人教版高中數學必修二導學案全套

人教版高中數學必修二導學案全套6.1平面向量的概念【學習目標】素養目標學科素養1.了解平面向量的實際背景，理解平面向量的相關概念;2.掌握向量的表示方法，理解向量的模的概念;3.理解兩個向量相等的含義以及共線向量的概念1.數學抽象;2.邏輯推理【自主學習】一、向量的概念和表示方法1．向量：在數學中，我們把既有又有的量叫做向量．2．向量的表示(1)表示工具——有向線段．有向線段包含三個要素：，，．(2)表示方法：向量可以用表示，向量的大小稱為向量的(或稱模)，記作.向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向線段的起點和終點字母表示，如：，.思考（1）有向線段就是向量，向量就是有向線段嗎？（2）兩個向量可以比較大小嗎？同方向的兩個向量可以比較大小嗎？（3）兩個向量的長度可以比較大小嗎？二、向量的模及兩個特殊向量(1)向量的模(長度)：向量的大小，稱為向量的______(或稱模)，記作______．(2)零向量：長度為______的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于__________________的向量．思考（1）零向量的方向是什么？（2）兩個單位向量方向相同嗎？三、相等向量與共線向量1.且的向量叫做相等向量．向量a與b相等，記作a＝b.2.方向的非零向量叫做平行向量，如果向量a，b平行，記作a∥b.任一組向量都可以平移到同一條直線上，因此，平行向量也叫做．3.規定：零向量與任一向量平行，即對于任意向量a，都有0∥a.【小試牛刀】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同.()(2)向量就是有向線段．()(3)兩個向量平行時，表示向量的有向線段一定在同一條直線上．()(4)兩個向量平行時，表示向量的有向線段所在的直線一定平行．()(5)零向量是最小的向量．()(6)任意兩個單位向量都相等.()2.下列物理量：①質量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度.其中是向量的有。【經典例題】題型一向量的概念點撥：1.判斷一個量是否為向量的兩個關鍵條件：①大小；②方向．2.理解零向量和單位向量應注意的問題：①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；②單位向量不一定相等，易忽略向量的方向；但是單位向量長度相等。例1下列說法中正確的是()A.數量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C．向量的大小與方向有關D．向量的模可以比較大小【跟蹤訓練】1給出下列說法：①零向量是沒有方向的；②零向量的長度為0；③零向量的方向是任意的；④單位向量的模都相等，其中正確的是________(填上序號)．題型二向量的表示及應用點撥：用有向線段表示向量的步驟定起點：先確定向量的起點；定方向：再確定向量的方向；定終點：根據向量的長度確定向量的終點。例2在如圖所示的坐標紙上(每個小方格的邊長為1)，用直尺和圓規畫出下列向量：(1)，使||＝4eq\r(2)，點A在點O北偏東45°方向上；(2)，使||＝4，點B在點A正東方向上；(3)，使||＝6，點C在點B北偏東30°方向上．【跟蹤訓練】2一輛汽車從A點出發向西行駛了100千米到達B點，然后又改變了方向向北偏西40°走了200千米到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100千米到達D點．(1)作出向量，，；(2)求||.題型三相等向量與共線向量點撥：尋找相等向量的方法：先找長度相等的向量，再確定哪些是同向的共線向量。尋找共線向量的方法：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向或反向的向量，注意不要漏掉以已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量。例3（課本P4例2）如圖所示，設O是正六邊形ABCDEF的中心。寫出圖中的共線向量；分別寫出圖中與,,相等的向量。【跟蹤訓練】3在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AD、BC的中點，如圖．(1)寫出與向量共線的向量．(2)求證：＝.【當堂達標】1.下列說法正確的是()A．若a與b平行，b與c平行，則a與c一定平行B．終點相同的兩個向量不共線C．若|a|>|b|，則a>bD．單位向量的長度為12.已知A，B，C是不共線的三點，向量m與向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，與eq\o(BC,\s\up6(→))是共線向量，則m＝________．3.如果在一個邊長為5的正△ABC中，一個向量所對應的有向線段為eq\o(AD,\s\up6(→))(其中D在邊BC上運動)，則向量eq\o(AD,\s\up6(→))長度的最小值為________．4.如圖是3×4的格點圖(每個小方格都是單位正方形)，若起點和終點都在方格的頂點處，則與平行且模為eq\r(,2)的向量共有個.5.如圖所示，△ABC中三邊長均不相等，E，F，D分別是AC，AB，BC的中點．（1）寫出與共線的向量；（2）寫出與長度相等的向量；（3）寫出與相等的向量。【課堂小結】向量是既有大小又有方向的量，借助于向量，我們將代數問題和幾何問題互化．2．共線向量與平行向量是一組等價的概念．兩個共線向量不一定要在一條直線上．當然，同一直線上的向量也是平行向量．3．注意兩個特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行．【參考答案】【自主學習】一、大小方向起點方向長度有向線段長度||思考：（1）有向線段只是一個幾何圖形，是向量的直觀表示．因此，有向線段與向量是完全不同的兩個概念．（2）因為向量既有大小，又有方向，所以不能比較大小；同方向的向量也不能比較大小。（3）可以。二、長度||01個單位長度思考：（1）零向量方向是任意的。（2）兩個單位向量的方向不一定相同。三、長度相等方向相同相同或相反平行共線向量【小試牛刀】1.×××√××2.②③④⑤【經典例題】例1D解析：(1)不管向量的方向如何，它們都不能比較大小，故A，B不正確；向量的大小即為向量的模，指的是有向線段的長度，與方向無關，故C不正確；向量的模是一個數量，可以比較大小．故D正確．【跟蹤訓練】1②③④解析：由零向量的方向是任意的，知①錯誤，③正確；由零向量的定義知②正確；由單位向量的模是1，知④正確．例2【解】(1)由于點A在點O北偏東45°方向上，又||＝4eq\r(2)，小方格的邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數與縱向小方格數都為4，于是確定點A的位置，畫出向量．(2)由于點B在點A正東方向上，且||＝4，所以在坐標紙上點B距點A的橫向小方格數為4，縱向小方格數為0，于是點B的位置可以確定，畫出向量，如圖所示．(3)由于點C在點B北偏東30°方向上，且||＝6，依據勾股定理可得，在坐標紙上點C距點B的橫向小方格數為3，縱向小方格數為3eq\r(3)≈5.2，畫出向量．【跟蹤訓練】2例3【跟蹤訓練】3【當堂達標】1.D解析：A中，因為零向量與任意向量平行，若b＝0，則a與c不一定平行．B中，兩向量終點相同，若夾角是0°或180°，則共線．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比較大小．2.0解析：因為A，B，C不共線，所以eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))不共線．又m與eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))都共線，所以m＝0.3.eq\f(5\r(3),2)解析：根據題意，在正△ABC中，有向線段AD的長度最小時，AD應與邊BC垂直，有向線段AD長度的最小值為正△ABC的高，為eq\f(5\r(3),2).4.245.6.2.1向量的加法運算【學習目標】素養目標學科素養1.理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義。（重點）2.掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會用它們解決實際問題。（重點）3.掌握向量加法的交換律和結合律，會用它們進行計算。（難點）1.數學運算;2.直觀想象【自主學習】向量加法的定義及其運算法則1.定義：求的運算，叫做向量的加法．兩個向量的和仍然是向量。2.三角形法則已知非零向量a、b，在平面內任取一點A，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)).這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則，運用三角形法則的關鍵是首尾相連，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，這里的B點具有任意性。3.平行四邊形法則以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作?OACB，則eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和．我們把這種作向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.運用平行四邊形法則的關鍵是共起點，當兩個向量共線時，不能用平行四邊形法則。4.對于零向量與任意向量a，我們規定：a＋0＝0＋a＝a.二．|a＋b|與|a|，|b|之間的關系(1)對于任意向量a，b，都有≤|a＋b|≤；(2)當a，b共線，且同向時，有|a＋b|＝____；(3)當a，b共線，且反向時，有|a＋b|＝或__．點撥：根據向量加法的三角形法則以及“三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”，可以得出上述結論．三．向量加法的運算律①交換律：a＋b＝b＋a；②結合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．【小試牛刀】思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)任意兩個向量的和仍然是一個向量．()(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加．()(3)對于任意兩個向量，都可利用平行四邊形法則求出它們的和向量．()(4)若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則A，B，C為一個三角形三個頂點．()(5)對于任意的點A，B，C，D，都有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.()(6)如果a，b是共線的非零向量，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同．()【經典例題】題型一向量加法的三角形法則和平行四邊形法則點撥：(1)當兩個不共線向量求和時，三角形法則和平行四邊形法則都可以用．（2）利用向量的三角形法則求a＋b，務必使它們的“首尾順次連接”；利用平行四邊形法則求a＋b，務必使它們的起點重合.（3）多個向量求和時，可先求兩個向量的和，再和其他向量求和．例1如圖(1),(2),(3)，已知向量a，b，分別求作向量a＋b.【跟蹤訓練】1如圖所示，已知向量a、b、c，試作出向量a＋b＋c.分析：本題是求作三個向量的和向量的問題，首先應作出兩個向量的和，由于這兩個向量的和仍為一個向量，然后再作出這個向量與另一個向量的和，方法是多次使用三角形法則或平行四邊形法則．題型二向量的加法運算律的應用點撥：運用向量加法的交換律和結合律，將向量轉化為“首尾相接”，向量的和即為第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量，加快解題速度.例2A,B,C,D,E,F為平面上的任意點，化簡下列各式：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→)).【跟蹤訓練】2如圖，E，F，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))；(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→)).題型三向量加法的應用點撥：向量加法的實際應用中，要注意如下：（1）準確畫出幾何圖形，將幾何圖形中的邊轉化為向量；（2）將所求問題轉化為向量的加法運算，進而利用向量加法的幾何意義進行求解;（3）將向量問題還原為實際問題.例3長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸．如圖所示，一艘船從長江南岸A點出發，以5eq\r(3)km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東5km/h.(1)試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度；(2)求船實際航行的速度的大小與方向(用與江水速度方向間的夾角表示)．【跟蹤訓練】3輪船從A港沿東偏北30°方向行駛了40km到達B處，再由B處沿正北方向行駛40km到達C處，求此時輪船與A港的相對位置．【當堂達標】1．化簡eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))的結果等于()A.eq\o(QP,\s\up6(→)) B.eq\o(OQ,\s\up6(→))C.eq\o(SP,\s\up6(→)) D.eq\o(SQ,\s\up6(→))2.如圖，在?ABCD中，點E是AB的中點，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則eq\o(EC,\s\up6(→))＝()A．a＋eq\f(1,2)b B.eq\f(1,2)a＋bC．a－eq\f(1,2)b D.eq\f(1,2)a－b3．在?ABCD中，若|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|，則四邊形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定4.若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，則()A．a，b同向共線B．a，b反向共線C．a，b同向共線且|b|>|a|D．a，b反向共線且|b|>|a|5．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，則|a＋b|的最大值為______．6.某人在靜水中游泳，速度為4eq\r(3)千米/小時，他在水流速度為4千米/小時的河中游泳．他必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向前進？實際前進的速度大小為多少？【課堂小結】1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法．當兩個向量首尾相連時常選用三角形法則，當兩個向量共始點時，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行．3．向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則，即把每個向量平移，使這些向量首尾相連，則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量就是這些向量的和向量．【參考答案】【自主學習】兩個向量和二．||a|－|b|||a|＋|b||a|＋|b||b|－|a||a|－|b|【小試牛刀】(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)×【經典例題】例1解：(1)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如圖(1)．(2)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如圖(2)．(3)作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如圖(3)．【跟蹤訓練】1作法1：如圖1所示，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，接著作向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b；然后作向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up6(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．作法2：如圖2所示，首先在平面內任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，以OA、OB為鄰邊作□OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b.再以OD、OC為鄰邊作□ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝a＋b＋c即為所求．例2[解析](1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.(2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＝0.【跟蹤訓練】2解：(1)eq\o(DG,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(GC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(GE,\s\up6(→)).(2)eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\o(EG,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(ED,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝0.例3[解](1)如圖所示，eq\o(AD,\s\up6(→))表示船速，eq\o(AB,\s\up6(→))表示江水速度．易知AD⊥AB，以AD，AB為鄰邊作矩形ABCD，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示船實際航行速度．(2)在Rt△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝5eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up12(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(BC,\s\up6(→))|2)))＝eq\r(52＋5\r(3)2)＝eq\r(100)＝10.因為tan∠CAB＝eq\f(|\o(BC,\s\up12(→))|,\o(\s\up5(),\s\do4(|\o(AB,\s\up6(→))|)))＝eq\r(3)，所以∠CAB＝60°.因此，船實際航行的速度大小為10km/h，方向與江水速度方向間的夾角為60°.【跟蹤訓練】3解：如圖所示，設eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別是輪船的兩次位移，則eq\o(AC,\s\up6(→))表示最終位移，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).在Rt△ABD中，|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20km，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3)km，在Rt△ACD中，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(|\o(AD,\s\up6(→))|2＋|\o(DC,\s\up6(→))|2))＝40eq\r(3)km，∠CAD＝60°，即此時輪船位于A港東偏北60°，且距離A港40eq\r(3)km處．【當堂達標】1.B解析：選B.eq\o(OP,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(PS,\s\up6(→))＋eq\o(SP,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))＋0＝eq\o(OQ,\s\up6(→)).2.B解析：由題意得eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b.故選B.3.B解析：∵|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BD,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，∴?ABCD是矩形．4.D解析:由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故選D．5.13解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值為13.6.解：如圖，設此人的實際速度為eq\o(OD,\s\up6(→))，水流速度為eq\o(OA,\s\up6(→))，游速為eq\o(OB,\s\up6(→))，則eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))，在Rt△AOD中，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4eq\r(3)，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝4，則|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，cos∠DAO＝eq\f(\r(3),3).故此人沿向量eq\o(OB,\s\up6(→))的方向游(即逆著水流且與河岸所成夾角的余弦值為eq\f(\r(3),3))，實際前進的速度大小為4eq\r(2)千米/小時．6.2.2向量的減法運算【學習目標】素養目標學科素養1.理解理解相反向量的概念。（重點）2.掌握向量減法的運算法則及其幾何意義。（重點）3.能用向量的加法和減法解決相關問題。（難點）1.數學運算;2.直觀想象【自主學習】一．相反向量定義如果兩個向量長度，而方向那么稱這兩個向量是相反向量性質對于相反向量有：a＋(－a)＝____若a、b互為相反向量，則a＝____，a＋b＝____零向量的相反向量仍是零向量推論－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；如果a與b互為相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．二.向量的減法定義a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的作法在平面內任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則向量a－b＝_____.如圖所示幾何意義如果把兩個向量a、b的起點放在一起，則a－b可以表示為從向量b的指向向量a的的向量思考：已知不共線的兩個向量a，b，a＋b與a－b的幾何意義分別是什么？三．|a－b|與|a|，|b|之間的關系(1)對于任意向量a，b，都有≤|a－b|≤；(2)當a，b共線，且同向時，有|a－b|＝或；(3)當a，b共線，且反向時，有|a－b|＝____．【小試牛刀】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)相反向量一定是共線向量．(√)(2)兩個相反向量之差等于0.()(3)向量的減法實質上是向量的加法的逆運算．()(4)兩個向量的差仍是一個向量．()2.設b是a的相反向量，則下列說法一定錯誤的是()A．a與b的長度相等 B．a∥bC．a與b一定不相等 D．a是b的相反向量【經典例題】題型一向量加減法法則的應用點撥：例1化簡(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))．【跟蹤訓練】1化簡：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))；(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))．題型二利用已知向量表示其他向量點撥：三個技巧(1)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形的三個向量之間的關系，確定已知向量與被表示向量的轉化渠道．(2)注意綜合應用向量加法、減法的幾何意義以及向量加法的結合律、交換律來分析解決問題．(3)注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則．例2如圖，O為平行四邊形ABCD內一點，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(OD,\s\up6(→))＝________．【跟蹤訓練】2如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，則eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.題型三向量減法的應用例3已知向量|a|＝2，|b|＝4，且a，b不是方向相反的向量，則|a－b|的取值范圍是________．【跟蹤訓練】3（1）已知O為四邊形ABCD所在平面外的一點，且向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))滿足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，則四邊形ABCD的形狀為。分析：注意向量a＋b，a－b的幾何意義．對于平行四邊形、菱形、矩形、正方形對角線具有的性質要熟悉并會應用．（2）在平行四邊形ABCD中，若|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，則必有()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(AB,\s\up6(→))＝0或eq\o(AD,\s\up6(→))＝0C．四邊形ABCD為矩形 D．四邊形ABCD為正方形【當堂達標】1．化簡eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))得()A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(DA,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．02．在□ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．eq\o(AB,\s\up6(→)) B．eq\o(BA,\s\up6(→))C．eq\o(CD,\s\up6(→)) D．eq\o(DB,\s\up6(→))3．(多選題)對于菱形ABCD，下列各式正確的是()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))B．|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|C．|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|D．|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))|4．如圖，已知ABCDEF是一正六邊形，O是它的中心，其中eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則eq\o(EF,\s\up6(→))等于________．5．已知eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝10，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝7，則|eq\o(CB,\s\up6(→))|的取值范圍為______．6．若O是△ABC所在平面內一點，且滿足|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))|，試判斷△ABC的形狀．【課堂小結】知識點：1.相反向量2.向量減法3．|a－b|與|a|，|b|之間的關系題型：1.向量加減法法則的應用2.利用已知向量表示其他向量3.向量減法的應用【參考答案】【自主學習】一．相等相反0－b0二．相反向量eq\o(BA,\s\up6(→))終點終點思考：如圖，以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對角線所對應的向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(DB,\s\up6(→))＝a－b，這一結論在以后的學習中應用非常廣泛．三．||a|－|b|||a|－|b||a|－|b||a|＋|b|【小試牛刀】1.(1)√(2)×(3)√(4)√2.C可能為零向量，此時C選項錯誤。【經典例題】例1[解析]方法一(統一成加法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝0.方法二(利用減法)(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→)))－(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝0.【跟蹤訓練】1解：(1)eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(ON,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→))＋eq\o(MP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→)).(2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))－(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DO,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))－(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.例2a－b＋c解析：因為eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，所以eq\o(OD,\s\up6(→))＝a－b＋c.【跟蹤訓練】2b－a＋c解析：∵四邊形ACDE為平行四邊形，∴eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝b－a.∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝b－a＋c.例3[2,6)解析：根據題意得||a|－|b||≤|a－b|＜|a|＋|b|，即2≤|a－b|＜6.【跟蹤訓練】3（1）平行四邊形[解析]∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)).∴|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|，且DA∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．（2）C解析：因為|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，即平行四邊形ABCD的對角線相等，所以平行四邊形ABCD為矩形．故選C.【當堂達標】1.D[解析]原式＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0.2.A[解析]eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，在□ABCD中，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→)).3.BCD解析菱形ABCD中，如圖，|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BC,\s\up7(→))|，∴B正確．又|eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(→))|，|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(→))|，∴C正確；又|eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))|＝|eq\o(DA,\s\up7(→))＋eq\o(DC,\s\up7(→))|＝|eq\o(DB,\s\up7(→))|，|eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CB,\s\up7(→))|＝|eq\o(BD,\s\up7(→))|＝|eq\o(DB,\s\up7(→))|，∴D正確；A肯定不正確，故選BCD．4.b－c解析：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝b－c.5.[3，17]解析：因為eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|.又eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|\o(AB,\s\up6(→))|－|\o(AC,\s\up6(→))|))≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|≤|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|，即3≤|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|≤17，所以3≤|eq\o(CB,\s\up6(→))|≤17.6.解：因為eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)).又|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))|，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長度相等，所以該平行四邊形為矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．6.2.3向量的數乘運算【學習目標】素養目標學科素養1.理解向量數乘的定義及幾何意義，掌握向量數乘的運算律。（重點）2.掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線。（重點）1.數學抽象;2.直觀想象；3.邏輯推理。【自主學習】一．向量的數乘運算1．向量的數乘運算的概念一般地，規定實數λ與向量a的積是一個，這種運算叫做向量的數乘，記作，它的長度與方向規定如下：(1)|λa|＝．(2)當λ＞0時，λa的方向與a的方向；當λ＜0時，λa的方向與a的方向；當λ＝0時，λa＝．注意：λ是實數，a是向量，它們的積λa仍然是向量．實數與向量可以相乘，但是不能相加減，如λ＋a，λ－a均沒有意義．2．向量數乘的運算律設λ，μ為實數，那么：(1)λ(μa)＝．(2)(λ＋μ)a＝．(3)λ(a＋b)＝．3．向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統稱為向量的．對于任意向量a，b，以及任意實數λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝．二．共線向量定理1.向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數λ，使．注意：(1)定理中，向量a為非零向量(2)要證明向量a，b共線，只需證明存在實數λ，使得b＝λa即可．(3)由定理知，若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線．又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．2.三點共線的性質定理若平面內三點A，B，C共線，O為不同于A，B，C的任意一點，設eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則存在實數λ，μ使得λ＋μ＝1.【小試牛刀】思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)實數λ與向量a的積還是向量．()(2)若ma＝mb，則a＝b.()(3)(m－n)a＝ma－na.()(4)若向量a和b不共線，且λa＝μb，則必有λ＝μ＝0.()(5)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線，則A，B，C，D四點共線．()【經典例題】題型一向量的的線性運算點撥：向量的線性運算類似于代數多項式的運算，實數運算中去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中也可以使用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數．例1計算(1)(－3)×4a；(2)3(a＋b)－2(a－b)－a；(3)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c).【跟蹤訓練】1（1）化簡eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝________．（2）若2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,3)a))－eq\f(1,2)(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c為已知向量，求未知向量x.題型二用已知向量表示其他向量(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．例2如圖，平行四邊形OADB中，向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，試用a，b表示eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→)).【跟蹤訓練】2如圖所示，已知在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，DE∥BC，DE交AC于點E，BC邊上的中線AM交DE于點N，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→)).題型三向量共線定理及其應用(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．(2)設eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，若存在實數λ，μ使得λ＋μ＝1，則A、B、C三點共線。例3設兩個非零向量a與b不共線，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求證：A、B、D三點共線；【跟蹤訓練】3(1)已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．（2）已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))，求x＋y的值．【當堂達標】1.已知λ、μ∈R，下面式子正確的是()A．λa與a同向 B．0·a＝0C．(λ＋μ)a＝λa＋μa D．若b＝λa，則|b|＝λ|a|2.在□ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3b，則eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．a＋b B．a－bC．2a＋3b D．2a－3b3.在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，則eq\o(PB,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))4.已知點P在線段AB上，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，設eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))，則實數λ＝________．5.化簡eq\f(2,5)(a－b)－eq\f(1,3)(2a＋4b)＋eq\f(2,15)(2a＋13b)＝________.6.如圖所示，在△ABC中，D，F分別是BC，AC的中點，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b.(1)用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))；(2)求證：B，E，F三點共線．【課堂小結】1.實數與向量可以進行數乘運算，但不能進行加減運算，例如λ＋a，λ－a是沒有意義的．2.若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合．例如，若eq\o(AB,\s\up10(→))＝λeq\o(AC,\s\up10(→))，則eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(AC,\s\up10(→))共線，又eq\o(AB,\s\up10(→))與eq\o(AC,\s\up10(→))有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．3.設eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，若存在實數λ，μ使得λ＋μ＝1，則A、B、C三點共線。【參考答案】【自主學習】一．1.向量λa|λ||a|相同相反02.(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.線性運算λμ1a±λμ2b二．b＝λa【小試牛刀】(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×【經典例題】例1解(1)原式＝(－3)×4)a＝－12a；(2)原式＝3a＋3b＋2a－b－a＝5b；(3)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c.【跟蹤訓練】1（1）0解析：原式＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝(eq\f(2,5)－eq\f(2,3)＋eq\f(4,15))a＋(－eq\f(2,5)－eq\f(4,3)＋eq\f(26,15))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.（2）解：因為2x－eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c＋eq\f(3,2)x＋b＝0，所以eq\f(7,2)x－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c＝0，所以eq\f(7,2)x＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，所以x＝eq\f(4,21)a－eq\f(1,7)b＋eq\f(1,7)c.例2解：∵eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－b，∴eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(a－b)，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,6)(a－b)＝b＋eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)b.由eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝a＋b，得eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b.eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a＋\f(2,3)b))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)a＋\f(5,6)b))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.【跟蹤訓練】2解∵eq\o(DE,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a，∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)b，∵△ADE∽△ABC，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(b－a)．∵△ADN∽△ABM，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→)).又∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(b－a)＝eq\f(a＋b,2)，∴eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)．例3證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BD,\s\up6(→))共線，又∵它們有公共點B，∴A、B、D三點共線．【跟蹤訓練】3(1)－eq\f(1,3)解析：由題意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝－k，,1＝3k，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))(2)[解析]由于A，B，P三點共線，所以向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))在同一直線上，由向量共線定理可知，必定存在實數λ使eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1.【當堂達標】1.C解析:對A，當λ>0時正確，否則錯誤；對B,0·a是向量而非數0；對D，若b＝λa，則|b|＝|λa|.2.C解析:eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2a＋3b.3.C解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)).4.eq\f(1,3)解析：因為|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4|eq\o(AP,\s\up6(→))|，則eq\o(AP,\s\up6(→))的長度是eq\o(PB,\s\up6(→))的長度的eq\f(1,3)，二者的方向相同，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→)).5.0解析：原式＝eq\f(2,5)a－eq\f(2,5)b－eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)b＋eq\f(4,15)a＋eq\f(26,15)b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.6.解：(1)如圖，延長AD到點G，使eq\o(AG,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，連接BG，CG，得到平行四邊形ABGC.則eq\o(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)(b－2a)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a.(2)證明：由(1)，知eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BF,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))共線．又eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))有公共點，∴B，E，F三點共線．6.2.4向量的數量積【學習目標】素養目標學科素養1.理解平面向量數量積的含義并會計算。（重點）2.理解a在b上的投影向量的概念。（重點）3.理解平面向量夾角、模的定義，并會求向量的夾角和模。（難點）4.掌握平面向量數量積的性質及其運算律，并會應用。1.數學運算;2.數學抽象；3.邏輯推理。【自主學習】一．兩向量的夾角1.定義：已知兩個非零向量a，b，O是平面上的任意一點，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．注意：①當θ＝0時，向量a與b；②當θ＝eq\f(π,2)時，向量a與b，記作a⊥b；③當θ＝π時，向量a與b．注意：只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角，如圖所示，∠BAC不是向量eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角．作eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))，則∠BAD才是向量eq\o(CA,\s\up6(→))與eq\o(AB,\s\up6(→))的夾角．二．向量的數量積已知兩個向量a與b，我們把數量|a||b|cosθ叫做向量a與b的(或)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ為a，b的夾角)．規定：零向量與任一向量的數量積為.注意：(1)“·”是數量積的運算符號，既不能省略不寫，也不能寫成“×”；(2)數量積的結果為數量，不再是向量；(3)向量數量積的正負由兩個向量的夾角θ決定：當θ是銳角時，數量積為正；當θ是鈍角時，數量積為負；當θ是直角時，數量積等于零．三．投影向量若與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則向量a在向量b上的投影向量為|a|cosθe.當θ＝0時，投影向量為；當θ＝eq\f(π,2)時，投影向量為；當θ＝π時，投影向量為.四．向量數量積的性質設a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝.(2)a⊥b?．(3)當a與b同向時，a·b＝；當a與b反向時，a·b＝．特別地，a·a＝或|a|＝eq\r(a·a).(4