2026高考數(shù)學復習：解三角形的實際應用（附答案）

解三角形的實際應用

（分值:63分）

（單選題每小題5分,填空題每小題5分）

基礎鞏固練

1.（2026?北京順義期末）?艘海輪從港口A出發(fā)，沿著正東方向航行5（）nmile后到達海島6,然

后從海島B出發(fā)，沿著北偏東30°方向航行70nmile后到達海島C.如果下次航行直接從4

出發(fā)到達C,那么這艘海輪需要航行的距離大約是（）（參考數(shù)據(jù)M麗=10.44）

A.62.4nmileB.85.0nmileC.104.4nmileD.116.（）nmile

2.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察

站南偏東60°,則燈塔人在燈塔區(qū)的（）

A.北偏東10°B.北偏西1（）°

C南偏東10°D.南偏西10°

3.（2025?廣東東莞期末）如圖，測量河對岸的塔高AB時，選與塔底B在同一水平面內的兩個觀

測點。與。，在CQ兩觀測點處測得塔頂A的仰角分別為30°,45°,并測得N

BOC=120°,CQ=30m,則塔高48為（）

D

（第3題圖）

A.15V3mB.15mC.30V2mD.30m

4.（2026?湖北武漢期末）如圖,甲船在4處,乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B處,乙船以

每小時10海里的速度向正北方向行駛，而甲船同時以每小時8海里的速度由A處向南偏西

60°方向行駛,當甲、乙兩船相距最近時，行駛的時間為（）

A

c

D

I

（第4題圖）

A.2小時B.2小時C1小時D.：小時

616063

5.（2025?江蘇鎮(zhèn)江期中）如圖，無人機在離地面高100m的A處，觀測到山頂M處的仰角為

15°,山腳。處的俯角為45',己知/MCN=60°,則山的高度知/7為（）

A.100V2mB.15（）mC.15（）V2mD.150V3m

6.（2026?河北十六校聯(lián)考）某勘測隊在野外作業(yè)時，需要測量A,8兩地（視作質點）之間的距離,

勘測人員選定。地（視作質點），測得A,C兩地之間的距離是2千米，同時測得NBAC=45°,/

ACB=60°,則兩地之間的距離是千米.

7.（2026?河南南陽期中）如圖所示,8,為山的兩側處于同一水平線上的三點,在山頂A處測

得點8￡尸的俯角分別為60°,75°,45°,計劃沿直線所開通引水隧洞，現(xiàn)已測得承上7,則

隧洞BE的長度為.（參考數(shù)據(jù):cos750=早）

BE

綜合提升練

8.（2026?江西萍鄉(xiāng)期末）如圖，某東西走向的河道上建有兩個水文觀測站P,。,在某時刻P站觀

測到水位異常，將信號同時發(fā)給河流北面的A市與B市.已知A市收到信號的時間是B市的

5倍工8二30或皿1,8S/82。=，:。5/>4尸。=<,則觀測站P至ljB市的距離為（）

A.5kmB.lOkmC.15kmD.25km

9.（2025?江蘇南通模擬）古代數(shù)學家劉徽編撰的《重差》是中國的一部測量學著作.現(xiàn)根據(jù)劉

徽的《重差》測量一個球體建筑物的高度，已知點A是球體建筑物與水平地面的接觸點（切

點），地面_L6c兩點與點A在同一條直線.L,且在點A的同側.若在6c處分別測得球體建筑

物的最大仰角為60°和2（）°,且8010（）m,則該球體建筑物的高度約為（）（cos

10°-0.985)

A.49.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m

10.（2025?山東濟南期中）如圖是復建的某樓的示意圖，某位游客（身高忽略不計）從地面。點看

樓頂點A的仰角為30°，沿直線前進80米到達E點，此時看點。的仰角為45°,若BC=3AC,

則樓高AB約為米（通引.732,結果保留兩位小數(shù)）

11.（13分）（2025?安徽合肥模擬）如圖，某人開車在山腳下水平公路上自A向B行駛，在4處測

得山頂P處的仰角NPAO=30°,該車以45km/h的速度勻速行駛4分鐘后，到達8處，此時測

得仰角NPBO=45°,且cos/AO8=4.

⑴求此山的高OP;

（2）求該車從A到B行駛過程中觀測點P的仰角正切值的最大值.

參考答案

解三角形的實際應用

1.C解析因為/48。=90。+30。=120。,且A8=50nmile,5C=70nmile.在△ABC中，由余弦定

理得AC2=AB2+BC2-2XABXBCXCOS120°=2500+4900+3500=1090(),即/^C=1()7109nmile,

所以4U104.4nmile.故選C.

/

2.B解析燈塔的相對位置如圖所示，A

：4QT\

由已知得NACB=80o,NCAB=NCBA=50。,則儀=60。-50。二10。,即燈塔A在燈塔B的北偏西

10。.故選B.

3.D解析設由/4。8=30。,/4。8=45。,得BC=、"h,BD=h.又/BDC=120。,CD=30,由

余弦定理，得BC?二ZX'。序?2OBOBCOS/BOC揶3/ZJ900+〃2?2X30/?COS120。,解得仁30(負

值舍去).故選D.

4.A解析設行駛時間為，小時，甲、乙兩船相距最近,設甲、乙兩船距離為《其中20X0=2,

顯然/￡[0,2],則J2=(20-10r)2+(8r)2-2(20-10r)-8rcos60。=244涔560任400.令)，=244人560什400,

則該函數(shù)圖象開口向上,對稱軸為直線t-第=券，故當/二2小時時，解取得最小值，即d取

2X2446161

得最小值.故選A.

5.B解析根據(jù)題意,/”4。=15。,/。4。=45。,在RtAACE中,NC4E=45。4E=l00,則

AC=100&.又NCAM=/。。+/"4。=45。+15。=6()。,/用。％=60。,所以/川01=75。,/

CMA=45。.在△ACM中.=JM即變底=0-，解得CM=100V3.在RtAM/VC

sinz.CMAsmzC/lMsin45°sin600

中,MN=CMsinNMCN=l()O百xm二15().故選B.

6.3V2-V6解析因為/%。=45。,乙4。8=60。,所以4BC=75。.在△ABC中,由正弦定理可

得48AC，則AB=ACsinz.ACB=秘黑=（3&—遍）千米.

sin乙4cBsin￡ABCsin^ABC

7.產(chǎn)解析在△AEF中，由題圖可知/E4/=75。-45。=30。,//=45。.

由正弦定理可得凝=焉，解得心血E&.

在△A8￡中，由題圖知,NBAE=180°-60°-75°=45°,ZABE=60°,則由正弦定理可得=

sin45>

解得BE=^--AE=^1V2=—.

sin60csin60°W3

8.B解析因為cos/BPQ二沁sNAPQ噴則/APRNBPQ均為銳角，

所以sinZBPQ=y/1-cos2Z-BPQ=Jl-(^)2=|,sinZAPQ=y/1-cos2Z-APQ=2=

所以cosZa4PB=cos(ZAPQ-ZBPQ)=cosZAPQcosZBPQ+s\nZAPQsinZBPQ=—x-+

255

-x-=士由題意可知P4=5PB,由余弦定理可得AB2=PA2+PB2-2PAPBCOSZAPB^26PB2-

2555

\OPB2X-=\SPB2=1800,解得PB=10km.故選B.

s

9.B解析如圖,設球的半徑為RAB=-^—=y/3R,AC=-^~.

tan30°tanio°

一￡

樂高一加二⑼，

100_100sinl0°_100sinl00_50sinl0。_50sinl00_25

tanio0'^coslO°-x/3sinlC02sin(30°-10°)sin2002sinlO°coslO°coslOQ,

2g彘”50.76,即該球體建筑物的高度約為50.76m.故選B.

10.81.46解析設AC=x,則8c=3,v,A8=4*在△A8Q中,由正弦定理得，一^=—^―,

s\nz.ADBsinz.B/lD

即BD=^^AB=4yf3x.

sin300

在△CBE中，由正弦定理得,一名=Tr，

sin乙BECsinzFCE

即8E=1^1-8C=3x,則。七二8。-3石=4通%-3工=(4遙-3)1=80,貝ij4工二4x^k81.46.

11.解⑴設OP=xkm,在△PAO中,

因為tan/PAO=],所以4。二1吃7=遍匕

AOtan300

同理，在△P8。中,80二」-