2026年廣東省廣州市高三考前沖刺訓(xùn)練（二）數(shù)學(xué)試題與答案

2026年普通高中畢業(yè)班考前沖刺題（二）

數(shù)學(xué)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合4={乂k一2|>1},B={x\x<a},=則實數(shù)〃的取值范圍為

A.(-oo,l]B.(-<?,3]C.[l,+oc|D.[3,+00)

2.已知a。￡R,則“2“v2'”是“l(fā)og?a<1°§2b”的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知圓錐的母線長為2夜，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的底面半徑為

A.2B.2X/2C.V?口.卓

4.在△ABC中，AE=-AB,AD=-AC,8。和CE交于點0,則空為

35OD

A.3B.4C.5D.6

5.在某馬拉松比賽活動中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往4、鳳C三個服務(wù)站，若每

個服務(wù)站至少派一位志愿者，旦每位志愿者只能被派往一個服務(wù)站，則在甲被派去8服

務(wù)站的條件下，甲、乙被派去不同服務(wù)站的概率為

1c1r5

A.—B.—C.—D.—

6236

6.已知函數(shù)/（力=2-+2、,若關(guān)于〃，的不等式/（⑼-/（26+3）＞0恒成立，則實數(shù)〃，的

取值范圍是

A.（一co,-3）U（-1,+8）B.[3,；）

C,卜工-|）2）＜-|,+8）

7.已知橢I員IC：《+工=13＞匕＞0）的左頂點為A,0為坐標(biāo)原點，在C上存在點尸，使

a~b~

得NA尸0二工，則C的離心率的取值范圍為

2

8.已知曲線)，=V-x與曲線)，=/+〃有四條公切線，則實數(shù)。的取值范圍是

1

D.一,+8

4

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有詵錯的得0分.

9.已知復(fù)數(shù)z「z2,則下列命題成立的有

A.z；卜|z『,〃cZB.若卜+22閆4—z?],則ZR=0

/\一

C.若z；+z；=0,則聞=㈤D.—==■

』JZ2

10.已知拋物線屈y2=2px(p>0)的焦點為人以D(p,o)為圓心，。尸為半徑得到圓￡),

圓上有一點(P，l).過點尸的直線與E交于RQ兩點，與圓。另交于點M,則

A.〃=2B.當(dāng)|"|二4歸0|時，P的橫坐標(biāo)為2

C.當(dāng)|P尸|=4|FQ|時，|MF|=|D.|FM||P(2|<|FP||Fe|

11.在非等腰A4BC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且角A,8滿足

cos2fi-cos2A=sin(X-fi),貝ij

A.a2=b24-c2

B.tanAtanB=1

C.記c上的高為力，則鬻的取值范圍為|半」)

D.△ABC的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、周長能構(gòu)成等比數(shù)列

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.在(l+x)+(l+X)2+(l+x)3+(l+x)4的展開式中，含f項的系數(shù)為一.(用數(shù)字作答)

13.若矩形的邊長之比為:，一條對角線所在直線的斜率為2,則矩形的一組鄰邊所在直線

的斜率為，.(寫出滿足條件的一組即可)

14.在直三棱柱ABC-ABC中，M,N分別在棱8修，上,且。4二：。百，

BM=gBBr過點A,M,N的截面把直三棱柱ABC-ABC切割成體積不同的兩部分,

記較小部分的體積為V，較大部分的體積為匕，則券=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

在數(shù)1和100之間插入〃個實數(shù)，使得這〃十2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這〃十2個

數(shù)的乘積記作7；,令《,=1g7；.

(1)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式；

(2)若2=—————，求數(shù)列也｝的前〃項和卻

COSQ〃?COS%+]''

16.(15分)

已知函數(shù)f(x)=\nx-nvc24-Inm(m>0)

(1)當(dāng)加=1時,求曲線y=f(x)在％=1處的切線方程;

(2)已知函數(shù)g(x)=m/，若/>0時，/(x)2g(x)恒成立，求實數(shù)用的取值范

17.(15分)

如圖，四面體A3CO中，4O_LC。，AD=CDtZADB=^BDC,七為AC的中點.

(1)證明：平面8EO_L平面ACO；

(2)設(shè)A8=8O=2,ZACB=60°,點尸在上，

①求四面體ABCD與其外接球的體積比(化為最簡形式)；

②當(dāng)△AFC的面積最小時，求CF與平面A3。所成的角的正弦值.

A

18.（17分）

已知拋物線r：/=4A,。為坐標(biāo)原點，點A,3在曲線「上，直線。4,0B斜率之

積為——.

2

（1）求證：直線過定點；

（2）若圓。面積為4兀,直線。4,03與圓C都相切,

①訐明:圓心。在定曲線W匕并求曲線W的方程:

②若直線04與曲線W交于E、尸兩點，直線0B與曲線卬交于M、N兩點，求

|E*MN|的最大值.

19.（17分）

一個小盒里有6個除顏色外完全相同的小球，其中4個黑球，2個紅球，從盒子中每次

隨機(jī)取出一個小球，若取出黑球，則放回小盒中；若取出久球，則有兩種不同的操作，操作

一：把取出的紅球放回小盒，并往小盒里加入2個紅球；操作二：用1個除顏色外完全相同

的黑球替換該紅球放【可小盒中.

（1）分別計算在兩種操作下，抽兩次球，第二次取到的球是紅球的概率；

（2）在操作二的前提下:

①求在第〃（〃22）次抽球時，抽到的球恰好是第二人紅球的概率（結(jié)果用〃表示）.

②現(xiàn)規(guī)定當(dāng)兩個紅球都被抽出來時停止.抽球，旦最多抽球10次，第10次抽球結(jié)束后無

論盒中是否還有紅球均停止抽球，記抽球的次數(shù)為X,求X的數(shù)學(xué)期望.

2026年普通高中畢業(yè)班考前沖刺題（二）

數(shù)學(xué)參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

12345678

ABCCDCBB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯

的得0分.

9.ACD10.AC11.BCD

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

149

12.1013.一1,I或7,-一（寫出一組即可）14.—

759

I部分試題解析］

5.【詳解】記“甲被派去B服務(wù)站”為事件A,“甲、乙被派去不同服務(wù)站”為事件B,

則〃(4)=C：C：4=12,〃(AB)=(C：—l)C；&=10,所以「(3|A)=半程

n(A)o

6.【詳解】由/（司=27+2-，=2（2，“+2一1）,易得y=/（x）關(guān)于x=—l對稱,

設(shè)，=x+l,則gQ）=2（2'+2T）（f〉0）單調(diào)遞增，所以在（一l,xo）上單調(diào)遞增,

所以Im一（一1）1>|2〃-3-（-1）|,解得一3<〃?<—?

3

7.【詳解】假設(shè)存在點尸（%,穌），則（％+q）2+）片=4，

222

所以（X+42+/（］-馬=￡,化簡得+?+「2=0在所0）上有解，

°2a24a2

t<廠

易知x=-a是方程的一解，只需對稱軸“"一三’一“，解得￡>乂2,所以eg

J)

2-a2

8.【詳解】設(shè)曲線y=f+〃上的切點為（百，y）,曲線）'=M-x上的切點為伍,巴），

2玉=3x；-1

則切線方程分別為y=2內(nèi)x-X；+卬)，=(3后一1)無一2石，所以＜

-x；+ci——2上

即4=H一2石=呢-要+1_2石所以4a-1=9^2-8考-6x?

令h(x)=9x4-8x3-6x2,H.A(x)=12x(3x+l)(x-1)

751

結(jié)合圖象可得，當(dāng)一一＜4f/-l＜0,即一＜。＜一

27274

10.【詳解】拋物線Ey?=2px的焦點為尸(go),圓。方程為(x-p)2+)，2=f,對于A,

由點(P」)在圓。上，得p2=4,而，＞。，則P=2,A1E確；

拋物線E：引二⑥的焦點為尸(1,0),設(shè)直線P。方程為沖焦+1產(chǎn)(石,兇),。(工2，幻，由對稱

x=ty+}、[Y+)',=4，

性不妨令點F在第一象限：由，[，得/-4今，-4=0,貝IJ"",對于回由

"=4”[y,y2=-4

|夕尸|=4y0,得y=-4為，解得y=4,$=?=4,B錯誤；

,、44

對于C,由選項B得點々4,4),直線尸。斜率左=鼻，即tan/尸產(chǎn)。=鏟

則cosN7YD=|,而=因此|MF|=2|。@cos/尸尸。=4，C正確;

對于D,忸。|=%+%+2=/(乂+%)+4=4/+4,又

|尸斗|尸5=（、+1）（人+1）=（。+2）（叨+2）=/乂必+2（”+力）+4=4*+4,

且圓。的弦。＜|尸M＜2,因此|月”||尸。|一|印忻。=(4/+4川用川一1)不一定小于0,D錯

誤.

11.【詳解】由cos2B-cos2A=sin(A-B)有，"乎'一l+c°s2)=而(4一為

22

即sin(A+")sin(A-8)=sin(A-8),因為A,8￡(0,兀)，則A-6w(一兀,兀)，

且8c為非等腰三角形，則A—8工0,可知sin(A—8)/0,

TT71

即sinC=sin(A+N)=l,所以。二一，所以。=一，g|j故選項A錯誤，

22

因為3=￡-A,piijtanB=tanI-A?=—5—,即tanAtan4=1,故選項B正確；

2I2)tanA

b

對于選項C：因為人=〃sinA,。〃tanA,c=------

cosA

a-^-b_btanA-i-bsinA+cosA

則c+hb,.sinAcos4+1，

----+/?sinA

cosA

r2-l

令sinA+cosA=1,且Aw8,則sinAcosA=------

2

因為1=sinA+cosA=后sinA+工,

\4j

兀n3兀、

且4s則4+—e

42U;

對于選項D：因為3c的內(nèi)切圓半徑

_X]"_ab_ab(^a+b-c)_a+b-cf

a+b-\-ca+b-\-c(a+Z?4-c)(t/+Z?-c)2

且外接圓半徑R=-c,

2

假設(shè)AABC的內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、周長構(gòu)成等比數(shù)列，

則(])=("+＜卜—"+。〉整理可得/一4必+從=0,此方程顯然是有解狗,

故選項D正確.

綜上，正確答案為BCD.

14.【詳解】

設(shè)平面AMN與棱AC交點為。，則AO=3Z)G，(可先補(bǔ)成四棱柱，如圖易得結(jié)論)

設(shè)M到平面ACGA的距高為d,設(shè)直三棱柱的體積為V

_111213

所以%-八四加+VW-AA”=1乂大5934Gx三AAj^~x~S^d

J1Z5JoaACC

=-V+-x2V

548

49

=-V

108

所以工v二竺49

K59

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

解：(1)設(shè)這〃+2個數(shù)分別為q,「2,…，%+2,其中。=1,%+2=10°，

則。二4,。2…％+/C田①

雹=%+2<".2<2②

兩式相乘得

T；=(。￡+210%)…(續(xù)2。)=10/2=102田

「.7；=1(產(chǎn)

???4=四。=〃+2

(2)由(1)可知

b_sinl_sinl_sin[(〃+3)-(〃+2)]

“CON〃”.CCS〃?]c鼠〃+2)cc?〃+3)COS(77+2)cos(n+3)

=siM+3)c嗎+2)：二(〃+乎皿〃+2)=tan(z?+3)_tan(/?+2)

cos(〃+2)cos(〃+3)

所以(=tan4-tan3+tan5-tan4+???+tan(/?+3)-tan(/?+2)=tan(/7+3)-tan3

16.(15分)

解：(1)函數(shù)定義域為(。，+8)

當(dāng)“7=1時，曲線/(x)=lnx-—在％=i處的點為0,一])

求導(dǎo)得f\x)=--2x,則曲線)，=/(x)在x=1處的切線斜率k=/'⑴=-1

x

則曲線y=/(x)在x=1處的切線方程為)，=-x即x+y=0

(2)由f(x)Ng(x)恒成立,

即hix—〃療+In/??>--nix2即Inx+In加2J即ln("z。>—即mln(//Lv)>es

in,mm

即mx-ln(/nr)>x-ex即*("")?InQnx)>xex

x

記h(x)=xef即/2(ln(/nr))Nh(x)>0

當(dāng)ln(mv)<0時，/?(ln(/?u))<0<h(x),不滿足題意

當(dāng)ln(/nK)NO時，XG(0,*DO)時，〃'(工)=(x+>0"亙成立，所以〃(x)在(0,+8)上單

調(diào)遞增，H.A(x)>0,所以〃(ln(/nr))2〃(x)>0oln(/m:)Nx

所以ln(/nr)2x>0對于任意的xw(0,-KO)恒成立

m>—對于任意的xG(0,-KO)恒成V.

x

記尸⑺=《，則/⑴二￡1燮)可得「⑴在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增,

XX

故尸(x)min=Ml)=e，所以加泊

則實數(shù)機(jī)的取值范圍是

17.(15分)

解：(1)證明：因為A/)=C。，且E為AC的中點，所以ACJLOE,

在AADB中和△8C￡>中，因為4)=8,且NAOB=N€7)4,DB=DB

所以△AOBZABC。，所以A8=8C,

又因為￡為4。的中點，所以AC_L8E,

因為OEc8E=E,且DE,BEu平面BDE,所以4C_L平面

乂因為ACu平面ACO,平面ACD_L平面BDE.

(2)解：①由(1)知AB=8C,且NAC8=60。，48=2,

所以△48C為邊長為2的等邊三角形，則AC=2,4￡=6,AE=1,

因為4￡>=C。且AQ_LCZ),所以△AC。為等腰直角三角形，且DE=1

可得DE=1,且E為d8的外接圓的圓心,

又因為A8=BQ=2,可得DE?+BE?=BD?,所以BEJLOE,

取等邊△ABC的外接圓的圓心。，則。為四面體A8CO的球心，且0￡=也，

3

設(shè)四面體48co的外接球的半徑為R,則2=4爐+0巨=:，即欠=3叵，

33

所以外接球的體積為丫=±冗內(nèi)=±兀（空）3=三立加，

33327

又由。爐+8爐=8。2,所以。EJ.8E,

乂因為4C_LOE,且4CnBE=E,AC,BEu平面ABC,所以。El平面A8C,

所以四面體的體積為九m=k@x22xl=正，

343

則沖V=生a，即四面體A8C。與外接球的體積比為9三,

V32兀32兀

②由（1）知，ACL^BDE,連接￡7L因為E尸u平面石，

所以AC當(dāng)△AR?的面積最小時，點尸到宜線AC的距離最小，

即EF的長度最小時，4W的面積取得最小值，

在直角LHDE中，當(dāng)"的長度最小時，EF1BD,此時印=與等=旦

BD2

乂由￡>EJLAC,8￡_LAC,可得兩兩垂直，

以E為坐標(biāo)原點，以外,陽,右。所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則A（IOO）,A（O,G,O）,O（O,O,I）,C（TO,O）,

可得AB=（-1,石,0）,麗=（0,75,-1）,

在直角七中，DE=1,DB=?BD=2,可得DF=匹-=L,BF=d,

DB22

所以3方=而，設(shè)/（O,y,z）,則而=（0,y,z—l）,而=（0,6-y,一2）,

所以34o,），,z—l）=（oj5—y,—z）,可得y=Yl,z=3,OPF（o,—所以#=（1評，5,

444444

_h?AB=-x+x/5y,=0

設(shè)平面AM的法向量為〃=a，）"）,貝"_'1,

nDB=V3y1-zl=0

取y=1,可得,=V5,z=V5,所以〃=（V5』,\/5）,

CM配或=篇=#'

設(shè)C尸與平面/W。所成的用的為〃，可得sine=

所以，當(dāng)△AFC的面積最小時，b與平面AB。所成的角的生叵.

7

18.（17分）

解：（I）設(shè)&得-,）北），區(qū)（5-,了2），則有心八=7，^OB=~

“，，44161

故?koA，koB=------------=--即）管）’2=一32

y%）仍2

設(shè)直線A8方程為：x=tny+t聯(lián)立方程得：寸―4切），-4f=0,

由根與系數(shù)關(guān)系得：X,『2=—4f

即_今=—32,得，=8,則直線AB過定點（8,0）

（2）①依題意，圓。半徑為勿*2=44，得，=2

設(shè)圓心坐標(biāo)為（%，%），過原點與圓相切的直線方程為y=kx，

則有與一詞=2,化簡得（需一4）公一2%%攵+4一4=0

設(shè)直線。4、OB斜率分別為匕，乂，則有女於二冬±二一1

--Ao-42

化簡得：芯?+%=1，即圓心。為橢圓《+二=1的點

126126

所以該曲線的方程為《+f=1.

126

②設(shè)直線04、08的方程分別為：y=/cx,y=--x,設(shè)E（%,y）,

2k

y=kx2

則有2，解得工2=—_,所以|陽2=12（1：.）

1

—+2_=12公+12公+1

U26

同理可得|0M『="4k；+l）

2k1

則IOEF.|OMFJ2（1：丘）6（42；+1）

2公+12公+1

6公+3

二力32+2/）（4〃+1）

2

<36^、1二81

2公+12公+1（2攵2+1尸

所以附