2025-2026學年甘肅省蘭州某中學等校高二（下）期中數學試卷（含答案）

2025-2026學年甘肅省蘭州二中等校高二(下)期中數學試卷

一、單項選擇題：本大題共8小題，共40分。

1.曲線歹=e'在點力(0,1)處的切線斜率為()

A.IB.2C.eD.

2.若向量1=(2,0,-1),向量1=(0,1,-2),則2彳-石=()

A.(-4,1,-4)B.(-4,1,0)C.(4,-1,0)D.(4,-1,-4)

3.下列求導運算正確的是()

”、11

A.1JB.E01I>

X.A

C.(20'=2XD.(sinv)'=-cosx

4.已知4(0,4,0),4(3,0,0)C(0,0,2),則平面44。的一個法向量可以為()

A.(4,3,6)B.(-4,3,6)C.(4,-3,6)D.(4,3,-6)

5.已知，(2)=1,則、二［?=()

A.1B.2C.-1D.-2

6.在平行六面體/AC。-/田Ci。|中，AB=AD=2AA\=4,^AA\=LDAAI=6()°,乙B4D=90°,M是由。i的中

點，則NAZ的長為()

A.2,5B.皿C.Jv/7D./“

7.曲線尸Inx上的點到直線x-_y+l=0的最短距離是()

A.，2B.2C.v/2fD.C0,

8.已知空間四點4(1,2,3),/?(1,1,2),C(2,1,1),Z)(1,1,I),則下列選項正確的是()

A.ABKDB.1廣與TJ/j夾角的余弦值為:

C.AC1BDD.ABLCD

二、多項選擇題：本大題共3小題，共18分。

9.如圖是函數_y=/'(x)的導函數.y=f(x)的圖象，則以下說法正確的為()

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A.-2是函數內'（x）的極值點

B函數月（x）在尸1處取最小值

C.函數在尸0處切線的斜率小于零

D.函數），=f（x）在區間（-2,2）上單調遞增

10.直線/的方向向量為兩個平面a,p的法向量分別為訴?司，則下列命題為真命題的是（）

A.若小工后，則直線/I平面a

B.若〃；一〃:，則平面al平面0

C.若，“、〃；?〃：:，則平面a,。所成銳二面角的大小為:

D.若皿，/.疥＞=曲，則直線/與平面a所成角的大小為:

11.已知函數〃1）一”竺，則（）

A.f（A-）的遞增區間為（-8,e）B./（x）極大值為?

f:

C.fCx）的極大值點為eD.⑵

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知空間向量1=（1,一22）,]=則?石=—.

13.我國占代數學名著《九章算術》中，將底面為矩形且一側棱垂直于底面的四棱

錐稱為陽馬.如圖，四棱錐P-44CD為陽馬，P力1平面/BCD,EAB=AD=AP=3.

FC2P京則.比D戶—.

14.在空間直角坐標系中，平面a的一個法向量的坐標為（4,4,-7）,直線/的一個方向向量的坐標為（8,

-4,1）,則直線/與平面a所成角的余弦值為一.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(木小題13分)

已知函數/(x)=(x-2)-

(1)求函數y=f(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)求函數/(x)的單調區間.

16.(本小題15分)

如圖，在正方體力4C。-力囚GQi中，棱長為2,E,F,G分別是8小，DiBi,的中點.

(1)求證：EFL4Q；

(2)求證：E*面4OG.

17.(本小題15分)

已知函數/(x)=Inx+a(1-x).

(1)討論人x)的單調性;

(2)當火x)有最大值，且最大值大于2小2時，求。的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知函數/(x)=-/+3"1,xE[-2,2].

(I)求/(x)的值域；

(2)討論函數g(x)-a的零點個數.

19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐尸-48。0中，21_L底面力4CQ,四邊形/4CO為平行四邊形，其中P.l\/'A,AB=\,AD=2AB,

且ZJ8C=6O°,點E為P。的中點.

(I)證明：AEC.

(2)求點〃到平面4EC的距離.

(3)求平面PBC與平面4EC所成銳二面角的余弦值.

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1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

II.【答案】BCD

12.【答案】6

13.【答案】3

14.【答案】卜5

9

15.【答案】解：(1)*./(x)=(x-2)eS./(0)=-2,

且/(x)=(x-1)eS.?/(0)=-1,

.,屆數產/'(x)在點(0,/(0))處的切線方程為j=x-2,即x+y+2=0.

(2)(x)=(x-2)ex,f(x)的定義域為R,

???由(1)得，(x)=(x-1)d.

令/(x)=0,解得x=l,

.??當xW(-8,1)時，，(X)<0,函數/(x)在(-8,1)上單調遞減：

當(1,+8)時，f(x)>0,函數/(x)在(I,+8)上單調遞增，

即函數/(X)的單調遞減區間為：-8,1),單調遞增區間為(1,+8).

16.【答案】在正方體48cz中，棱長為2,E,F,G分別是89，DiBi，48的中點,

以。為坐標原點，。力所在直線為x軸，。。所在宜線為y軸，。。所在直線為z軸，

建立空間直角坐標系。為，z,如圖，

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則,4i(2,0,2),。(0,0,0),E(2,2,1),尸(1,1,2),G(2,1,0),

則￡7=(/，J，1)，[1了=(。2，0,-2),

??哥?'了=(-1)X(-2)+1X(-2)=0,

?-EFLA\D.

設面力1OG的法向量為〃'=(x,y,z),

vRi]=(2,0,2),(2,1,0),

MDT+2;-0

則令x=l,得n=(1,-2,-1),

77J53=2j-+y=O

.77=(-1)X1+(-1)X(-2)+1X(-1)=0,

-l~f1”，

又E/W：面/IOG,二￡7可面4￡>G.

17.【答案】解：(1)/(x)J/(x>0),

若“WO,則/(x)>(),.?.函數/(x)在(()，+8)上單調遞增,

若(7>o,則當,隹川?！)時，f(x)>0,

a

當工6(1?+x)時，f(x)<0,

a

所以/(/)在”上單調遞增，在J單調遞減.

aa

(2)由(1)知，當aWO時，/(x)在(0,+8)無最大值，

當口>0時，/'(X)在尸取得最大值，

a

最大值為/J)=ln?+41