等式性質與不等式性質（原卷版及參考答案）

第03講等式性質與不等式性質

題型一數(式)的大小比較........................................................................2

題型二判斷不等式正確性........................................................................3

題型三利用不等式求值或取值范圍..............................................................5

課時精練...................................................................................6

【基礎回顧】

知識點1.兩個實數比較大小的方法

a-b>0d>b,

a—b=0d=b,(a,bGR).

{a-b<g?b

知識點2.等式的性質

性質1對稱性：如果。=從那么〃=〃；

性質2傳遞性：如果。=4b=c,那么。=c；

性質3可加(減)性：如果。=〃，那么?！纁=加:c；

性質4可乘性：如果a=b,那么ac=bcx

性質5可除性：如果。=。，c￥0,那么

知識點3.不等式的性質

性質1對稱性：a>b<=tb<a；

性質2傳遞性：a>b,b>c=a>c；

性質3可加性：〃>/?uw+c>Z?+c；

性質4可乘性：a>b,c>0=>ac>bc；a>b,c<0=>ac<hci

性質5同向可加性：a>b,c>d^u~\-c>b~\-d\

性質6同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0=ac>bd；

性質7同正可乘方性：a>b>0^a,l>b,l(neN,n>2).

【必備知識】

不等式的兩類常用性質

⑴倒數性質

①〃/?>（）w；

②〃<〃<（）w

③a>b>0,0<cvd=4>g；

LC<

?0<a<x<b或4<X<Z?VO=4<：2.

U人C4

⑵有關分數的性質

若a>b>0,m>0,則

①真分數的性質（糖水不等式）

bb-\-mbb—m

r-,->----（b—m>0）；

aa-rmaa-m

②假分數的性質

aa-\~maa-in

行三*—〃“））?

題型一數（式）的大小比較

比較大小的常用方法

⑴作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論.

⑵作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論.

（3）構造函數，利用函數的單調性比較大小.

【例題精講】

1.（2026?黑龍江哈爾濱?三模）下列各式大小比較中正確的是（）

A.V7—V5>V3B.Lan-<sin-

V5—S5

1

C.21n3<31n2D.log《V

2.（2026?山東聊城?二模）已知正數Q,/）,c滿足log/>log”>0,則下列說法正確的是（）

A.c>1B.a<b

C.ac>bcD.cb>ca

3.（2026?廣東揭陽?二模）已知a,b,cER,且a>b,則下列說法正確的是（）

A.-<-B.ac2>be2C.a2>b2D.ea>eb

ab

4.（2026?四川攀枝花?二模）若正實數a,b滿足a>匕，且Ina?Mb>0,則下列不等式一定成立的是（）

ab+1a+bha

A.\ogab<0B.a-^>b-^C.2>2D.a<b

5.（2026?甘肅?一模）已知a,b￡R,貝『'a>b>0”是心%>%的（）

Q+1a

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2026?四川瀘州?模擬預測）下列命題為真命題的是（）

A.若則e±>e入B.若Q>b>1,則三>4；

C.若avbv0,則。2<。力<爐；D.若a<b<0,貝Ucosa<tanb.

7.（2026?天津南開?一模）已知Q<b<0,c>d>0,則下列結論不成立的是（）

A.ac<bdB.a2c>b2dC.-4-c>74-dD.a-c>b-d

ab

（多選）8.（2026?陜西?模擬預測）如果a,b,c,d€R,QbHO,則下列說法正確的是（）

A.若a>b,RO-<7

ab

B.若ac?>be?,Ma>b

C.若a>b,c>d,Mac>bd

D.若b>a>0,c>0,則把V2

Q+Ca

（多選）9.（2026?安徽合肥?一模）已知正實數a,b,c滿足avbvc,且|a-l|>|c-l|>|b-l|,則（）

A.a<1B.b>1C.ac<1D.be>1

（多選）10.（2026?黑龍江大慶?二模）下列命題正確的是（）

A.若a>b,則ac?>be?

B.若Q>瓦evd,則a-c>b-d

C.若a>b>0,則狐>孤

D.若a>b,則.

a2b2

題型二判斷不等式正確性

判斷不等式的常用方法

⑴利用不等式的性質逐個驗證.

⑵利用特殊值法排除錯誤選項.

⑶作差法.

（4）構造函數，利用函數的單調性.

【例題精講】

1.（2026?河北秦皇島?模擬預測）已知實數a,8滿足Q>b,且△則（）

GD

A.ab>0B.a+b>0C.a+b<0D.ab<0

2.（2026?青海西寧?二模）已知a>b>0>c,則下列不等式一定正確的是（）

A.ac>beB.a(a+c)>b(b+c)C.ci(b—c)>b(a—c)D.

3.（25-26高三下?上海浦東新?期中）已知實數a,b,c滿足Q>b>l>c,則下列結論一定正確的是（）

A.ac>bcB.bc<1

C.\ogab十logda>2D.a+c>b

4.（2026?上海楊浦,二模）設Q>b,下列不等式中恒成立的是（)

A-B.a2>b2C.a3>b3D.

5.（2026?重慶?二模）已知avbvc,則（）

A.ac<bcB.ac<b2

C.2a+b<2b+cD.b—a<c—b

6.（2026?遼寧撫順?一模）若aER且a>1,則下列結論正確的是()

A.ac>cB.ac2>cC.a2>aD.a+c>1

7.（2026?山東日照?一模）已知lna>lnb>0,c>0,則（）

A.2a<2bB.—<-

a+ca

C.乎痼D.ab+1>a+b

（多選）8.（2026?河北雄安?模抵預測）下列說法正確的是（）

A.3x€R,x2+3x4-2<0

B.若％WR,則“x>=是足<3〃的充要條件

C.x2+的最小值為3

X2+3

D.若含〉言則a*

（多選）9.（2026?山西呂梁?二模）茗a>b>c>d,則下列不等式正確的是（）

A.ac23456>be2B.a+c>b+dC.a—d>b—cD.>—

a-ba-c

（多選）10.（2026?河北滄州?二模）若a>0,b>0,Q+b=4,則（）

—

A.Cl7b—0B.—a+7b—1

C.Va+Vb<2>/2D.12<a24-3d2<48

題型三利用不等式求值或取值范圍

利用不等式的性質求代數式的取值范圍的注意點

⑴必須嚴格運用不等式的性質.

⑵在多次運用不等式的性質時有可能擴大變量的取值范圍，解決途徑是先建立所求范圍的整

體與己知范圍的整體的等量關系，然后通過“一次性”不等關系的運算求解范圍.

【例題精講】

1.（25-26高一上?江西?月考）已知一2VQ+2b<5,-3<a-b<l,則a+b的取值范圍是（）.

87

A（-彩）B.

297

C.D?（-消）

2.（25-26高一I：?河南?開學考試）已知max｛a,瓦c｝表示a,b,c中的最大者，若a>0,b>0,則max｛：,j,2a2+

〃｝的最小值為（）

A.2B.3C.4D.5

3.（2025?河北滄州?模擬預測）已知2VQW4,-1<b<0,則2a-b的取值范圍（）

A.[4,9）B.（4,9）C.（5,8]D.（5,8）

4.（25-26高一下?四川成都?期中）若1Va+b<4,—2VQ—bv4,則a+3b的取值范圍是（）

A.-5<a+3/J<1B.-2<a4-3b<10C.-2<a+3b<9D.—5<a+

3b<10

5.（25-26高一下?河南商丘?月考）已知一IMx+yWl,l<x-y<2,則4%-2y的取值范圍是（）

A.[2,7]B,[3,8]C.[2,8]D.[5,10]

6.（2026?山東?模擬預測）當時，滿足8"Vloga%（Q>0,QHl）,則a的取值范圍是（）

A.（0,5B.住,1）C.（1,⑹D.（V3,3）

7.（25-26高一上?河北衡水?期末）已知關于%的不等式a/+加+c>O（a,b,cER）的解集為（一5,1）,則

學的取值范圍為（）

A.（—oo,-10]B.[—10,-Foo）C.（-6,+8）D.[—6,4-co）

（多選）8.（25-26高三上?云南楚雄?期中）已知3CQV10,5<b<30,則下列結論正確的有（）

A.2<-<10B.11<2a+b<50

a

C.2<b-a<20D.-<^-^<22

10b

（多選）9.（25-26高二上?廣東?期中）已知工+三=2,則（）

mn

A.若m>n>0,則m>|

2

B.若77i>0>n?則九<——

3

C.當771>0,九>0時，2m+九的最小值為4

D.當m>0,n>0時，mri的最小值為2

（多選）10.（25-26高一上?湖北十堰?期中）下列是真命題的是（）.

A.已知%>0,y>0,且4x+y=L則上二”的最大值為5

B.已知2Vx<4,-1<y<0則x-y的取值范圍為（2,5）

C.已知a>b>c且二^十止之旦恒成立，實數m的最大值是3十2左

D.若%>0,y>0j+：+2y+；=9,則x+2y的最大值是6.

課時精練

一、單選題

1.（25-2G高一下?湖南長沙?期中〉已知a>b>0,c>0,d<0,則下列正確的是（）

A.->7B.->-C.ac<beD.ad>bd

abab

2.（2026?上海松江?模擬預測）若實數a、b滿足小,塊,則下列不等式恒成立的是（）

A.a>b>0B.a>0>b

C.a>|b|D.|a|>|b|

3.（25-26高一下?貴州?期中）已知a,b,c,d均為實數，則下列命題正確的是（）

A.若a>b,c>d,則￡>fB.若。2>爐，貝盧>：

abab

C.若c>a>b,則=-<—-D.若a>b>0且m>0,則>—

c-ac-oa+ma

4.（2026山東德州?二模）已知a力為正實數,c為實數,則“a>b”的充要條件可以是（）

A.ac>beB.ac>bc

C.a+->bD.a+\na>b+\nb

ab

5.（25-26高一下?浙江?期中）設a、b.cWR,則"c>a>匕〃是“J->七”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（25-26高一上?浙江杭州?期中）已知mb,c,d均為實數，則下列命題正確的是（）

A.若a>b,c>d,則a+b>c+dB.若/>匕2,則一。<一^

C.若c>a>b>0,則工>工D.若a>b>0且m>0,則^^>三

C-Qc-bb+mb

7.（25-26高三下?北京海淀?開學考試）設a,〃，c為非零實數，且Q>c,b>C,則（）

A.a2+b2>2c2B.ab>c2

C.2a2b>4CD.-4-7>-

abc

8.（25-26高一上?山東濟南?期末）若a>b>0,c<0,則下列不等式成立的是（）

A.a+c<b+cB.ac>bc

C.->-D.c—-<c—-

abab

二、多選題

（多選）9.（25-26高一下?河南信陽?期中）下列命題正確的是（）

A."a=1〃是?=a"的充分不必要條件

a

B.若命題pTnWN,n2>2n,則命題p的否定為：Vn€/V,n2<2n

C.若｛nB=0,則A=0或B=0

D.若a>b,且c>d,則ac>bd

（多選）10.（25-26高二下?浙江舟山?期中）下列命題正確的是（）

A.若a>b>0且c>0,則：>手

bb+c

B."a>1〃是“一二<1”的充要條件

a

C.若則的最小值是5

D.不等式Ax?\kx\1>0對一切實數x恒成立，則0<k<4

（多選）11.（25-26高三下?江西撫州?月考）若a,b是任意正實教，且;>今則下列不等式成立的有（）

A.。2。26Vb2026B.->1

a

C'（……。?島）。>島）"

三、填空題

12.（25-26高一下?山東德州?月考）已知1W2x-y工2,-1W2x+3yW1,則6%+y的取值范圍為

13.（25-26高一上?上海寶山?期末）已知x,yWR,x>0,y>0,且X+2y=l,則下列命題中正確的是

（1）xy的最大值為，；（2）3+：的最小值為4企；

（3）/+y2的最小值為點⑷言段>1.

14.（25-26高一下?遼寧盤錦?開學考試）記max{a,b,c}表示a,b,c中最大的數，已知a+b+c=0,abc=4,

則max{a,瓦c}的最小值為.

第03講等式性質與不等式性質

題型一數（式）的大小比較

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】BD

9.【答案】AC

10.【答案】BC

題型二判斷不等式正確性

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】AC

9.【答案】BC

10.【答案】BCD

題型三利用不等式求值或取值范圍

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】BD

9.【答案】ACD

10.【答案】BCD

課時精練

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

2.【答案】C

9.【答案】AB

10.【答案】AC

11.【答案】ABD

12.【答案】[1,5]

【分析】利用不等式待定系數配湊求解

【詳解】設6%+y=m(2x—y)+n(2x+3y)

展開得6x+y=(2m+2n)x+(-m4-3n)y

對比系數列方程得佇黑解得｛:二:

所以6x+y=2(2%-y)+(2x+3y)

因為142%-yW2,-1<2x+3y<1

所以2x1<2(2x-y)<2x2,即2<2(2x-y)<4