人教版高一年級下學期期中考試數學試卷與答案解析（共三套）

人教版高一年級下學期期中考試數學試卷（一）（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版第二冊：第六章平面向量及其應用、第七章復數、第八章立體幾何初步一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．已知平面向量，，若存在實數，使得，則實數的值為()。A、B、C、D、2．下列說法中錯誤的是()。A、兩條平行線段在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行B、平行于坐標軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變C、平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標軸D、斜二測坐標系取的角可能是3．在下列命題中，正確命題的個數為()。①兩個復數不能比較大小；②若是純虛數，則實數；③是虛數的一個充要條件是；④若、是兩個相等的實數，則是純虛數；⑤的一個充要條件是；⑥的充要條件是。A、B、C、D、4．設、是兩個不同的平面，則的充要條件是()。A、平面內任意一條直線與平面垂直B、平面、都垂直于同一條直線C、平面、都垂直于同一平面D、平面內存在一條直線與平面垂直5．如圖，在長方體中，用截面截下一個棱錐，則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為()。A、B、C、D、6．四面體中，，，，則四面體外接球的表面積為()。A、B、C、D、7．下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖。其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為，且相鄰的圓都相切，、、、是其中四個圓的圓心，則()。A、B、C、D、8．在長方體中，，，、分別為上底面的邊、的中點，過、的平面與底面交于、兩點，、分別在下底面的邊、上，，平面與棱交于點，則直線與側面所成角的正切值為()。A、B、C、D、二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．設為虛數單位，則下列命題錯誤的是()。A、，復數是純虛數B、在復平面內對應的點位于第三象限C、若復數，則存在復數，使得D、，方程無解10．如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點，則圖中陰影部分在正方體的六個面上的正投影(投射線垂直于投射面所得的平行投影)可能為下圖中的()。A、B、C、D、11．設、、是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題是真命題的有()。A、B、C、不與垂直D、12．如圖，在直角梯形中，，，且為的中點，、分別是、的中點，將三角形沿折起，則下列說法正確的是()。A、不論折至何位置(不在平面內)，都有平面B、不論折至何位置(不在平面內)，都有C、不論折至何位置(不在平面內)，都有D、在折起過程中，一定存在某個位置，使三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．計算。14．已知在正四面體中，是棱的中點，是點在底面內的射影，則異面直線與所成角的余弦值為。15．已知非零向量、滿足，，且與的夾角為，則的取值范圍是。16．如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發，繞圓錐爬行一周后回到點處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知、，對于任意，均有成立，試求實數的取值范圍。18．（本小題滿分12分）已知三個點，，。(1)求證：；(2)若四邊形為矩形，求點的坐標以及矩形兩對角線所夾銳角的余弦值。19．（12分）如圖，底面為菱形的直棱柱中，、分別為棱、的中點。(1)在圖中作一個平面，使得，且平面；(不必給出證明過程，只要求作出與直棱柱的截面。)(2)若，，求點到所作截面的距離。20．（本小題滿分12分）如圖，在以、、、、、為頂點的五面體中，平面平面，，，四邊形為平行四邊形，且。(1)求證：；(2)若，，，求此五面體的體積。21．（本小題滿分12分）如圖所示的空間幾何體中，平面平面，，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上。(1)求證：平面；(2)求多面體的體積。22．（本小題滿分12分）如圖所示，已知四棱錐，平面，底面是直角梯形，其中，，，為邊上的中點。(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求三棱錐的體積。參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．已知平面向量，，若存在實數，使得，則實數的值為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，則，解得或，又，∴，∴，故選D。2．下列說法中錯誤的是()。A、兩條平行線段在直觀圖中對應的兩條線段仍然平行B、平行于坐標軸的線段長度在直觀圖中仍然保持不變C、平行于坐標軸的線段在直觀圖中仍然平行于坐標軸D、斜二測坐標系取的角可能是【答案】B【解析】平行于軸的線段在直觀圖中變為原來的一半，故B錯誤，由斜二測畫法的基本要求可知A、C、D正確，故選B。3．在下列命題中，正確命題的個數為()。①兩個復數不能比較大小；②若是純虛數，則實數；③是虛數的一個充要條件是；④若、是兩個相等的實數，則是純虛數；⑤的一個充要條件是；⑥的充要條件是。A、B、C、D、【答案】B【解析】復數為實數時，可以比較大小，①錯，時，，②錯，為實數時，也有，③錯，時，，④錯，⑤⑥正確，故選B4．設、是兩個不同的平面，則的充要條件是()。A、平面內任意一條直線與平面垂直B、平面、都垂直于同一條直線C、平面、都垂直于同一平面D、平面內存在一條直線與平面垂直【答案】D【解析】若，則平面內存在直線與平面不垂直，選項A不正確；若平面、都垂直于同一條直線，則平面與平行，選項B不正確；若平面、都垂直于同一平面，則平面、可以平行，也可以相交，選項C不正確；若平面內存在一條直線與平面垂直，則根據面面垂直的判定定理，可知，若，則由面面垂直的性質定理知，平面內垂直于兩個平面的交線的直線一定垂直于平面，故選項D正確；故選D。5．如圖，在長方體中，用截面截下一個棱錐，則棱錐的體積與剩余部分的體積之比為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】設，，，則長方體的體積，又，且三棱錐的高為，∴，則剩余部分的幾何體體積，則，故選A。6．四面體中，，，，則四面體外接球的表面積為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】將四面體置于一個長方體中，∴四面體的外接球即為長方體的外接球，設長方體的長、寬、高分別為、、，則根據圖形可有，則外接球的直徑，∴，則球的表面積為，故選C。7．下面圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖。其陰離子排列如圖2所示，圖2中圓的半徑均為，且相鄰的圓都相切，、、、是其中四個圓的圓心，則()。A、B、C、D、【答案】B【解析】如圖所示，建立以、為一組基底的基向量，其中且、的夾角為60°，∴，，∴，故選B。8．在長方體中，，，、分別為上底面的邊、的中點，過、的平面與底面交于、兩點，、分別在下底面的邊、上，，平面與棱交于點，則直線與側面所成角的正切值為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】延長和交于點，連接，∵平面，平面平面，∴，且，∵，∴，∴，∴，又，∴，∵∽，∴，且，∴，∵∽，∴，且，∴，又，∴，又直線與側面所成角為，則，故選A。二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．設為虛數單位，則下列命題錯誤的是()。A、，復數是純虛數B、在復平面內對應的點位于第三象限C、若復數，則存在復數，使得D、，方程無解【答案】ABD【解析】A選項，只有當時，復數是純虛數，錯，B選項，，對應的點位于第一象限，錯，C選項，若復數，則存在復數，使得，對，D選項，，方程成立，錯，故選ABD。10．如圖所示，在正方體中，、分別是、的中點，則圖中陰影部分在正方體的六個面上的正投影(投射線垂直于投射面所得的平行投影)可能為下圖中的()。A、B、C、D、【答案】AC【解析】A選項為在上的投影，C選項為在上的投影。11．設、、是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題是真命題的有()。A、B、C、不與垂直D、【答案】BD【解析】A選項，平面向量的數量積不滿足結合律，故A假，B選項，由向量的減法運算可知、、恰為一個三角形的三條邊長，由“兩邊之差小于第三邊”，故B真，C選項，∵，∴與垂直，故C假，D選項，，成立，故D真，故選BD。12．如圖，在直角梯形中，，，且為的中點，、分別是、的中點，將三角形沿折起，則下列說法正確的是()。A、不論折至何位置(不在平面內)，都有平面B、不論折至何位置(不在平面內)，都有C、不論折至何位置(不在平面內)，都有D、在折起過程中，一定存在某個位置，使【答案】ABD【解析】由已知，在未折疊的原梯形中，，，∴四邊形為平行四邊形，∴，折疊后如圖所示，A選項，過點作，交于點，連接，∵、分別是、的中點，∴點為的中點，故，又，，∴平面平面，故平面，對，B選項，由已知，，，∴，，又，∴平面，又平面，∴，對，C選項，假設，則與確定平面，從而平面，平面，與和是異面直線矛盾，錯，D選項，當時，，∵，，，∴平面，平面，∴，對，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．計算。【答案】【解析】原式。14．已知在正四面體中，是棱的中點，是點在底面內的射影，則異面直線與所成角的余弦值為。【答案】【解析】設正四面體的棱長為，則，高，設點在底面內的射影是，則，∴即為所求異面直線與所成角，則。15．已知非零向量、滿足，，且與的夾角為，則的取值范圍是。【答案】【解析】令，則，與的夾角為，∴，又，∴，∴的取值范圍是。16．如圖所示，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長為，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點出發，繞圓錐爬行一周后回到點處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個圓錐的體積為。【答案】【解析】作出該圓錐的側面展開圖，如圖所示：該小蟲爬行的最短路程為，由余弦定理可得，∴，設底面圓的半徑為，則有，解得，∴這個圓錐的高為，這個圓錐的體積為。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知、，對于任意，均有成立，試求實數的取值范圍。【解析】∵，∴，2分∴對恒成立，4分當，即時，不等式恒成立，6分當時，，9分綜上，。10分18．（本小題滿分12分）已知三個點，，。(1)求證：；(2)若四邊形為矩形，求點的坐標以及矩形兩對角線所夾銳角的余弦值。【解析】(1)證明：∵，，，∴，，2分∵，∴，即；4分(2)解：∵，四邊形為矩形，∴，5分設點坐標為，則，6分∴，解得，∴點坐標為，7分從而，，且，，，9分設與的夾角為，則，11分∴矩形的兩條對角線所夾銳角的余弦值為。12分19．（12分）如圖，底面為菱形的直棱柱中，、分別為棱、的中點。(1)在圖中作一個平面，使得，且平面；(不必給出證明過程，只要求作出與直棱柱的截面。)(2)若，，求點到所作截面的距離。【解析】(1)如圖，取、的中點、，連接、、，則平面即為所求平面；6分(2)設點到平面的距離為，由等體積法得：，又，8分∵，又，∴，10分又由得：，∴。12分20．（本小題滿分12分）如圖，在以、、、、、為頂點的五面體中，平面平面，，，四邊形為平行四邊形，且。(1)求證：；(2)若，，，求此五面體的體積。【解析】(1)過作交于，連接，由平面平面，平面平面，得平面，∴，2分∵，，，∴≌，∴，由已知得為等腰直角三角形，∴，4分又，，平面，∴平面，；6分(2)取中點，連接、，由(1)可知，，又，∴四邊形為平行四邊形，棱柱為斜棱柱且為此斜棱柱的直截面，在四棱錐中，由(1)知，，又平面平面，∴平面，∴。12分21．（本小題滿分12分）如圖所示的空間幾何體中，平面平面，，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上。(1)求證：平面；(2)求多面體的體積。【解析】(1)證明：由題意知，、都是邊長為的等邊三角形，取中點，連接、，則，，∵平面平面，∴平面，2分作平面，則，根據題意點落在上，∴，易求得，∴四邊形是平行四邊形，，4分∵平面，平面，∴平面；5分(2)解：∵平面平面，，∴平面，又∵，∴平面，7分∴三棱錐體積，9分又三棱錐體積，11分∴多面體體積為。12分22．（本小題滿分12分）如圖所示，已知四棱錐，平面，底面是直角梯形，其中，，，為邊上的中點。(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求三棱錐的體積。【解析】(1)如圖，取的中點，連接、，∵為中點，∴，且，∵，，∴且，∴四邊形是平行四邊形，2分∴，又平面，平面，∴平面；4分(2)在直角梯形中，，∴，∴，即，6分又平面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面；8分(3)∵為邊上的中點，平面，∴，10分∵，，∴。12分人教版高一年級下學期期中考試數學試卷（二）（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版第二冊：第六章平面向量及其應用、第七章復數、第八章立體幾何初步一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．復數在復平面內對應的點位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2．若復數(為虛數單位)，則()。A、B、C、D、3．已知向量，，且與平行，則()。A、B、C、D、4．已知、、是三條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下面說法中正確的是()。A、若，，且，，則B、若，，且，則C、若且，則D、若，，且，，則5．如圖所示，已知一圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為，其中在上底面上，在下底面上，從的中點處拉一條繩子，繞圓臺的側面轉一周達到點，則這條繩子的長度最短為()。A、B、C、D、6．已知中，，，，為所在平面內一點，且滿足，則的值為()。A、B、C、D、7．平行四邊形中，，且，沿將四邊形折起成平面平面，則三棱錐外接球的表面積為()。A、B、C、D、8．如圖所示，三棱錐中，、、、、，是的中點，，則三棱錐的體積為()。A、B、C、D、二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．下列說法中錯誤的是()。A、若、、，則B、若且，則C、若、非零向量且，則D、若，則有且只有一個實數，使得10．下列四個命題中是真命題的是()。A、若復數滿足，則B、若復數滿足，則C、若復數滿足，則D、若復數、滿足，則11．已知四面體是球的內接四面體，且是球的一條直徑，，，則下面結論正確的是()。A、球的表面積為B、上存在一點，使得C、若為的中點，則D、四面體體積的最大值為12．如圖所示，正方體的棱長為，、分別是棱、的中點，過直線、的平面分別與棱、交于、，設，，則下列命題中正確的是()。A、平面平面B、當且僅當時，四邊形的面積最小C、四邊形周長是單調函數D、四棱錐的體積為常函數三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設是虛數單位，若復數()是純虛數，則。14．古希臘數學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數學發現。如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是，現在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為。15．已知在邊長為的正三角形中，、分別為邊、上的動點，且，則的最大值為。16．連接正方體相鄰各面的中心(中心是指正方形的兩條對角線的交點)后所得到了一個幾何體，設正方體的棱長為，則該幾何體的表面積為，該幾何體的體積為。(本題第一空2分，第二空3分)四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知復數、滿足、，且，求與的值。18．（本小題滿分12分）設向量、滿足，且。(1)求與夾角的大小；(2)求與夾角的大小；(3)求的值。19．（本小題滿分12分）正四棱臺兩底面邊長分別為和。(1)若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，求棱臺的側面積；(2)若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高。20．（本小題滿分12分）在四棱錐中，平面，且底面為邊長為的菱形，，。(1)證明：平面平面；(2)在圖中作出點在平面內的正投影(說明作法及其理由)，并求四面體的體積。21．（本小題滿分12分）如圖，多面體是由三棱柱截去一部分而成，是的中點。(1)若，平面，，求點到平面的距離；(2)若為的中點，在上，且，問為何值時，直線平面？22．（本小題滿分12分）如圖所示，是圓的直徑，點是圓上異于、的點，垂直于圓所在的平面，且。(1)若為線段的中點，求證：平面；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)若，點在線段上，求的最小值。參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．復數在復平面內對應的點位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】B【解析】，在復平面對應的點的坐標為，位于第二象限，故選B。2．若復數(為虛數單位)，則()。A、B、C、D、【答案】A【解析】，∴，故選A。3．已知向量，，且與平行，則()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵、，且與平行，∴，解得，故選A。4．已知、、是三條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下面說法中正確的是()。A、若，，且，，則B、若，，且，則C、若且，則D、若，，且，，則【答案】D【解析】A選項錯，∵、兩條直線的位置關系不確定，∴只有、相交時才能得到，B選項錯，如圖所示，把看作，看作，平面看作，平面看作，此時，C選項錯，若且，則或在內，D選項對，∵，，∴，若，，則，故選D。5．如圖所示，已知一圓臺上底面半徑為，下底面半徑為，母線長為，其中在上底面上，在下底面上，從的中點處拉一條繩子，繞圓臺的側面轉一周達到點，則這條繩子的長度最短為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】畫圖，則設，圓心角為，則，，解得，，則，，，故選C。6．已知中，，，，為所在平面內一點，且滿足，則的值為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，故選B。7．平行四邊形中，，且，沿將四邊形折起成平面平面，則三棱錐外接球的表面積為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】將平面平面，又∵平面平面，平面，，∴平面，∵四邊形為平行四邊形，∴，同理平面，∴、均為，設中點為，連、，則，為三棱錐外接球半徑，則，，則，故三棱錐外接球的表面積為，故選C。8．如圖所示，三棱錐中，、、、、，是的中點，，則三棱錐的體積為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由、、可知，∴為直角三角形，∴，由、、可知，∴為直角三角形，∴，又，平面，平面，∴平面，由是的中點得，，∵，∴為直角三角形，，∴，又，，∴，即為直角三角形，，∴，∴，故選D。二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．下列說法中錯誤的是()。A、若、、，則B、若且，則C、若、非零向量且，則D、若，則有且只有一個實數，使得【答案】ABD【解析】A選項，當、中至少有一個時，與可能不平行，錯，B選項，由且，可得或，錯，C選項，，則兩邊平方化簡可得，∴，對，D選項，根據向量共線基本定理可知當為零向量時不成立，錯，故選ABD。10．下列四個命題中是真命題的是()。A、若復數滿足，則B、若復數滿足，則C、若復數滿足，則D、若復數、滿足，則【答案】BC【解析】A選項，，，，則A是假命題，具體做：設()，則，則或，當、時為純虛數，當、時為純實數，B選項，一個數的平方小于，則這個數一定是虛數，而且還是純虛數，則B是假命題，具體做：設()，則，則且，則時可取，則時不可取，則，，，為純虛數，C選項，，則，又恒成立，∴，∴，則C是真命題，具體做：設()，則，則且，則，D選項，、，，，則D是假命題，具體做：設()，()，則，則，解有很多種可能，當且時符合條件，此時、，、，不一定成立，故選BC。11．已知四面體是球的內接四面體，且是球的一條直徑，，，則下面結論正確的是()。A、球的表面積為B、上存在一點，使得C、若為的中點，則D、四面體體積的最大值為【答案】ACD【解析】∵是球的一條直徑，∴，，∴，球的半徑為，球的表面積為，A正確，∵與平面相交，上找不到一點，使得，B錯誤，連接、，∵，為的中點，∴，C正確，易知點到平面的距離的最大值為球的半徑，∴四面體體積的最大值為：，D正確，故選ACD。12．如圖所示，正方體的棱長為，、分別是棱、的中點，過直線、的平面分別與棱、交于、，設，，則下列命題中正確的是()。A、平面平面B、當且僅當時，四邊形的面積最小C、四邊形周長是單調函數D、四棱錐的體積為常函數【答案】ABD【解析】A選項，∵，，，∴，∴平面，又∵平面，∴平面平面，A對，B選項，∵四邊形為菱形，∴，又，要使四邊形的面積最小，只需最小，則當且僅當時，四邊形的面積最小，B對，C選項，∵，，∴在上不是單調函數，C錯，D選項，，，點到平面的距離為，，又，點到平面的距離為，，∴為常函數，D對，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設是虛數單位，若復數()是純虛數，則。【答案】【解析】，∵復數()是純虛數，∴，且，∴。14．古希臘數學家阿基米德是世界上公認的三位最偉大的數學家之一，其墓碑上刻著他認為最滿意的一個數學發現。如圖，一個“圓柱容球”的幾何圖形，即圓柱容器里放了一個球，該球頂天立地，四周碰邊，在該圖中，球的體積是圓柱體積的，并且球的表面積也是圓柱表面積的，若圓柱的表面積是，現在向圓柱和球的縫隙里注水，則最多可以注入的水的體積為。【答案】【解析】設球的半徑為，則由題意可得球的表面積為，∴，∴圓柱的底面半徑為，高為，∴最多可以注入的水的體積為。15．已知在邊長為的正三角形中，、分別為邊、上的動點，且，則的最大值為。【答案】【解析】如圖建系，則、、，則，，設()，則()，則，，∴，，∴，當時取最大值。16．連接正方體相鄰各面的中心(中心是指正方形的兩條對角線的交點)后所得到了一個幾何體，設正方體的棱長為，則該幾何體的表面積為，該幾何體的體積為。(本題第一空2分，第二空3分)【答案】【解析】這正八面體每個面是全等的正三角形，，，∵，，，∴。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）已知復數、滿足、，且，求與的值。【解析】設復數、在復平面上對應的點為、，由于，2分故，4分故以、為鄰邊的平行四邊形是矩形，從而，7分則，。10分18．（本小題滿分12分）設向量、滿足，且。(1)求與夾角的大小；(2)求與夾角的大小；(3)求的值。【解析】(1)設與的夾角為，，又，∴，∴，即，又，∴與的夾角為；4分(2)設與的夾角為，∵，又，，∴，又，∴與的夾角為；8分(3)，，∴。12分19．（本小題滿分12分）正四棱臺兩底面邊長分別為和。(1)若側棱所在直線與上、下底面正方形中心的連線所成的角為，求棱臺的側面積；(2)若棱臺的側面積等于兩底面面積之和，求它的高。【解析】(1)如圖，設、分別為上、下底面的中心，過作于，過作于，連接，則為正四棱臺的斜高，2分由題意知，，4分又，∴斜高，6分∴；7分(2)由題意知，，∴，9分∴，又，。12分20．（本小題滿分12分）在四棱錐中，平面，且底面為邊長為的菱形，，。(1)證明：平面平面；(2)在圖中作出點在平面內的正投影(說明作法及其理由)，并求四面體的體積。【解析】(1)∵平面，平面，∴，1分在菱形中，，且，∴平面，2分又∵平面，∴平面平面；4分(2)取的中點，連接、，易得是等邊三角形，∴，又∵平面，∴，5分又，∴平面，在平面中，過作于，則，7分又，∴平面，則是點在平面內的正投影，9分經計算得，在中，，，10分，，11分∴。12分21．（本小題滿分12分）如圖，多面體是由三棱柱截去一部分而成，是的中點。(1)若，平面，，求點到平面的距離；(2)若為的中點，在上，且，問為何值時，直線平面？【解析】(1)∵多面體是由三棱柱截去一部分而成，是的中點，平面，，1分∴平面，則，2分又∵，∴，又∵，∴，3分可得，即，4分又，∴平面，∴點到平面的距離；5分(2)當時，直線平面，證明如下：設，則，取的中點，連接，可得，6分∵是梯形的中位線，∴，8分∴當時，四邊形為平行四邊形，即，10分∵平面，∴直線平面，此時。12分22．（本小題滿分12分）如圖所示，是圓的直徑，點是圓上異于、的點，垂直于圓所在的平面，且。(1)若為線段的中點，求證：平面；(2)求三棱錐體積的最大值；(3)若，點在線段上，求的最小值。【解析】(1)證明：在中，∵，為的中點，∴，1分又垂直于圓所在的平面，∴，∵，∴平面；3分(2)∵點是圓上，∴當時，到的距離最大，且最大值為半徑，又，∴的面積的最大值為，5分又∵三棱錐的高，故三棱錐體積的最大值為；6分(3)在中，，，∴，同理，∴，8分在三棱錐中，將側面繞旋轉至平面，使之與平面共面，如圖，當、、共線時，取得最小值，10分又∵，，∴垂直平分，即為中點，從而，亦即的最小值為。12分人教版高一年級下學期期中考試數學試卷（三）（本卷滿分150分，考試時間120分鐘）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測試范圍：人教A版第二冊：第六章平面向量及其應用、第七章復數、第八章立體幾何初步一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．設復數滿足，則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2．設是虛數單位，若復數，則的共軛復數為()。A、B、C、D、3．在中，，點滿足，若，則的值為()。A、B、C、D、4．如圖所示，在多面體中，已知四邊形是邊長為的正方形，且、均為正三角形，，，則該多面體的體積為()。A、B、C、D、5．已知正四棱柱中，，，為的中點，則直線與平面的距離為()。A、B、C、D、6．已知正三角形的邊長為，是邊的中點，將三角形沿翻折，使，若三角錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為()。A、B、C、D、7．半徑為的圓上有三點、、滿足，點是圓內一點，則的取值范圍為()。A、B、C、D、8．如圖為一個正方體與一個半球構成的組合體，半球的底面圓與正方體的上底面的四邊相切，球心與正方形的中心重合，將此組合體重新置于一個球中(球未畫出)，使正方體的下底面的頂點均落在球的表面上，半球與球內切，設切點為，若四棱錐的表面積為，則球的表面積為()。A、B、C、D、二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．若復數滿足，則關于復數的說法正確的是()。A、復數的實部為B、復數的虛部為C、復數的模長為D、復數對應的復平面上的點在第一象限10．兩平行平面截半徑為的球，若截面面積分別為和，則這兩個平面間的距離是()。A、B、C、D、11．已知、、為三條不同的直線，且平面，平面，，則下列命題中錯誤的是()。A、若與是異面直線，則至少與、中的一條相交B、若不垂直于，則與一定不垂直C、若，則必有D、若、，則必有12．已知、是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結論正確的是()。A、、的夾角是B、、的夾角是C、D、三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設為虛數單位，已知復數滿足，則復數的虛部為。14．如圖所示，為平行四邊形所在平面外一點，為的中點，為上一點，若平面，則。15．在中，，，若與線段交于點，且，，則的最大值為。16．如圖所示，長方體的底面是正方形，其側面展開圖是邊長為的正方形，、分別是側棱、上的動點，，點在棱上，且，若平面，則。四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（本小題滿分10分）設方程的根分別為、，且，求實數的值。18．（本小題滿分12分）若、、是同一平面內的三個向量，其中。(1)若，且，求的坐標；(2)若且與垂直，求與的夾角。19．（本小題滿分12分）如圖，矩形中，，。、分別在線段和上，，將矩形沿折起。記折起后的矩形為，且平面平面。(1)求證：平面；(2)若，求證：；(3)求四面體體積的最大值。20．（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，為線段上的點，且，。(1)求證：平面；(2)若，求點到平面的距離。21．（本小題滿分12分）如圖1，在三棱錐中，平面，，為側棱上一點，它的正(主)視圖和側(左)視圖如圖2所示。(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積；(3)在的平分線上確定一點，使得平面，并求此時的長。22．（本小題滿分12分）如圖，正方形與直角梯形所在平面相互垂直，，，。(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離。參考答案一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1．設復數滿足，則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】A【解析】由得，∴，∴在復平面內對應的點的坐標為，位于第一象限，故選A。2．設是虛數單位，若復數，則的共軛復數為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】復數，根據共軛復數的概念得到的共軛復數為：，故選A。3．在中，，點滿足，若，則的值為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】取的中點為，連接，則，∴，設，則，解得，∴是等邊三角形，∴，故選C。4．如圖所示，在多面體中，已知四邊形是邊長為的正方形，且、均為正三角形，，，則該多面體的體積為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】將幾何體割成一個三棱柱和兩個相同的三棱錐，在梯形中易知，∴，則該幾何體體積為，故選A。5．已知正四棱柱中，，，為的中點，則直線與平面的距離為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】連接交于，連結，由題意得，∴平面，直線到平面的距離等于點到平面的距離，也等于點到平面的距離，作于，，，則為中點，為所求，故選A。6．已知正三角形的邊長為，是邊的中點，將三角形沿翻折，使，若三角錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】正如圖，將三角形沿翻折后，注意以為底面，形成三角錐，則平面，∵，，∴，三角錐的外接球球心一定在經過底面的外心且垂直于底面的垂線上，設球心為，外心為，中點為，外接球半徑為，由底面可知，做剖面，則，過做，垂足為，則為中點，，在中，，則，故選A。7．半徑為的圓上有三點、、滿足，點是圓內一點，則的取值范圍為()。A、B、C、D、【答案】A【解析】如圖，與交于點，由得：四邊形是菱形，且，則，，由圖知，，而，∴，同理，，而，∴，∴，∵點是圓內一點，則，∴，故選A。8．如圖為一個正方體與一個半球構成的組合體，半球的底面圓與正方體的上底面的四邊相切，球心與正方形的中心重合，將此組合體重新置于一個球中(球未畫出)，使正方體的下底面的頂點均落在球的表面上，半球與球內切，設切點為，若四棱錐的表面積為，則球的表面積為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】設球、半球的半徑分別為、，則由正方體與半球的位置關系易知正方體的棱長為，設正方體的下底面的中心為，連接，則四棱錐的高，易知該四棱錐為正四棱錐，則其斜高為，由題意得，得，根據幾何體的對稱性知球的球心在線段上，連接、，在中，，，，則，解得，∴球的表面積，故選B。二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9．若復數滿足，則關于復數的說法正確的是()。A、復數的實部為B、復數的虛部為C、復數的模長為D、復數對應的復平面上的點在第一象限【答案】ABC【解析】設()，則，化簡得，根據對應相等得：，解得，，∴，，復數對應的復平面上的點在實軸上，故選ABC。10．兩平行平面截半徑為的球，若截面面積分別為和，則這兩個平面間的距離是()。A、B、C、D、【答案】AD【解析】如圖(1)所示，若兩個平行平面在球心同側，則，如圖(2)所示，若兩個平行截面在球心兩側，則，故選AD。11．已知、、為三條不同的直線，且平面，平面，，則下列命題中錯誤的是()。A、若與是異面直線，則至少與、中的一條相交B、若不垂直于，則與一定不垂直C、若，則必有D、若、，則必有【答案】BD【解析】A選項，若與是異面直線，則至少與、中的一條相交，對，B選項，時，若，則，此時不論，是否垂直，均有，錯，C選項，當時，則，由線面平行的性質定理可得，對，D選項，若，則，時，與平面不一定垂直，此時平面與平面也不一定垂直，錯，故選BD。12．已知、是兩個單位向量，時，的最小值為，則下列結論正確的是()。A、、的夾角是B、、的夾角是C、D、【答案】ABD【解析】由題可知，，∵、是兩個單位向量，且的最小值為，∴的最小值為，則，解得，∴與的夾角為或，∴或，∴或，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13．設為虛數單位，已知復數滿足，則復數的虛部為。【答案】【解析】由得，故復數的虛部為。14．如圖所示，為平行四邊形所在平面外一點，為的中點，為上一點，若平面，則。【答案】【解析】連接交于點，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，∴。15．在中，，，若與線段交于點，且，，則的最大值為。【答案】D【解析】∵線段與線段交于點，設()，則，即，又∵、、三點共線，則，即，∵，∴當為中點時最小，此時最大，又，故此時，∴，即，即的最大值為，故選D。16．如圖所示，長方體的底面是正方形，其側面展開圖是邊長為的正方形，、分別是側棱、上的動點，，點在棱上，且，若平面，則。【答案】【解析】如圖，連接交于，連接，∵平面，平