高中數學必修第1冊必背知識點+練習題

—>集合

元素與集

集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性

合

子集：若對任意XGA,都有XW8,則AG8（或B2A）

集合間的真子集：若AG8,且8中至少有一個元素不屬于A,則A些8（或B叁A）

基本關系相等：若AGB,且8a4,則A=B

結論：若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2〃個，真子集有（2”-1）個

田并集：AUB={x\x^A,或x￡B},AQB<^AUB=B

集合的基

本交集：AOB={x\x^A,且x￡B},AQB^AC\B=A

i云筍

部補集：Cu4={x|x￡U,且.爾川，AQB^CuA^CuB

二、充分條件與必要條件

命題真假“若p,則夕”為真命題“若p，則q”為假命題

推出關系由〃能推出q，記作“ng由〃不能推出夕，記作4

p是q的充分條件p不是q的充分條件

條件關系

q是〃的必要條件q不是p的必要條件

三、充要條件

如果“若p,則和它的逆命題“若4,則p"均是真命題，即既有又有qnp,就記作

poq.此時，〃既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說〃是q的充分必要條件，簡稱為

充要條件.概括地說，如果〃oq,那么〃與q互為充要條件.

四、全稱量詞與全稱量詞命題

全稱量詞命題

全稱量詞全稱量詞命題

的真假判斷

短語“所有的”“任意一個”含有全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命

在邏輯中通常叫做全稱量題.全稱量詞命題“對必中任意一個心全真為真’

一假為假

詞，并用符號“V”表示〃（外成立”可用符號簡記為VxWM,pCv）

五、存在星訶與存在星訶命題

存在量詞命題

存在量詞存在量同命題

的真假判斷

短語“存在一個”“至少有含有存在量詞的命題，叫做存在量詞命題.存

在量詞命題“存在"中的元素x,p(x)成立“一真為具‘全

一個“在邏輯中通常叫做存

假為假

在量詞，并用符號“m”表示可用符號簡記為女p(x)

六、全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

命題的否定命題的否定

命題的類型命題的符號表示

的符號表示的類型

全稱量詞命題/?：YxGM,p{x)7：女￡歷，J?(A)存在量詞命題

存在量詞命題p：p(x)~p：TxRM,~p(x)全稱量詞命題

七、不等式的主要性質

1.對稱性：a>b<^>b<a.

2.傳遞性：a>b,b>c=>a>c.

3.加法法則：a>b^>a4-c>b~\-c；a>b,c>d=>a+c>b~\-d.

4.乘法法則：a>b,c>O〉ac>bc；a>b,c<O=>ac<ba

a>b>0,c>d>O^ac>bd.

5.倒數法則：血＞()△＜；.

ab

6.乘方法則：力心2).

7.開方法則：心〃22).

八、基本不等式

如果。，〃是正數，那么向三營(當且僅當4時，等號成立).

九、二次函數與一元二次方程、不等式

:

設一元二次方程a〈'+瓜+c=0(a>0)的兩根為汨、x2f且上iW^，A=b—4ac,則不等式a/'+hx

+c>0或ax'++c<0(?>0)的解集的各種情況如下表：

J<0

a/+版+c=0有兩個不相等的實有兩個相等的實數

沒有實數根

(a>0)的根數根此，加(》〈劉)根》=工2=一二

a/+〃x+c>0

U|x<Xi,或Qx?}R

(〃>0)的解集

a?+〃.r+cV0

{xlwVXVM}0

(a>0)的解集

十、函數的概念及其表示

一般地，設A,B是非空的實數集，如果對于集合4中的任意一個數-按照某種

函數確定的對應關系亦在集合8中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱/：4f8

為從集合A到集合8的一個函數

表示法解析法、列表法和圖象法

十一、函數的單調性與奇偶性

1.函數的單調性

增函數減函數

設函數./V)的定義域為/，區間。￡/：如果VM,即￡0

當汨V即時，都有/(M)V/(E),那

當即時，都有那么就稱/(功在

么就稱/(x)在區間。上單調遞增，

區間D上單調遞減，。叫做/(x)的遞減區間

。叫做/(公的遞增區間

2.函數的最大(小)值

前提一般地，設函數)，=/(%)的定義域為/,如果存在實數M滿足

YxCl,都有YxD,都有/(x)2M；

條件

五《￡/,使得/(即)=朋3X0G/,使得/(%)=M

結論那么稱M是函數f(x)的最大值那么稱M是函數/(%)的最小值

3.函數的奇偶性

奇偶

定義圖象特點

性

一般地，設函數/(公的定義域為/,如果Vxw

偶函

必/，都有一4￡/,且/(-x)=/(x),那么函數/(x)關于y軸對稱

就叫做偶函數

一般地，設函數/(x)的定義域為/,如果

奇函

必1，都有一人￡/,且/(一功=一/3,那么函數關于原點對稱

/(X)就叫做奇函數

十二、塞函數

定義一般地，函數y=k叫做品函數，其中x是自變量，。是常數

常見五

種暴函

數的圖象

事函數在（0,+8）上都有定義

性質當a>0時，圖象都過點（1,1）和（0,0）,且在（0,+8）上單調遞增

當aVO時，圖象都過點（1,1）,且在（0,+8）上單調遞減

十三、指數與指數函數

1.正數的分數指數塞

MlS]]

定義an=VH^(?>0,m,〃>1)a蔡=切，n(=N\n>l)

ar.

運算性

aW=a尸$；(儀尸=〃%(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s^Q

質

2.指數函數及其性質

概念一般地，函數），=他（。>0,且叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R

底數的

?>10<?<1

范圍

圖象

定義域：R；值域:(C,+°°)

過定點（0，1）,即x=0時，y=l

性質

x>0時，y>l；xVO時，OVyVlxVO時，y>l：x>0時，OVyVl

在（-8,+8）上是增函數在（—8,+8）上是減函數

十四、對數與對數函數

1.對數的概念與運算(。>0,且a#l,M>0,;V>0)

一般地，如果r=N(a>0,且aW])，那么數x叫做以。為底N的對數，

定義

記作X=\OgaN

常用對數以10為底的對數叫做常用對數，并把logicN記為lgN

自然對數以無理數e=2.71828…為底的對數叫做自然對數，并把log’R記為InN

logaNh

結論log?l=0；Iog“o=l；a=N；\o^(1a=b

①log“(MN)=log“M+log〃N；②logA=log“MTog“N；

運算性質都

③log〃M〃=川ogaM(〃￡R)

換底公式10渙匕=等(。>0,且。#1；b>0；c>0,且cHl)

loffca

2.對數函數及其性質

一般地，函數y=log<*(〃>(),且叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0,

概念

+0°)

底數的

a>l0<6/<1

范圍

”中)Tog/PT^

圖象?。)一

定義域：(0,+8)；值域：R

過定點(1，0),即x=l時，y=0

性質

x>l時，)，>0；OVxVl時，y<0x>l時，y<Q；OVxVl時，>>>0

在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減函數

十五、函數與方程

1.函數的零點

概念對于一般函數y=/G)，我們把使f(x)=0的實數x叫做函數y=/(x)的零點

方程/W=0有實數解。函數)，=/(x)有零點。函數)，=/(x)的圖象與x軸有

等價關系

公共點

如果函數y=/(x)在區間[。，父上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有

函數零占

f(a)f(b)<0,那么，函數)，=/&)在區間(小為內至少有一個零點，即存在

存在定理

c￡(a,b),使得/(c)=0,這個c也就是方程/(x)=0的解

2.二分法求函數的零點

對于在區間［。，加上圖象連續不斷且/(〃)/仍)V0的函數y=/(x),通過不斷地把

二分法

它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零

的概念

點近似值的方法叫做二分法

(1)確定零點雙的初始區間［mm，驗證/W(bXO.

⑵求區間(4,方)的中點C.

步驟(3)計算/(c),并進一步確定零點所在的區間：①若/(c)=0(此時H=c),則C就

(給定精是函數的零點；②若/(a)/(c)V0(此時零點乂￡(。，＜?)),則令人=c；③若/(c)/S)

確度e)V0(此時零點即e(c,〃))，則令a=c.

(4)判斷是否達到精確度￡：若則得到零點近似值判或出;否則重復

步驟(2)、(4)

十六、三角函數

1.同角三角函數的基本關系

(l)sina4-cosa=l：

(2)tana=^^-(a#：kird--.Zc￡Z).

2.誘導公式

記憶口訣：奇變偶不變，符號看象限.

公式一：

sin(2E+a)=sina(A^Z)；cos(2^71+a)=cosa(k^Z)；ian(2bi+a)=tana(VWZ).

公式二：

sin(n+a)=~sin?；cos(兀+a)=-cosa；tan(n+a)=tana.

公式三：

sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-(ana.

公式四：

sin(n-a)=sina；cos(7t-G)=~COS?；tan(n-a)=_tana.

公式五：

sinQ-a)=cosa；cos(^—a)=sina.

公式六：

3.兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

(l)cos(?±//)=cosacos圻sinasin//；

(2)sin(?±^)=sinacos土cosasin/?；

tana±tan/?

⑶lan(a±/0=

ITtanatan/?

4.二倍角公式

(Osin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=uos'a—sii>a=2cus%—1=1-2sin2a；

(3)tan2a=2tana

1-tan2a

5.輔助角公式

asina+/?cosa=Ja2+b2sin(a+^)(tan(p=：).

6.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖象與性質

函數產sinx

>

圖象

\yx

定義域R

值域[-h1]

單調遞增區間：鼠兀一爭

單調遞增區間:[2沅一

2E+：],kQZ；Ji,2E],kQZ；單調遞增區間：（加一*E+5

單調性單調遞減區間：

單調遞減區間：[2批+]）,kez

[2E,2履+兀],

2E+.],kezkGZ

奇偶性奇函數偶函數奇函數

對稱中心：（E+；,

對稱中心:對稱中心：

（條0）,k^Z

（kit,0）,kGZo）,A：ez

對稱性

對稱軸：對稱軸：

x=kn-\--,kJZ

2x=kn,k^Z

周期2n2兀n

7.三角函數的圖象變換

由函數y=sinx的圖象通過變換得到函數)，=4sin3x+s)(A>0,s>0)的圖象的兩種方法:

先平移后伸縮先伸縮后平移

?畫出尸siax的圖象

橫坐標變為系來的需

得到產sin儆的圖象

向力話評移］|周

得到j=in(ex+0的圖旬

縱坐限變為原來的4倍

得到廠而訶如+⑴的圖象

模塊綜合測評

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.集合八={0.1,2,4,8}6={0.123}.珞集合人8分別用如下圖中的兩個圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個數

恰好為2的叢(

ABAB

D

2.設a>0,則是92>於，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.［2024北京豐臺高一期末］在平面直角坐標系xOy中，角與角人均以x軸的非負半軸為始邊,終邊關于原點O對稱.

若角a的終邊與單位圓。0交于點夕。手)，則cos6=(

?53

6.設函數/)=［皆藝;2則帆冷飲3)=()

14%XSU,5

A.-lB.5C.6D.li

7.定義在R上的奇函數於)滿足:任意加韌,都有空曲也>0,設“-/UogSb/logM.I),c/2。)則abc的大小關系為

打“25

()

j\.a<b<cB.b<a<cC.c<h<aD.c<a<b

8.(2023塵國浙商考【］己知sin(a-歷=3cos?sin/7=2貝Jcos(2?+2/?)=()

36

A.-B.-C」D.--

9999

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求全部選對的得6分，部

分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知abed均為實數，下列不等關系推導不成立的是()

A.若a>b,c<d,^Aa+c>b+dB.若則ac>hd

C.若a>b>0,c>d>0,貝I］J>JD.若bc-ad>0^-￡>0,貝Uah<0

10.設函數K0=4sin(2x+$+l的圖象為C,則卜冽結論中正確的是()

A.圖象。關于直線工=書對稱

B.圖象C關于點(弓0)對稱

C函數?在上單調遞增

D.把函數Ar)=4sin(.r+》+l的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的一半(縱坐標不變)可以得到圖象C

1L已知函數Kr)=(ji；g-j；'若xiVqv^VM且/(X1)=.何2)=7E)=7U?1,則下列結論正確的是()

A..ri+X2=-IB5g=l

C.1<14<2D.OC.XIXMRV1

三、填空題沐題共3小題.每小題5分.共15分.

12.已知函數46是定義在R上的偶函數，當x20時<X)=2A"+4),則函數./U)在R上的表達式為.

13.已知正數m,n滿足2.〃+3〃-，〃"=0,則2,“+3〃的最小值為.

14.［2023全國新高考/］己知函數?x)=coss-l(力>0)在區間也2元］上有且僅有3個零點，則3的取值范圍

是.

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)［2024河南高一期末］已知tan求：

?5

八、sina-2cosa

(I)~-------;

3sina+4cosa,

(2)sin%-3sinocosa+l的值.

16.(15分)［2024江蘇鎮江高三期中］已知集合4=卜上>1卡集合/?={4r-2.t-wr+l<0}.

⑴若〃?=2,求(CR4)C僅

(2)若，求實數機的取值范圍.

在以下兩個條件中任選一個補充在第(2)問中,并給出解答.

①XE/T是f的充分不必要條件;②

17.(15分)［2024廣東忠州］疫情過后，惠州市某企業為了激勵銷售人員的積極性,實現企業高質量發展，其根據員工的銷

售額發放獎金(獎金和銷售額單位都為十萬元),獎金發放方案同時具備兩個條件:①獎金凡6隨銷售額期2Wx《8)的增

加而增加;②獎金不低于銷售額的5%(即獎金啟)大于等于.3%).經測算，該企業決定采用函數模型/)=佛--+h

30X

(〃>06>0)作為獎金發放方案.

(1)若。=〃=點,此獎金發放方案是否滿足條件?并說明理由.

⑵若〃=：,要使獎金發放方案滿足條件，求實數a的取值范圍.

18.(17分)已知函數.兒r)=筆是定義在(11)上的奇函數,且尼)W

(1)求函數人￥)的解析式；

(2)判斷當xW(1l)時，函數啟)的單調性拼用定義證明;

(3)若貝產//次。恒成立，求t的取值范圍.

19.(17分)己知函數_/U)=2百sin(x-：)sin(：-.x)+2cos2(x-：)-lzWR

(1)若函數y=Av)的圖象關于直線x=〃S>0)對稱，求〃的最小值；

(2)若函數g(x)=/(.r)-log2〃?在［0,當上有零點,求實數m的取值范圍.

答案：

1.B對于A、陰影部分表示的集合為AD8={0.l.2),元素個數為3.故A錯誤:對于B,陰影部分表示的集合為{4.8},元素

個數為2,故B正確;對于C,陰影部分表示的集合為{3},元素個數為1,故C錯誤;對于D,陰彩部分表示的集合為{4,8,3},

元素個數為3,故D錯誤.故選B.

2.A由于〃>0、當b>a時,〃2>*當〃〉/時力可能是負數,因此不能得出8>”.故">a‘、是"2〉介的充分不必要條件.

故逸A.

3.B角a與角夕終邊關于原點O對稱,且若角。的終邊與單位圓OO爻于點尸(泉一),

所以角夕的終邊與單位圓OO交于點喙多，故cos6=個故選B.

4.C因為函數Kv)=e，+4x-3在R上連續單調遞增，

//(}=e；+4x.3=￡-2<0,

=ez+4x|-3=ez-l>0,

所以函數的零點在區間C，9內.故選c.

5.A函數的定義域為國辱0}.為得該函數為奇函數，可排除CD.

又尸名與-1+*7,其在(3.。)<0，十R)上單調遞減，改選A.

cx-c,*e,人?1

6.B???log*。,....川0829+洲3)=2一皿23〃2-3)=2麻23M.i)=3+2=5.故選B.

7.C因為任他的。2,都有空遲絲>0.

x\'x2

所以ytv)在R上單調遞增，

a=X-log2^)=^log25).

因為Iog25>log>4.1>log24=2>208,

所以川og25)M】og24.1)》2嗎，

即c0<a故選C.

8.B由題意」.飛111((//)="85asin夕="

36

.*.sin(?-/?)=sin?cos伊cos?sin//=sinacos=g,解得sin?cos/?=1.

ii2

sin(a+")=sinacos”+cosasin/)=-+-=

263

9.ABD

10.AC對于A,函數啟)=4sin(2x+E)+l的對稱軸方程為=9E(Q￡Z),解得廣三+Rk￡Z),當E寸可得

產瑞所以圖象。關于直線4號時稱，故正確.

對于B,函數段)=4sin(2嗎)+】的對稱中心為2x+g=反伙WZ).解得產5+軟《￡Z).

當&=0時可得所以圖象C關于點(T，l)對稱,而不是關于點(三0)對稱，故錯誤.

666

對于C,由2AW<2A4<2EIa￡ez),解得H片&《從i白飛Z),

當上=0時,專所以函數{r)在［片,勺上單調遞增，故正確.

1/1It1414

對于D,把函數/(x)=4sin(x+；)+l的圖象上點的橫坐標縮短為原來的一乂(縱坐標不變)得到函數4sin(2x+^)+l的圖象.

66

不是圖象仁故錯誤.

綜上,AC正確.

11.BCD后出函數y(x)的大致,圖象如圖.得山Al+X2=-2.-log2.V3=log2，V4.4心=1.故A措誤,D正確;由圖可知1<X4V2,

故C正確;因為-2<X1<-1J|X2=X|(-2-KI)=-好-2q=-(X|+l)2+l50,1),所以內.3*4="1”2任(01),故D正確.

駕11?言°,當r<0時「x>0,故./3=21*+4)=2心、4),所以及)=/(R=2A54),所以

I2./(X)=

4人>1人■"人U

2X(X+4),x>0,

H2r(r-4),rV(1

13.24由正數m,/i滿足2〃】+3〃-〃ri=0,可得三+—=1,

nm

所以2〃】+3”=（2〃】+3”）（：+~）=~+曰'+1222

當且僅當更=型,2+—=l.Hp〃?=6.”=4時取等號，所以2ni+3n的最小值為24.

nmnm

14.［2.3）由題意可知，要使函數凡r）=cos5-l在［0,2汨上有且僅有3個冬點和函數產8ss?的圖象在［0,2可上有且僅

有3個最高點,設產cos3的最小正周期為7.如圖（草圖），

O

要滿足題意，需要27^2X37,即4<六2《冗,解得2W“<3.

sinazcosa

解sinaZcosa_cosa_tana-2行2二7

WkU

3sina+4cosa_3slna+4cosa-3tana+43x(-j)+49'

cosa

(2)sin2a-3sinacos?+1=sin2a-3sin?cos?+(sin2a+cos2?)

2sin2a-3sinacosa4-cos2a2tan2a-3tana+l_2X(-M3X($+1_*1

sin2?+cos2alan2a+l

16.解（1房21，//=K20，則雙;J-“解得0Wx<2,故A={x|0Wx<2}.

.XT-

因為，“=2,所以集合8={xM2t-3<0}52Z-3=(x-3)(x+l)<0,解得-1<x<3,

所以8={x|-K3},所以CR4=WA<0或Q2),(CRA)A8={X|-K0或2Wx<3}.

(2)若選①，若戈E4是的充分不必要條件，則A是B的其子梟.

而『2丫-(，〃-1)(，〃+1)<O=(x+，〃-11)vO,顯然〃褚0,否則U=a.

當???>0時,B={.r|l-/w<x<m+l卜所以{：；；；2‘2="'>上

1-mO2m^\x

當/n<0時方={仙〃+1<￥<1加},所以{,：0,=>/w<-l.

m+102\-mx

綜上M的取值范圍為（-8,-1）U（l.+8）.

若選②，因為An8=e,所以BQA.

①若〃尸0,則8=。,符合.

②若/〃>O,則