高中數學必修第1冊第一章知識點總結

必修第一冊?第一章《集合與常用邏輯用語》

1.元素

把研究的對象統稱為元素.（用小寫字母表示：/C…）

2.集合

把一些元素組成的總體叫做集合.（用大寫字母表示：4￡C…）

3.元素的特征

確定性、互異性、無序性.

①求集合或元素時，一定要檢驗集合中元素的互異性.

4.元素與集合的關系

①屬于:QwA;②不屬于:aA.

5.常用數集

①自然數集N（包含0和正整數）②正整數集N*或N.

③整數集Z④有理數集Q⑤實數集R⑥復數集C

⑦素數集（質數集）P

6.集合的分類

①有限集；②無限集；③空集.

7.集合的表示方法

①列舉法：把集合的所有元素一一列舉由來，并用｛｝括起來.

例如｛1,3,5,7｝、｛2,4,6,8,…｝

②描述法：把集合4中所有具有共同特征P（x）的元素、所組成的集

合表示為｛xwA|P（M｝.

伊他口｛為EZ[10<1<20｝、｛x\x=2k+\,k^

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③圖示法（Veen圖）：用平面上封閉曲線的內部代表集合.

例如

8.常見集合的表示方法

①方程的解集：32工+3=0｝

②不等式的解集：｛x|2x+3>0｝

③函數自變量構成的集合：｛x|y=2x+3｝

④函數因變量構成的集合：｛），|y=2x+3｝

⑤函數圖象上的點構成的集合：｛（x,），）|y=2_r+3｝

⑥方程組的解：/,y）儼+咱或｛（□）｝

x-y=0

⑦奇數集：｛巾=2〃+l,〃wZ｝

⑧4禺數集：^x\x=2n,neZ|

①做題時，要認清集合中元素的屬性（點集、數集、自變量、因變

量???），以及元素的范圍（XEN、N"、Z、R…）.

9,子集

集合4中任意一個元素都是集合8中的元素.

記作：4aB或B3A讀作：A包含于8或6包含4

①任何一個集合是它本身的子集.

②若A=且B=則AqC.

10.集合相等

若A三4,且“三A,則A=6.

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①若A=B,且B=C,則4=C.

②欲證A=8,只需i正AqB,且

11.真子集

如果集合A是集合8的子集，并且B中至少有一個元素不屬于人

i已作：AUB或BVA讀作：A具包金土8或B真包含A

①若4。8,JLBUC,則At)C.

②若Aqb,且AwB,則At)B.

③口和。用于集合和集合之間，e和任用于元素和集合

之間.

12.空集

不含任何元素的集合.符號：0

①空集是任何集合的子集.

②空集是任何非空集合的真子集.

③解決有關A：3=0、等問題時，一定要先考慮衛

的情況，以防漏解.

13.子集個數與元素個數的關系

設有限集合A有“(〃EN*)個元素，則其子集個數是2”,真子集個數是

2〃-1,非空子集個數是2”-1,非空桌子集個數是2"-2.

14.交集

屬于集合A且屬于集合8.(A和8的公共部分)

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記作：AfB讀作：A交B

含義：AfB={X|AGAKreB}

①=@AfA=A;@Ap0=0V=0;

④(Ar|8)qA；⑤(4。3)三笈；@A^B<^>ACB=A.

15.并集

屬于集合A或屬于集合8.(包含力和8的所有元素)

記作：A\JB讀作：A并B

含義：A(JB={#￡A,必e8}

①AUB=3JA;②AIJA=A;③AL0=0JA=A;

④AR(ALB);(5)BO(ALB);⑥AN8OA5=3.

16.全集

研究問題中涉及的所有元素.符號：U

17.補集

由全集U中不屬于集合4的所有元素組成的集合.符號：

含義：電,A={戈,6U,且r任A}

①"SqU;②Q,,U=0;③4,0=U;④秒(*)=A;

⑤AU(QJA)=U;⑥An&4)=0;

⑦(桐)Cl(—)=%(4B)：⑧(松)1,(/)=%(4B).

⑨注意補集思想在解題中的運用，“正難則反”.

18.命題

可以判斷真假的陳述句叫做命題.判斷為真的語句是真命題；判斷

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為假的語句是假命題.

表示：“若P,則/'、"如果〃，那么.其中〃為命題的條件，4為

命題的結論.

19.充分條件與必要條件

①“若〃，則是真命題，即〃=g,則〃是q的充分條件，q是〃

的必要條件；

②“若p,則q”是假命題，即〃N9,則p不是夕的充分條件，q不

是〃的必要條件.

判斷充分條件、必要條件的三種方法：

①定義法：直接判斷“若p,則/'以及“若小她p”

的真假；

②集合法：利用集合的包含關系判斷；

③傳遞法：充分條件、必要條件、充要條件都具有傳遞

，性，若Pi=p2,PinPy,則P]nPy?

20.充要條件

如果“若p,則q”和“若q,則〃”都是真命題，即既有〃口心

又有則可記作〃<=>9，這時稱〃是g的充分必要條件，簡稱充

要條件.

充分條件、必要條件的判斷:

①〃n鄉且qNp〃是q的充分不必要條件

②〃Rq且g=〃〃是q的必要不充分條件

③〃04是q的充要條件

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④pKq且qKp〃是q的既不充分也不必要條件

21.全稱量詞

短語“所有的”“任意一個”通常叫做全稱量詞.符號：v

含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.

“對M中任意一個x,p(x)成立”用符號記為：VxwM,p(x)

22.存在量詞

短語“存在一個”“至少有一個”通常叫做存在量詞.符號：3

含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.

“存在M中元素的x,p(x)成立”用符號記為：3x￡M,p(x)

23.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

①全稱量詞命題YXEM,p(x)的否定為：3xeM.

②存在量詞命題太￡M,p(x)的否定為：BXE.

①命題的否定的書寫：既要轉換量詞，又要否定結論.

②全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；

存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.

③一個命題和它的否定，只能是一真一假.

第一章測評

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中.只有一項是符合

題目要求的.

1.給出下列四個結論:①②ZEQ;③OW0；④{0},其中正確的個數是()

A.lB.2

C.3D.4

2.已知集合知={0,123,4}.'={1,3,5},2二〃口乂則尸的子集共有()

A.2個B.4個

C.6個D*個

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3.（2024河南高一月考］設命題p”〃￡N,〃2<3〃+4Mp的否定為（）

A.VHEN,〃2>3〃+4B.VnEN,/23〃+4

C.3/2^Nj產23〃+4D.m〃￡N,〃2>3〃+4

4.設。￡尺則％>0”是“同>0”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2024浙江高一校聯考］設全集U=R4={x|-lWxWl}/={x￡N|x?3W0},則圖中陰影部分對

應的集合是（）

A.[-1,3J

C.{x|2?}D.{2,3}

6.已知命題pNxeR,/匚1,則（）

D.「p:Vx￡Ry^>1

12

7.（2024四川遂寧高一期中］設M={x￡z},N=「1則（）

A.M睡NB.N^WC.M=ND.MflN=0

8.某班45名學生參加“342”植樹節活動，每位學生都參加除草、植樹兩項勞動.依據勞動表現,

評定為“優秀'“'合格”2個等級，結果如下表：

等級

項目合計

優秀介格

除草30I545

植樹202545

若在兩個項目中都“合格”的學生最多有10人，則在兩個項目中都“優秀”的人數最多為（）

A.5B.10C.I5D.20

二、選擇題:本題共3小題每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分.部分選對的得部分分.有選錯的得0分.

9.12024湖南婁底高一校考］下列命題為真命題的是（）

A.“玉eZ.dvO”是存在量詞命題

B.Mr￡R,9f20

C.3AGN,4X+1<0

D.”全等三角形面積相等”是全稱量詞命題

10.設集合A={-3K+2U*,且5￡4,則x的值口J以為（）

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A.3B.-lC.5D.-3

11.下列說法正確的是()

A.命題“VxeR/2”的否定是“也eR'F<]'，

B.命題“也￡3%>-3}勤忘9”的否定是“VxW{訃>-3}42>9”

C牛|>伙|”是的必要條件

D"vO”是“關于x的方程?+〃『0有一正一負根”的充要條件

三、填空題:本題共3小題.每小題5分，共15分.

12.(2024江蘇無錫高一統考]設A,B,C,D是四個命題工是B的必要不充分條件工是C的充分

不必要條件是B的充分不必要條件，那么。是C的條件.(填“充分不必要”“必要

不充分充要''或"既不充分也不必要”)

13.設集合S={x\.x>5^x<-\}1={x[a<x<a+8},SUT=R4i|a的取值范圍是.

14.設A是整數集的一個非空子集，對于&WA,若且Z+1WA,則稱左是A的一個“孤立元”.

集合丁二(123,5}中的“孤立元”是;對給定的集合S=[123,4,5,6},由S中的3個元

素構成的所有集合中，不含"孤立元''的集合有個.

四、解答題:本題共5小題，共77分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)已知集合A={x|4WxW-2},集合8=3入+320}.求：

⑴APIS;

(2)AU伏

(3)CR(An^).

16.(15分)已知集合人={4勿-1,理),8={?-5」-°,9),分別求符合下列條件的4的值.

(l)9e(ACIB);

(2){9}=An/<

17.(15分)[2024上東德州高一]己知4={.iM6i+5=0},B={x|ar-l=0}.

⑴若。=1,求AA(CzB);

⑵從①AU(CRA)=R；②4「出=8;③8n(CRA)=。這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并

進行解答.

問題:若，求實數a的所有取值構成的集合C

注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.

18.(17分)己知集合A=3-2WxW5},3={x|〃?+lWxW2/〃-l}.

(1)若BGA,求實數m的取值范圍；

(2)若AG用求實數〃i的取值范圍.

19.(17分)設集合A={x|x2-3x+2=0),B={x|x2+2(?+l)x+(6t2-5)=0),

⑴若ADF={2},求實數〃「勺值；

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(2)若AU求實數a的取值范圍.

答案：

1.B①④正確;對于②,Z與Q的關系是集合間的包含關系，不是元素與集合的關系;對于③,。

是不含任何元素的集合，故③錯誤，故選B.

2.B易知P=MCN={l,3}.P中有2個元素，故P的子集共有22=4個.

3.C因為命題p”〃￡N,"<3〃+4,所以p的否定為:力?￡此〃223〃+4.故選C.

4.A由題意可知心>0=間>0,間>0=〃>0或avO,即由⑷>0不能推出。>0,所以％>0”是

的充分不必要條件.故選A.

5.D圖中陰影部分表示5n(CM),因為A=3-l1}，則或x<-\}，因為B={x^

NM3W0},所以8={0,1,2,3},8以((：源)={2,3},故選D.

6.C根據全稱量詞命題的否定方法得張€R>11'>I.故選C

7.B由題意可知后田”林㈣則集合〃為所有整數小構成的集

合”I快生卜卜=嬰附,則集合％為所有整數中奇數的;構成的集合,

所以N&K故B正確;A,C錯誤;所以MCN=N，故D錯誤.故選B.

8.C用集合A表示除草優秀的學生,8表示植樹優秀的學生，全班學生用全集U表示，則CuA

表示除草合格的學生，則C4表示植樹合格的學生，作出Venn圖，如圖，設兩個項目都優秀的人

數為M兩個項目都是合格的人數為居由圖可得20-x+x+30-x+)=45j=y+5,因為丁2=10,所以

Xmax=10+5=15.故選C.

9.ABDTx￡Z*<0”是存在量詞命題，選項A為其命題

必丫￡&9?20,選項B為真命題.

因為由4戈+1<0得XV」所以選項c為假命題.

“全等三角形面積相等”是全稱量詞命題，選項D為真命題.故選ABD.

10.BC???5￡4,若/2=5則x=3,此時.F-4x=9-12=-3,不符合題意，故舍去;

若/-4工=5,則x=-\或x=5,

當x=?l時。={-3,1,5},符合題意;

當%=5時<={?3,7,5),符合題意.

綜上或x=5.故選BC.

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11.ABD對于A選項，命題的否定是故A選項正確；

對于B選項，命題"八七{加>-3}片遼9”的否定是"微￡{加>-3}^2>9”,故B選項正確；

對于C選項，由|x|>|y|不能推出x>)，,例如卜但-2<1;由x>y也不能推出|x|>|y|,

例如-2<1,而卜所以“|x|>IW'是”人》尸的既不充分也不必要條件，故C選項錯誤；

(44m>0,

對于D選項，關于x的方程/2+機=0有一正一負根<Jm<°=加<0,所以“用<0”是“關于

x的方程f-2r+m=0有一王一色根'’的充要條件.故D選題正確.故選ABD.

12.充分不必要因為A是3的必要不充分條件，所以8nA,但A不比

A是。的充分不必要條件，所以4=C,但C次4,

D是B的充分不必要條件，所以。=3，但B節D、

所以D=B=A=C,但C市D,

故。是。的充分不必要條件.

13.{?|-3<?<-1|借助數軸可知匕+8>5,

???-3Va<-1.

14.54因為1+1=2￡7,2+1=3￡匚3-1=2￡工所以1,2,3都不是7的“孤立元”.

因為5-1=44,5+1=6",所以5是7的“孤立元

不含“孤立元”是指在集合中有與“孤立元％相鄰的元素.

所以不含“孤立元”的集合為{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},共4個.

15.解由已知得8={川戈2,3},

()AnB={M.3WxW-2}.

(2)AUB={4V2-4}.

(3)CR(AAB)={X|X<-3或%>-2}.

16.解⑴因為9￡(ACIB),

所以9W8且9￡A,

所以2a-1=9或a2=9,

所以a=5或a=3或a=-3.

當a=5時4={-4,9,25},B={0,49};

當。=3時,a-5=l-a=-2,不滿足集合中元素的互異性，故舍云；

當a=-3時4={4-7,9},B={-8,4,9},

所以a=5或”?3.

(2)由⑴可知，當a=5時4nB={-4,9},不符合題意，當。=-3時4nB={9},所以a=-3.

17.解⑴當a=\時方={加-1=0}={1},

又因為A={川/&+5=0}={1,5},

故An(CzB)={5}.

(2)若選①，當〃=0時出=0,則CR/?=R,滿足AU(CR/?)=R;

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Pl21

當。和時,若AU(CR〃)=R,則。=1或5,解得。=1或3

(°加

綜上,C=(5」；

若選②,?.?AnB=B