2026年新高一數學暑假銜接專題《集合的基本運算》

預備新高一預備新高一數學專題03集合的基本運算一．選擇題（共10小題）1．（2026?陜西校級模擬）若集合，，則（）A．， B．， C．， D．，2．（2026春?花溪區校級期中）已知集合，，則（）A．或 B． C． D．或3．（2026?濱州一模）已知集合，則（）A．， B．，1， C．，1，2， D．，0，1，2，4．（2026?平江縣校級學業考試）已知全集，2，3，4，，集合，2，，集合，，則（）A． B． C． D．，5．（2026?龍泉驛區校級模擬）設集合，，，，0，1，2，，則（）A．，0， B．，，0，1， C．， D．，，2，6．（2025秋?云南校級期末）已知集合是小于9的正整數，，3，，則中元素的個數為（）A．0 B．3 C．5 D．87．（2026?仁壽縣校級模擬）已知集合，3，，，4，，集合滿足，則集合可以是（）A．，3， B．，4， C．，5， D．，5，8．（2026?長沙縣校級模擬）設集合，，3，4，，則（）A．， B．，4， C．， D．，9．（2026?河南模擬）設全集，，3，5，7，，，1，2，3，，則（）A．， B．， C．，2， D．，7，10．（2026春?北京期中）若全集，2，3，4，，，2，，，，則（）A． B．， C．，4， D．，3，二．多選題（共4小題）（多選）11．（2025秋?唐山期末）已知集合，5，，，，若，則的值可以為（）A．3 B． C．2 D．1（多選）12．（2025秋?大同校級月考）已知集合，，，且，則的值可以為A． B． C．0 D．（多選）13．（2024秋?南通期末）下列集合表示圖中陰影部分的為A． B． C． D．（多選）14．（2025秋?西寧期末）設集合，，，，，則A．當時，，2，3， B．當時，有4個元素 C．當時， D．三．填空題（共4小題）15．（2025秋?黃浦區校級期末）集合，，，，若，則．16．（2026春?威遠縣校級期中）設集合，，則．17．（2026春?天山區校級期中）集合，，，，，，若，則．18．（2019秋?鹽城期中）若集合，，若，則實數的取值的集合是．四．解答題（共6小題）19．（2025秋?四川期末）已知集合或，．（1）求，；（2），．20．（2025秋?上海校級期末）若，，，．（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍．21．（2026春?望都縣校級期中）已知集合，或．（1）當時，求；（2）若，求的取值范圍．22．（2025秋?吉安期末）已知集合，．（1）當時，求，；（2）若，求實數的取值范圍．23．（2025秋?玉林期末）已知全集，集合，．（1）求；（2）若非空集合，且，求實數的取值范圍．24．（2025秋?紅旗區校級期末）已知集合，，．（1）求；（2）若，求實數的取值范圍．

一．選擇題（共10小題）題號12345678910答案CCDCACDBCA二．多選題（共4小題）題號11121314答案ACACDABDABD一．選擇題（共10小題）1．【答案】【分析】先求出集合，，再求交集．【解答】解：由，由，得，則，所以，．故選：．2．【答案】【分析】先得到，再由并集概念求出答案．【解答】解：集合，，則．故選：．3．【答案】【分析】先化簡集合，再根據并集的定義可得．【解答】解：，1，2，，，1，，則，0，1，2，．故選：．4．【答案】【分析】根據補集與交集的定義，計算即可．【解答】解：全集，2，3，4，，集合，2，，集合，，則，，所以．故選：．5．【答案】【分析】先求出集合，再由交集的定義求解即可．【解答】解：集合，，，0，1，2，，集合，故，0，．故選：．6．【答案】【分析】利用集合的補集的定義求解．【解答】解：集合是小于9的正整數，2，3，4，5，6，7，，，3，，則，4，6，7，中元素的個數為5個．故選：．7．【答案】【分析】利用集合的基本運算求解．【解答】解：對于，，3，，此時，3，4，，，3，4，5，，不滿足，故錯誤；對于，，4，，此時，3，4，，，3，4，5，，不滿足，故錯誤；對于，，5，，此時，3，4，5，，，4，5，，不滿足，故錯誤；對于，，5，，此時，3，4，5，，，3，4，5，，滿足，故正確．故選：．8．【答案】【分析】直接根據補集和交集的定義計算可得．【解答】解：由，，3，4，，可得或，故，4，．故選：．9．【答案】【分析】結合補集、交集的定義，即可求解．【解答】解：全集，即，1，2，3，4，5，6，7，8，，集合，3，5，7，，則，2，4，6，，，1，2，3，，則，2，．故選：．10．【答案】【分析】根據集合并集和補集的概念求解即可．【解答】解：因為全集，2，3，4，，，2，，，，所以，2，3，，故．故選：．二．多選題（共4小題）11．【答案】【分析】由題可得，分或討論，結合集合的互異性求解．【解答】由，得，所以或，若，解得或，當時，，5，，，，符合題意；當時，，集合，不滿足互異性，不合題意；若，則，此時，5，，，，符合題意；綜上，的值可以為3或2．故選：．12．【答案】【分析】根據已知條件，判斷集合間的包含關系，進而根據集合中的元素情況進行分類討論，求出參數范圍．【解答】解：由，可得，且，；當時，；當時，，解得；當時，，解得．故選：．13．【答案】【分析】根據交集、并集和補集的運算表示陰影部分即可．【解答】解：表示陰影部分的為：，，．故選：．14．【答案】【分析】利用元素與集合的關系，以及集合間的包含關系求解．【解答】解：對于，當時，集合，3，，，，所以，2，3，，故正確；對于，當時，則，所以或，解得或，當時，，3，，，，滿足，此時，2，3，，當時，，2，，，，滿足，此時，2，，，綜上所述，當時，有4個元素，故正確；對于，當時，則或，若，由選項可知，或，若，則或或，解得或或，當時，集合，，，，，滿足，當時，集合中的元素不滿足互異性，舍去，當時，集合，，，，，滿足，綜上所述，當時，或或或，顯然不一定為0，故錯誤；對于，若，則，所以或，由選項可知，當時，，3，，，，不滿足，當時，，2，，，，不滿足，所以，故正確．故選：．三．填空題（共4小題）15．【答案】，1，．【分析】根據集合的交集以及并集的定義即可求解．【解答】解：集合，，，，，則，故，1，．故答案為：，1，．16．【分析】根據點集的含義，聯立方程組，解之，即可得解．【解答】解：聯立，解得，，所以．故答案為：．17．【分析】根據集合的基本運算進行求解即可．【解答】解：，或，即或或，當時，，5，，，，，集合不成立，當時，，，，，4，，滿足條件．當時，，9，，，，，則，，不滿足條件．綜上，故答案為：18．【分析】求出集合，，根據題意若，即，對分情況討論，求出的集合．【解答】解：集合，，，若，即，當為空集時，，當不為空集時，，，或者，故的集合為，，故答案為：，．四．解答題（共6小題）19．【分析】（1）根據交集、并集定義直接求解；（2）根據補集和交、并集的運算即可得出結果．【解答】解：（1）集合，或，所以，或；（2）集合，或，則或，，所以或，．20．【答案】（1），，；（2），．【分析】（1）解不等式，再求；（2）解方程，分類討論，利用，求實數的取值范圍．【解答】解：（1）解不等式得或，所以，，．當時，，，解不等式得，所以，所以，，．（2）解方程得或，當時，，此時，不滿足題意；當時，，因為，則，解得；當時，，顯然不成立．綜上，的取值范圍為，即，．21．【答案】（1）（2）．【分析】（1）根據集合的補集、交集運算即可；（2）根據并集補集運算可得，分類討論，，列不等式得的取值范圍即可．【解答】解：（1）當時，，或，所以，故；（2）若，則，當時，則，解得，滿足題意；當時，由題意可得，解得．綜上所述，，即的取值范圍為．22．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）根據集合的并集和交集的定義即可得到答案；（2）首先分析得，再分和討論即可．【解答】解：（1）集合，，時，，．．（2）由，得，①當，即時，，滿足，則．②當時，由，得，且．解得；實數的取值范圍是．23．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）解不等式化簡集合，再利用補集、交集的定義求解．（2）利用并集定義求出，再利用集合的包含關系列式求解．【解答】解：（1）由，由，得或，所以．（2）由（1）得，，由非空集合，且，得，解得，所以實數的取值范圍是．24．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）化簡集合，根據集合的補集、交集運算求解；（2）由題意可轉化為，分類討論，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由已知得，所以，，，又，，所以，．（2）因為，所以，當時，，解得，當時，，解得．綜上，故實數的取值范圍為．

預備新高一預備新高一數學專題03集合的基本運算1．通過實例理解并集、交集、補集的含義．2．掌握交集、并集、全集、補集的數學符號與表達形式．3．能借助數軸、韋恩圖求解數集的交、并、補運算．4．熟記交并補滿足的運算性質，并能靈活運用化簡集合．5．會結合集合運算求解含參數集合的參數取值范圍．一、并集1．定義：由所有屬于集合或屬于集合的元素組成的集合，稱為集合與的并集．2．符號表示：，讀作“并”．3．數學表達式：．4．通俗理解：把兩個集合全部元素合并在一起，重復元素只保留一個．二、交集1．定義：由所有既屬于集合又屬于集合的元素組成的集合，稱為集合與的交集．2．符號表示：，讀作“交”．3．數學表達式：．4．通俗理解：取兩個集合公共重合部分的元素，無公共元素時交集為空集．三、全集1．定義：如果一個集合包含我們研究問題中涉及的所有元素，就稱這個集合為全集．2．符號表示：全集記作．3．通俗理解：全集是當前題目規定的全部取值范圍，常見全集為實數集．四、補集1．定義：對于全集，由全集中所有不屬于集合的元素組成的集合，稱為集合相對于全集的補集．2．符號表示：．3．數學表達式：．4．通俗理解：在全集范圍內，剔除集合剩余的所有元素構成的集合．五、交、并、補基礎運算性質1．交換律：，．2．結合律：，．3．自身運算：，．4．空集運算：，．5．包含關系性質：若，則，．6．補集自身性質：，，．六、德摩根定律1．2．通俗理解：交的補等于補的并，并的補等于補的交．題型01直接計算有限集合的交集、并集1．交、并集判定規則（如：集合合并為并集，取公共元素為交集，重復元素只保留一份，符合集合互異性）并集負責整合兩個集合全部元素，交集只保留兩個集合重疊的元素．2．完整解題邏輯（1）觀察兩個集合所有元素，標記重復出現的元素．（2）求并集：合并全部元素，剔除重復元素，寫成規范集合形式．（3）求交集：篩選同時出現在兩個集合中的公共元素，無公共元素結果為空集．3．核心作用：區分“全部合并”與“公共重疊”兩種運算，是集合運算基礎題型．學以致用學以致用【例1】（2026?平谷區一模）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】分別求出集合，，再利用并集定義能求出．【解答】解：集合，，則．故選：．【例2】（2026?佛山模擬）設集合，3，5，，，則（）A．， B．， C．， D．，3，5，【答案】【分析】結合集合交集運算即可求解．【解答】解：因為集合，3，5，，，則，．故選：．【例3】（2026春?開福區校級期末）已知集合，，則（）A．， B． C． D．【答案】【分析】先求出集合，然后結合集合并集運算即可求解．【解答】解：由題集合，，，則．故選：．題型02利用數軸求解不等式數集的交、并運算1．數軸使用依據（如：連續實數范圍集合無法一一列舉，數軸可以直觀標出取值區間，快速找到重疊、合并范圍）數軸是處理連續實數集合運算的工具，能直觀區分交集、并集對應的區間．2．完整解題邏輯（1）把每個集合對應的不等式范圍在同一數軸上標注，空心、實心端點嚴格區分．（2）求交集：取數軸上兩段區間同時覆蓋的重疊部分．（3）求并集：取數軸上兩段區間全部覆蓋的整體范圍．3．解題關鍵：端點是否包含要和原不等式保持一致，不能隨意更改實心、空心標記．學以致用學以致用【例4】（2026?滄州校級模擬）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據題意，利用交集的運算法則，找出集合、的公共元素組成的集合，可得答案．【解答】解：集合，，既屬于，又屬于的元素，滿足不等式，即．故選：．【例5】（2025秋?長治校級期末）已知集合，，則（）A． B． C． D．或【答案】【分析】可求出集合，然后進行交集的運算即可．【解答】解：，，．故選：．【例6】（2026?豐臺區模擬）已知全集，集合，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】結合補集的定義，即可求解．【解答】解：全集，集合，則．故選：．題型03全集下求單個集合的補集1．補集運算依據（如：全集限定整體范圍，補集只在全集內部剔除原集合元素，全集以外的數不參與計算）補集運算不能脫離給定全集，全集不同，同一個集合的補集結果完全不同．2．完整解題邏輯（1）明確題目給出的全集范圍，確定所有元素的取值邊界．（2）剔除全集內屬于集合的全部元素，剩余元素構成補集．（3）不等式集合借助數軸，全集區間內去掉的區間，剩余區間即為補集．3．易錯提醒：不能把全集外的數值納入補集，補集元素一定屬于全集．學以致用學以致用【例7】（2026春?雙城區校級期中）設全集，，，則（）A．， B．， C．， D．，3，【答案】【分析】根據已知得出全集，即可根據集合的補集運算得出答案．【解答】解：，解得，全集，則，3，．故選：．【例8】（2026?楚雄市模擬）已知全集，集合，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】結合補集的定義，即可求解．【解答】解：全集，，由補集的定義可知，．故選：．【例9】（2026?豐臺區校級模擬）已知全集，集合，則（）A． B． C． D．【答案】【分析】根據補集的定義，由集合在全集下的補集直接求解集合．【解答】解：，，則．故選：．題型04交、并、補混合多層運算1．混合運算順序（如：帶括號先算括號內部，先求交并，再計算補集；無括號從左到右依次運算）括號會改變運算先后順序，優先處理括號內的集合運算，再進行外層計算．2．完整解題邏輯（1）先計算括號內交集或者并集，化簡得到單層集合．（2）再根據全集對化簡后的集合求補集．（3）多層混合逐步化簡，分步書寫，避免一步運算出現遺漏．3．輔助方法：多層混合運算可借助韋恩圖標出各區域，直觀區分交、并、補對應的區域．學以致用學以致用【例10】（2026?武清區校級模擬）設全集，集合，3，，，4，5，，則（）A．， B．， C．，4， D．，5，【答案】【分析】根據集合的基本運算求解即可．【解答】解：全集，2，3，4，5，6，7，，集合，3，，，4，5，，則，4，6，7，，故，4，．故選：．【例11】（2025秋?廣東月考）已知集合，0，1，3，，全集和集合．若，則可能正確的是（）A． B． C． D．【答案】【分析】由集合的運算可得．【解答】解：由題可得：，，0，1，，綜合選項判斷可得正確．故選：．【例12】（2026春?恩平市期中）已知集合，0，1，，，則（）A．，0，1， B．，0， C． D．【答案】【分析】結合集合的基本運算即可求解．【解答】解：因為，則根據集合補集運算可得，，又，0，1，，所以，0，．故選：．題型05利用交并補運算性質化簡集合表達式1．運算性質使用依據（如：滿足時，直接化簡為，直接化簡為，無需展開計算）各類恒等式、包含性質可以簡化復雜集合式子，減少計算步驟．2．完整解題邏輯（1）觀察式子結構，匹配交、并、空集、補集、包含對應的運算公式．（2）套用交換律、結合律調整集合順序，套用德摩根定律拆分補集．（3）利用空集、自身運算、包含關系直接化簡，消去多余集合．3．核心作用：簡化復雜混合運算，減少數軸畫圖、列舉元素的繁瑣步驟．學以致用學以致用【例13】（2025秋?張家界期末）已知集合，．（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）根據交集的運算性質進行求解即可；（2）根據并集的運算性質進行求解即可．【解答】解：（1），，且，，故的取值范圍為；（2）集合，，由，得，，故實數的取值范圍為．【例14】（2025秋?迪慶州期末）已知集合，，．（1）求；（2）求；（3）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3），．【分析】（1）利用集合的基本運算求解；（2）利用集合的基本運算求解；（3）由可得，進而列出不等式，求出的取值范圍即可．【解答】解：（1）由題意可知，集合，，所以；（2）因為，所以或，又因為，所以；（3）若，則，所以，解得，故的取值范圍為，．【例15】（2025秋?承德期末）已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）解二次不等式求出集合，再由補集定義和交集定義即可計算求解；（2）先由并集結果得到，接著分和兩種情況進行分析即可計算求解．【解答】解：（1）因為，所以或，當時，，所以．（2）因為，所以，當時，，即，符合條件；當時，要使，則有，不等式組無解；綜上，實數的取值范圍是．題型06已知交并結果求集合中的參數1．解題核心依據（如：交集含某數值，說明該數值同時屬于兩個集合；并集包含全部元素，參數取值要滿足對應元素歸屬）交、并集的結果限制了參數的取值，可建立方程求解參數候選值．2．完整解題邏輯（1）根據交集、并集給出的結果，確定參數對應的元素滿足的等式．（2）解方程得到所有參數候選取值．（3）將參數代回原集合，檢驗集合互異性、交并結果是否與題干一致．（4）舍去不符合條件的參數取值，保留合法解．3．解題關鍵：求出參數后必須回代驗證，防止出現元素重復、交并結果不符的情況．學以致用學以致用【例16】（2026春?南京期末）已知集合，，，，若，則（）A．1 B．2 C． D．【答案】【分析】結合交集的定義，即可求解．【解答】解：當時，集合不滿足互異性，故錯誤，錯誤；當時，集合不滿足互異性，故錯誤，當時，，，，，滿足，故正確．故選：．【例17】（2026春?望都縣校級期中）已知集合，，且，則實數的取值范圍為（）A．， B．， C．， D．，【答案】【分析】利用集合并集運算的定義求解．【解答】解：由題意可知，，，且，所以，所以實數的取值范圍為，．故選：．【例18】（2026?皋蘭縣模擬）已知集合，2，，，若恰有4個子集，則的取值范圍為（）A．， B． C．， D．【答案】【分析】利用交集定義、不等式性質求解．【解答】解：集合，2，，，恰有4個子集，中恰有2個元素，，的取值范圍為，．故選：．題型07子集結合集合運算求參數范圍1．子集與運算結合的含義（如：等價于，等價于，兩種式子表達同一種包含關系）交并運算的特殊結果可以轉化為集合包含關系，轉化后利用子集思路求解參數．2．完整解題邏輯（1）將、轉化為．（2）分兩類討論集合為空集、非空集合兩種情況．（3）非空集合借助數軸列出不等式組，求解參數范圍．（4）合并空集與非空情況的參數取值，得到完整解集．3．易錯提醒：極易遺漏為空集的情況，造成參數范圍缺解．學以致用學以致用【例19】（2026春?濱湖區校級月考）已知集合，．（1）若，求實數的取值范圍；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）根據得出，然后分和兩種情況討論，進而求出實數的取值范圍；（2）根據，同樣分和兩種情況討論，從而求出實數的取值范圍．【解答】解：（1）集合，．若，則，當時，，即，當時，，解得，實數的取值范圍為或；（2）若，當時，，解得，此時滿足，當時，因為，則，解得或，綜合，實數的取值范圍是或．【例20】（2025秋?廣安期末）已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由題知，，再根據