恒成立，則下列結論正確的是（

）A. B.C.在上的投影向量為 D.當取最小值時，答案：ABD解析：思路：由恒成立，轉化為關于的一元二次不等式恒成立問題，利用判別式求出的值.利用向量的模長公式可以判斷A；向量垂直的充要條件可以判斷B；向量投影向量公式可以判斷C；結合絕對值的幾何意義，建立平面直角坐標系可以判斷D.解答過程：由得：，.對任意，恒成立，兩邊平方得：，代入，整理得關于的二次不等式：由對任意實數不等式恒成立，可得：所以，故A正確；，則，故B正確；在上的投影向量為，故C錯誤；，表示動點到兩定點距離和的2倍，如圖所示，

關于x軸對稱的點為，則，所以由圖可知當三點共線時，動點到兩定點距離和的2倍取得最小值，此時，所以當取最小值時，，D正確.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知點，，向量，若，則實數______.答案：2解析：思路：由點，，可得的坐標，結合向量平行的公式，可列出關于的方程，解方程即可.解答過程：由題意，點，，可得，因為，且，所以，解得.13.已知，，則______.答案：1解析：思路：利用和差角的正弦公式及同角三角函數關系列式計算得解.解答過程：由，得，又因為，可得，所以，所以，則.14.如圖，正六邊形的邊長為，半徑為的圓的圓心為正六邊形的中心，若點在正六邊形的邊上運動，動點、在圓上運動且關于圓心對稱，則的最大值為______答案：11解析：解答過程：連接、、、，則為的中點，利用平面向量數量積的運算性質得出，數形結合求出的最大值，即可得出的最大值.如下圖所示，連接、、、，則為的中點，則，且，故是邊長為的等邊三角形，易知，則，當且僅當與正六邊形的頂點重合時，取最大值11.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖，在等邊中，，點在邊上，且.過點的直線分別交射線于不同的兩點.（1）設，試用表示：（2）設，求的最小值.答案：（1）（2）4解析：思路：（1）利用給定的基底表示向量.（2）利用共線向量的推論及基本不等式求出最小值.（1）由，得，所以.（2）由（1）知，，而，因此，而共線，則，又，于是，由于當且僅當，即時取等號，所以的最小值是4.16.已知，為銳角，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）先根據求出，再利用二倍角公式把問題轉化為“齊次式”求值的問題解決.（2）利用，結合兩角和與差的三角函數公式求值.（3）先求，再結合的取值范圍，可確定的值.（1）由.所以.（2）因為，所以，又，所以，所以.所以.（3）因為，且，所以，所以.所以，且，為銳角，可得，所以.17.向量是同一平面內的兩個向量，其中.（1）若，且與的夾角為鈍角，求實數的取值范圍；（2）若，與共線且，求.答案：（1）（2）或.解析：思路：（1）先利用，求得，再由與共線時，求得，進而得到答案；（2）先求得，設，結合，列出方程，求得的值，即可求解.（1）由向量，因為與的夾角為鈍角，可得，即，解得；當與共線時，可得，解得，當時，與方向相反，夾角為，不符合題意；綜上可得且，即實數的取值范圍為（2）由向量，可得，因為向量與共線，可設，又因為，可得，解得，當時，；當時，.18.已知函數（1）求在上的值域；（2）將的圖象向右平移個單位長度，再把曲線上所有點的橫坐標變為原來的倍縱坐標不變，得到函數的圖象，求的單調遞減區間；答案：（1）（2），解析：思路：（1）先利用降冪公式和輔助角公式化簡，再根據正弦函數的性質結合整體思想求解即可；（2）先根據平移變換和周期變換的原則求出的解析式，再根據正弦函數的單調性求解即可.（1），因為，則，所以，故；（2）將的圖象向右平移個單位長度，可得，再把函數圖象上所有點的橫坐標變為原來的倍，得到函數的圖象，由，，可得，，所以的單調遞減區間為，.19.設為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數”為：，向量稱為函數的“相伴向量.”（1）設函數，求的“相伴向量”；（2）記的“相伴函數”為，若函數與直線有且僅有四個不同的交點，求實數的取值范圍；（3）記的“相伴函數”為，若對任意恒成立，求實數的取值范圍.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）展開整理得，再結合“相伴向量”的定義求解即可；