人教版七年級數學總復習知識點歸納總結

七年級數學上冊知識點（2016）

第一章有理數

1.1正數與負數

①正數：大于o的數叫正數。（根據需要，有時在正數前面

也加上“+”）

②負數：在以前學過的。以外的數前面加上負號“一”的

數叫負數。與正數具有相反意義。

③0既不是正數也不是負數。0是正數和負數的分界，是唯

一的中性數。

注意：搞清相反意義的量：南北；東西；上下；左右；上

升下降；高低；增長減少等

1.2有理數

1、有理數（1）整數:正整數、0、負整數統稱整數；（2）

分數;正分數和負分數統稱分數；

（3）有理數：整數和分數統稱有理數。

2、數軸(1)定義：通常用一條直線上的點表示數，這條

直線叫數軸；

(2)數軸三要素：原點、正方向、單位長度；

(3)原點：在直線上任取一個點表示數0,這個

點叫做原點；

(4)數軸上的點和有理數的關系：所有的有理數都可

以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點，不都是

表示有理數。

3、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數。(例：

2的相反數是-2;0的相反數是0)

4、絕對值：(1)數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數

a的絕對值，記作從幾何意義上講,

數的絕對值是兩點間的距離。

(2)一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕

對值是它的相反數；0的絕對值是0。兩個負

數，絕對值大的反而小。

1.3有理數的加減法

①有理數加法法則：

1、同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。

2、絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數

的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反

數的兩個數相加得0。

3、一個數同0相加，仍得這個數。

加法的交換律和結合律

②有理數減法法則:減去一個數，等于加這個數的相反數。

1.4有理數的乘除法

①有理數乘法法則：兩數相乘，同號得正，異號得負，并

把絕對值相乘；

任何數同0相乘，都得0;

乘積是1的兩個數互為倒數。

乘法交換律/結合律/分配律

②有理數除法法則：除以一個不等于0的數，等于乘這個

數的倒數；

兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值

相除；.

0除以任何一個不等于0的數，都得0。

1.5有理數的乘方

1、求n個相同因數的積的運算，叫乘方，乘方的結果叫

瓶。在a的n次方中，a叫做底數，n叫做指數。負數的奇

次第是負數，負數的偶次幕是正數。正數的任何次氟都是

正數，。的任何次賽都是0。

2、有理數的混合運算法則：先乘方，再乘除，最后加減;

同級運算，從左到右進行；如有括號，先做括號內的運算，

按小括號、中括號、大括號依次進行。

3、把一個大于10的數表示成aX10的n次方的形式，使

用的就是科學計數法，注意a的范圍為1Wa<10o

4、從一個數的左邊第一個非。數字起，到末位數字止，所

有數字都是這個數的有效數字。四舍五入遵從精確到哪一

位就從這一位的下一位開始，而不是從數字的末尾往前四

舍五入。比如：3.5449精確到0.01就是3.54而不是3.55.

第二章整式的加

減

2.1整式

1、單項式：由數字和字母乘積組成的式子。系數，單項式

的次數.單項式指的是數或字母的積的代數式.單獨一個

數或一個字母也是單項式.因此，判斷代數式是否是單項

式，關鍵要看代數式中數與字母是否是乘積關系，即分母

中不含有字母，若式子中含有加、減運算關系，其也不是

單項式.

2、單項式的系數：是指單項式中的數字因數;

3、單項數的次數：是指單項式中所有字母的指數的和.

4、多項式：幾個單項式的和。判斷代數式是否是多項式，

關鍵要看代數式中的每一項是否是單項式.每個單項式稱

項，常數項，多項式的次數就是多項式中次數最高的次數。

多項式的次數是指多項式里次數最高項的次數，這里是

次數最高項，其次數是6;多項式的項是指在多項式中，

每一個單項式.特別注意多項式的項包括它前面的性質符

號.

5、它們都是用字母表示數或列式表示數量關系。注意單項

式和多項式的每一項都包括它前面的符號。

6、單項式和多項式統稱為整式。

2.2整式的加減

1、同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的

項。與字母前面的系數（手0）無關。

2、同類項必須同時滿足兩個條件：（1）所含字母相同；（2）

相同字母的次數相同，二者缺一不可.同類項與系數大小、

字母的排列順序無關

3、合并同類項：把多項式中的同類項合并成一項。可以運

用交換律，結合律和分配律。

4、合并同類項法則：合并同類項后，所得項的系數是合并

前各同類項的系數的和，且字母部分不變；

5、去括號法則：去括號，看符號：是正號，不變號；是負

號，全變號。

6、整式加減的一般步驟：

一^去、二找、三合

（1）如果遇到括號按去括號法則先去括號.（2）結合同

類項.（3）合并同類項

第三章一^元一次

方程

3.1一元一次方程

1、方程是含有未知數的等式。

2、方程都只含有一個未知數（元）x,未知數x的指數都

是1（次），這樣的方程叫做一元一次方程。

注意：判斷一個方程是否是一元一次方程要抓住三點：

1）未知數

所在的式子是整式（方程是整式方程）；.

2）化簡后

方程中只含有一個未知數；

3）經整理

后方程中未知數的次數是1.

3、解方程就是求出使方程中等號左右兩邊相等的未知數的

值，這個值就是方程的解。

4、等式的性質：1）等式兩邊同時加（或減）同一個數（或

式子），結果仍相等；

2）等式兩邊同時乘同一個數，或除以同

一個不為0的數，結果仍相等。

注意：運用性質時，一定要注意等號兩邊都要同時變；運

用性質2時，一定要注意。這個數.

3.2、3.3解一元一次方程

在實際解方程的過程中，以下步驟不一定完全用上，

有些步驟還需重復使用.因此在解方程時還要注意以下幾

點：

①去分母：在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數，不要

漏乘不含分母的項；分子是一個整體，去分母后應加上括

號；去分母與分母化整是兩個概念，不能混淆；

②去括號：遵從先去小括號，再去中括號，最后去大括號;

不要漏乘括號的項；不要弄錯符號；

③移項：把含有未知數的項移到方程的一邊，其他項都移

到方程的另一邊（移項要變符號）移項要變號；

④合并同類項：不要丟項，解方程是同解變形，每一步都

是一個方程，不能像計算或化簡題那樣寫能連等的形式；

⑤系數化為1::字母及其指數不變系數化成1,在方程兩

邊都除以未知數的系數a,得到方程的解。不要分子、分

母搞顛倒。

3.4實際問題與一元一次方程

一概念梳理

⑴列一元一次方程解決實際問題的一般步驟是：①審題，

特別注意關鍵的

字和詞的意義，弄

清相關數量關系；

②設出未知數（注

意單位）；③根據

相等關系列出方

程；④解這個方

程；⑤檢驗并寫出

答案（包括單位名

稱）。

⑵一些固定模型中的等量關系及典型例題參照一元一次方

程應用題專練學案。

二、思想方法（本單元常用到的數學思想方法小結）

⑴建模思想：通過對實際問題中的數量關系的分析，抽象

成數學模型，建立一元一次方程的思想.

⑵方程思想：用方程解決實際問題的思想就是方程思想.

⑶化歸思想：解一元一次方程的過程，實質上就是利用去

分母、去括號、移項、合并同類項、未知數

的系數化為1等各種同解變形，不斷地用新

的更簡單的方程來代替原來的方程，最后逐

步把方程轉化為x=a的形式.體現了化“未

知”為“已知”的化歸思想.

⑷數形結合思想：在列方程解決問題時，借助于線段示意

圖和圖表等來分析數量關系，使問題中

的數量關系很直觀地展示出來，體現了

數形結合的優越性.

⑸分類思想：在解含字母系數的方程和含絕對值符號的方

程過程中往往需要分類討論，在解有關方案

設計的實際問題的過程中往往也要注意分類

思想在過程中的運用.

三、數學思想方法的學習

1,解一元一次方程時，要明確每一步過程都作什么變形，

應該注意什么問題.

2.尋找實際問題的數量關系時，要善于借助直觀分析法，

如表格法，直線分析法和圖示分析法等.

3,列方程解應用題的檢驗包括兩個方面：⑴檢驗求得的結

果是不是方程的解;

⑵是要判斷方

程的解是否符合題目中的實際意義.

四、一元一次方程典型例題

例1.已知方程2xm-3+3x=5是一元一次方程，則

m=?

解：由一元一次方程的定義可知m—3=1,解得m=4.或

m—3=0,解得m=3

所以m=4或m=3

警示：很多同學做到這種題型時就想到指數是1,從而

寫成m=1,這里一定要注意x的指數是(m-3).

例2.已知x=_2是方程ax2—(2a—3)x+5=0的解，求

a的值.

解：??”二-2是方程ax?一(2a-3)x+5=0的解

???將小一2代入方程，

得a?(—2)2—(2a—3)?(—2)+5=0

化簡，得4a+4a-6+5=0

，a=l

8

點撥：要想解決這道題目，應該從方程的解的定義入

手，方程的解就是使方程左右兩邊值相等的未知數的值，

這樣把x=-2代入方程，然后再解關于a的一元一次方程

就可以了.

例3.解方程2(x+1)-3(4x-3)=9(1-x).

解：去括號，得2x+2-12x+9=9-9x,

移項，得2+9—9=12x—2x—9x.

合并同類項，得2=x,即x=2.

點撥：此題的一般解法是去括號后將所有的未知項移

到方程的左邊，已知項移到方程的右邊，其實，我們在去

括號后發現所有的未知項移到方程的左邊合并同類項后系

數不為正，為了減少計算的難度，我們可以根據等式的對

稱性，把所有的未知項移到右邊去，已知項移到方程的左

邊，最后再寫成x二a的形式.

例4.解方程lf^zl+31+5+?l=l.

86412)

解析：方程兩邊乘以8,再移項合并同類項，得

2]_

/卜=1

64

同樣，方程兩邊乘以6,再移項合并同類項，得

1

—4-31=1

412

方程兩邊乘以4,再移項合并同類項，得=1=1

2

方程兩邊乘以2,再移項合并同類項，得x=3.

說明：解方程時，遇到多重括號，一般的方法是從里

往外或從外往里運用乘法的分配律逐層去特號，而本題最

簡捷的方法卻不是這樣，是通過方程兩邊分別乘以一個數,

達到去分母和去括號的目的。

例5.解方程?-IS5.”0.8一1?27.

0.50.20.1

解析：方程可以化為(4-L5)x2(5x-0.8)x5_(1.2-x)xl0

0.5x20.2x50.1x10

整理，得2(4x-1.5)-5(5x-0.8)=10(1.2-x)

去括號移項合并同類項，得-7x=11,所以X=_l.

7

說明：一見到此方程，許多同學立即想到老師介紹的

方法，那就是把分母化成整數，即各分數分子分母都乘以

10,再設法去分母，其實，仔細觀察這個方程，我們可以

將分母化成整數與去分母兩步一步到位，第一個分數分子

分母都乘以2,第二個分數分子分母都乘以5,第三個分數

分子分母都乘以10.

例6.解方程，上+二十二=i.

6122030

解析：原方程可化為上+上+上+上"

2x33x44x55x6

方程即為2—+±-±+±—+"±=1

23344556,

所以有土」八

26

再來解之，就能很快得到答案：x=3.

知識鏈接：此題如果直接去分母，或者通分，數字較

大，運算煩瑣，發現分母6=2X3,12=3X4,20=4X5,30=5

X6,聯系到我們小學曾做過這樣的分式化簡題，故采用拆

項法解之比較簡便.

例7.參加某保險公司的醫療保險，住院治療的病人可

享受分段報銷，□保險公司制度的報銷細則如下表，某人

今年住院治療后得到保險公司報銷的金額是1260元，那

么此人的實際醫療費是（）

住院醫療費報銷

（元）率（%）.

不趣過500的0

部分

超過500?60

1000的部分

超過1000~80

3000的部分

???

A.2600元B.2200元C.2575元D.

2525元

解析：設此人的實際醫療費為x元，根據題意列方程，

得

500X0+500X60%+(x-500-500)X80%=1260.

解之，得x=2200,即此人的實際醫療費是2200元.故

選B.

點撥：解答本題首先要弄清題意，讀懂圖表，從中應

理解醫療費是分段計算累加求和而得的.因為500X60%

V1260V2000X80%,所以可知判斷此人的醫療費用應按第

一檔至第三檔累加計算.

例8.我市某縣城為鼓勵居民節約用水，對自來水用戶

按分段計費方式收取水費：若每月用水不超過7立方米，

則按每立方米1元收費；若每月用水超過7立方米，則超

過部分按每立方米2元收費.如果某戶居民今年5月繳納

了17元水費，那么這戶居民今年5月的用水量為

___________立方米.

解析：由于1X7V17,所以該戶居民今年5月的用水

量超標..

設這戶居民5月的用水量為x立方米，可得方程：7X

1+2(x-7)=17,解得x=12.

所以，這戶居民5月的用水量為12立方米.

例9.足球比賽的記分規則為：勝一場得3分，平一場

得1分，輸一場得。分，一支足球隊在某個賽季中共需比

賽14場，現已比賽了8場，輸了1場，得17分，請問：

⑴前8場比賽中，這支球隊共勝了多少場？

⑵這支球隊打滿14場比賽，最高能得多少分？

⑶通過對比賽情況的分析，這支球隊打滿14場比賽，

得分不低于29分,就可以達到預期的目標，請你分析一下,

在后面的6場比賽中，這支球隊至少要勝幾場，才能達到

預期目標?

解析：⑴設這個球隊勝了x場，則平了(8-1-X)場,

根據題意，得：

3x+(8-1-x)=17.

解得x=5.

所以，前8場比賽中，這個球隊共勝了5場.

⑵打滿14場比賽最高能得17+(14-8)X3=35

分.

(3)由題意知，以后的6場比賽中，只要得分不

低于12分即可.

二勝不少于4場，一定能達到預期目標.而勝了3場,

平3場，正好達到預期目標.所以在以后的比賽中，這個

球隊至少要勝3場.

例10.國家為了鼓勵青少年成才，特別是貧困家庭的

孩子能上得起大學，設置了教育儲蓄，其優惠在于，目前

暫不征收利息稅.為了準備小雷5年后上大學的學費6000

元，他的父母現在就參加了教育儲蓄，小雷和他父母討論

了以下兩種方案：

⑴先存一個2年期，2年后將本息和再轉存一個3年

期；

⑵直接存入一個5年期.

你認為以上兩種方案，哪種開始存入的本金較少？

［教育儲蓄（整存整取）年利率一年：2.25%;二年:

2.27%;三年:3.24%;五年:3.60%.]

解析：了解儲蓄的有關知識，掌握利息的計算方法，

是解決這類問題的關鍵，對于此題，我們可以設小雷父母

開始存入x元.然后分別計算兩種方案哪種開始存入的本

金較少.

(1)2年后，本息和為x(1+2.70%X2)=1.054x;

再存3年后,本，息和要達至46000元,則1.054x(1+3.

24%X3)=6000.

解得x~5188.

⑵按第二種方案，可得方程x(1+3.60%X5)=6000.

解得x^5085.

所以，按他們討論的第二種方案，開始存入的本金比

較少.

例11.揚子江藥業集團生產的某種藥品包裝盒的側面

展開圖如圖所示.如果長方體盒子的長比寬多4.，求這

種藥品包裝盒的體積.

分析：從展開圖上的數據可以看出，展開圖中兩高與

兩寬和為14cm,所以一個寬與一個高的和為7cm,如果設

這種藥品包裝盒的寬為xcm,則高為(7—x)cm,因為長

比寬多4GFTI,所以長為(x+4)cm,根據展開圖可知一個長

與兩個高的和為13cm,由此可列出方程.

解：設這種藥品包裝盒的寬為xcm,則高為(7-x)cm,

長為(x+4)cm.

根據題意，得(x+4)+2(7-x)=13,

解得x=5,所以7-x=2,x+4=9.

故長為9cm,寬為5cm,高為2cm.

所以這種藥品包裝盒的體積為：9X5X2=90(cm3).

例12.某石油進口國這個月的石油進口量比上個月減

少了5%,由于國際油價上漲，這個月進口石油的費用反而

比上個月增加了14%.求這個月的石油價格相對上個月的

增長率.

解：設這個月的石油價格相對上個月的增長率為X.根

據題意得

(1+x)(1-5%)=1+14%

解得x=20%

答：這個月的石油價格相對上個月的增長率為20%.

點評：本題是一道增長率的應用題.本月的進口石油

的費用等于上個月的費用加上增加的費用，也就是本月的

石油進口量乘以本月的價格.設出未知數，分別表示出每

一個數量，列出方程進行求解.列方程解應用題的關鍵是

找對等量關系，然用代數式表示出其中的量，列方程解答.

例13.某市參加省初中數學競賽的選手平均分數為78

分，其中參賽的男選手比女選手多50%,而女選手的平均

分比男選手的平均分數高10%,那么女選手的平均分數為

解析：總平均分數和參賽選手的人數及其得分有關.

因此，必須增設男選手或女選手的人數為輔助未知數.不

妨設男選手的平均分數為x分，女選手的人數為a人，那

么女選手的平均分數為1.1x分，男選手的人數為1.5a

人，從而可列出方程IX+LMJ78,解得X=75,所以1.

\.5a+a

1x=82.5.即女選手的平均分數為82.5分.

第四章幾何圖形

初步

4.1幾何圖形

1、幾何圖形：從形形色色的物體外形中得到的圖形叫做幾

何圖形。

2、立體圖形：這些幾何圖形的各部分不都在同一個平面內。

3、平面圖形：這些幾何圖形的各部分都在同一個平面內。

4、雖然立體圖形與平面圖形是兩類不同的幾何圖形，但它

們是互相聯系的。

立體圖形中某些部分是平面圖形。

5、三視圖：從左面看，從正面看，從上面看

6、展開圖：有些立體圖形是由一些平面圖形圍成的，將它

們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形。這

樣的平面圖形稱為相應立體圖形的展開圖。

7、⑴幾何體簡稱體；包圍著體的是面；面面相交形成線;

線線相交形成點;

(2)點無大小，線、面有曲直；

(3)幾何圖形都是由點、線、面、體組成的；

(4)點動成線，線動成面，面動成體；

(5)點：是組成幾何圖形的基本元素。

4.2直線、射線、線段

1、直線公理：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。

即：兩點確定一條直線。

2、當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直

線相交，這個公共點叫做它們的交點。

--------?--------------■-------m

3、把一條線段分成相等的兩條線段的點，叫做翅條線段的

中點。

4、線段公理：兩點的所有連線中，線段做短(兩點之間,

線段最短)。

5、連接兩點間的線段的長度，叫