甘肅省武威某中學2025-2026學年人教版九年級數學上冊 第二十一章 一元二次方程 單元測試題（含答案）

甘肅省武威第二十中學2025-2026學年九年級數學上冊人教版

第二十一章《一元二次方程》單元測試題

學校;姓名:班級:考號:

一、單選題

1.將方程f-2x=10化為一元二次方程的一般形式，其中二次項系數為1,一次項系數,

常數項分別是（）

A.-2,-10B.-2,10C.2,-10D.2,10

2.已知工是實數，且滿足"+4x）2+3,+4.0-18=0,則f+4x的值為（）

A.3B.3或-6C.一3或6D.6

3.已知（〃?2+/乂/+〃2+2）-8（/+〃2+2）=0,則/+〃2的值為（）

A.-8或2B.-2或8C.2D.8

4.如圖，某小區計劃在一個長16m,寬9m的矩形場地ABC。上，修建三條同樣寬的小路,

豎直的與48平行，水平的與AO平行，其余部分種草，已知草坪部分的總面積為112m-

設小路寬m】，若x滿足的方程為（)

A.X2-17X-16=0B.X2-17X+16=0

C.X2+17X-16=OD.x2+17x+l6=O

一元二次方程），f-%。配方后可化為（

5.)

21215

A.），=4B.=4C.—D.

+2）4

6.已知％=-1是關于x的方程_?+/狀+C=0的一個解，該方程的另一個解為占，則下列說

法正確的是（）

A.b-c=-\B.lr<4c

C.b=\-x2D.c=x2

7.《田畝比類乘除捷法》是我國古代數學家楊輝的著作.其中有一個數學問題：“直田積八

百八十一步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何？”譯文：“一塊矩形田地的面積為891平方

步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？”則長比寬多（）

A.3步B.5步C.6步D.9步

8.若關于1的一元二次方程f+4x+（a+6）=0有兩個不相等的實數根，且關于），的分式方

程衛7+1=7^—的解為正整數，則所有滿足條件的整數。的值之和是（）

i-y

A.-7B.-9C.-14D.-16

9.若關于x的一元二次方程：4（%-〃。：!+〃=0與%（工-嗎"+〃=。，稱為“同族二次方程工如

2（1-3），4=0與3（x-3）2+4=0是“同族二次方程”.現有關于大的一元二次方程；

2（..1）2+1=0與（"+2）父+3-4）工+8=。是“同族二次方程”.那么代數式G；2+〃X+2025

能取的最小值是（）

A.2018B.2020C.2025D.2030

10.定義：如果代數式4=+〃小+。（％工0,《，4,q是常數）與8+打工+。2（。2Ho，

出,打，G是常數），滿足％+生=。，偽+4=0,q+q=0,則稱這兩個代數式4與5互

為“和諧式”，對于上述“和諧式”A、B,下列三個結論正確的個數為（）

①若A=--+2-2,B=x2-2nx+n，則（，〃+〃嚴°的值為一1；

②若〃為常數，關于x的方程A=&與4=攵的解相同，則及=0；

③若P,夕為常數，/乂+”的最小值為〃-4,則人有最小值，且最小值為1.

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題

H.關于％的方程（1-2『=0的解是.

12.若關于x的方程（〃-3）/T+2X=O是一元二次方程，則片.

13.已知2/-3孫+/=0（9工0）,則上的值是.

x

試卷第2頁，共6頁

14.關于x的一元二次方程(X+2)2=,〃-21可以用直接開平方法求解，則，〃的取值范圍

是.

15.若關于x的方程(1-巾2)/+2〃次-1=。所有的根都是比1小的正數.則實數小的取值范

圍是?

16.某商品現在的售價為每件50元，每星期可賣出200件，市場調查反映：每降價1元，每

星期可多賣出10件，已知商品的進價為每件20元，在顧客得實惠的前提下，商家想獲得6160

元利潤，應將銷售單價定為元.

17.若。使關于x的分式方程竺2=等1有整數解，且使關于y的一元二次方程

x-22-x

(4-1))3-5)，-2=0有實數根，那么滿足條件的所有整數。的和為.

18.如圖，在RlAiABC中，?B90?,AB=6cm,8c=8cm,點P從人點開始沿人8邊向

點8以lcm/s的速度移動，點Q從8點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，則P、。分

別從A、3同時出發，經過秒鐘，使-P8。的面積等于8cm叱

三、解答題

19.用因式分解法解下列一元二次方程：

(1)3x(%-1)=0；

(2)(x-l)(x+l)=0；

⑶/_2x+l=l;

(4)4(工-3)2=x(x—3)；

20.已知關于k的方程/+2〃注+"/_1=().

(1)求證：無論，"取何值時，方程總有兩個不相等的實數根;

(2)若方程有一個根為1,求〉+2〃?+2017的值.

21.已知關于x的一元二次方程（加-1）丁+2（〃葉1）1+〃任1=0.

⑴若方程有實數根，求實數機的取值范圍；

⑵若方程兩實數根分別為毛，與，且滿足（司-。（&-1）=一〃7,求實數〃，的值.

22.己知々、當是關于工為一元二次方程x2-2（/〃+1卜+〃』+5=。的兩個實數根.

（I）若（*一1）（0一1）=28,求利的值：

⑵已知等腰三角形A8C的一邊長為7,另外的兩邊長恰好是d、x2,求VA4C的周長.

23.某校開展勞動實踐活動，九（1）班分到?塊如圖所示的邊長為8米的正方形菜地ABCD,

由于場地調整，現將菜地攻成周長不變的矩形菜地AEG”，兩塊菜地的重疊部分為矩形

A/3FE,不重疊兩塊是矩形CQEV和矩形即7G尸.設4月長為x（x<8）米，EG長為y米.

⑴用含x的代數式表示），；

（2）九（I）班的小明同學說：“矩形COE/的面積號與矩形尸的面積邑的差一定大于0.”

請你判斷他的說法是否正確，并說明理由.

24.【材料】請你先認真閱讀材料并解決下面問題.

已知關于X、丁的方程（X+），）2—2（X+），）—8=O,求x+y的值.

解：設，=x+y,則方程變形為：r-2r-8=0

/.（/-4）（r+2）=0

.」1=4,/2=-2,即x+y=4或x+），=-2

（1）【引申】已知（二+/-1）2=1,則陽2+〃2=一

⑵【拓展】已知任+磯/+/-1）=2,求V+x的值.

25.（過程糾錯改錯）下面是小君同學解一元二次方程3『+8x-3=0的過程，請認真閱讀并

完成相應的任務.

3.r+8x-3=0

試卷第4頁，共6頁

Q

解：二次項系數化為1,得/—1=。，第一步

cX（4Y

配方，得丁+一工十——1=0,...第二步

3

變形，得卜+gj=l,............第三步

開方，得X+g4=±l,..............第四步

解得司=一:，工2=-：............第五步

JJ

（I）上面小君同學的解法中運用“配方法”將該一元二次方程“降次”為兩個一元一次方程，體現

了轉化思想，其中“配方法”依據的一個數學公式是;

（2）上面小君同學的解題過程中，從第步開始出現錯誤，寫出正確的解答過程.

26.如果關于"的一元二次方程分2i/，xic=0（a￥0）有兩個實數根，且其中一個根為另一

個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”.例如，一元二次方程的兩個根是2和4,則方

程￡_6x+8=0就是“倍根方程”.

（1）若一元二次方程產-34+。=。是“倍根方程”，求。的值；

⑵若（4-2）（〃氏-〃）=0（〃;工0）是“倍根方程”，求代數式4m2_5〃"?+/的值；

⑶若關于x的一元二次方程加+bx+c=0（"0）是“倍根方程”，請說明：2b，=9ac.

27.閱讀材料：

材料1：法國數學家弗朗索瓦?書達于1615年在著作《論方程的識別與訂正》中建立了方程

根與系數的關系，提出一元二次方程加+笈+c=0b2-4ac>0）的兩根K,xa

hc

有如卜的關系（韋達定理）：X]+工2=--，不，W二—；

a"a

材料2：如果實數機、〃滿足〃$一〃?—1=0、〃2一〃一1=0，且"?工〃，則可利用根的定義構

造一元二次方程/-4-1=0,然后將/〃、〃看作是此方程的兩個不相等實數根去解決相關問

題.

請根據上述材料解決下面問題：

（1）若實數。，方滿足：/+3。-5=0，"+3〃一5=0（。/。）則。+〃=,ab=；

⑵若內，與是方程幺一61+左+3=0兩個不等實數根，且滿足5兇=&+6,求*的值;

⑶已知實數〃?、〃、/滿足：加2-4〃?=7+/,=+且〃2vOv〃，求(〃2+])(4〃?+3+1)

的取值范圍.

試卷第6頁，共6頁

《甘肅省武威第二十中學2025-2026學年九年級數學上冊人教版期末模擬試卷2》參考答案

題號12345678910

答案AADBBCCABC

11.%%=2

12.-1

13.1或2

14.m>2\

15.〃7>2或〃?=1/〃？=1或"7>2

16.42

17.-2

18.2秒或4秒

19.(I)?13&-1)=(),

.?.x=O或x-l=0,

解得$=0,*2=1；

(2)v(^-IX^+D=0,

."-1=0或工+1=0,

解得X]=1,々=7；

(3)整理，得：X2-2X=0,

/.x(x-2)=0,

則x=O或工-2=0,

解得玉=(),&=2；

(4)4(X-3)2=X*-3),

/.4(x--x(.r-3)=0,

貝叱3)(312)=0,

.,.%-3=0或31-12=0,

解得苔=3,々=4.

20.(1)解：方程f2+2〃t%+〃?2-1=。中，。=],b=2in,c=nr-1?

A=/?2-4ac=(2/n)2-4x1x_))

答案第1頁，共8頁

二4〃『-4(病—

=4"『-4"「+4

=4>0,

???無論〃，取何值，方程總有兩個不相等的實數根；

(2)解：???該方程有一個根為1,

?*?I2+2mx1+in2-1=0?即2m+m2=0,

Am2+2zn+2017=0+2017=2017.

21.(I)解：,,?關于工的一元二次方程+2(〃z+l)x+加+1=0有實數根，

:.b2-4〃0=[2(/〃+1)丁一=+2/〃+1)-4〃，+4=86+820,且〃L1工0

解得：〃?2-1且加工1，

即加的取值范圍是加2-1且加工1;

/.、-2(/n+l)in+1

(2)x+X-,=-------->

rn-1

V(x,-l)(x2-1)=-/?,

A(Xj-l)(x2-1)=xtx2-x1-x2+1=-in

"7+12(m+l)

+1=-f7l

m-1tn-\

化簡得到:

m+\+2(m+\)+in-\

-------------------=-ni

m-1

4m+2

-----=-m

m-1

4/〃4-2=-nr+tn

m2+3m+2=0

(/〃+2)(/〃+1)=()

解得：〃?=-2或〃?二一1

???加2-1且口Hl

答案第2頁，共8頁

22.(1)解：???西,電是方程f-2W+l)x+〃?2+5=。的兩個實數根,

2

，X+9=2(/〃+1),xxx2=m+5,

???內，/是方程幺一2(〃?+1八+/+5=0的兩個實數根，

:.A=/?2-4ac=[-2(陽+1)丁一4x(〃/+5)xl>0,

解得〃?￡2.

V(^-1)(^-1)=28,

XR-％-+1=28,

???病+5-2(m+1)-27=0,

整理，Wm2-2m-24=0-

解得〃7=6或"?=Y(舍去)，

故機的值為6.

(2)解：???不當是方程V—2(m+l)x+>+5=0的兩個實數根，

2

.二%+玉=2(〃?+1),XjX2=m+5,

???等腰三角形A8C的一邊長為7,

當％=7時，

/.7+X,=2(/??+1),7X2=nr+5,

?”.i\-z"『+5

.?2(m+1)-7=---,

整理，得，〃*—14〃?+40=0,

解得町=4,嗎=10,

當m=4時，占=+5=3,

一7

此時三角形的三邊長為7,7,3,三角形存在，

故三角形的周長為7+7+3=17；

當〃?二10時，與=巴士=15,

-7

此時三角形的三邊長為7,7,15,三角形不存在；

答案第3頁，共8頁

同理可證，當期=7時，三角形的周長為17；

???N，當是方程/一2(〃?+1)x+/+5=0的兩個實數根，

/.xi+9=2(//z+1),x(x2=nr+5,

???等腰三角形ABC的一邊長為7,

當％=A2時，

:.△=〃-4ao=[-2(〃?+1)J-4x(〃/+5)xl=0,

解得〃?=2,

..$=工2=3,

此時三角形的三邊長為7,3,3,三角形不存在；

綜上所述，三角形周長為17.

23.(1)解：根據長方形的周長公式，得2(X+)，)=8X4,即),=一工+16,

二丁關于x的函數表達式為丁=-x+16(x<8).

(2)解：他的說法正確.理由如下：

???所=8,

/.FG=>,-8=-.￥4-8,

.-.S2=FGBF=(-X+8)X,

???CO=8,DE=8-x,

:.Si=CDDE=8(8-x)=64-8x,

/.Sj-S2=64—8x—(—x+8)x=(x—8)~20,

,x<8,

2

Sj-S2=(x-8)>0

s,>s2.

即矩形CQEF的面積S1與矩形/的面積s?的差一定大于0.

24.(1)解：設/=〃/+〃2,

則原方程變形為(1-1尸=1,

答案第4頁，共8頁

即E-l=±l,

解得：/=2或0,

nr+〃2=0或2,

故答案為：0或2；

(2)解：設y=x?+x,

則原方程可化為：y(y-i)=2,

即/一y_2=0,

解得)*2,y2=-l,

Vx2+x=-lW?x2+x+l=0>A=l-4=-3<0,丁+工二-1無解.

，x2+x=2.

25.(1)解.：上面小君同學的解法中運用“配方法”將該一兀二次方程“降次”為兩個一兀一次

方程，體現了轉化思想，其中“配方法”依據的一個數學公式是完全平方公式；

故答案為：完全平方公式；

(2)上面小君同學的解題過程中，從第二步開始出現錯誤，寫出正確的解答過程如下：

正確過程如下：

3x2+8X-3=0,

解：移項，得：3f+8x=3,

二次項系數化為1，得：A2+^X=I,

配方,得—+京+(3=咤),

變形，得：fx+-l=—,

I3)9

45

開方，得：x+-=±-,

解得：X,=P勺=-3.

26.(1)解：設一元二次方程x2-3x+c=O的一個根為公,

???另一個根為工2=23.

答案第5頁，共8頁

/7c

則內+x=—=3,=—=c,

2aa

/.Xj+2x1=3,

即3$=3,

X]=I,*2=2,

c=x}-x2=1x2=2；

(2)解：:(x-2乂〃吠-〃)=()(/"()),

???該方程的兩根為芭=2,x=~.

2m

(工-2)(〃氏-〃)=0(〃2工0)是倍根方程，

.」=4或2=1.

ntm

當2=4,即〃=4m時,

m

4/-5〃〃?+n2

=4/n2-5m?4m+(4m)2=Arn2-20m2+16m2=0,

當。=1,即〃=，〃時，

m

4/5mnitr

=4/n2-5nr+nr=0,

；?代數式4m