暑假預(yù)習(xí)：二次根式的運(yùn)算（教師版）-八年級數(shù)學(xué)（北師大版）

第六講二次根式的運(yùn)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

會進(jìn)行二次根式的簡單四則運(yùn)算，并解決簡單的實(shí)際問題.

【基礎(chǔ)知識】

1.二次根式的乘法法則：&,〃=而o箍二8?&(“20必2°)(主要用于化簡)

)(_〃)?(_1)=y/a?b=\[ci?xfb(心0,后0)

2.二次根式的除法法則：

4a_lafa_\[a

4b<=>xbyfb(40,〃>0)

3.二次根式的乘方法則：&樂=4^=冊=Q(。20)G?G=(JZ)2=o(。＞0)

4.二次根式的加減運(yùn)算方法：①不是最簡二次根式的要先化成最簡二次根式；②是最簡二次根式，只把二

次根式系數(shù)想加減，二次根式不變照寫;

【考點(diǎn)剖析】

考點(diǎn)一：二次根式的乘法

例I.(1)計(jì)算：V6x5/2=

【答案】20

【詳解】

解：\[GxV2=V6x2=Vi2=25/3

故答案為：

(2)計(jì)算(?+2)(6-2)的結(jié)果等于

【答案】1

【詳解】

解：原式=(6+2)(6-2)

=(可"

=5-4

故答案為：1.

(3)計(jì)算(2月-血尸的結(jié)果等于.

【答案】14-4#

【詳解】

解：(2百-五尸

=(20)2_2XX0+(歷

=12-4>/6+2

=14-4^.

故答案為：14一4?.

考點(diǎn)二：二次根式的除法

例2.(1)計(jì)算：745-75=

【答案】3

【詳解】解：底*亞=亞=3,

故答案為：3.

(2)計(jì)算平的結(jié)果是

6

【答案】2叵

【詳解】

*：源2夫=2萬

故答案為2近.

考點(diǎn)三：二次根式的加減運(yùn)算

例3.(1)計(jì)算加-20的結(jié)果是

【答案】V2

【詳解】

解：源式=—2近>=?

故答案為：血.

（2）計(jì)算：（加一2百）一（

【答案】+

【解析】

W：(V18-2x^)-(

=(3>72—2>/3)—(―>/2-5>/3)

4

=3>/2—2->/3—+5>/3

4

=—V2+3V3.

4

(2)

考點(diǎn)四：二次根式的混合運(yùn)算

例4.計(jì)算：

(1)273x76;

⑵4而-3而+26

(3)3>/5x—>/30+A/2；

3

【答案】（I）6>/2；（2）75;（3）55（4）6/一,

【詳解】

解：(I)2\/3xx/b=2x3>/2=6>/2：

(2)4而-3a+26

=4x2\/5-3x3>/5+2>/5

8石-9石+2石

（3）35/5x—《30+A/2

3

=3x175x304-2

3

=775

=5>/3；

（4）3屈-3A+2炳

=66-6+6夜

=班一亞

12

考點(diǎn)五：二次根式的應(yīng)用

例5.（1）如圖，甲、乙兩張卡片上均有一個系數(shù)為整數(shù)的多項(xiàng)式，其中乙中二次項(xiàng)系數(shù)因?yàn)楸晃廴究床?/p>

清楚.

1：/-4。+6B：*?’+2。-3

甲乙

（1）嘉嘉認(rèn)為污染的數(shù)為一3,計(jì)算“A+B”的結(jié)果；

（2）若〃=3+6,淇淇認(rèn)為存在一個整數(shù)，可以使得—8”的結(jié)果是整數(shù)，請你求出滿足題意的被污

染的這個數(shù).

【答案】（1）一2。2-2。+3;（2）0.

【詳解】解：（1）A+B=a2-46/+6+（-36f2+2?-3）

-cr-4。+6-3/+2。-3

=-2/-2。+3：

（2）設(shè)污染的數(shù)字為執(zhí),

:.A-B=（a2-4。+6）-*+2々-3）

//一4〃+6—nm2—2〃+3

=/-6。+9-ma2

={ci-3)'-imr

,??“=3+0

*'?(a—3)2=(3+>/3-3)=3是整數(shù)

A—6的結(jié)果是整數(shù)

???〃"2是整數(shù)

Va2=(3+>/3)2=12+6是無理數(shù)，機(jī)是整數(shù)

m=0

即存在整數(shù)0滿足題意.

例6.已知三角形的三邊長分別為0，h,Ct求其面積，古希臘的幾何學(xué)家海倫給出海倫公式

S=(其中,我國南宋時期數(shù)學(xué)教秦九昭提出了秦九昭公式

?I727-2.2、

-"+「，若一個三角形的三邊長分別為2,2,3,請你選擇自己喜歡的公式計(jì)算這

2VI2J

個三角形的面積.

【答案】s=—

4

【詳解】解：由題意得：a=2,b=2,c=3,

a+b+c7

?"=-2-=2*

???S=JM〃一〃)(〃--)(〃-c)=Jgxjx'x；=平.

【真題演練】

I.下列各數(shù)中，與夜的積為無理數(shù)的是()

A.4B.712c.VT8D.V32

【答案】B

【解析】

A、Qgx6=J；x2=&=l,不是無理數(shù)’錯誤；

B、V12X2=V24=2A/6，是無理數(shù)，正確；

C、V18xV2=V18X2=>/36=6?不是無理數(shù)，錯誤；

D、>/32x72=732x2=764=8，不是無理數(shù)，錯誤；

故選B.

2.已知：J而是整數(shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)〃為（)

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】

???J2O〃=J4x5〃=2,5"，且,20〃是整數(shù),

???2后是整數(shù)，即5n是完全平方數(shù)，

???n的最小正整數(shù)為5.

故選D.

3.6+人與6-旭互為倒數(shù)，則（）

A.a=b—1B.a+b=1C.a=b+1D.a+b=-1

【答案】C

【解析】

解：由題意得，（&+聲）（&-振）=1

a-b=1,即a=b+1

故選：C

4.已知—5y,則代數(shù)式j(luò)〃/+〃？—的值為()

A.±3B.3C.5D.9

【答案】B

【解析】

由已知可得:〃z+〃=2,〃z〃=(l+J5)(l-J5)=-l,

原式=J（〃2+〃）2-5,7〃？=722-5X（-1）=也=3

故選：B

5.下列計(jì)算正確的個數(shù)是（）

①而/"=4(?②質(zhì)xVl礪=5&。③a.a2x-=\J7i④\f3ci-y/2a

V6/Va

A.1個B.2個C.3個

【答案】B

【解析】

A、原式=4a?,所以A選項(xiàng)的計(jì)算正確；

B、原式=7^1麗=5夜a,所以B選項(xiàng)的計(jì)算正確;

C、原式=，J+&=2G，所以C選項(xiàng)的計(jì)算錯誤；

D、J3a-J2〃不能合并，所以D選項(xiàng)的計(jì)算錯誤.

故選:B.

6.下列運(yùn)算正確的是（）

夜+百=石

C.J(-2).(-3)=GCD.(V2+1)(V2-1)=1

【答案】D

【解析】

解：A選項(xiàng)血和百不是同類二次根式，不能相加，A錯誤;

口4T再c137V37口神山

B選項(xiàng)q9a==—^―，B告狀;

C選項(xiàng)J（-2）?（-3）=",被開方數(shù)不能是負(fù)數(shù)，C錯誤；

7.若。=1■/，b=-念丁則。與〃的關(guān)系是（）

A.互為相反數(shù)B.相等

C.互為倒數(shù)D.互為有理化因式

【答案】B

【解析】

b="-F=~=-(0-1)=-亞+1,

V2+1

而(i=1->/2，

所以a=b.

故選:B.

8.若14.42,則化簡、,—,+|a-2|的結(jié)果是()

A-2a-3B--ac-3-2a

【答案】D

【解析】

ft?：Vl<a<2,

Aa-l>0,a-2<0,

，原式=f1=a-14-2-a=1,

故答案為：D.

9.若x=e-1,則X3+X2-3X+2020的值為.

【答案】2019

【解析】

解：原式n/Cv+D-Bx+ZOZO

=X2(V2-1+1)-3X+2020

=后-3x+2020

=j(V2x-3)+2020

=(V2-l)[V2x(V2-l)-3+2020

=(>/2-1)(-72-1)+2020

=-1+2020

=2019

10.若ab>。，a+b<。,那么下面各式:①;②=1；③y[ab+=—b；

,其中正確的是（填序號）

【答案】②③

【解析】

解:因?yàn)槿鬭b>0,a+b〈0,所以a<0,b<0.

由尸a<0,b<0,，加無意義，所以①的變形錯誤;

唔得展j故②正確：

?；癡+"二后二川’

由干bvO,???原式二-b,故③正確；

?;=Qab?=J^'二問，由于a<0,工原式=-a,故④計(jì)算錯誤.

故答案為②③.

“』笛14fT/12b

11.計(jì)算：—J—r+J—r

abVab-V5a

【答案】平

14叵

14ay/lOb

H2b2

12.已知〃=8+1，求。3-/-3。+2018的值.

【答案】2019.

(解析］解：：4=5/2+1?-1=5/2，

?**(t/-1)=2,即a2—2a=l.

，原式二。(c/-2a)+(/-2a)-a+2018=a+1-^+2018=2019

13.(2019?廣東初二月考)已知工=6+2，_y=>/5-2.

(1)求x+y與％-與的值:(2)利用(1)的結(jié)果求金+盯+y2的值

【答案】⑴2亞;4；(2)19.

【解析】

解：(1)因?yàn)閤=j5+2，y=y/5-2

所以x+)』石+2+石-2=2下；

下)=(石+2)-(石-2)=4.

⑵x2+xy+y2=(x+?-xy

=(2>/5)--(>/5+2)(^-2)=20-1=19

【過關(guān)檢測】

1.下列運(yùn)算正確的是()

A.J(—2)2=-2B.(26)2=6C.72+73=75D.艮K=戈

【答案】D

【解析】

A：斤斤=2,故本選項(xiàng)錯誤；

B：(26)2=12,故本選項(xiàng)錯誤；

C：拉與退不是同類二次根式，不能合并，故本選項(xiàng)錯誤；

D：根據(jù)二次根式乘法運(yùn)算的法則知本選項(xiàng)正確,

故選D.

2.下列計(jì)算正確的是（)

A.x/3+V2=V5B.厄一石二行

U芯？近6D.屈子石=4

【答案】B

【解析】

解：A.6+也不能合并.故選項(xiàng)錯誤；

B.厄-6=2有一百=6.故選項(xiàng)正確；

C.V3x>/2=>/6.故選項(xiàng)錯誤；

D.\/\2>/3=\/12-j-3=x/4=2.故選項(xiàng)錯誤，

故選B.

3.已知第=1一則代數(shù)式(6+2遙)爐+百)x+的的值是()

A-20+VSB-V5c-12-V5D-12+VS

【答案】D

【解析】

?x=1_VS，

???(6+2v'S)x、仕+V5>t代

=(6+2^)(l-VS)3+(1+V5)(1-VS)+V5

==+2芮3-2、務(wù)44-5+而

=36-：20+1-5"弓

=12+VS

故選D.

4.計(jì)算：(4&-3?)+2及的結(jié)果是()

3/rJ523

A.2--V3B.1-—C.-D.-7=

233V2

【答案】A

【解析】

（4.y2-3瓜）+2a=4&-2&-3瓜:2&=2--1\/3.

故選：A.

5.下列運(yùn)算中錯誤的是（）

A.e-V3=V6B.斥血=2C.V2+6=6D.（-6）2=3

【答案】C

【解析】

A.V2?0=指正確，不符合題意；

B.我+血="=2正確，不符合題意；

C.，2、j3不能合并，及+J3=J5錯誤，符合題意；

D.（-指戶=3正確，不符合題意；

故選C

6.已知實(shí)數(shù)〃=2+6,則與實(shí)數(shù)。互為倒數(shù)的是（）

A.-2—>/3B.2—-J3C.—2+\/3D.3—25/3

【答案】B

【解析】

解：a的倒數(shù)=：;-j==——尸、「二2-6

2+J3（2+V3）（2-V3）

故選：B

7.卜列討算①6><逐=J話；②點(diǎn)；=得；③*=*；④亞=4.其中錯誤的是（）.

A.①B.②C.③D.?

【答案】C

【解析】

J；,\/3x5/5—x/i-5,正確；

④廂=4正確.

故選C.

8.（2019?貴陽市清鎮(zhèn)市衛(wèi)城中學(xué)初二期中）下列計(jì)算正確的是（）

A.2^x3V3=6>/3B.V2+5/3=>/5

C.5亞-2叵=36D.724-73=—

3

【答案】D

【解析】

解：A.2Gx3百=18，故A選項(xiàng)錯誤；

B.J5,、萬不是同類項(xiàng)，不能合并，故B選項(xiàng)錯誤；

C.56,20不是同類項(xiàng)，不能合并，故C選項(xiàng)錯誤;

D.6他=2=顯,故D選項(xiàng)正確.

G3

故選:D

9.下列運(yùn)算正確的是（）

A.y/2+>/3=>/5B.5/3x(\/s-x/2)=>/3x^6=VFs

C.V9=±3D.lx/5-6仁萬~亞

【答案】D

【解析】

A、、歷+&豐加，故A選項(xiàng)錯誤;

B、-^3x(>/8~5/2)=\/3xx^2=J24*>/6=2>/6~>/6=\/6，故B選項(xiàng)錯誤;

C、、何=3,故C選項(xiàng)錯誤;

D、IV5-布仁幣-石，故D選項(xiàng)正確.

故選:D

io.計(jì)算：事

4b

A.-^-y\[abB.—\/abC.—VubD.b4ab

ab"abb

【答案】A

【解析】

11.（2019?邢臺市第八中學(xué)初二月考）二次根式：①疝；②③J4；④用中，能與有合并

的是（）

A.①和②B.②和③C.①和④