3.6 正多邊形與圓（基礎達標）（解析版）

3.6正多邊形與圓題型一求正多邊形的中心角1．如圖1為傳統建筑中的一種窗格，圖2為窗框的示意圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，連接AC,CF，則∠ACF的度數為（

）A．35° B．32° C．25° D．30°【答案】D【分析】設正六邊形ABCDEF的中心為O，連接AO，由正多邊形的性質，得到∠AOF=60°，OA=OC，則∠ACF=∠OAC，再根據三角形外角的性質求解即可.【詳解】解：設正六邊形ABCDEF的中心為O，連接AO，則∠AOF=360°6=60°∴∠ACF=∠OAC，∴∠ACF=12．正三角形的中心角等于_____度，正方形的中心角等于_____度，正六邊形的中心角等于____度．【答案】1209060【詳解】解：正三角形邊數n=3，中心角為360°3正方形邊數n=4，中心角為360°4正六邊形邊數n=6，中心角為360°63．已知正多邊形一個內角的度數是150°，那么該正多邊形中心角的度數是_____．【答案】30°【詳解】解：∵該正多邊形的一個內角為150°，∴該正多邊形的一個外角為180°-150°=30°，∵任意多邊形的外角和為360°，∴該正多邊形的邊數n=360°∵正多邊形的中心角和為360°，∴該正多邊形的中心角為360°124．拙政園的天泉亭因亭內正中一口元代古井——天泉井而得名，天泉亭形制為重檐八角攢尖亭，從亭子正上方俯瞰，呈正八邊形（如圖），圖中△OCD是由△OAB繞著點O按逆時針方向旋轉一定角度得到，則旋轉角的度數為________°．【答案】90【詳解】解：∵俯視圖呈正八邊形，∴正八邊形的中心角為360°8即∠AOB=∠BOC=∠COD=45°，∵△OCD是由△OAB繞著點O按逆時針方向旋轉得到的，∴線段OA旋轉后的對應線段為OC，線段OB旋轉后的對應線段為OD，∴旋轉角為∠AOC，∴旋轉角∠AOC=∠AOB+∠BOC=45°+45°=90°．題型二與邊長有關的計算1．如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為3，則AB的長為（

）A．2 B．3 C．3 D．2【答案】B【詳解】解：∵正六邊形ABCDEF內接于⊙O，⊙O的半徑為3，∴∠AOB=360°6=60°∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=3．2．已知圓的內接正四邊形的邊長為4，則這個圓的內接正六邊形的邊長為______．【答案】2【詳解】解：連接OA，OB，作OE⊥AB于E，如圖所示：∵四邊形ABCD是正四邊形，∴∠AOB=360°又∵AB=4，∴OA=OB,AB∴OA=OB=2正六邊形如圖所示：連接ON,OM，則∠AOB=360°÷6=60°，∵NO=OM，∴△ONM是等邊三角形，∴MN=ON=22故答案為：223．在半徑為8的圓形紙片上裁出一個邊長最大的正六邊形，則這個正六邊形紙片的邊長應為______．【答案】8【詳解】解：如圖，由題意：∠AOB=360°6=60°∴△AOB為等邊三角形，∴AB=OA=8，即這個正六邊形紙片的邊長是8．故答案為：8．4．將四個正六邊形按如圖所示的方式擺放在如圖所示的圓中，頂點A，B，C，D，E，F均在圓上．若兩個大正六邊形的邊長均為4，則小正六邊形的邊長為_____．【答案】13-1/【詳解】解：連接AD交PM于O，則點O是圓心，過點O作ON⊥DE于N，連接MF，取MF的中點G，連接GH，GQ，連接MD交ON于R，∵兩個大正六邊形的邊長均為4，∴由正六邊形對稱性可知，OM=OP=EN=DN=2，由正六邊形的性質可得∠ORM=∠DRN=30°，∴RM=2OM=4，RD=2DN=4，∴OR=RM2∴ON=OR+RN=43∴OD=D∴MF=213由正六邊形的性質可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FH=1故答案為：13-1題型三與面積有關的計算1．如圖，有一個亭子，它的地基是邊長為4?m的正六邊形，則這個正六邊形地基的面積是_________m【答案】24【詳解】解：如圖，設正六邊形的中心為O，連接OA、OB，過點O作OD⊥AB于點D∵多邊形是正六邊形∴∠AOB=∴△∴OA=OB=AB=4∵OD⊥AB∴AD=在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD=∴∴正六邊形的面積為：6×S△2．如圖，邊長相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起，已知正方形面積是2，那么非陰影部分面積是______．【答案】2+42/【詳解】解：∵正方形面積是2，∴其邊長為：2，如圖，將正八邊形的每一條邊延長可得正方形ABCD，∵正八邊形的每個內角為180°-360°∴∠AEF=45°，∴△AEF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，AE=∴AB=2∴正八邊形的面積為：S==4+42∴非陰影部分面積是S正八邊形故答案為：2+423．苯（分子式為C6H6）的環狀結構是由德國化學家凱庫勒提出的，隨著研究的不斷深入，發現如圖1的一個苯分子中的6個碳原子形成了正六邊形的結構，其示意圖如圖2所示，點O為正六邊形ABCDEF的中心．若CD=1【答案】3【詳解】解：∵ABCDEF是正六邊形，點O為中心，∴AB=BC=CD=DE=EF=AF=1，OC=OD，∴∠COD=360°÷6=60°，∴△COD是等邊三角形，∴OC=CD=1，正六邊形的面積為6S過點O作OH⊥CD，如圖所示：∴CH=1∵OH⊥CD，∴OH=C∴6S故答案為：334．如圖所示正六邊形ABCDEF的面積為6，點M是邊EF的中點，連接AE、CM相交于N，若四邊形AFMN的面積記作a，四邊形CDEN的面積記作b，則b-a的值是（

A．32 B．1 C．3 D．【答案】B【詳解】解：連接AD,BE,CF,CE，如圖所示：

由正六邊形的對稱性可知：S∠AOF=∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=360°÷6=60°∴△AOF，∴四邊形AOEF,OCDE是菱形S同理，S∵S∴S∵點M是邊EF的中點∴S∵S∴Sb-a=故選：B題型四求正多邊形的邊數1．如圖，AB為弦，若∠ABC=30°，弦AC是圓內接正多邊形的一邊，則該正多邊形為（

）A．正五邊形 B．正六邊形 C．正七邊形 D．正八邊形【答案】B【詳解】解：如圖，連接OA,OC，∵∠ABC=30°，∴∠AOC=60°∵弦AC是圓內接正多邊形的一邊，則該正多邊形的邊數為36060即該正多邊形為正六邊形2．如圖，點A,B,C,D為一個正多邊形的部分頂點，點O為正多邊形的中心，若∠AOD=120°，則這個正多邊形的邊數為（

）A．6 B．9 C．10 D．12【答案】B【詳解】解：如圖：連接OC、∵點O為正多邊形的中心，∠AOD=120°，∴∠AOB=1∴360°÷40°=9，∴這個正多邊形的邊數