題型專練：分式的乘除（4基礎2提升+培優）-蘇科版八年級數學下冊【含答案】

10.4分式的乘除

題型一分式乘法

題型二分式除法

題型三分式乘除混合運算

題型四合乘方的分式運算

題型一分式的化簡求值

題型二分式最值

A基礎達標題」

題型一分式乘法

XY-V

1.計算-------21的結果是（）

x-yy

XX

A.2B.一上C.—D.一

xxyV

2.下列各式從左到右的變形一定正確的是(

“x2+1x+\一3x3x-x--ycxx~

A.-------=------B.--------=-----C.——^=x+yD.-=—

5x5—x+1x—1x+yyy

4.計算:

…4"6//

3bl-ac'2'

x1

(2)-一7---------.

x+yx+y

題型二分式除法

24

5.化簡二一+—；的結果為()

X~+XX+I

試卷第i頁，共6頁

12x

A.—B.—C.2xD.

2xx2

X1

6.已知"=—一，則下列結論正確的是（）

x-11-x

rX,X+l

A.M+N=-\B.M-N=---

x-\

1

C.MxN=D.M+N=x

U-i）2

7.某食品加工廠在制作一種食品時，需要按照一定的比例混合各種原料.現在有兩種原料力

和8,原料力的質量為工（單位：kg）,原料8的質量為一、（單位：kg）,將它們混合

a-1a-l

后進行一些操作（操作過程不影響質量）,下列關于這兩個代數式的運算正確的是（）

A.+--1-=Q-2+1.B.-----—=a+\

a-\a-la-\a-\

a-+2a+\

C.D.

12

8.化簡:-----------------------------------

a-ba+hJa2-b2

題型三分式乘除混合運算

（〃》＞（））,則有（兩圖中〃，。分別相同）（）

A.k>2B.1<“<2C.-<^<1D.0<“<2

2

10.計算：xy^--=

y

11.計算:

⑴9"十金爭

_a2-1a+2a2-4a+4

a2-4a2-2a+la+1

12.如圖，李老師在黑板上寫了一個等式，隨后用手遮住了其中一部分，并提出了如下閏題:

乂f-9.E=x+3

入好―6x+9.x+3-x-3

—/

（1）求被手遮住部分的代數式；

試卷第2頁，共6頁

⑵已知,d-x-3=0，求(1)中所得的代數式的值.

題型四含乘方的分式運算

13.計算的結果是()

A.aB.a3C.a6D.a9

14.-T+.

J{yJ

i3

15.如果x+—=3,則3/+1+弓■的值等于；

xx*

16.按要求完成下列各題：

⑴化簡：(一2/),)+匕.上］-(2x-y)2；

2x1工/

(2)因式分解：12+9『一36/.

能力提升題

題型一分式的化簡求道

17.若〃?=5,則必駕±泡的值為（）

mz

9D9廠3-3

AA.—B.-C.—D.-

255255

（4Aa2-2a+\

18.先化簡，再求值：I——-?、〃，其中。=4.

Va+3J2a+6

19.先化簡，再求值：■>"：2］）（2"1）-a（2a+1）,其中

a--4a+4\a-2a）

+（71+2026）°.

20.先化簡，再求值：卜7+1)'-a(a+2)+彳一甲+4其中a=2"+

{2a-1\-12a”

題型二分式最值

分式號布的最大值是()

D.-1

A.5B.6c；

試卷第3頁，共6頁

〃+1

22.已知〃？，〃為實數，且〃L〃=6,〃?2-2〃，則下列關于的說法正確的是（

m

A.有最大值，且最大值為;B.有最小值，且最小值為:

44

C.有最大值，且最大值為D.有最小值，且最小值為一：

44

23.新定義：如果任意交換兩個字母的位置，式子的值都不變，那么我們把這樣的式子稱作

交換對稱式.

例如：/+_/,（》_］）（）一］）,它們都是交換對稱式.已知：（x-a）（x-?=x2_px+q,

①若p=2國=-1,則交換對稱式2+_______；

ab

②若4=-2,則交換對稱式"2+號的最小值為_______.

ab

24.請仔細閱讀下面材料，然后解決問題：

在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數大于或等于分母的次數時，我們稱方

為“假分式”，例如：—;當分子的次數小于分母的次數時，我們稱之為“真分式”，

x+1x+\

例如：」7，告.我們知道，假分數可化為帶分數，例:=空=3+：=3：,類似的,

X+IJC+14444

假分式也可以化為“帶分式''（整式與真分式和的形式），例如：一v-1=—Y+1-首2印2

X+lX+lX+1

（1）將分式二化為帶分式；

X-1

（2）當x取哪些整數值時，分式々的值也是整數？

x-1

（3）當》=時，分式四二的最大值是

x~+\

25.將7張如圖1的兩邊長分別為。和b（。2力，。與人都為正整數）的長方形紙片按圖2

的方式不重疊放在長方形/6C。內，長方形中未被覆蓋的部分用陰影表示，設左上角與右下

角的陰影部分的面積相等，設三=k,若44=3,左為整數，則?？扇〉闹档膫€數為（）

試卷第4頁，共6頁

圖1圖2

A.0個B.3個C.5個D.無數個

26.藝術節是同學們最為快樂的時光，今年藝術節前夕，學校決定拿出一筆固定的資金用于

購買藝術節學生獎品.根據獎項設置計劃，一等獎獎品的總價將占學校預定總資金的!，二、

三等獎獎品的總價之比為7:11.第一次用于購買一、二、三等獎獎品的資金之比為2:3:4：

第二次將用余下的資金繼續購買一、二、二等獎獎品，經預算，需將余下資金的;購買一等

獎獎品，則還需購買的二、三等獎獎品的資金之比為一.

27.先閱讀下列解法，再解答后面的問題.

3x-4AB

已知(1)(x-2)=二一工，求"、〃的值.

解法一：將等號右邊通分，再去分母，得：3x-4=J(x-2)+5(x-l),

即：3x-4=(A+B)x-(2A^-B),

A+B=3A=l

-(24+4)=-4‘解得：’

8=2

解法二：在已知等式中取x=()有—A+—―=-2,整理得24+8=4；

A5

取x=3,有二+B=二,整理得4+23=5.

22

叱[2A++2B5=54,解得[[Ab=al

llxAB

a)已知G7而二號二1/一石二？’用上面的解法一或解法二求"、'的值.

(2)計算：7—ri-E+/二°\+/4c+…—77;(X+U)，并求X取

(x-l)(x+l)(x+l)(x+3)(x+3)(x+5)(x+9)(x+l1)

何整數時，這個式子的值為正整數.

試卷第5頁，共6頁

28.綜合與實踐

定義：如果兩個分式尸與。的和為常數3則稱P與。互為“和常分式”，常數〃稱為“和常

值例如：分式尸。=型」，0+。='+四二1=2,則2與。互為“和常分式”，“和

mmmm

常值乂=2.

(1)已知分式力=七1,8=也爛，判斷力與8是否互為“和常分式”？若不是，請說明理由；

w+2w+2

若是，請求出“和常值”.

(2)已知分式。=2"6-=1,D=YM^,若。與?；椤昂统７质健?，且“和常值”％=2.

w-3w-9

①求代數式"(用含〃，的式子表示).

②若分式。的值為正整數，求〃?的值.

(3)已知分式￡=如一，F=丁，，(。，b為整數)，若E與尸互為“和常分式”，求“和

ni-1nr-2m+1

常值

試卷第6頁，共6頁

1.c

【分析】根據分式乘法法則，分子相乘的枳作為積的分子，分母相乘的積作為積的分母，再

約去公因式即可.

xx-yx

【詳解】解:-------=-

x-yyy

2.B

【分析】本題考查了分式為基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解本題的關鍵.

根據分式的基本性質，分式的分子與分母同時乘以或除以同一個不為零的整式，分式的值不

變，逐項判斷變形是否正確.

【詳解】A；—^―（分子從V+1變為工+1,分母從5x變為5,未同時乘以或除以

5x5

相同整式）.

「?變形不一定正確.

消）二三（分子分母同乘一,旦小。）.

..?變形一定正確.

c：v±JCr）（Fx-…+y（除非…）.

x+yx+y

「?變形不一定正確.

2222

D：V二工二（土分子分母同乘X得士，工工與，除非、=＞）.

VV-yxy,xyy

「?變形不一定正確.

故選B.

答案第1頁，共14頁

y(x-y)

(x2+y2)(x+y)

【詳解】(1)ft?：%.竺=竺;

3b2ac~c

_x(x+y)x2+y2

(v2+y2)(x+y)(x2+y2)(x+y)

_x(x+N)-，+/)_+xy-x2-y2

~(x2+JJ)(x+y)一(工2+y2)(x+j，)

xy-y2

~(x2+y2)(x+y)

y(x-y)

~(x2+y2)(x+y)'

5.A

【分析】本題考杳分式的除法運算，先對原式分母因式分解,再根據分式除法法則將除法轉

化為乘法，約分后即可得到結果.

【詳解】解：

X+XX+1

2x+1

=-；-----X-----

x(.r+l)4

1

=元’

???化簡結果為:，

2x

故答案為：A.

6.B

【分析】本題考杳了分式的乘除法，分式的加減法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵

根據分式的乘除法、分式的加減法法則分別計算判斷即可.

【詳解】解：A."+%="+二匚=工-一二二==1,故此選項不符合題意；

r-II—rr-Ir-Ir-I

B.M-NM」1-」一二已+一1==，故此選項符合題意；

x-11-xx-1x-1x-l

r1x

C.MXN=--=--――,故此選項不符合題意；

x-1I-x(x-1)

D.材+二二告子——二白巾-力二-X，故此選項不符合題意；

x-1l-xx-1

故選B.

7.B

答案第2頁，共14頁

【詳解】解：A、—+—=—^?*2+1,故選項錯誤；

a-\a-\a-\

「a21a2-1+遼但々力3

B、---------=-----=————^=a+l,故選項正確；

a-\<7-147-1a-\

22

a1a2

、=｝一^￥“"故選項錯誤；

chaT7"7a-7l

(i~1)(a~4-11jci~+267+1....

D、l二「〔二TTJ西廠，故選項錯展

8.安

ab

【分析】先將異分母分式通分，除法轉化為乘法，再算小括號里的同分母分式減法，最后算

乘法.

-e(12、ab

【詳解】解：:------p—~~廠，

\a-ba+bJa~-b-

a+b2(a-b)(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)ab

_a+b-2a+2b(a+b)(a-b)

(a+b)(a-b)ah

3b—a

ah,

9.B

【分析】本題考查了分式的乘除法的應用，不等式的運算.分別計算出甲圖中陰影部分面積

及乙圖中陰影部分面積，然后計算比值即可.

【詳解】解：甲圖中陰影部分面積為片一川,

乙圖中陰影部分面積為與,

2-b，_(a叫(a+〃)_a+b_+b

則左=J

a(a-b)a(a-b)7

a>b>0,

?.0<—<1,

、b、、

/.1<一+1<2,

：.\<k<2,

故選：B.

答案第3頁，共14頁

10.

y~

【分析】利用分式除法法則將除法運算轉化為乘法運算，再通過約分得到計算結果.

【詳解】解：原式=xy2

X

=^―

X

=y2-

2x5

II.(I)-

⑵一

【分析】（1）先除法變乘法，再約分即可求出答案.

（2）先因式分解，再約分化簡即可求出答案.

【詳解】（1）解：原式=—券）可

6x5y

=—-----

/3

2/

中解傳+"2（"2『

（2）解：原式一TK7K，73；~

a-2

F2

12.（1）--

x+3

（2）1

【分析】（1）等式兩邊先乘以工，再除以，儲一9c可得E；

x+3X’-6x+9x+3

（2）把——x—3=0變形為犬=4+3,再代入（1）中結論計算即可.

【詳解】（1）解：由等式的基本性質得，被手遮住部分的代數式為色?上?、『一」、

x-3x+3x*-6x+9

x+3x2x2-6x+9x+3x2(X-3『x2

化簡，得---------?=----

x-3x+3x2-9x-3x+3(x+3)(.r-3)x+3

答案第4頁，共14頁

???被手遮住部分的代數式為

x+3

(2)解：:/一x-3=0

x2=x+3?

x~x+3.

X+3.￥+3

13.A

【分析】先計算乘方，再進行約分即可得到結果.

【詳解】解：/

???化簡得結果為4.

【分析】先分別計算兩個分式的乘方，然后將除法轉換為乘法，最后進行約分即可.

V2X6

【詳解】解：原式

yy

X2y3

=/7

i

-4,

xy

15.22

/i\2\

【分析】利用完全平方公式求出x+-=9,得出X?+F=7,再整體代入求值即可.

IX)X

3羊解】?..x+1=3.

x+—=9?即x?+2H■-v=9,

【X)x~

21r

XH——=7,

X

1/1\

.?.3x2+1+二=3v2+_+1=3X7+1=22.

/Ixj

16.(1)4x2y2

答案第5頁，共14頁

⑵(X+3『(X-3)2

【分析】本題主要考查分式的混合運算及因式分解；熟練掌握運算法則是解題的關鍵;

(1)根據分式的混合運算法則和運算順序進行計算即可;

(2)先根據平方差公式分解，再運用完全平方公式進行因式分解即可.

【詳解】⑴解：原式—哼號一村一母+力

=-2x2y?4?2-4x2+4xv-y1

v~x~

=—4孫-4.r2+4xy-y2

22

=-4x-y；

(2)解：原式=12+9+6X)(/+9-6工)

2

二(x十3y(x-3).

17.B

【分析】本題先對分子因式分解，約分化簡分式后，再代入加=5計算結果.

【詳解】解:4m2+47n，.(/―4m+4)m(m2)2(m-

m2m2m2m

Xvm=5,

(5-2)2_

???原式=9

5

18.二|

a-13

【分析】先對括號內的式子進行通分計算，再對除法的分子分母因式分解，將除法轉化為乘

法后約分得到最簡式，最后代入。的值計算結果.

a2-2a+\

【詳解】解:

2。+6

Z+3__4].ST)?

\々+3a+3j2(a+3)

:"l」(a+3)

a+3

2

一力’

當〃=4時，

答案第6頁，共14頁

22

原式二

19.三；2

a-2

【分析】先把小括號內的式子通分，再把除法變成乘法后約分化簡，計算整式的乘法，然后

計算負整數指數塞和零指數幕求出a的值，然后代入求解.

【詳解】解:+(〃+1)(2“一1)一〃(24+1)

a+22aa-2

+2a*2*4-a+2a-\-2a2-a

("2)2a(a-2)a(a-2)

a+2a+2

(。-2『a(a-2)

a+2q("2)

(4-21q+2

=-----1

a-2

=a—a-2

a-2a-2

2

=7^2

當a+(兀+2026)°=2+1=3時，原式=^7=2.

4

20.K一4

_.__._(,\2/?u~~8o八4，―4a+4

［詳解］解：(a+1)-a(t7+2)+--「+41

、2.CI-1］1-Z(1

cf-8a+4(2w-l)a2-4a+4

—G~+2a+1-(a~+2a)+

2a-1\-2a

\-2a

=(r，+2.〃+1i-er，-2ca+-。-.一--4

2a-1/-4a+4

二］上+2)("2)1-24

2a-l(〃_2y

=q

a-2

_a-2a+2

a-2a-2

答案第7頁，共14頁

<7-2

???〃=2。+仕］=1+2=3,

4

原式=一^--=-4.

3—2

21.C

【分析】本題考查分式的最值，利用完全平方公式，求四分母的最小值，進而求出分式的最

大值即可.

【詳解】解：???/+2x+5=(x+l)2+4,且(x+l『NO,

.-.x2+2x+5=(x+l)2+4>4,

.?.x2+2x+5的最小值為4.

二分式，；〈的最大值是;;

.V+2x+54

故選：C.

22.D

【分析】本題考查不等式的性質、代數式的消元變形，通過消元將二元問題轉化為一元問題,

再結合不等式范圍推導最值，是解題的關鍵.

由〃「〃=6得〃=〃?-6,代入〃d-2〃得〃亞4,進而將四表示為9,分析其取值范圍

mm

即可.

【詳解】解：-6,

n=m—6,

代入m>-2n,得w>-2（w-6）,

UPm>-Im+12,

整理得3〃業12,

二解得4,

n+1w-6+1m-5

又???m>4,

答案第8頁，共14頁

w44

當〃?=4時，等號成立，即四取得最小值-!，

m4

???山有最小值

m4

故選：D.

23.-6”

4

【分析】本題考查了分式的混合運算和完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是關鍵.

對于①，利用多項式的乘法得到4+6和必的值，代入表達式求值；對于②，先將表達式化

簡為關于。+6的表達式，然后配方求最小值.

［詳解］①；(x-a)(x-h)=x2-(a+b)x+ab,(x-a)(x-b)=x2-px+q,

/.x2-(a+b)x+ab=x1-px+q,

p=a+b,q=ab,

..baa2+b2(a+b)2-2ab(a+bY

,—I—=--------=-----------------=------------2

abababab

":p=a+b=2,q=ab=-\,

22

二原式=----2=-4-2=-6?

-1

故答案為-6；

小步+2/+22222，二22/2、2(。+3

(2)-------+--------a~+—+b~+—=a~+b~+—+—=(a+b1A)-2abL+--------

abababab

vq=ab=—2

???原式=(4+6)2-2x(—2)+^^

-2

=(a+b)2+4-(a+b)

=p~+4-p

=p2-p+-1-----1+44

44

(1、，15、15

244

故答案為三

4

3

24.(1)3+--

X1

答案第9頁，共14頁

(2)x=-2,0,2,4

⑶當x=0時，分式中1的最大值是5

x'+l

【分析】本題考查了分式的運算與變形，分式的值等知識.

（1）根據材料提供方法變形即可求解；

（2）由（1）得'3x=3+二；3，根據分式3多r的值是整數，得到「3為整數，即可得到當

x-lX-1X-］X-1

x取整數時，X-1是3的整數因數，得至1卜-1=±1或x-】=±3,即可求出x=—2,0,2,4：

（3）二變形為3+一匚，即可得到當/+］取最小值時，分式工又有最大值.根據

X-+1r+1X-+1

/N0,得到V+1N1,求出當x=0時，除!3=5,問題得解.

x~+1

【詳解】（1）解：2L=3X-3+3=3（1）+3=3+J；

x-lx-lx-lx-l

3v3

（2）解：???由（1）得上一=3+',

x-lx-l

???分式3上t、的值是整數，

x-l

???二為整數，

x-l

???當x取整數時，X-1是3的整數因數，

AX-1=±1ngX-1=±3,

.?.x=-2,0,2,4；

（3）解：345=3卜2+1）+2=3+^,

x2+\x2+\x2+l

???當/+］取最小值時，分式號2有最大值.

x~+\

x2>0?

.?.當f+1=1即x=0時，=3+=3+2=5,

x-+lx2+\

故當x=0時，分式算士1的最大值是5.

X'+1

25.A

【分析】根據左上角與右下角的陰影部分的面積相等,可得4648-4"=片/8-3時,從

而得到12b-3〃=",再由￡=左，可得a二與，從而得到。取1,3,9,即可求解.

bb+3

【詳解】解：因為左上角與右下角的陰影部分的面枳相等，

答案第10頁，共14頁

AB-4ab-a-AB-3ab,

所以4力43-a?48=,

因為AB=3,

所以126-3a=ab,

因為?=3

b

所以a=kb,

所以I2b-3bk=k〃，

因為〃為整數，

所以b+3取1,2,3,4,6,12,

因為/，為正整數

所以分取1,3,9,

當力=1時，k=3,此時。=3,

當力=3時，k=2,此時。=6,

當匕=9時，k=l,此時a=9,

因為月8=3,

。＜3,

”可取的值的個數為0.

26.1:3

【分析】設學校預定總資金為。元，可得一等獎總價為28,根據第一次購買資金比設第一

次一、二、三等獎資金分別為2x,3.r,4x,根據一等獎總資金占比列方程求出〃與x的關

系，再設第二次購買二等獎資金為機元，根據二、三等獎總價之比列方程求出〃?，進而得

到還需購買的二、三等獎資金L匕.

【詳解】解：設學校預定總資金為。元，則預定一等獎總價為Ja元，

4

設第一次購買一、二、三等獎獎品的資金分別為2x元，3x元，4x元，

則第一次共花費資金2x+3x+4x=9x元，余下資金為(〃-%)元,

第二次購買一等獎的資金為《(。-9工)元，

答案第11頁，共14頁

因此一等獎總資金滿足：2x+；（a-9x）=；o,

整理得

34

解得a=\2xf

第二次用于購買二、三等獎的資金總和為：（1-9x）=g（12x-9x）=2x元，

設第二次還需購買二等獎的資金為小元，則購買三等獎的資金為（2丫-加）元，

3%+川7

根據預定二、三等獎總價之比為7:11,可得：4r+（2x-/n）=n>

交叉相乘得：U（3X+〃?）=7（6X-〃?）,

整理得:33%+11冽=42%-7m,

解得〃7=gx,

則第二次購買三等獎的資金為2x-

因此還需購買的二、三等獎獎品的資金之比為:x：［x=l：3.

A=3

27?⑴2

⑵當x取2,3,4,7時，這個式子的值為正整數.

【分析】（1）仿照示例解答即可；

（2）先將括號內的每一項拆分成兩項的差的形式，再利用分式的加減法與乘法運算運算法

則化簡可得一J，然后根據整數性質求出x符合條件的整數的值即可.

x-1

llxAB

【詳解】⑴解：解法-：匹同『二筋一門

將等號右邊通分，再去分母,得：lb=4（3x-4）-8（x+6）,

即：llx=（34-8）x+（-4.4-68）,

3A-B=\{A=3

解得:

-4J-6Z?=0B=-2

、—llx_A_____B

解法一，(x+6)(3x-4)x+63x-4

AR

在已知等式中取x=0,有0=2+5,整理得24+38=0；

64

答案第12頁，共14頁

11A

取x二l,有一一=一+8,整理得N+78=-11.

77

24+38=0A=3

解J……解得

B=-2'