確定圓的條件 課時(shí)練習(xí)-2025-2026學(xué)年北師大版九年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)

【北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）課時(shí)練習(xí)】

§3.5確定圓的條件

一、單選題（共30分）

1.（本題3分）下列說法正確的是（）

A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.長度相等的弧是等弧

C.平分弦的直徑垂直于弦D.直徑所對(duì)的圓周角是直角

2.（本題3分）已知八3=7cm,則過點(diǎn)A,B,且半徑為2cm的圓有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

3.（本題3分）如圖，在直角三角形A8C中，ZAC8=90。，點(diǎn)〃在AABC外接圓上，且CO平分NAC8,

則/8AO的大小為（）

A.30°B.45°

C.60。I）.隨點(diǎn)。的位置變化而變化

4.（本題3分）下列命題中：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②平分弦的直徑垂直于弦；③等弧所對(duì)的圓心角相等；

④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤優(yōu)弧-定大于劣弧.正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

5.（本題3分）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)力、B、aD、E、尺G都在小正方形的頂

點(diǎn)上，則AABC的外心是（）

6.（本題3分）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，點(diǎn)。4R,。均在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)

格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則過A,8,。三點(diǎn)的圓的半徑為（)

C.x/ioD.2V2

7.（本題3分）在RtaABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,則AABC外接圓的半徑為（）

A.10B.5C.6D.4

8.（本題3分）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大

小一樣的圓形鏡子，小明帶到商后去的碎片應(yīng)該是（）

C.③D.@

9.（本題3分）下列說法正確的是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦B.相等的圓心角所對(duì)的弧也相等

C.等弧所對(duì)的弦相等D.過平面上三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓

10.（本題3分）己知線段A3=IOcm,則經(jīng)過兒/＜兩點(diǎn)且半徑為6cm的圓有（)

A.0個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.無數(shù)個(gè)

二、填空題（共15分）

11.（本題3分）下列命題是真命題的有（填序號(hào)）.

①經(jīng)過平面內(nèi)任意三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；②平分弦的直徑垂直于弦；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

12.（本題3分）如圖VA8C外接圓的圓心坐標(biāo)是

13.（本題3分）若直角三角形的兩直角邊長分別為3和4,則它的外接圓的半徑為

14.(本題3分)點(diǎn)/為△ABC的外心，且NWC=150。，則—4的度數(shù)為

15.(本題3分)如圖，0P與x軸交于點(diǎn)A(-5,0),8(1,0),與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.若248=60。.

(1)圓心P的坐標(biāo)為；

16.(本題6分)設(shè)A8=女。］，作圖說明滿足下列要求的圖形.

⑴到點(diǎn)力和點(diǎn)8的距離都等于2cm的所有點(diǎn)組成的圖形.

⑵到點(diǎn)力和點(diǎn)8的距離都小于2cm的所有點(diǎn)組成的圖形.

17.(本題7分)在如圖所示的方格紙中存在△ABC,其中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上.

(1)用直尺作出4ABC的外接圓圓心0；

(2)若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長為2,求VA3C外接圓半徑R的長.

18.（本題8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-l,-3）,B（0,-4）,C（3,-l）.

（1）將△ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后對(duì)應(yīng)得到請(qǐng)寫出點(diǎn)A,小，C的坐標(biāo)；

（2）結(jié)合圖形，請(qǐng)寫出外接圓（7坐標(biāo)，并求能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面積（結(jié)果保留“）.

19.（本題8分）。是△ABC的外接圓入B=AC,尸是?O上一點(diǎn).

（1）請(qǐng)你只用無刻度的直尺，分別畫出圖①和圖②中/尸的平分線;

（2）結(jié)合圖②，說明你這樣畫的理由.

20.(本題8分)如圖，在6x6的方格紙中，已知AABC是格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上)，請(qǐng)按要求作圖.

(1)在圖1中標(biāo)出aABC外接圓的圓心0.

(2)在圖2中畫格點(diǎn)線段8。，使得把AC分為1:2的兩條線段.

21.(本題9分)如圖，以。為頂點(diǎn)的拋物線y=-『+2x+3交x軸于A、3兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A,B,C,。的坐標(biāo)；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)尸，使PC+PA的值最小，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)試判斷點(diǎn)8、點(diǎn)C、點(diǎn)。這3個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上？若在同一個(gè)圓上，請(qǐng)寫出圓的半徑，并作簡要說明;

若不在同一個(gè)圓上，請(qǐng)說明理由.

22.(本題9分)已知和Rt"8。，NACB=NADB=9()。.

(1)求證：A,B,D,。四點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

(2)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)畫出上述圓，并標(biāo)出圓心.(保留作圖痕跡，不寫作法)

⑶如果NA8C=30。，￡是上述圓上任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出NAEC的度數(shù).

【北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)（下）課時(shí)練習(xí)】

§3.5確定圓的條件

一、單選題（共30分）

1.（本題3分）下列說法正確的是（）

A.三點(diǎn)確定一個(gè)圓B.長度相等的弧是等弧

C.平分弦的直徑垂直于弦D.直徑所對(duì)的圓周角是直角

解：A、不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

B、同圓或等圓中，長度相等的弧是等弧，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

C、平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

D、直徑所對(duì)的圓周角是直角，原說法正確，符合題意；

故選：D.

2.（本題3分）已知48=7cm,則過點(diǎn)八，B,且半徑為2cm的圓有（）

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.無數(shù)個(gè)

解：???半徑為2cm的圓的直徑為4<7

???過點(diǎn)A,B,且半徑為2cm的圓沒有

故選：A.

3.（本題3分）如圖，在直角三角形A8C中，46=90。，點(diǎn)〃在AABC外接圓上，且CO平分/ACB,

則的大小為（）

A.30cB.45c

C.60°D,隨點(diǎn)。的位置變化而變化

解：VZAC?=90°,C/）平分?BCDACB45?,

???點(diǎn)〃在AABC外接圓上,.\ZBAD=ZBCD=45°；故選B.

4.（本題3分）下列命題中：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②平分弦的直徑垂直于弦；③等弧所對(duì)的圓心角相等;

④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤優(yōu)弧一定大于劣弧.正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)1）.4個(gè)

解：①不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

③等弧所對(duì)的圓心角相等，正確，符合題意；

④三角形的外心到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；

⑤優(yōu)弧不一定大于劣弧，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意.

正確的有1個(gè)，

故選：A.

5.（本題3分）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點(diǎn)力、B、a〃、E、EG都在小正方形的頂

點(diǎn)上，則AABC的外心是（）

解：結(jié)合網(wǎng)格，畫出A8,8。的垂直平分線如圖所示:

則AABC的外心是點(diǎn)。.

故選：A.

6.（本題3分）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，點(diǎn)。A8。均在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)

格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則過4B,C三點(diǎn)的圓的半徑為（)

A.75B.3c.曬D.2&

解：如圖,圓心如的坐標(biāo)（-1,-2）,

V4（0,1）,

故選：C.

7.（本題3分）在RlZXABC中，ZC=9O°,AC=8,BC=6,則△ABC外接圓的半徑為（）

A.10B.5C.6D.4

解：VZC=90%AC=8,BC=6,

???AB=y]AC2+8C2=V82+62=764+36=7100=10?

又1?48是外接圓的直徑，

???外接圓的半徑=m=5.

故選：B.

8.（本題3分）小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了（如圖），史中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大

解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任作兩條弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線

的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而確定圓即可.

故選：A.

9.（本題3分）下列說法正確的是（）

A.平分弦的直徑垂直于弦B.相等的圓心角所對(duì)的弧也相等

C.等弧所對(duì)的弦相等I）.過平面上三點(diǎn)可以畫一個(gè)圓

解：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，A錯(cuò)誤：

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，B錯(cuò)誤；

等弧是指在同圓或等圓中長度相等的弧，則等弧所對(duì)的弦相等，C正確；

不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，D錯(cuò)誤；

故選：C.

10.（本題3分）已知線段43=IOcm,則經(jīng)過44兩點(diǎn)且半徑為6cm的圓有（）

A.0個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.無數(shù)個(gè)

解：設(shè)中點(diǎn)為他則AM=^AB=5cm.

???圓心。在A3的垂直平分線上，且。4=6cm,

???在RtAOAlA中，OM2=OA2-AM2=62-52=36-25=11,

；?OM=Vncm，

vVn>o,

???存在兩個(gè)點(diǎn)。（在垂直平分線上兩側(cè)），分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)圓.

故選:B.

二、填空題（共15分）

11.（本題3分）下列命題是真命題的有（填序號(hào)）.

①經(jīng)過平面內(nèi)任意三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)圓；②平分弦的直徑垂直于弦；③相等的圓心角所對(duì)的弧相等；④

圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ).

解：①經(jīng)過平面內(nèi)任意三個(gè)點(diǎn)不一定能確定一個(gè)圓，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)無法確定圓，故①錯(cuò)誤；

②平分弦的直徑垂直于弦的前提是弦不是直徑，否則不一定成立，故②錯(cuò)誤；

③相等的圓心角所對(duì)的弧相等必須在同圓或等圓中，否則不成立，故③錯(cuò)誤；

④圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，這是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，故④正確.

故答案為：④.

12.（本題3分）如圖VA8C外接圓的圓心坐標(biāo)是.

23456x

解：如圖，點(diǎn)0(6,2)即為^ABC外接圓的圓心坐標(biāo)

故答案為：(6,2).

13.(本題3分)若直角三角形的兩直角邊長分別為3和4,則它的外接圓的半徑為

解：;直角三角形的兩直角邊長分別為3和4,

斜邊長=出品萬=J9+16=病=5,

二?外接圓半徑=,.

故答案為：!

14.(本題3分)點(diǎn),為^ABC的外心，且N8/C=150。，則/力的度數(shù)為.

???點(diǎn)/為的外心，ZB/C=150°,

AZA=-ZB/C=-xl50°=75°,ZA*=180°-75o=105°,

22

故/A的度數(shù)為：75。或105。.

故答案為：75。或105。.

15.（本題3分）如圖，0P與x軸交于點(diǎn)A（-5,0）,8（1,0）,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C.若248=60°.

(1)圓心P的雁標(biāo)為

尸石_LOC于E,

;PA=PB,

：.ZPAB=Z.PBA=3(T,

4(-5,0),B(LO),

AB=6,

:.AD=BD=3,

PD=75?PA=PB=PC=2瓜

PD1AB,PEA.OC,ZAOC=90P,

二?四邊形PEOO是矩形，

OE=PD=yf3,PE=OD=2,

???圓心產(chǎn)的坐標(biāo)為（一2,61

故答案為：（-2,石）；

（2）,:PC=20,PE=2

：.CE=y]PC2-PE2=J（2可—2?=2右，

二.OC=CE+OE=2s/2+43,

???點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2及+>/3,

故答案為：2&+G.

三、解答題（共55分）

16.（本題6分）設(shè)/^二女!!!，作圖說明滿足下列要求的圖形.

（1）到點(diǎn)A和點(diǎn)8的距離都等于2cm的所有點(diǎn)組成的圖形.

⑵到點(diǎn)力和點(diǎn)S的距離都小于2cm的所有點(diǎn)組成的圖形.

???到點(diǎn)8的距離等于2cm的點(diǎn)組成的圖形是以6為圓心、以2cmK為半徑的圓，

到點(diǎn)力的距離等于2cm的點(diǎn)組成的圖形是以力為圓心、以2cm長為半徑的圓，

???到點(diǎn)8和點(diǎn)力的距離都等于2cm的所有點(diǎn)組成的圖形為，A和：8的交點(diǎn)，即點(diǎn)〃和點(diǎn)C；

（2）解：作圖如下：

到點(diǎn)B和點(diǎn)A的距離都小于2cm的所有點(diǎn)組成的圖形為A和8的公共部分（不包括公共部分的兩條弧）,

即圖中的陰影部分.

17.（本題7分）在如圖所示的方格紙中存在△ABC,其中，點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上.

(1)用直尺作出AABC的外接圓圓心0；

(2)若方格紙中每個(gè)小正方形的邊長為2,求VA3c外接圓半徑R的長.

(I)解：如圖，點(diǎn)。即為所求；

(2)解：連接。乩

OB=d于+G=2而?

故外接圓半徑R的長為2后.

18.(本題8分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(T,-3),5(0,-4),C(3,-l).

(1)將△ABC繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后對(duì)應(yīng)得到請(qǐng)寫出點(diǎn)/V,B',C的坐標(biāo);

(2)結(jié)合圖形，請(qǐng)寫出AE。外接圓(7坐標(biāo)，并求能夠完全覆蓋這個(gè)三角形的最小圓面積(結(jié)果保留兀).

解：(1)

如圖，即為所求，A(3,—1),陽4,0),C(l,3)；

(2)由圖形可得，A'lTC外接圓0,坐標(biāo)為(7(2,1),

半徑為：＞/12+22=X/5

則能夠完全覆蓋一A9C的最小圓面積

7TX=5兀.

19.(本題8分)。是△ABC的外接圓八B=AC,尸是。上一點(diǎn).

①

(1)請(qǐng)你只用無刻度的直尺，分別畫出圖①和圖②中/尸的平分線;

(2)結(jié)合圖②，說明你這樣畫的理由.

(1)解：如圖①，連接AP,4。即為所求角平分線;

???AB=AC,

:.^APB=ZAPC,

JAP平分/8PC；

如圖②，連接AO并延長，與。。交于點(diǎn)〃，連接PO,PO即為所求角平分線,

?：AB=ACt點(diǎn)0為AABC外接圓圓心，

:.AD±BC,

??BD=CD，

/BPD=NCPD,

:.PD平分NBPC；

AA

pD

①②

(2)???AB=AC,點(diǎn)。為VABC外接圓圓心9

:.ADJ.BC，：,BD=CD，

:./BPD=NCPD,

:.PD平分NBPC；

20.(本題8分)如圖，在6x6的方格紙中，已知AABC是格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上)，請(qǐng)按要求作圖.

1.4L.4..4—：—L

C!!I1!1

(1)在圖1中標(biāo)出aABC外接圓的圓心0.

(2)在圖2中畫格點(diǎn)線段8。，使得8。把AC分為1：2的兩條線段.

(1)解：根據(jù)三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都等于半徑的長度，可得如圖，點(diǎn)。即為所求

(2)解：如圖，線段80即為所求作:

21.(本題9分)如圖，以。為頂點(diǎn)的拋物線y=[d+2x+3交/軸于A、笈兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)人，B,C,。的坐標(biāo)；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P,使PC+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

(3)試判斷點(diǎn)8、點(diǎn)。、點(diǎn)。這3個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上？若在同一個(gè)圓上，請(qǐng)寫出圓的半徑，并作簡要說明;

若不在同一個(gè)圓上，請(qǐng)說明理由.

⑴解:令y=0,則0=-f+2x+3,

解得：x=3或工=-1,

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),

令工=(),則y=3,

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).

*.*y=-x2+2x+3=-(x-l)~+4,

，頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4)；

(2)解：J?拋物線的解析式為：y=-r2+?r+3=-(r-1)2+4,

???其對(duì)稱軸為直線％=

連接3C,過。作9_Lx軸交3c于點(diǎn)P,連接AP,如圖所示,

X

???B(3,0),C(0,3)

???設(shè)直線BC的解析式為），=kx+b（k