高考數學一輪講義（北師大版）第八章 第4節 平行關系

第4節平行關系

最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發點，認識和理解空間中線面

平行的有關性質與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關

空間圖形的平行關系的簡單命題.

知識梳理

1.直線與平面平行

(1)直線與平面平行的定義

直線/與平面a沒有公共點，則稱直線/與平面。平行.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示

平面外一條宜線與此平面內

a______

判定定aa,bo,a

的一條立線平行,則該直線平

理//b^a//a

行于此平面

一條直線和一個平面平行，則

性質定a//a，aB,a

過這條直線的任一平面與此

理nB=bna；/b

平面的交線與該直線平行

2.平面與平面平行

(1)平面與平面平行的定義

沒有公共點的兩個平面叫作平行平面.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示

一個平面內的兩條相交直線與aa,ba,a

判定

另一個平面平行，則這兩個平面Cb=P,ci〃B,b

定理

平行_/

兩個平面平行，則其中一個平面a〃￡,aa

內的直線壬紅于另一個平面〃￡

性質A_/

如果兩個平行平面同時和第二a"B、GAy=

定理

個平面相交，那么它們的交線平a,BCy=bna

行//b

［常用結論與微點提醒］

1.平行關系中的兩個重要結論

⑴垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若則口〃K

(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若。〃￡,B//Y,則

2.線線、線面、面面平行間的轉化

診斷自測

1.思考辨析(在括號內打“J”或“X”)

(1)若一條直線和平面內一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行.()

⑵若直線。〃平面a,則過點P且平行于直線〃的直線有無數條.()

(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.()

(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行或異面.()

解析(I)若一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行

或在平面內，故(1)錯誤.

(2)若。〃a,PS%則過點P且平行于。的直線只有一條，故(2)錯誤.

(3)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行或相交，

故(3)錯誤.

答案(1)X(2)X(3)X(4)7

2.(教材習題改編)下列命題中正確的是()

A.若〃，力是兩條直線，且〃〃兒那么〃平行于經過〃的任何平面

B.若直線a和平面?滿足alia,那么〃與a內的任何直線平行

C.平行于同一條直線的兩個平面平行

D.若直線〃，〃和平面a滿足a〃Z?,a//a,ba,則

解析根據線面平行的判定與性質定理知，選D.

答案D

3.設a,￡是兩個不同的平面，根是直線且〃？a卜是“a〃的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

解析當"7〃4時，可能a〃夕，也可能。與夕相交.

當a〃夕時，由〃7。可知，小〃￡.

.?.“〃?〃￡”是“a〃修的必要不充分條件.

答案B

4.（2018?西安模擬）已知〃7,〃是兩條不同的直線，*B,/是三個不同的平面,

則下列命題中正確的是（）

A.m〃a,n//a,則加〃〃B.mB〃/?,m//af則〃〃1

C.m_L。，mJ_￡,則）〃0D"J_y,Bly,Wa//p

解析A中，"?與〃平行、相交或異面，A不正確；B中，〃〃a或〃a,B不

正確；根據線面垂直的性質，C正確；D中，a//B或a與B相交,D錯.

答案C

5.（教材練習改編）如圖，正方體48CO—AIBCIOI中，E為DDTDC.

的中點，則BD\與平面AEC的位置關系為.

解析連接"力，設AOG>4C=a連接EO,在八"。力中，O

為的中點，石為0n的中點，所以七。為ABDDi的中位線，AB

則BOi〃EO,而BOi平面ACE,EO平面ACE,所以BDi〃平面ACE.

答案平行

考點一與線、面平行相關命題的判定

【例1】（1）（2018?成都診斷）已知加，〃是空間中兩條不同的直線，￡是兩個

不同的平面，且加a，n月.有下列命題:

①若a〃夕，則m//〃；

②若a〃夕，則m//夕；

③若aG/?=/,且，〃JJ,則。_1_夕；

④若，且〃zJJ,/〃_!_〃，則

其中真命題的個數是（）

A.0B.lC.2D.3

（2）（2018?安慶模擬）在正方體ABCD-A\B\C\D\中，M,N,Q分別是棱DiCi,A\D\,

2

BC的中點，點P在上且BP=）BDi,則下面說法正確的是（填序號）.

①MN〃平面4PC；②G。〃平面APC；③A,P,M三點共線；④平面MNQ〃

平面APC.

解析⑴①若a〃夕，則"?〃〃或〃?，〃異面，不正確；

②若。〃人根據平面與平面平行的性質，可得〃7〃。，正確；

③若。口￡=/,且〃7_/,〃_L/,則GC與夕不一定垂直，不正確；

④若。口夕=/,且〃2_U,優_1_〃，/與〃不一定相交，不能推出a_L夕，不正確.

(2)如圖，對于①，連接MMAC,則MN〃AC,連接AM,CN,

易得AM,CN交于點P,即MN面APC,所以MN〃面APC是錯誤的.

對于②，由①知M,N在平面APC內，由題易知AN〃GQ,且AN平面4PC,

C\Q平面APC.

所以GQ〃面APC是正確的.

對于③，由①知，A,P,M三點共線是正確的.

對于④，由①知MN面APC,又MN面MNQ,所以面MNQ〃面APC是錯誤

的.

答案(1)B⑵②③

規律方法1.判斷與平行關系相關命題的真假，必須熟悉線、面平行關系的各個

定義、定理，無論是單項選擇還是含選擇項的填空題，都可以從中先選出最熟悉

最容易判斷的選項先確定或排除，再逐步判斷其余選項.

2.(1)結合題意構造或繪制圖形，結合圖形作出判斷.

⑵特別注意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情況，通過舉反例否

定結論或用反證法推斷命題是否正確.

【訓練1】⑴設〃?，〃是不同的直線，叫￡是不同的平面，且m，n。，則

ua//pn是“m〃。且〃〃夕'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

(2)(2016?全國II卷)a,￡是兩個平面，加，幾是兩條直線,有下列四個命題：

①如果mA,n,ml.a,〃〃B,那么a±￡.

②如果〃zJLa,〃〃。，那么，

③如果a〃/?,〃2。，那么歷〃尸.

④如果〃?〃〃，。〃￡,那么〃7與Q所成的角和"與夕所成的角相等.

其中正確的命題有(填寫所有正確命題的編號).

解析⑴若加，〃a,aHB、則〃7〃S且〃〃人反之若加，na,mJ/B宜

n//p,則。與//相交或平行，即"a〃，'是"機〃夕且〃〃夕'的充分不必要條件.

(2)當〃zJ_〃，ml.a,〃〃￡時，兩個平面的位置關系不確定，故①錯誤，經判斷

知②③④均正確，故正確答案為②③④.

答案(1)A(2)②③@

考點二直線與平面平行的判定與性質(多維探究)

命題角度1直線與平面平行的判定

(1)證明：MN〃平面以3；

(2)求四面體N—RCM的體積.

如圖，取B尸的中點，連接AT,TN,由N為PC中點知川〃BC,TN=^BC=

2.

又AO//BC,故TN^kAM,所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MNZMT.

因為AT平面附B,MN平面%B,

所以MN〃平面PAB.

⑵解因為以_L平面ABC。，N為尸。的中點，

所以N到平面ABCD的距離為14.

如圖，取8c的中點￡連接AE由A8=AC=3得4￡_L8GAE=yjAB2-BE2=

小.

由AM//BC得M到BC的距離為小，故S“CW=：X4X#=2小.所以四面體N

乙

1PA4、行

一BCM的體積

VN-BCM=QJXS^BCMX4—=J.

命題角度2直線與平面平行性質定理的應用

【例2一2](2018?宜春質檢)如圖，五面體ABCQE,四邊形A8DE

是矩形，ZVIBC是正三角形，AB=1,AE=2,尸是線段8c上一

點，直線8c與平面ABO所成角為30°,CE〃三面AOE

H

(1)試確定產的位置；

(2)求三棱錐A-CDF的體積.

解⑴連接3E交A。于點O,連接OF,

?.?。七〃平面4。/，CETffiBEC,平面AOFH平面5EC=OR,/V>>D

：,CE//OF.

???。是BE的中點，??，是BC的中點.B

(2)?；BC與平面A3。所成角為30°,BC=AB=l,

???C到平面ABD的距離為h=BCsin30°=1.

*：AE=2,

VA-CDF=VF-ACD—VB-ACD—2VC-ABD

1X2X7=]

規律方法1.利用判定定理判定線面平行，關鍵是找平面內與已知直線平行的直

線.常利用三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過已知直線作一平面找其交線.

2.在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉化，即

從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質定理時，其

順序恰好相反.

求證：(1皮/〃平面ABC；

(2)AQJ_AC

證明(1)在平面48。內，ABLAD.EF1AD,

貝ijAB//EF.

9：AB平面ABC,EF平面ABC,

，石尸〃平面ABC.

(2)TBCLBD,平面48。0平面8。。=陰九平面ABQ_L平面BCD,BC平面

BCD,

??.8C_L平面ABD

*：AD平面A3。，：.BC-LAD,

又A8_LAO,BC,AB平面ABC,BCQAB=B,

平面ABC,

又因為AC平面ABC,：.ADLAC.

考點三面面平行的判定與性質(典例遷移)

【例3】(經典母題)如圖所示，在三棱柱ABC—4中，E,AHr.

F,G,"分別是AB,AC,A1B1,4G的中點，求證：博冰

(1)8,C,H,G四點共面；V'A\

(2)平面EM〃平面BCHG.

證明(1)??'G,”分別是A山i,4G的中點，13

，GH是△A181C1的中位線，則GH//B1C1.

又丁B\C\//BC,

：.GH//BC,:?B,C,H,G四點共面.

(2)VE,F分別為FB,AC的中點，：.EF//BC,

*：EF平面BCHG,BC平面8C”G,

???￡尸〃平面BCHG.

又G,E分別為AiBi,48的中點,AiB/A分

：.A\G^EB,

J四邊形4EBG是平行四邊形，???AiE〃GB

9：A\E平面BCHG,GB平面BCHG,

???AiE〃平面BCHG.又?；ATECEF=E,

???平面瑁小〃平面BCHG.

【遷移探究11在本例中，若將條件“E,F,G,H分別是AB,AC,AiBi,A1C1

的中點”變為“。，。分別為6Q,6c的中點”，求證:平面AiBDi〃平面AC1D

證明如圖所示，連接4c交AC于點M,A,

???四邊形AiACCi是平行四邊形，

???〃是4c的中點，連接M。，.LiA.'nJc

.?弟為比的中點，W

：.A\B//DM,

9：A\B平面

DM平面4BU,

???OM〃平面A山。i,

又由三棱柱的性質知，DC做BD,

???四邊形BDCiDi為平行四邊形，

：.DCi//BDi.

又。G平面45D1,BD\平面4BDi,

???QCi〃平面AiBDi,

又。C】nQM=。，DCi,DM平面AGO,

因此平面A山。?〃平面AC\D.

【遷移探究2】在本例中，若將條件“E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1

的中點”變為“點。.力分別是AC，4C上的點，且平面A。。〃平面4用DJ',

試求A養H的值.

解連接4B交4辦于。，連接。Eh.

由平面〃平面A5iDi,且平面A山GG平面BCiD=BCi,

平面48aA平面A8O=。。,所以則給=器

A\D\DC

又由題設

D]C\~ADf

?型=1即也=1

即OC—

規律方法1.判定面面平行的主要方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)線面垂直的性質(垂直于同一直線的兩平面平行).

2.面面平行條件的應用

(1)兩平面平行，分析構造與之相交的第三個平面，交線平行.

(2)兩平面平行，其中一個平面內的任意一條直線與另一個平面平行.

提醒利用面面平行的判定定理證明兩平面平行，需要說明是在一個平面內的兩

條直線是相交直線.

【訓練3】(2018?東北三省四校聯考)如圖，在三棱柱ABC-

AIBIG中，A4i_L底面ABC,ABYAC,AC=AA\,E,產分別是

棱BC,CC的中點.

(1)若線段AC上存在點D滿足平面OE/〃平面ABC\,試確定點

。的位置，并說明理由；

(2)證明：EFLAxC.

(1)解點。是AC的中點，理由如下：

「平面DEF〃平面ABG,平面A8CA平面DEF=DE,平面48CG平面ABC\

=A8,

：.AB//DE,

???在中，E是月C的中點，

J。是AC的中點.

(2)證明??,三棱柱ABC-ABiG中，AC=AAi,

工四邊形4ACG是菱形，???AC_LAG.

VAAilJgfflABC,AB平面ABC,：.AAi±AB,

又ABL4C,AA\QAC=A,?"B_L平面A4CC,

VAiC平面兒4clC,：.AB-LA\C.

又ABnAG=A,從而4CJ_平面A8G,

又BCT平面ABC,

AAiClBCi.

又???￡尸分別是BC,CG的中點，

：.EF//BC\fAffiEFLA\C.

基礎鞏固題組

(建議用時：4()分鐘)

一、選擇題

1.(2018?安康模擬)有下列命題:

①若直線/平行于平面。內的無數條直線，則直線/〃。；

②若直線。在平面a外，則。〃a；

③若直線a〃b,b//a,則a〃a；

④若直線。〃4b"Q,則。平行于平面。內的元數條直線.

其中真命題的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

解析命題①/可以在平面G內，不正確；命題②直線。與平面。可以是相交關

系，不正確；命題③。可以在平面GC內，不正確；命題④正確.

答案A

2.（2018?長郡中學質檢）如圖所示的三棱柱ABC—中，過48

的平面與平面A8C交于OE,則。E與A8的位置關系是（）

A.異面B.平行

C.相交D.以上均有可能

解析在三棱柱4AC-4辦。中，AR//A,Rit

AB平面ABC,A\B\平面ABCt

「?A陽〃平面ABC,?:過A"的平面與平面ABC交于DE.???平E〃4Bi,:.DE

//AB.

答案B

3.（2018?廣東省際名校聯考）已知。，￡為平面，。，b,c為直線，下列命題正確

的是（）

A.a。，若人〃。，貝

B.4n￡=C,bLc,則

C.a±Z?,b-Lcf則a//c

D.aCZ?=A,aa,ba、allB、b//B、則。〃夕

解析選項A中，b。或方〃a,不正確.

B中。與「可能斜交，B錯誤.

C中Q〃C,。與C異面，或。與C相交，C錯誤.

利用面面平行的判定定理，易知D正確.

答案D

4.（2018?合肥模擬）若平面a截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面

a平行的棱有（）

A.0條B.l條

C.2條D.1條或2條

解析如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則￡F〃GH.

TEF平面3C。，GH平面BCD,

二?E尸〃平面BCD.

又?：EF平面AC。，平面BCOn平面ACO=CQ,

：.EF//CD.

又EF平面EFGH,CD平面MG”.

二?CO〃平面EFGH,

同理，AB〃平面EFGH,

所以與平面a（面EFGH）平行的棱有2條.

答案C

5.（2018?吉安模擬）設直線/,，n,平面。，￡,則下列條件能推出。〃￡的是（）

A.la,ma,旦I!/tn〃B

B.lo,m￡，且I!/m

C.l±a,m_L￡,且/〃加

DA//a,相〃￡,且/〃用

解析借助如圖所示的長方體模型，可以判定選項A,B,D不

一定推出a//￡.對于選項C,由/J_a,I//，n,得又"2_1_夕,

從而a//fi.

答案C

二、填空題

6.設以，B,/是三個不同的平面，加，〃是兩條不同的直線，在命題"aC0=m,

〃y,且________,則〃?〃〃”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命

題為真命題.

①。〃y,nP；?ni//yfn//6；③n〃my.

可以填入的條件有.

解析由面面平行的性質定理可知，①正確；當〃〃夕，my時，〃和機在同一

平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確.

答案①或③

7.如圖所示，正方體ABC。-中，48=2,點E為AO

的中點，點尸在CQ上.若EF〃平面48C,則線段"的長度

等于.

解析在正方體ABCO-AIBIGDI中，AB=2,??.AC=2，i

又石為AE＞中點，￡/〃平面AB\C,EF平面AOC,平面ADCG平面A61C-AC,

：.EF//AC,

???E為。C中點，

:,EF=gAC=p.

答案也

8.(201%鄭州調研)設〃7,〃是兩條不同的直線，a,B,/是二個不同的平面，

給出下列四個命題：

①若ma,n//a,則in//〃；

②若a〃夕，B〃Y、mla,則，〃_Ly；

③若aC夕=〃，〃?〃〃，〃?〃a,則〃?〃/?；

④若加〃a,〃〃￡,m//n＞則a〃夕.

其中是真命題的是_______(填上正確命題的序號).

解析①〃2〃〃或根，〃異面，故①錯誤；易知②正確；③〃2〃4或團B,故③

錯誤；④a〃夕或a與乃相交，故④錯誤.

答案②

三、解答題

9.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

(1)請將字母EG,〃標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由)：

(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系，并證明你的結論.

解⑴點F,G,"的位置如圖所示.

(2)平面BEG〃平面ACH,證明如下：因為ABCD-EFGH為正方七便飛例

體，匡斟7

所以3C〃/G,BC=FG,

又FG//EH,FG=EH,

所以3C〃EH,BC=EH,

于是四邊形8c〃七為平行四邊形，所以BE〃CH.

又CH平面AC”，BE平面AC”，所以3E〃平面ACH.

同理BG〃平面AC".

又BECBG=B,所以平面BEG〃平面AC77.

10.（2018?張家口檢測）如圖，四棱錐尸一48。。中，四邊形ABC。P

為正方形，POJ_平面ABCD,PD=DC=2,點、E,F分別為卮

AD.PC的中點.機

⑴證明：。尸〃平面P6E；撲、

⑵求點F到平面PBE的距離.人

⑴證明取尸6的中點G,連接EG,FG,貝ij尸G〃6C,且bG=.C

\2

,?DE//BC且DE=eBC,/V

：.DE//FG且DE=FG,/;;

???四邊形OEGb為平行四邊形，先上7

J.DF//EG.AB

又DF平面尸BE,EG平面PBE,

故OF〃平面PBE.

⑵解由⑴知。尸〃平面PBE,

，點。到平面PBE的距離與F到平面PBE的距離是相等的，故轉化為求點D

到平面產區上的距離，設為"，連接3D

VD-PBE—Vp_BDE,:百dPBE*d=^S^BDEePD,

由題意可求得PE=