中考數學復習：二次函數壓軸題-翻折、對稱、折疊問題

翻折、對稱、折疊問題

【例1】如圖1,拋物線)，=皿2+瓜+貝々*0)的頂點為C(1,4),交X軸于A、B兩點,交y軸于點D,其中點5的

坐標為(3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖2,點石是切上方拋物線上的一點，連接肌交應于點/，若AF=2EF,求出點E的坐標.

(3)如圖3,點M的坐標為(2,0),點夕是對稱軸左側拋物線上的一點，連接MP,將沿MQ折疊，若點

2

P恰好落在拋物線的對稱軸CE上，請求出點。的橫坐標.

【變式訓練1】圖①，拋物線)，-一2笛+—+C過4-1,0),以3,0)兩點，交y軸于點C,連接BC.

(1)求該拋物線的表達式和對稱軸；

(2)點。是拋物線對稱軸上一動點，當ABC。是以BC為直角邊的直角三角形時，求所有符合條件的點。的坐標;

(3)如圖2,將拋物線在BC上方的圖象沿BC折疊后與y軸交于點E,求點石的坐標.

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=cd+法+。經過4.6,0)、8(2,0)、C(0,6)三點，其頂點為。，連接A￡>,

點尸是線段A。上一個動點(不與人、。重合)，過點夕作了軸的垂線，垂足為點石，連接任.

(1)求拋物線的函數解析式，并寫出頂點。的坐標;

(2)如果點。的坐標為(x,y),的面積為S,求S與X之間的函數關系式，直接寫出自變量X的取值范圍,

并求出S的最大值；

(3)過點P作X軸的垂線，垂足為點尸，連接砰，把APEF沿直線印折疊，點尸的對應點為點P?,求

出P?的坐標.(直接寫出結果)

【例2】如圖1,經過原點。的拋物線,-?+尾＜”.人為常數，與”軸相交于另一點43,0）.直線/:y=”在

第一象限內和此拋物線相交于點W5M,與拋物線的對稱軸相交于點C.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x釉卜找一點尸.使以點尸、O、C為頂點的二角形與以點A、。、3為頂點的二角形相似,求滿足

條件的點尸的坐標；

（3）直線/沿著x軸向右平移得到直線/'與線段。4相交于點M,與“軸下方的拋物線相交于點N,過點N作

NE_L/軸于點￡.把&WEV沿直線T折疊，當點E'恰好落在拋物線上時（圖2）,求直線/'的解析式；

（4）在（3）問的條件下（圖3）,直線/'與y軸相交于點K,把AMOK繞點。順時針旋轉90。得到△M'OK,點

尸為直線/'上的動點.當△MFK為等腰三角形時，求滿足條件的點尸的坐標.

如圖，在平面直角坐標系中，點。為坐標原點，拋物線)，=爾2+3辦-18〃(〃*0),交刀軸于點A、C兩點，與｝‘軸

交于點B,且AC=eOB.

(2)連接四、加，點。為BC上一點，直線AO交對稱軸左側的拋物線于點尸，當2/。84+4鉆=90。時，求

P點坐標.

(3)在(2)的條件下，在加上取點在AC上取點Q,使3￡:AQ=4:30,連接EQ,且AD平分線段EQ,

在第二象限取點R,使射線QRJ_X軸于點。，M為射線08上的一點，在0R邊上取點N,將NOMN沿MN折

疊，使M。的對應線段所在的直線與射線0R交于點K,得到A/WVK,AMNK的面積為4時，求力WKN的度數.

【變式訓練1】在平面直角坐標系中，我們定義直線為拋物線y=ax2+H+c(〃、屋c為常數,。工0)的“夢

想直線”；有一個頂點在拋物線上，另有一個頂點在了軸上的三角形為其“夢想三角形已知拋物線)，=承2+縱+。

與其“夢想直線,咬于46兩點(點A在點區的左側)，與'軸負半軸交于點。-=竽

,8(1,0),

點A橫坐標為-2,BC=4.

(I)求拋物線的解析式，并寫出頂點坐標;

(2)如圖，點M為線段CB上一動點，將A4CM以AM所在直線為對稱軸翻折，點C的對稱點為N,若AAMN

為該拋物線的“夢想三角形”，求點N的坐標;

(3)當點石在拋物線的對稱軸上運動時，在該拋物線的“夢想直線”上，是否存在點尸，使得以點人、C、E、

尸為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點石、尸的坐標：若不存在，請說明理由.

【例3】在平面直角坐標系中，拋物線)，=&+/次+2("0)經過點4-2,-4)和點。(2,0),與了軸交于點。，與x軸

的另一交點為點笈.

備用圖

(I)求拋物線的解析式;

(2)如圖1,連接BD,在拋物線上是否存在點?，使得NPBC=2NBD0?若存在,請求出點夕的坐標；若不存

在，請說明理由;

(3)如圖2,連接AC,交)'軸于點E,點M是線段AD上的動點(不與點A,點。重合)，將ACME沿ME

所在直線翻折，得到好見當好快與極重疊部分的面積是AWC面積的《時’請直接寫出線段,的長.

【變式訓練1】如圖，拋物線6與X軸相交于伙-1,0),C(3,0)兩點.

(1)求拋物線的函數表達式;；

(2)點。在拋物線的對稱軸上，且位于x軸的上方，將MCD沿直線BD翻折得到^BCD,若點C恰好落在拋物

線的對稱軸上，求點C和點。的坐標;

(3)在(2)的條件下，設拋物線與｝'軸交于點Q,連接也、OQ,點產為拋物線上的一個動點(點P與點Q

不重合)，且叉加,=si*,請求出所有滿足條件的點夕的橫坐標.

【變式訓練2】如圖，已知拋物線y=，Ct+6)(x-2)過點C(0,2),交x軸于點A和點3(點A在點3的左側),

拋物線的頂點為。，對稱軸。石交”軸于?點石，連接班.

(1)直接寫出“的值，點A的坐標和拋物線對稱軸的表達式；

(2)若點例是拋物線對稱軸。￡上的點，當&WCE是等腰三角形時，求點M的坐標；

(3)點尸是拋物線上的動點，連接汪，將”口沿CE所在的直線對折，點夕落在坐標平面內的點P處.求

當點尸恰好落在直線AT＞上時點「的橫坐標.

【變式訓練3】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=ar'2m+c(a*0)的圖象交x軸于A,B兩點,交了軸

3

于點C(0,6),連接AC,已知tanZ.OAC=-.

4

(I)點A的坐標是

(2)若點夕是拋物線上的任意一點，連接以、PC.

①當?PC與MOC的面積相等時，求點夕的坐標;

②把APAC沿著AC翻折，若點?與拋物線對稱軸上的點Q重合，直接寫出點夕的橫坐標.

備用圖

【例4】如圖，拋物線y=-工2一21+"(”/0)與，軸相交于A點，頂點為M,直線)，=]-〃分別與x軸、》軸相交

于8、c兩點，并且與直線M4相交于N點.

(1)若直線BC和拋物線有兩個不同交點，求。的取值范圍，并用〃表示點M、A的坐標；

(2)將WC沿5軸翻折，若點N的對稱點V恰好落在拋物線上，AM與拋物線的對稱軸相交于點。，連接CD,

求，的值及^MCQ的面積；

(3)在拋物線上是否存在點?，使得以夕、A、C、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點夕的

坐標；若不存在，請說明理由.

【變式訓練1】如圖，在平面直角坐標系X。)，中，二次函數)，=ad-4av+3的圖象與x軸正半軸交于點A、B,與

)'軸相交于點C,頂點為。，且tan/C4O=3.

(1)求這個二次函數的解析式;

(2)點乃是對稱軸右側拋物線上的點，聯結CP,交對稱軸于點/，當S“女：Si”=2：3時，求點夕的坐標:

(3)在(2)的條件下，將APCD沿直線MN翻折，當點尸恰好與點。重合時，折痕MN交*軸于點M,交y軸

于點N,求