八年級數學下學期期末模擬考試卷02（人教版）

2025-2026學年八年級下學期期末模擬卷

數學?

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：新教材人教版八年級數學下冊全部。

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求的）

1.下列x的值，能使白與有意義的是（）

A.-1B.0C.2D.4

2.下列各組數中，不能構成直角三角形的是（）

A.1、3、癡B.5、12、13C.8J5J7D.石、〃、石

3.已知點（一2,必），（一1必），（1M）都在直線y=-3x+6上，則%、匕、%的值大小關系（〕

A.必＞必＞必B.C.必＜為＜乃D.必＜,＜必

4.某小組7位學生的中考體育模擬測試成績依次為55,60,59,57,60,58,60,則這組數據的眾數與中

位數分別是（）

A.60,59B.60,55C.59,60D.60,58

5.已知x,歹滿足等式57=0,小是逐的小數部分，則_/+（石+2）〃的值為（）

A.0B.1C.2D.4

6.如圖，在長方形44CO中，CD=6,AD=S.將長方形48CO沿CE折置后，使點。恰好落在對角線4C

A.2.5B.3C.3.5D.4

1

7.在同一平面直角坐標系中，函數必=〃狀-1和必=x+〃?的圖象可能是（）

8.如圖，一個長方體盒子長48=6cm,寬8c=4cm,高CG=4cm.如果在盒子外表面從點4到點G粘

貼裝飾條，裝飾條的最小長度為〃cm,這個長方體盒子內能容下木棒的最大長度為bcm,則a,b的值為（）

A.。=2而，b=2后B.。=10,b=2后

C.4=10,6=10D.。=2曬，6=10

9.如圖1,在dM8C中，邊上的高為CG,動點P從點力出發沿折線48-8。一。勻速運動至點力后停

止.設點P的運動路程為X,線段力P的長度為y，圖2表示y與X的函數關系的大致圖象，其中點尸表示

曲線。E的最低點，結合圖形與區象試探究CG值為（）

10.如圖，｛tCJABCD+,NQ8C=45°,DE上BC于E,BF上CD于F,DE,4"相交于〃，延長8r交4。

的延長線于點G.下列結論：①BD=gBE；②NA=NBHE；③AB=BH；@）XBCF叁\DCE；

⑤DE+EC=AD.其中正確的結論有（）

2

第二部分（非選擇題共90分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.使得有意義的x的取值范圍是?

V2O25-X

12.陜西省體校準備派一名射箭運動員參加大學生運動會的射箭項目比賽.教練員對甲、乙兩名射箭運動

員進行了6次選拔比賽.根據收集到的數據，繪制成如下統計圖，甲運動員成績的方差53乙運動員成績

的方差s1則用S：（填。〃咤”或“<〃）.

甲、乙運動員的射淅成績

0,門省灰1次

13.如圖，是函數必=米+人與刈=妨+〃的圖象，則關于x的穴等式去+6>心+〃的解集是—

14.如圖，分別以■△/AC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為豆、S2、S3，若￡=6,S?=9,則W=

15.如圖，矩形/5CO中，/出=2,力。=3,點E是邊力。上的動點，點尸在邊CO上，C/=QE.連接CE,

則4/+CE的最小值為.

3

D

16.如圖，正方形4?CD的頂點幺，。分別在x軸，V軸上，點8（-7,5）在直線/：尸米-2上，直線/分

別交X軸，V軸于點E,F,將正方形力8c。沿歹軸向下平移〃7個單位長度后，點C恰好落在直線/上，則

〃】的值為

三、解答題（本大題共8小題，滿分72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（6分）經銷商準備從某草莓種植基地購進草莓進行銷售，設經銷商購進.草隹X千克，付款y元，y與X

之間的函數關系如圖所示.

⑴求出力4段y與X之間的函數表達式:

⑵當該經銷商付款420元時，該經銷商購進多少千克草莓？

18.（6分）在圖1、圖2所示的方格中，每個小方格的邊長都為1.

圖2

⑴在圖1中分別畫出長度為何和2夜的線段43和C。，要求線段的端點在格點上：

⑵在圖2中畫出一個三條邊長分別為5,石，2石的三角形，使它們的頂點都在格點上，并直接寫出這個

三角形的形狀.

4

19.（8分）如圖，已知四邊形NACO中，E、F、G、，分別是四條邊片8、BC、CD、D4的中點，AC.

是對角線，連接七/、FG、GH、HE.

⑴證明：四邊形EFG”為平行四邊形；

⑵若，則四邊形E/G”是菱形?請從①4C_L4。；②4C=8。這兩個選項中選擇一個作為條件，使

結論成立.（填序號）

20.（8分）【閱讀材料】

材料一：我們規定，如果兩個含有二次根式的式子的積中不含二次根式，我們就稱這兩個含有二次根式的

式子互為有理化因式，其中一個式子叫作另一個式子的有理化因式.

材料二：我們在進行二次根式的億簡時，有時需要把分子、分母乘以分母的有理化因式從而去掉分母中的

12-62-百.小

根號，這個過程就是分母有理化，如：水方=（2+6）（2"廣干『々3.

材料三：我們有時乂需要把分子、分母乘以分子的有理化因式從而去掉分子中的根號，這個過程就是分子

2+鳳立牛92y可

有理化,如:

2-x/32-62-V3

【問題解決】

任務一：請寫出血的一個有理化因數為

任務二：而-占與-括-而是否互為有理化因式？若是，請說明理由；若不是，請寫出布-石的一個

5

有理化因式：

【知識應用】

（D請利用分母有理化知識'化簡：六十的七方+了匕+八+花匕丁；

（2）請利用分子有理化知識，比較大小：而X-而訝與7^5記-而芯.

21.（8分）為優化旅游體驗，山西省文旅局在2025年國慶假期后，隨機抽取了部分游客，對兩條經典旅游

線路：A：“晉商文化探秘”線（平遙古城、喬家大院等），B："黃河風情體驗〃線（壺口瀑布、碇口古鎮等）

的滿意度進行了百分制評分調查.

收集與整理：每條線路收集了20份有效評分，初步計算的部分統計量如下：

線路A的評分情況

86-90分評分的具體分值

8890878689889087

線路B的評分情況

分數（分）7578828690949799

人數（人）32423231

6

線路A和線路B評分箱線圖時比

分數

IGO-

95

90-

85-

80-

75-

70-

線路A線路B

描述與分析：兩條經典旅游線路評分的平均數、眾數、中位數、方差如下:

線路平均數（分）眾數（分）中位數（分）方差

A86.592b18.05

BCa8662.9475

根據以上信息，回答下列問題:

（1）統計表中，b=.

⑵求出統計表中c的值.

（3）利用表中兩個統計量及箱線圖對線路A,B的評分情況進行分析.

22.（12分）【問題背景】趙爽弦圖是中國古代數學家趙爽為證明勾股定理設計的幾何圖形.鄭州市中原區

某中學的數學實驗室社團在“數學文化節”上展示了這個經典圖形：四個直角三角形較大的直角邊長都為a,

較小的直角邊長都為斜邊長都為大正方形的面積可以表示為cL也可以表示為4xgH+（〃-6）2,

由此推導出勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為。力，斜邊長為。，則/+〃=°.2.

⑴【探索求證】數學實驗室里，學生用硬紙板拼出如圖②的模型：RI1叱與RI△以C按如圖所示位置放

置，其中44=/8=/OEC=90。，請你利用圖②推導勾股定理.

（2）【問題解決】中原區某學校在東西走向的操場北側有一個花園C,操場邊原有兩個取水點4B（A,B、H

在同一直線上），其中=可操場改造，。路封閉，學校決定在操場邊新建取水點，并修新路C",

且。〃148.測得C〃=24米，"6=18米，求新路C”比原路口少多少米？

⑶【延伸擴展】在問題解決中若/仍工力。時，CH1AB,4C=15米，水?=18米，48=21米，求力〃的

長度？

7

23.（12分）如圖1,平面直角坐標系中，直線y="+力與戈軸交亍點力（6,0）,與y軸交于點B,與直線y=2x

交于點C（a,4）.

（2）如圖2,在x軸上有一點￡,過點￡作直線/_Lx軸，交直線J；=2x于點凡交直線y=Ax+6于點G,若

點E的坐標是（4,0）,求△CG/的面積；

⑶在平面內找一點〃，使其與點。、C、8構成平行四邊形，請直接寫出點〃的坐標.

8

24.（12分）在數學學習中，要善于運用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣.

圖1圖2圖3備用圖

⑴觀察發現

如圖1,將正方形/4CQ折疊，使點力的對應點彳落在8c邊上,折痕分別與48,CD交于點E,F,則

折痕EF和AA1的數量和位置關系分別是

⑵類比探究

在（1）的條件下，設比與力彳交于點O,連接8。交E產于點G,如圖2.求證：OG=OE+GF；

⑶拓展應用

如圖3,正方形的邊長為9,點M是邊上的一動點，點N在邊CQ上，且CN=4.連接MN,將

正方形/8CQ沿折疊，使點力，。分別落在點P,。處，當點。落在直線4c上時，請直接寫出線段4必

的長.

9

2025-2026學年八年級下學期期末模擬卷

數學?全解全析

（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：新教材人教版八年級數學下冊全部。

第一部分（選擇題共30分）

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合

題目要求的）

1.下列x的值，能使&b有意義的是（）

A.-1B.0C.2D.4

【答案】D

【詳解】解：J口在實數范圍內有意義，需滿足X-3N0,

解得x23,

A.-K3,故本選項不符合題意；

B.0<3,故本選項不符合題意；

C.2<3,故本選項不符合題意；

D.4>3,故本選項符合題意；

故選：D.

2.下列各組數中，不能構成直角三角形的是（）

A.1、3、MB.5、12、13C.8J5J7D.百、〃、石

【答案】D

【詳解】解：A.???最長邊為JI5，/+32=1+9=10=（而■），

???該組能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

B.???最長邊為13,52+122=25+144=169=132,

???該組能構成直角三角形，故此選項不符介題意；

C.??,最長邊為17,82+152=64+225=289=172,

10

，該組能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

D.???最長邊為（可+（在j=3+4=7,陰2=5,

??.（6）2+（4）2工（石）2，

???該組不能構成直角三角形，故此選項符合題意.

3.已知點（-2,M），（-1必），（咫）都在直線y=-3x+方上，則耳、必、必的值大小關系（〕

A.%>必>為B.y}>y2>y.c.y]<y2<y3D.y,<y[<y2

【答案】B

【詳解】解：???直線y=-3x+b中，左=一3<0,

???），隨著x的增大而減小.

*/-2<-1<1,

工人>%>%?

故選:B.

4.杲小組7位學生的中考體育模擬測試成績依次為55,60,59,57,60,58.60,則這組數據的眾數與中

位數分別是（）

A.60,59B.60,55C.59,60D.60,58

【答案】A

【詳解】解：數據按從小到大排序為：55,57,58,59,60,60,60,

,:眾數為出現次數最多的數，60出現3次，次數最多，

:.眾數為60：

???數據個數為7,中位數為第4個數，

:,中位數為59,

???這組數據的眾數、中位數分別是60,59.

故選：A.

5.已知x,y滿足等式+廬7=0,是石的小數部分，則V+（石+2）/〃的值為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【詳解】解：x，y滿足等式在;+5]二。，VT工20,歷1之。，

Ax-2=0,y+l=0,

解得x=2,歹=一1,

是石的小數部分，2="（石<囪=3，

11

??陽=y/5—2，

A/+(V5+2)W=(-1)2+心+22)=1+5-4=2.

6.如圖，在長方形力8c。中，CZ)=6,/1D=8.將長方形/BCD沿折疊后，使點。恰好落在對角線4。

上的點尸處，則Eb的長為()

【答案】B

【詳解】解：在長方形/8C。中，。。=6"。=8,[)0=90°,

**?AC7Abi=10>

由折疊的性質得：CF=CD=6,EF=DE,NCFE=ND=90。,

：.AF=AC-CF=4,ZAFE=W,

設E/7=DE-x,則AE=8-x,

在Ri"所中，AE~=AF2+EF1?

A(8-x)2=42+X2,

解得：x=3,

艮f]￡F=3.

7.在同一平面直角坐標系中，函數y=〃?XT和8=x+〃?的圖象可能是()

【詳解】解：A.一次函數必=加-1的圖像經過第二、三、四象限，則膽＜0；一次函數為=1+加的圖像

經過第一、三、四象限，則加＜0,不存在矛盾，符合題意；

12

B.一次函數必=x+〃?的圖像經過第一、二、四象限與％=1矛盾，不符合題意；

C.一次函數必=x+m的圖像經過第一、二、四象限與左=1矛盾，不符合題意；

D.?次函數必=〃及-1的圖像經過第、三、四象限，則m>0；?次函數為=x+，〃的圖像經過第二、三、

四象限，則6<（）,二者存在矛盾，不符合題意.

故選：A.

8.如圖，一個長方體盒子長48=6cm,寬4C=4cm,高CG=4cm.如果在盒子外表面從點力到點G粘

貼裝飾條，裝飾條的最小長度為“cm,這個長方體盒子內能容下木棒的最大長度為反m,則處人的值為（）

A.。=2的，b=2歷B.。=10，b=2出

C.。=10,方=10D.a=2\/79>b=l。

【答案】B

【詳解】解：根據題意，分兩種情況：

將長方體盒子的兩個面展開成平面圖形，如圖：

BG=BF+FG=8cm,

在中，AG=y/AB2+BG2==10cm>

將長方體盒子的兩個面展開成平面圖形，如圖：

???AB=6cm,BC=C,G=4cm,

在RIAXCG中，AG=y/AC2+CGl=V102+42=2V29cm，

將長方體盒子的兩個面展開成平面圖形，如圖：

vAB=6cm,CG=BF=BC=FG=4cm,

在Rt^AFG中，AG=\IAF2+FG2=VlO2+42=2歷cm，

13

V2x/29>10?

?二裝飾條的最小長度為。=10cm；

如圖:vAB=6cm,5C=AD=4cm,

乂VDH=CG=4cm,

在RtdBDH中，BH=JBD'DH?=J52+4=2Mcm，

???這個長方體盒子內能容下木棒的最大長度為/）=2JI7cm.

9.如圖1,在恒48C中，力3邊上的高為CG,動點P從點力出發沿折線〃8-灰7-0勻速運動至點力后停

止.設點。的運動路程為工,線段彳尸的長度為V,圖2表示V與工的函數關系的大致圖象，其中點廠表示

曲線。E的最低點，結合圖形與慳象試探究CG值為（）

D.史

5

【答案】D

【詳解】解：由圖象得，當x=10時，點P到達點8處，當x=19時，點尸到達點C處,

???49一10,BC=19-10=9,

如圖，過點4作42,8c于點0,當P與。重合時，4P最小，此時BQ=16-10=6,

，AQ=^AB2-BQ2=V102-62=8，

14

丁CGIAB,

：.S=-4BCG=-BCAQ，

A/AlBotC22=

A-xl0xCG=-x9x8,

22

解得CGq，

故選：D.

10.如圖，在o"C。中，NZ)8C=45°，DE上BC于E,B尸LCD于F,DE,"相交于，，延長跖交力。

的延長線于點G.下列結論：①BD=x[iBE；②/力=N4"E；③AB=BH；④△BCFQDCE；

⑤OE+EC=4).其中正確的結論有()

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】B

【詳解】解：?；.4BCD中,NO8c=45°,DEIBC于E,

:.Z5DE=90°-45°=45°,

:.BE=DE,ABDE是等腰直角三角形，

,BD=dBE2+DE2=C.BE,故①正確：

?:DE人BC于E,BUCD于F

：.ABHE+ZHBE=ZC+NHBE,

J/BHE=/C,

??,任口A8CO中，ZJ=ZC

：.NBHE=NA,故②正確；

?:BE=DE,/BEH=NDEC=90。,NBHE=NA,

BEHADEC,故④錯誤；

BH=DC,

???在口48CO中，AB=DC,AD=BC

AAB=BH,故③正確；

DE+EC=BE+EC=BC=AD,故⑤正確；

故選：B.

第二部分（非選擇題共90分）

15

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

11.使得丁二有意義的X的取值范圍是—?

V2025-X

【答案】"2025

【詳解】解：若刊=有意義,

V2025-X

2025-x>0

則I-------，

,2025-x#0

解得XV2025,

故答案為：x<2025.

12.陜西省體校準備派一名射箭運動員參加大學生運動會的射箭項目比賽.教練員對甲、乙兩名射箭運動

員進行了6次選拔比賽.根據收集到的數據，繪制成如下統計圖，甲運動員成績的方差S；,乙運動員成績

的方差S；.則麻si（填“>〃"="或

甲、乙運動員的射淅成績

▲環數/環

甲:

乙:

0Ii3456

【答案】<

6+74-8+8+6+742)

【詳解】解：甲平均數為--------------------------=—=7,

66

甲方差為(6—7)~+(7_7)-+(8―丁田8―丁田6—力一*7一[11+0+1+1+1+0=2.

6一6一3’

乙平均數為8+1°+8+3+7+6=絲=7,

66

(8-7)2+(10-7)2+(8-7)2+(3-^2X7-V-<6-[[1+9+1+16+0+1_14

6-6一口

即跖<53

故答案為：<.

13.如圖，是函數必=h+b與%=加丫+〃的圖象，則關于x的穴等式去+6>〃a+〃的解集是

16

【詳解】解：???交點坐標可知，當x<-2時，函數乂+6的圖象位于函數為=〃5+〃的圖象的上方，

，不等式Ax+/?>+〃的解集為工<-2?

14.如圖，分別以用“8C的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為，、S2、S3，若5=6,S?=9,則*=

【詳解】解：:在直角出/出C中，AB2=AC2+BC2,

221

又TSI=BC,S2=AC,=AB,

=5,+52=6+9=15.

故答案為：15.

15.如圖，矩形/8C力中，AB=2,4。=3,點￡是邊力。上的動點，點尸在邊C。上，C尸=OE.連接力F、CE,

則V+CE的最小值為—.

【答案】標

【詳解】解：如下圖，在上取點使得C"=CQ,連接HF,過點〃作HG_L4。于點G,作點力關

于CD的對稱點H,連接力N,

17

:四邊形力8c。為矩形，AB=2,力。=3,

:?/ADC=ZDCB=9/，CD=AB=2,

在公“C五和△”)￡中，

CF=DE

?/HCF=NCDE=9。。,

CH=CD

：.^HCF知CDE(SAS),

:?HF=CE,

???點4與點H關于CZ)對稱，

AAF=AFf,A,D=AD=3,

,

???AF+CE=AF+HFt

當點H、F、H三點共線時，4尸+〃尸取最小值，即力少+CE取最小值，

此時???4HCD=4CDG=ZHGD=90°,

???四邊形"GOC為矩形，

：.GD=CH=CD=2,GH=CD=2,

???/G=HO+￡>G=5,

,A'H=y]HG2+AG2=>/22+52=V29，

???此時AF+CE=A,F+HF=A,H=729,即力產+Cf的最小值為曬.

16.如圖，正方形48CO的頂點力，。分別在X軸，y軸上，點8(-7,5)在直線/：)，=依-2上，直線/分

別交x軸，N軸于點E,F,將正方形48co沿N軸向下平移，〃個單位長度后，點C恰好落在直線/上，則

M的值為.

【詳解】解：???點8(-7,5)在直線卜二履-2上,

.??5=-74-2,

解得左=-1,

???直線/的解析式為y=-x-2；

18

如圖，過點4作為WJ_x軸于點過點。作CN_Ly于點N,則0W=7,BM=5.

???四邊形力灰?。是正方形，

AD=AB,/BAD=90。,

???AOAD+ZBAM=90°,

又：^OAD+ZADO=90°,

???/BAM=AADO,

40。=/8M4=90。

在LAOD和&BMA中，ZADO=4BAM

AD=BA

???AAOD=ABMA（AAS）,

/.0A=BM=5,OD=AM,

AAM=OM-OA=1-5=2,貝1］。。=2,

同理，證明"OOmDVC（AAS）.

.\OD=NC=2,AO=DN=5,

:,NO=OD+DN=7,

???點。的坐標為（-2,7）.

將正方形沿歹軸向下平移機個單位后，點C的對應點坐標為（-2.7-加），

???該點在直線/i=-工-2上，

,\7-7?=-（-2）-2,

解得機=7；

故答案為：7.

三、解答題（本大題共8小題，滿分72分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（6分）經銷商準備從某草莓種植基地購進草莓進行銷售，設經銷商購進草莓工千克，付款V元，V與x

之間的函數關系如圖所示.

19

⑴求出力8段N與x之間的函數表達式；

（2）當該經銷商付款420元時，該經銷商購進多少千克草莓？

【詳解】（1）解：設48段y與x之間的函數表達式為），二船+6,

?.?點（10,300）,（25,480）在該函數圖象上,

10%+/)=300

25k+6=480

k=12

解得《

〃=180

即14段N與x之間的函數表達式為y=12x+180；……（4分）

（2）將丁=420代入歹=12x+180,得：420=12x4-180,

解得x:20,

答：當該經銷商付款420兀時，該經銷商購進20千克草布.……（6分）

18.（6分）在圖1、圖2所示的方格中，每個小方格的邊長都為1.

（1）在圖1中分別畫出長度為9和2應的線段AB和CD,要求線段的端點在格點上;

⑵在圖2中畫出一個三條邊長分別為5,石，2石的三角形，使它們的頂點都在格點上，并直接寫出這個

三角形的形狀.

【詳解】（1）解：所作線段48和。。如圖所示（圖不唯一）：……（2分）

（2）解：所作三角形如圖所示（圖不唯一）：

20

?.?（石『+（2司=5+20=25=5?,

???該三角形為直角三角形.……16分）

19.（8分）如圖，已知四邊形/8C。中，E、F、G、”分別是四條邊力8、BC、CD、。力的中點，AC、

8。是對角線，連接防、FG、GH、HE.

（1）證明：四邊形EFGH為平行四邊形；

（2）若,則四邊形EFG”是菱形?請從①力C_L8。；②4C=4。這兩個選項中選擇一個作為條件，使

結論成立.（填序號）

【詳解】（1）證明：???￡：、F、G、〃分別是四條邊BC、CD、的中點，

:'EF、G”分別為出力8C、△4）。的中位線，

:.EF〃AC,EF=-AC,GH//AC,GH=-AC,

22

AEF//GH,EF=GH,

二?四邊形為平行四邊形；……（4分）

（2）解：???F、G分別是四條邊B。、8的中點,

.?.%為48。。的中位線，

:.FG=-BD,

2

當NC=8O時，M=〃G,則平行四邊形MGH是菱形.……（8分）

20.（8分）【閱讀材料】

材料一：我們規定，如果兩個含有二次根式的式子的積中不含二次根式，我們就稱這兩個含有二次根式的

式子互為有理化因式，其中一個式子叫作另一個式子的有理化因式.

材料二：我們在進行二次根式的億簡時，有時需要把分子、分母乘以分母的有理化因式從而去掉分母中的

12-/32-J3。片

根號,這個過程就是分母有理化,如：不/T僅+⑹（2.四二三西=?9

材料三：我們有時又需要把分子、分母乘以分子的有理化因式從而去掉分子中的根號，這個過程就是分子

有理化,如:2+石=色羋92y可1

2-V32-也2-也

21

【問題解決】

任務一：請寫出血的一個有理化因數為;

任務二：而-君與-行-而是否互為有理化因式？若是，請說明理由；若不是，請寫出布-石的一個

有理化因式：

［知識應用】

（1）請利用分母有理化知識'化簡：占+尋丁2￡扃;

（2）請利用分子有理化知識，比較大小：而石-而方與亞記-

【詳解】解：任務一：?.?&x&=2,2為有理數.

???拉的?個有理化因式為血；

任務二：V（VH-V5）X（-^-jr）=-（jT->fr）

=一［（而尸一（⑹2］

=-（ll-5）=-6,—6為有埋數，

???加一石與一石一JR互為有理化因式.

知識應用：（1）、:垃=母一工

—r—~―=班一6

V2+V3

1（T

—j=——7==A/66-V65,

\/65+V66

111、1

=（無_>/［）+（百-揚+（G揚+???+（瘋?屈）

=、’66—V?=J66—1?..........（4分）

⑵3.國=（放一闡呼+由

V2025+V2024

2025-2024

-、/2025+,2024

I

―《2025+J2024，

V2026-V2025

22

_(而函-而兩(而西+而西

短026+也02$

2026-2025

-V^+x/^

1

?x^2026+V2025，

?.?、2026+V2025>J2025+42024，

?-------1------<-------1-------

,^/2(j26+^/2(jFV2025+>5Q2A'

即J2026-J2025vS025—S024...........(8

21.（8分）為優化旅游體驗，山西省文旅局在2025年國慶假期后，隨機抽取了部分游客，對兩條經典旅游

線路：A：“晉商文化探秘〃線（平遙古城、喬家大院等），B："黃河風情體驗〃線（壺口瀑布、碇口古鎮等）

的滿意度進行了百分制評分調查.

收集與整理：每條線路收集了20份有效評分，初步計算的部分統計量如下：

線路A的評分情況

86-90分評分的具體分值

8890878689889087

線路B的評分情況

分數（分）7578828690949799

人數（人）32423231

線路A和線路B評分箱線圖對比

分數

描述與分析：兩條經典旅游線路評分的平均數、眾數、中位數、方差如下:

線路平均數（分）眾數（分）中位數（分）方差

23

A86.592b18.05

BCa8662.9475

根據以上信息，回答下列問題:

⑴統計表中Q=，b=.

⑵求出統計表中c的值.

（3）利用表中兩個統計量及箱線圖對線路A,B的評分情況進行分析.

【詳解】（1）解：線路B收集的評分中出現次數最多的是。=82,

75x3+78x2+82x4+86x2+90x3+94x2+97x3+99x1

（2）解：c=----------------------------------------------------=86.45（分）

20

答：統計表中c的值為86.45分.……（6分）

（3）解:從平均數來看，線路力略優于線路8,說明線路力平均滿意程度略高于線路以

從眾數來看?，線路力中92分＞82分，說明線路力大眾滿意度優于線路僅

從中位數來看，88分,86分，在箱線圖中也能說明線路4的中等水平好于線路氏

從箱線圖可以看出：力線路中位數高，箱子短，數據集中，說明力線路整體口碑好，游客評價高；〃線路中

位數低，箱子長，數據分散，整體評分不高，評價差異較大.……（8分）

22.（12分）【問題背景】趙爽弦圖是中國古代數學家趙爽為證明勾股定理設計的幾何圖形.鄭州市中原區

某中學的數學實驗室社團在“數學文化節”上展示了這個經典圖形：四個直角三角形較大的直角邊長都為。，

較小的直角邊長都為人，斜邊長都為。，大正方形的面積可以表示為也可以表示為4x：而+（〃-8）。

由此推導出勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為“力，斜邊長為C,則/+〃=°2.

圖①

⑴【探索求證】數學實驗室里，學生用硬紙板拼出如圖②的模型：Ra/lOE與RaEAC按如圖所示位置放

置，其中乙4=N8=NQEC=90。，請你利用圖②推導勾股定理.

（2）【問題解決】中原區某學校在東西走向的操場北側有一個花園C,操場邊原有兩個取水點4B

在同一直線上），其中=因操場改造，。路封閉，學校決定在操場邊新建取水點〃并修新路C”,

且CH4B.測得C"=24米，〃8=18米，求新路CH比原路C/少多少米？

⑶【延伸擴展】在問題解決中若/。￥力。時，CHA.AB,力。=15米，=米，彳8=21米，求4H的

長度?

24

【詳解】⑴解：?”梯形二仁^^二如+超+＞卜

又YS梯彩=^ab+^c2+^ah=ab-^^c2,

;是同一圖形的面積，面積相等，

.*.—a2+ab+—b2=ab+—c2,

222

/.a2+b2=c2........(4分)

(2)解：設C/為x米，則48=.4C=x米，4/=(x—18)米，

-CH1AB,

???/CHA=NCHB=90°,

???在彳中，ZCHJ=90°,C”=24米，

/.AC2=AH2+CH2,

即r=242+(x-18)2,

解得：x=25.

CA=25(米)，

:.CA-CH=25-24=\(米)，

.??新路C〃比原路C4少1米.……(8分)

(3)解：由題意設：4〃為y米，

又?.?4C=15米，8C=I8米，力4=21米，

:.HB=AB-AH=(2\米，

?；CHA.AB,

ZCHA=ZCHB=90°,

「?在中，^CHA=90°,

CH2=AC2-AH2=\$-y2,

在Rt4CHB中，ZCH5=90°,

CH2=CB2一/?=16-(21-y『，

.?,152-/=182-(21-^)2,

57

解得：y=y,

.?J”的長度為弓米.……(12分)

23.(12分)如圖1,平面直角坐標系中，直線卜=履+8與x軸交7點4(6,0),與y軸交于點氏與直線y=2.t

交于點

25

⑵如圖2,在x軸上有一點￡,過點E作直線/_Lx軸，交直線y=2x于點R交直線y=h+〃于點G,若

點E的坐標是（4,0）.求△CG廠的面枳：

⑶在平面內找一點〃，使其與點0、C、8構成平行四邊形，請直接寫出點〃的坐標.

【詳解】（1）解：??,點。（。,4）在直線0=2x上,

：.2a=4,

解得a=2,

???C（2,4）：

2k+b=4

將N（6,0）,C（2,4）代入直線曠=h+匕得，

6k+b=0

???直線48的解析式為y=-x+6；……（3分）

（2）解：七（4,0）,

??.尸(4,8),G(4,2),

.?,GF=8-2=6,

?.?凡薪二；6門2-%|=6.......（6分）

（3）解：設"（p,q）,

???直線AB的解析式為y=-x+6與y軸交于點B,

x=0,j=-0+6=6,

/.5(0,6),

???在平面內找一點，，使其與點。、C、8構成平行四邊形,

①當”8,OC為對角線，

26

#H+XB)=#O+%)

**I1z\1zJ

弓(切+%)=亍(％+")

則卜〃+4=%+%

'1切+%=%+汽

VC(2,4),0(0,0),8(0,6),

p+0=0+2

”6=0+4

/.p=2?g=-2,

???”(2,-2)；

②當"C,80為對角線，

；(》“+%)=*/+%)

***11z、1//

5(%+%?)=](%+%)

則/