中考數學總復習《特殊四邊形（二次函數綜合）》專項測試卷及答案

中考數學總復習《特殊四邊形(二次函數綜合)》專項測試卷及答案

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一、解答題

1.如圖，拋物線y=X2+云-3與X軸交于48兩點，與y軸交于點C,點D為拋物線頂點，已知A(-LO)，連接8C,

拋物線對稱軸與4c交于點E.

備用圖

(1)求〃的值及頂點。的坐標；

⑵點尸是拋物線上的動點，點。是直線BC上的動點，是否存在以OE為邊，且以點。、E、P、。為頂點的四邊形是

平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

2.已知：平面坐標系內點P(xy)和點A(0,l),點。到點A的距離始終等于點尸到x軸的距離.

(I)請你求出點夕滿足的函數關系式；

(2)如果(I)中求出的函數圖象記為V是L沿著水平方向平移得到的，若點M在乙上，點N是L平移后點M的

對應點，點。是工軸上的點.是否存在這樣的點使得以MNO。為頂點的四邊形是有一個內角為60。且

的菱形？若存在請你求出。點坐標若不存在請說明理由.

3.已知拋物線)，=-/+法過點41,0)和點風-3,0)點尸和點。是拋物線上的兩個不重合的點P點的橫坐

標為加點。的橫坐標為1-2"?記拋物線在點和點。之間的部分圖象為W(包含PQ兩點).

(1)求出拋物線的解析式并寫出頂點坐標

⑵當〃=2時求圖象W的最高點與最低點的縱坐標的差

⑶當S,5=S0時求出機的值

(4)以產9為對角線構造矩形上河3V且矩形的邊/W〃"山當)'軸衛分矩形產河3V的面枳時直接與出機的值.

4.【定義感知】

把函數y=ox2-C和％=--x2+-(?>0,c>0)稱為一對“絞合函數”設拋物線的頂點為P拋物線>,的頂點為

ca2

Q兩拋物線的公共點為4B(點A在點B的左側).

⑴寫出函數y=2犬-4的“絞合函數”的函數解析式.

【性質探究】

(2)當。=。時這對“絞合函數”的圖象一定會經過同樣的兩個定點請通過運算求出這兩個點的坐標.

⑶當"。小］.假設4=1C=4.

①寫出這對“絞合函數”的解析式并把它們的圖象在坐標系中畫出來

②直接寫出直線'=與該對“絞合函數”圖象有4個交點時機的取值范圍.

【拓展應用】

(4)對于任意一對“絞合函數”若四邊形AP8Q是正方形則。c滿足的關系式為.

5.綜合與探究

如圖拋物線y=a/+2x+c與丁軸相交于點。(0,3)與X軸正半軸相交于點〃負半軸相交于點4-1,0).

(I)求此拋物線的解析式

(2)如圖1P是第一象限拋物線上的一個動點過點“作。。_1_工軸垂足是點。PD與BC的交點、為E設

P(孫〃).

①用含〃?的式子表示：PD=_DE=_

直接用①的結論求解②③

②若PE=DE請直接寫出點P的坐標

③若PE=2DE求點P的坐標

⑶如圖2若點尸在拋物線上點G在x軸上當以點8CFG為頂點的四邊形是平行四邊形時求點尸的坐

標.

6.定義：在平面直角坐標系'Oy中當點N在圖形M的內部或在圖形M上且點N的橫坐標和縱坐標相等時

則稱點N為圖形M的“夢之點”.

⑴如圖①矩形A8CZ）的頂點坐標分別是A（-l,2）C（3,-l）。（3,2）在點M（l/）％（2,2）

M（3,3）中是矩形A8CZ）“夢之點”的是_

⑵如圖②已知點4B是拋物線y=-，2+x+2上的“夢之點”點C是拋物線的頂點.連接4cABBC求

VA3C的面積

（3）在（2）的條件下點尸為拋物線上一點點。為平面內一點是否存在點尸Q使得以A8為對角線以A

BP。為頂點的四邊形是菱形？若存在直接寫出尸點坐標若不存在請說明理由.

7.如圖拋物線y=o?+&+6與x軸交于點AB與）'軸交于點COB=OC=3OA.

（I）求拋物線的對稱軸

（2）點P（帆〃）（利之2）足拋物線上一個動點連接”CP廿交,抽交于點。作R2，”釉于點Q.

①若點Q是08的中點求PAC的面積

②若以點。DP。為頂點的四邊形為平行四邊形求〃?的值.

8.如圖在平面直角坐標系中拋物線），=g/+〃x+c（bc為常數）的頂點坐標為25)

與x軸交于AB

兩點（點A在點8左側）與y軸交于點C點C點。關于X軸對稱連結A。作直線8力.

⑴求方。的值

⑵求點A8的坐標

(3)求證：ZADO=ZDB()

(4)點P在拋物線法+。上點Q在直線8。上當以點cDP。為頂點的四邊形為平行四邊形時直

接寫出點。的坐標.

9.如圖拋物線過點C(0,2)與x拍交于點AB拋物線頂點坐標為(y6)矩形GFEO的邊EF在線段A8上

(點F在點E的左側)點G。在拋物線上.

(1)求拋物線的函數表達式

(2)求證：直線)，=；x+9與該拋物線沒有交點

(3)設E(〃,0)矩形。EFG的周長為用寫出，〃與〃的函數關系式并求利的最大值

10.如圖拋物線的頂點為A((),2)且經過點以2,())以坐標原點。為圓心的圓的半徑于?點C

(1)求拋物線的函數解析式.

(2)求證：直線A8與。相切.

⑶已知P為拋物線上一動點線段P0交。于點M當以MOAC為頂點的四邊形是平行四邊形時求

的長.

11.如弱拋物線），=:/-3匯-3的對稱軸/與.*軸交于點/\與），軸交于點反

（1）求點A8的坐標

（2）。為該拋物線上的一個動點點。為點C關于直線/的對稱點（點。在點C的左側）點M在坐標平面內請

問是否存在這樣的點C使得四邊形ACM。是正方形？若存在請求出點C的坐標若不存在請說明理由.

12.拋物線），=加+4ale（白2-1,且"0）與上軸交于A、8兩點與y軸交于點C.已知點8（-5,0）.

⑴求A的坐標

⑵若對任意的實數1且當。取其范圍中的最小值時代數式奴?+4以+c-9的值都不大于0.

①求出拋物線的解析式

②點尸（〃?,〃）是拋物線y=ax2+4ar+c上的任意一點（不與點C重合）過點。做PQ1），軸于點QE（o-2，〃）在y

軸上以EQP。為鄰邊作矩形PQE/當在矩形PQEF內的拋物線所對應的函數值）'隨%增大而減小時直接

寫出加的取值范圍.

13.如圖已知拋物線尸/+尿+c的對稱軸為直線/:x=-l且與），軸的交點坐標為直線/與x軸相交于

點C.

（1）求該拋物線的表達式

⑵如圖點尸是該拋物線對稱軸右側圖象上一動點過點夕作PALt軸PB11垂足分別為AB.設點。的橫

坐標為〃?.當四邊形AP8C為正方形時求〃?的值.

參考答案

1.(\)y=x2-2.^-30(1,-4)

,r、］、(3+?x/FV1+Jl7?3—Jl71—\/\7

⑵點P的橫坐標為(2,-3)或一--,一--或一--'一--.

\/\/

【分析】本題主要考查二次函數的性質和平行四邊形的性質

(1)利用待定系數法求得二次函數解析式即可得知。及頂點。的坐標

(2)結合第一問求得直線8c解析式可求得OE的長.根據題意設尸(a/—2a-3)和。(《〃-3)分類討論即可求

得答案.

【詳解】(1)解：將4(T0)代入產.『+瓜-3得：

O=(-l)"+Z>x(-l)-3

解得：b=-2

y=x2-2x-3

:.y=(x-l)2-4

0(1,-4).

(2)存在.

2

當y=0時X-2X-3=0

解得：A|=-lX2=3

??.8(3,0)

當x=0時y=-3

???C(0,-3)

設直線BC解析式為y=f^+n(mX0)

將8(3,0)C(0,—3)代入得：

0=3〃z+n

{-3=“

in=1

解得：Q

n=-3

，直線BC解析式為y=x-3

當x=l時)，=1-3=-2

???E(l,-2)

貝=

設打〃,"一2"3)Q(OM—3)分類討論:

①當點P在點。下方時

(?2-2r/-3)-(f/-3)=2

解得：三普聽審

②當點P在點。上方時

(a-3)-(a2-2a-3)=2

解得：4=1(舍去)4=2

妗上斫決占P的山芹、九/9、|、(3+如1+如[十(3-如1一a1

綜上所述點P的坐標為(2,-3)或一--，一--或一--，一--.

2.(l)v=1x2+l

(2)存在Q坐標為(26+2"0)(2>/3-2V2,0)(-2>/3-2V2,0i(-273+2x/2,0).

【分析】(1)由題意得PA=P4依_Lx軸尸。~Ly軸利用勾股定理得”2=9?+AD?再計算即可

(2)過M作MG_Lx軸由菱形性質得OQ=OM=Z由直角三角形中30度角所對直角邊是斜邊的一半得

OG=^OM=^k求出歷代入函數解析式計算即可.

【詳解】(1)如圖PA=PBP8_Lx軸叩J?丁軸.

在RlPD4M4

AP2=PD2+AD2

???y2=/+(、,_])2

???點〃滿足的函數關系式為)，

22

(2)如圖：過M作用G_Lx軸

:.k=2框±2五

???Q(26+2?0)或(26-2日))

根據對稱性得Q(-2x/3-2&,0)或(-2>/3+2>/2,0)

綜上所述°坐標為(2百+2&,0)(26-2四,0)(-2x/3-25/2,0)(-26+2&,0).

【點睛】本題考查了二次函數的動點問題圖象及性質和30度角所對直角邊是斜邊的一半菱形的性質和勾股定理

熟練掌握以上知識點的應用間出函數圖象再分類討論是解題的關鍵.

3.⑴拋物線的解析式為尸-丁-2x+3頂點坐標為(-1,4)

⑵9

(3)加=3或3±y

(4)m=I

【分析】(1)待定系數法求出拋物線的解析式將一般式化為頂點式求出拋物線的頂點坐標即可

(2)先求出尸(2,-5),Q(-3,0)再結合圖象得出最大值和最小值即可得出答案

(3)根據&削=5."得出1%1=1%1分兩種情況：當辦=為時與%=一為時分別求出結果即可

(4)根據矩形以尸。為對角線且/W〃工軸可確定矩形各邊平行于坐標軸再結合")，軸平分矩形面積當

且僅當它過矩形中心”這一結論得出世&=()代入后即可求得機的值.

2

【詳解】(1)已知拋物線)，=-丁+公+,?過點41,0)和點9-3.0).

[-1+/?+c*=0f/?=—2

代入點4(1,0)、8(-3,0)得八打八解得。

-9-3/?+c=0[c=3

???拋物線解析式為y=-V—2x+3頂點橫坐標工=一；=一再不二一1,代入得縱坐標

2a2x(-1)

2

y=-(-l)-2(-l)+3=-l+2+3=4,

???頂點坐標為(-1,4).

(2)解：點尸的橫坐標為機=2代入拋物線解析式得到點P的縱坐標為-5故2(2,-5)點。的橫坐標為

\-2m=\-2x2=-3代入拋物線解析式得到點Q的縱坐標為0故0-3,0).

圖像印為拋物線上從P(2,-5)到Q(T0)的部分(含端點)如圖.

拋物線開口向下頂點(-L4)在范圍-3KXK2內故最高點為頂點縱坐標為4最低點為端點P(2,-5)縱坐標

為-5.

故圖象W的最高點與最低點的縱坐標的差為4-(-5)=9.

(3)解：點4L0)8(-3,0)在x軸上線段入內長為11-(-3)1=4.

由三角形的面積公式可得：\,SQAB=^x\AB\x\yQ\

2

當SCPAB=S^QAR時可得|yP|=|yQ|其中yf>=—fir—2m+3,=—(1—2my—2(1—2m)+3=-4m+.

以下分%=坨與％=一)'Q兩種情況討論：

情況一：yp=>'<?時-m2-2m+3=-4m2+即3m2—10/n+3=0

解得：〃z=3或5=g其中，〃=；時。與。橫坐標相同點重合故舍去.

???〃7=3時P(3,-12),。(-5,-⑵，兩點不重合滿足題意.

情況二：打=一兒時-〃?2-2〃7+3=-(-4〃/+8〃?)即5〃/一6〃?一3二0

機=矣如經檢驗此時點P與點。均不重合

解得:滿足題意.

3±2x/6

綜上m=3或tn=----------.

5

2

(4)解：點P(m,%),Q(1—2〃z,%),其中yp=-nt-2m+3,%=-4m+8m

矩形QMQV以P。為對角線且ON〃犬軸故矩形邊平行于坐標軸.

設P(ab),Q(c,d),則矩形頂點為尸(。向、M(a,d)、Q(c/)、N(c,b).對角線尸。的中點為.

y軸平分矩形面積當且僅當它過矩形中心(即對角線中點)故"%=。即與+&=。代入坐標:

乙

機+(1-2⑼=0解得："?=1.(滿足條件的矩形見下圖)

【點睛】本題主要考杳了二次函數的解析式求解頂點坐標確定函數圖象上點的坐標特征三角形面積計算矩

形的性質以及圖形與坐標的綜合應用.解題的關鍵是熟練運用待定系數法求二次函數解析式深刻理解二次函數圖

象的性質以分析函數值的變化結合坐標關系和幾何圖形的性質(如三角形面積相等的條件矩形對角線的性質及

面積平分線的特點)建立方程進行求解同時需要注意對不同情況的分類討論以確保答案的完整性.

4.(1)?=-^2+^

⑵(1,0)或(TO)

22

(3)?)\=x-4,y2=--x+1見解析②T<"?<0或0<"?<1

(4)67C=1

【分析】(1)直接根據新定義進行求解即可

(2)聯立兩個函數求出交點坐標即可

(3)①根據新定義寫出函數解析式進行畫出函數圖象即可②直接利用圖象法進行求解即可

(4)根據四邊形W6Q為正方形推出。尸=OQ即可得出結果.

【詳解】(1)解：由題意函數>=2爐-4的“絞合函數”的函數解析式為)，=-；/+：

(2)解：

，一對，絞合函數”的解析式為Y和刈=」一+!

aa

人，121

令ax~-a=—x~+—

aa

解得尸±1

???定點坐標為(LO)和(TO)

2

(3)解：當〃c=4時yt=x-4+1

①列表如下：

X-3-2023

>150-405

_5_5

~4010-4

畫出圖象如下:

②由圖象可知當直線)，=，〃與該對“絞合函數”圖象有4個交點時

0<〃?<1或-4</〃<0

(4)解：???乂=?-?和必=」12+'(°>0,00)的頂點坐標分別為P(0,-c),Q0,-

caa

???點P,Q均在y軸上且在原點的兩側

令av2-c=--x2+-解得x=±，歸

???｛軻津（朋

???兩個函數的交點在X軸上且在原點的兩側

???當四邊形AP8Q為正方形時。為正方形的中心OP=OQ

?c-1

ac=\.

5.（\）y=-x2+2x+3

⑵①一濟+2〃?+3-m+3②點。的坐標為（1,4）③點P的坐標為（2,3）

⑶點尸的坐標為：（2,3）或（1+J7,—3）或（1一/一3）.

【分析】本題考查的是二次函數綜合運用涉及到平行四邊形的性質函數的圖象和性質止確確定線段的長度是

解題的關鍵.

（1）由待定系數法即可求解

（2）①根據點的坐標即可求解

②若PE=DE則->+3〃]=-〃?+3即可求解

③若PE=2DE則-nf+3ni=-2m+6即可求解

（3）當8C為對角線時由中點坐標公式得：3=->+2〃?+3即可求解當肝或3G為對角線時同理可解.

a-2+c=0（a=-\

【詳解】（1）解：由題意得：。解得：°

c=3（c=3

則拋物線的表達式為：y=-Y+2x+3

⑵解:設點P（〃?,T/+2〃?+3）

由點區C的坐標得直線8C的表達式為：y=-x+3

則點E（w,-w+3）

則PE=-m2+2〃?+3-（-ni+3）=-nr+3m

①貝IJPD=-m2+2m+3DE=-m+3

故答案為：—/I+2m+3—in+3

②若PE=DE貝ij-m2+3m=-m+3

解得："2=3（舍去）或〃7=1

即點P（L4）

③若PE=2DE則一>+3〃?=-2m+6

解得：〃?=3（舍去）或〃?=2

即點尸（2,3）

（3）解:設點尸0nL加+2,”+3）點G（K,0）

當8C為對角線時由中點坐標公式得：3=-nr+2m+3

解得：〃?=0（舍去）或機=2

即點尸（2,3）

當BF或BG為對角線時同理可得：

3=->+2m+3或0=-nr+2m+3+3

解得：〃2=。（舍去）或〃7=2或〃?=1±J7

故點尸的坐標為：（2,3）或（1+/-3）或

綜上點尸的坐標為：（2,3）或（1+"-3）或

6.⑴M%

⑵12

（3）存在（2-"3,而_2）或（2+如,—而一2）

【分析】本題是二次函數的綜合題考查了一次函數和二次函數的圖象和性質菱形的性質理解坐標與圖形性質

熟練掌握兩點間的距離公式理解新定義是解題的關鍵.

（1）根據"夢之點''的定義判斷這幾個點是否在矩形的內部或邊上

（2）根據"夢之點''的定義和二次函數的解析式求得A8的坐標根據二次函數的頂點式求出拋物線的頂點

點C的坐標拋物線的對稱軸根據5八8C=S.C+SM8C即可求得答案

（3）設夕由以48為對角線以A8尸。為頂點的四邊形是菱形可得AP=30利用兩點

間距離公式建立方程求解即可求得答案.

【詳解】（1）???矩形A48的頂點坐標分別是A（—1,2）B（-L-l）C（3-l）0（3,2）

???設矩形ABCD的“夢之點”為（乂y）滿足-1KxK3-1<>'<2

???點M（U）M（2,2）監（3,3）中是矩形A3CZT夢之點”為點%（2,2）.

故答案為：M,MN.

1Q

（2）??,4〃是拋物線），=4/+"+；上的“夢之點”

???點AB是直線V=x上的點

y=x

?Y129

y_x+x+一

r22

%=3x2=-3

*[Ji=3[y2=-3

???4(3,3)以-3,-3)

y=-—x2+x+-=-—(x-\Y+5

222Vf

???二次函數的頂點。(1,5)二次函數的對稱軸為人=1

設拋物線的對稱軸交A8于M

M(lJ)

/.CM=5-1=4

??SABC=SAMC+S“8c

=-xCWx(-xc)+1xCMx(xc-x￡.)

=lxC.Wx(x4-.ra)

=1X4K[3-(-3)J

12.

(3)存在理由如下:

設《，干+4

???以A3為對角線以AB。為頂點的四邊形是菱形

/.AP=BP

(z-3)2+(-g〃+,+?-3)=(/+37+/+2+3)

解得：f=2±x/i5

當i=2-9-1x（2-Vi3）2+（2-^）+|=>/13-2

???點尸（2一后,后_2）

當1=2+如-gx（2+呵:（2+呵+|=一舊—2

??.點昨+內,一舊―2）

綜上所述點尸的坐標為：（2—日,歷一2）或者（2十g,一JT5—2）.

7.（1）拋物線的對稱軸為直線x=2

⑵①^pc=y②加的值為I+8或3+⑨?

【分析】（1）根據題意求得4（-2,0）8（6,0）再根據拋物線的對稱性質求解即可

（2）①先利用待定系數法求得拋物線的解析式求得點。（3,0）再求得直線AP的解析式求得。（0,3）再利用

三角形的面積公式求解即可

②分當點。在原點上方和下方兩種情況討論根據8=PQ列式計算即可求解.

【詳解】（1）解：令x=0則y=6

???C（0,6）

???OC=6

OB=OC=3OA

???A（-2,0）3（6,0）

???拋物線的對稱軸為直線x=6?-2=2

2

（2）解:①將4（-2,0）8（6,0）代入尸爾+加+6

4cL2〃+6=0

得4

[36d+6/7+6=0

1

a=—

解得2

b=2

???拋物線的解析式為y=-1x2+2x+6

???點。是04的中點

???點Q[3,0）

當x=3時y=--x32+2x3+6=—

22

則點尸卜丹）

\-2k+/7,=0

設直線AP的解析式為），=履+4則人15

pi-

心

解得2

4=3

???直線”的解析式為y-3十3

令x=0則y=3

???D（O,3）

-S

APC=^CDX\XP-XA\=1X5=^

②?.,點P（〃?,〃）（〃止2）是拋物線上一個動點

...pfw,--/n2+2/n+6則Q（〃?,0）

I2>

\*OD/7PQ

：,△A。叱△AQP

^~PQ~AQ即-32+26+6〃-2

?C八一川

??（）D=--"-p--+-4---+--1-2

m+2

CD=6—OD=ni

???以點CDP。為頂點的四邊形為平行四邊形

CD=PQ即一—m2+2m+6=m

2

解得機=\±y/\3

m=1+^/13

當點。在原點下方時

(]?

OA=2AQ=m+2PQ=-—?n24-2m+6=—m2-2m-6

—I2)2

?.?OD〃PQ

ODAO—————=-^—

7Q=^Q即:/_2〃L6〃?+2

.??。。=?一4〃-2

in+2

/.CD=6+OD=tn

???以點CDP。為頂點的四邊形為平行四邊形

.?.CD=PQ即,_2,n-6=m

2

解得6=3±&I

?*?tn=3+

綜上m的值為1+g或3+歷.

【點睛】本題考查的是待定系數法求二次函數解析式二次函數圖象上點的坐標特征待定系數法求一次函數解析

式一次函數圖象上點的坐標特征相似三角形的判定和性質網點之間的距離公式和平行四邊形的性質是一

道綜合性較強的題解題的關鍵是求出二次函數和一次函數解析式以及分情況討論.

3

8.(1)/>=——c=-2

2

(2)A8的坐標分別為(—1,0)(4,0)

(3)詳見解析

（4）點2的坐標為：（1+內，上普）或jl-g,主中）或（一2,3）或（2,1）

【分析】（I）用待定系數法即可求解

1Q7513

（2）令），=5（X-；）2一三=；/一］］一2=0解得x=4或一1即可求解

（3）由tan/4OO=空二,［anZDBO=-=-=-=tanZADO即可求解

0D20842

（4）當C。為平行四邊形的對角線時由中點坐標公式列出方程組進而求解當C。b是平行四邊形的對角

線時同理可"解.

【詳解】（1）解：設拋物線的表達式為：y人巧+2

mil1,3、2251，3r

22822

即匕=-3c=-2

2

177513

（2）解：令丁=如-3）2一三="一22=0

22822

解得：x=4或-1

故點AB的坐標分別為（TO）（4,0）

（3）證明：由拋物線的表達式知：點。（。,-2）

則點。（0,2）

則0。=2013=40A=\

tanZADO==—tanZDBO==—=—=tanZADO

OD2OB42

：.ZADO=ZDBO

（4）解：設點Q（〃?,-g〃+2點P（/〃〃）〃=/『-}〃-2

0+。=，+〃？

當C。為平行四邊形的對角線時由中點坐標公式得：L.I

整理得：［〃「=/〃

2

解得：〃?=0（舍去）或2

則，二一2

即點。（-2,3）

0+/=0+〃2

當CQ是平行四邊形的對角線時可得:cIrr

-2——7+2=〃+2

2

解得：m=t=2

即點02,1)

0+/〃=()+/

當"是平行四邊形的對角線時可得：L

-2+〃=2——/+2

2

解得：/=/〃=1±?7

即點Q的坐標為(1+a，士務或11-J萬，三盧)

綜上點Q的坐標為：［1+如,上空或1-折，衛普)或(-2,3)或(2,1).

【點睛】本題是二次函數的綜合題主要考查了利用待定系數法求拋物線的解析式解直角三角形平行四邊形的

性質綜合性較強難度適中.運用數形結合分類討論及方程思想是解題的關健.

9.(1)V=--X2-2X+2

4

(2)見解析

⑶〃?=-；/+20m的最大值是20

【分析】本題主要考查了二次函數綜合矩形的性質二次函數與一元二次方程之間的關系熟知二次函數的相關

知識是解題的關鍵.

(1)把解析式設為頂點式再利用待定系數法求解即可

(2)聯立兩函數解析式得到一個一元二次方程利用判別式求解即可

(3)根據題意可得。2〃+2)可證明點E和點尸關于拋物線對稱軸對稱則可得到網-8-4,0)進而

求出OE=、2。+2EF=8+2a根據據此周長計算公式可得〃?=-；/+20據此利用二次函數的性質求

出最大值即可.

【詳解】(1)解：由題意可設拋物線的函數解析式為y="a+4『+6

將點C(0,2)代入解析式可得2=16〃+6解得。=V

拋物線的函數表達式為)，=一9(,1+92+6=-：.12-2X+2

44

(2)證明：將直線)，=；x+9與拋物線)，=-；/-2x+2聯立可得；1+9=—；/-21+2

整理得32+|X+7=()

???直線/白+9與拋物線y=/一2x+2沒有交點

(3)解：由題意得后5,0)則。(。，―；/-2。+2

???四邊形EFGD是矩形

GD//EF,GD=EF

???點G和點。關于拋物線對稱軸對稱

：?點、E和點尸關于拋物線對稱軸對稱

__2_

由(1)可得拋物線對稱軸為直線“二一一rr=

--XZ

4

:.DE=--a2-2a+2￡F=8+2a.

4

<iAii

m=2--?2-2?+2+8+2a=--62+20即用與。的函數關系式是〃?=--a2+20

14/-2

???當a=0時的值最大加的最大值是20.

⑶癡或癡-2&

【分析】(I)根據題意可設拋物線的解析式為：y=a?+2把點8的坐標代入即可求出〃的值即可得出拋物

線解析式

(2)根據切線的判定證明OC是。。的半徑即可

(3)由題意知AC是以M0A。為頂點的平行四邊形的邊利用平行四邊形對邊平行的性質可得出直

線OM的解析式直線與拋物線的交點為。即可求出尸M的長.

【詳解】(1)解：?,?拋物線的頂點為40,2)

「?可設效物線的解析式為：y=ar+2

拋物線經過點8(2,0)

.?.4。+2=()

解得：〃二弓

???拋物線的解析式為：y=-1x2+2

(2)記明：??4。，2)8(2,0)

.,OA=OB=2

AB=2人

OCLAB

-OAOR=-ABOC

22

-x2x2=-x2>/2OC

22

解得：oc=&

.Q的半徑/?=&

.:OC是O的半徑

???直線A5與。相切

⑶解：二點”在拋物線尸+2上

「?可設P(x,—；f+2)

以M。4C為頂點的四邊形是平行四邊形時

可得：AC=OM=丘CM=OA=2

點c培A/e的中點

C(1J)/W(L-I)

設直線OM的解析式為y=kx將點代入

得：k=-\

直線OM的解析式為y=-工

???點產在OM上

:.--x2+2=-x

2

解得：N=I+A/59=1-石

y,=-I->/5y2=-\+x/5

.?.[(l+0-1-V5)4(1-石-1+75)

如圖

當點加立于《位置時

OR="(1+石尸+(-”石)2=&1+石尸=&(1+肉=0+而

二RM=OP「OM=0+曬_歷=碗

當點6立于8位置時同理可得：O尸產屈-應

:.P2MnOPa-OM=回一五一五=回一2五

綜上所述月W的長是加或廂-2及.

【點睛】本題考查了待定系數法求函數解析式三角形面枳平行四邊形性質圓的切線的判定二次函數與幾何

圖形的綜合運用等知識熟練掌握待定系數法二次函數圖象和性質等相關知識靈活運用數形結合思想和方程

思想是解題關鍵.

11.(l)A(l.O)8(0,-3)

(2)存在這樣的點C使得四邊形ACMD是正方形點C的坐標為卜1+J萬,2-J可或(3+J萬,2+J萬)

【分析】(1)將二次函數化為頂點式然后求出點A的坐標把x=0代入拋物線的解析式求出y=3得出點8

的坐標即可

(2)分兩種情況進行討論當M在I軸下方時當M在x軸上方時分別畫出圖形求出結果即可.

【詳解】(1)解：?,?>二!/—"-3=｝工一1)2-：

4244

.-.4(1,0)

當x=0H寸y=-3

8(0,-3).

(2)解：存在理由如下：

由題意四邊形ACMQ是正方形則ACO是以點A為直角頂點的等姨直角三角形.

(i1A

設C

I41z

①當M在x軸下方時如圖1過點C作CE_Lx軸于E此時ZkACE是等腰直角三角形

AE=CE

I1，1O

/.r-1=一