2026統考專升本高數：高數Ⅰ考點匯編

第一章極限與連續

第一節初高中基本計算公式

1.冪函數基本公式

m

m

mnmnxmnm1

（1）（2）（3）nmn（）

xxxnx4xm

xxxx

2.三角函數公式

（1）三角函數恒等式

①22②22③22

sinxcosx1tanxsecx1cotxcscx1④tanxcotx1

sinxcosx

⑤secxcosx1⑥cscxsinx1⑦tanx⑧cotx

cosxsinx

（2）倍角公式與半角公式

2tanx

①sin2x2sinxcosx②cos2xcos2xsin2x2cos2x112sin2x③tan2x

1tan2x

2

cotx12x1cosx2x1cosx2x1cosx

④cot2x⑤cos⑥sin⑦tan

2cotx222221cosx

3.反三角函數基本關系式

①arcsin(x)arcsinx(1x1)

②arccos(x)arccosx(1x1)

③arctan(x)arctanx

④arccot(x)arccotx

⑤arcsinxarccosx(1x1)

2

⑥arctanxarccotx

2

1

⑦arctanxarccot(x0)

x

4.常見角度三角函數表

第二節函數

1.函數的定義：

設x和y是兩個變量，D是一個給定數集，如果當x在D中任意取定一個值時，通過一定的對應法則f，變量y總有

確定的數值與x對應，則稱y是x的函數。記作yf(x)。數集D稱為函數yf(x)的定義域。

2.常見函數的定義域

1

（1）y,D:x0

x

（2）y2nx,D:x0

（3）ylogax,D:x0

（4）ytanx,D:xk

2

（5）ycotx,D:xk

yarcsinx

（6）,D:x1,1

yarccosx

3.反函數

（1）定義：一般地，給定y是x的函數yf(x)，如果把y當做自變量，x當做函數，則由關系式yf(x)所

1

確定的函數xf1(y)叫做f(x)的反函數.習慣上記為yf(x)。

注：反函數求解步驟：直接函數解出x以y為自變量的反函數調換x和y反函數

4.基本初等函數的分類

（1）冪函數：yxu，（u為常數）a

（2）指數函數：yax，（a是常數且a＞0、a≠1）

（3）對數函數：

ylogax，（a是常數且a＞0、a≠1）

（4）三角函數：

①正弦函數ysinx，定義域為(,)，值域為[1,1]，奇函數，周期為2

②余弦函數ycosx，定義域(,)，值域為[1,1]，偶函數，周期為2

③正切函數ytanx，定義域為{x|xk,kz}，值域為(,)，奇函數，周期為π

2

④余切函數ycotx，定義域為{x|xk,kz}，值域為(,)，奇函數，周期為

四朵花團隊

1

⑤正割函數ysecx=，定義域為{x|xk,kz}，值域為

cosx2

(,1][1,)，偶函數，周期為2

1

⑥余割函數ycscx，定義域為{x|xk,kz}，值域為

sinx

(,1][1,)，奇函數，周期為2

（5三：

①反正弦函數：yarcsinx，定義域為[1,1]，值域為[,]，奇函數

22

②反余弦函數：yarccosx，定義域為[1,1]，值域為[0,]

③反正切函數：yarctanx，定義域為(,)，值域為(,)，奇函數

22

④反余切函數yarccotx，定義域為(,)，值域為(0,)

四朵花團隊

第三節極限

一、數列的極限

意的，存在

（1）定義：若對于任0N0時，有aA，稱為數列的極限，記為limanA。

nAann

為有界數列。

（2）數列極限的有界性：如果數列an收斂，則an

（3）收斂數列與其子數列間的關系：如果數列an收斂于A，那么它的任何一個子數列也收斂，其極限也為A。

注：單調有界數列必收斂

二、函數的極限

limf(x)A

1.當xx0時f(x)的極限：

xx0

limf(x)Alimf(x)A

左極限：右極限：

xx0xx0

定理：函數在某一點極限存在的充要條件：左右極限存在且相等。

limf(x)Alimf(x)limf(x)A

xx0xx0xx0

2.極限的運算法則

若limf(x)A,limg(x)B，那么：

（1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB;

（2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB;

f(x)limf(x)A

（3）又B0，則lim.

g(x)limg(x)B

（4）limkf(x)klimf(x)kA

3.兩個重要極限四朵花團隊

（1）第一個重要極限：

sinxsin(x)

lim1，lim1。

x0x(x)0(x)

（2）第二個重要極限：

11

1x

lim(1)e，lim(1x)xe，lim(1(x))(x)e。

xxx0(x)0

三、無窮小量與無窮大量

（1）定義：

或limf(x)0limf(x)0），那么稱函數

無窮小量：當函數在xx0(x)時極限為零，即（或

xx0x

f(x)為當xx0(或x)時的無窮小。

無窮大量：如果當x0（或x）時，函數f(x)的絕對值無限增大，則稱f(x)為當x0（或x）時

的無窮大量，記為lm

xixf(x)（或limfx）

0x

（2）無窮小的比較：

設lim0,lim0

①若lim0，則稱是比較高階的無窮小量，記為o()；

②若limc（c0為常數），則稱與是同階的無窮小量；

③若lim1，則稱與是等價的無窮小量，記作：～；

④若lim，則稱是比較低階的無窮小量。

（3）無窮小與極限的關系

limf(x)Af(x)A(x).其中lim(x)0

xx0xx0

（4）常用的等價無窮小量：

x0

(1)x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1x)~ex1

x2a

(2)1cosx~1cosax~x2

22

(3)(1x)a1~axax1~xlna

x3x3x3

(4)xsinx~tanxx~tanxsinx~

632

四、求極限常用方法

0

1.消零因子法（適用于xx時，“”型）；

00

2.抓大頭法（適用于n或x時，“”型）；

a

0mn

b0四朵花團隊

nn1…

a0xa1x++an1xan

0mn

limmm1

xbxbx+…+bxb

01m1m

mn

3.有理化法（適用于帶有根式的極限問題）；

4.通分法（適用于“”型）；

5.運用兩個重要極限；

6.無窮小量的性質（兩個無窮小量的積為無窮小量，無窮小量與有界變量的乘積為無窮小量）；

7.等價無窮小量代換法；

8.利用極限存在的充要條件求分段函數在分段點的極限；

9.洛必達法則。

五、夾逼準則

limg(x)limh(x)Axxf(x)

設在x0的某個去心鄰域內，恒有g(x)f(x)h(x)，。則當0時極限

xx0xx0

存在，且limf(x)A

xx0

第四節函數的連續與間斷

一、連續

1.連續的定義：limf(x)f(x)

若0，則稱f(x)在x0點連續。

xx0

2.連續的充要條件：

limf(x)f(x0)limf(x)limf(x)f(x0)

xx0xx0xx0

3.初等函數在定義域內連續。

4.左右連續

limf(x)f(x)

0，則稱f(x)在x0點右連續

xx0

limf(x)f(x)

0，則稱f(x)在x0點左連續

xx0

二、間斷

1.間斷點的分類

（1）第一類間斷點（左右極限都存在）

可去間斷點：

limf(x)limf(x)

xxxx

00

跳躍間斷點：limf(x)limf(x)

xx0xx0

（2）第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在）

無窮間斷點：至少有一個極限為無窮

振蕩間斷點：至少有一個極限不存在四朵花團隊

第二章一元函數微分學

第一節導數與微分

1.導數的定義：

f(xx)f(x)f(x)f(x0)

00或

f(x0)limf(x0)lim

x0xx0

xxx0

f(xx)f(x)

①左導數00

f(x0)lim

x0x

f(xx)f(x)

②右導數00

f(x0)lim

x0x

2.導數的幾何意義：

曲線在點M(x0,f(x0))處切線的斜率。

特別地，若f(x0)0，則曲線yf(x)在點M(x0,f(x0))處切線平行于x軸；

若f(x0)，則曲線yf(x)在點M(x0,f(x0))處切線垂直于x軸，切線方程為xx0；

函數yf(x)在M(x0,y0)的

切線方程為：

yy0f(x0)(xx0)

法線方程為：1

yy0(xx0)(f(x0)0)

f(x0)

3.求導公式：

1

（1）(C)0（2）(x)x，（3）(sinx)cosx（4）(cosx)sinx

22

（5）(tanx)secx（6）(cotx)cscx（7）(secx)secxtanx（8）(cscx)cscxcotx

1

xxxx1

（9）(a)alna（10）(e)e（11）(logax)（12）(lnx)

xlnax

1111

（）（）(arccotx)

（13）(arcsinx)（14）(arccosx)15(arctanx)2162

1x21x21x1x

4.函數的和、差、積、商的求導法則

設uu(x)，vv(x)都可導，則：

（1）(uv)uv（2）(Cu)Cu(C為常數）

uuvuv

（3）(uv)uvuv（4）(v0)

vv2

四朵花團隊

5.復合函數求導法則

設yf(u)，而ug(x)且f(u)及g(x)都可導，則復合函數yf[g(x)]的導數為：y(x)f(u)g(x)

6.對數求導

對數求導適用于冪指函數yu(x)v(x)和某些用連乘連除或乘方開方表示的函數。應先對等式兩邊取對數，然后用隱函

數求導方法求其導數。

7.參數方程求導

dydydtdy1(t)d2yddy1

x(t)()

設，則dxdtdxdtdx(t)，dx2dtdxdx

y(t)

dtdt

8.高階求導

yf(x)為yf(x)的一階導數。把yf(x)的導數叫做函數yf(x)的二階導數，記作y或

2

dy(n1)(n1)

，類似的，二階導數的導數叫做三階導數。一般地，把yf(x)的(n1)階導數y的導數叫做階導數y

dx2

dny

導數叫做yf(x)的n階導數，記為y(n)或。二階及二階以上導數統稱為高階導數。

dxn

9.微分

函數f(x)可微分的充要條件是：函數f(x)可導，且dyf(x)dx

10.可導、可微與連續三者之間的關系

f(x)點x0可導f(x)在點x0可微f(x)點x0連續即：可導必連續，連續不一定可導

第二節導數的應用

1.洛必達法則的應用

設x0(x)時，滿足以下三個條件：

①函數f(x)，g(x)均為無窮小量（或均為無窮大量）；

'''

②在點x0的某個去心鄰域內（或xM），f(x)與g(x)都存在且g(x)0

f'(x)

③lim'存在

xx0g(x)

(x)

00

(或)(或)

0'0

f(x)f(x)0

則：……注：其中洛必達法則適用于,,0,,00,1,0求極限。

limlim'

xx0g(x)xx0g(x)0

(x)(x)

2.函數的單調性

設函數yf(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導。

（1）如果在(a,b)內f(x)0，那么函數yf(x)在[a,b]內單調增加；

（2）如果在(a,b)內f(x)0，那么函數yf(x)在[a,b]內單調減少

3.函數的極值：

（1）極值的定義：四朵花團隊

設f(x)在(a,b)內有定義，x0是(a,b)內的一點；若對于x0的某個鄰域內的任意點xx0，都有：f(x0)f(x)

[或f(x0)f(x)]則稱f(x0)是f(x)的一個極大值（或極小值），稱x0為f(x)的極大值點（或極小值點）。

（2）駐點的定義：若f(x0)0，則稱x0為f(x)的駐點。

（3）極值存在的必要條件：設函數在0處可導，且在0取得極值，那么0

f(x)xxf(x)0

（4）極值存在的充分條件：

定理1（第一充分條件）：設函數f(x)在x0處連續，且在x0的某去心鄰域內可導。

①當x漸增通過x0時，f(x)由（+）變（-）；則f(x0)為極大值；

②當x漸增通過x0時，f(x)由（-）變（+）；則f(x0)為極小值。

定理2（第二充分條件）：設函數f(x)在點x0處具有二階導數，且f(x0)0,f(x0)0。

①若f(x0)0，則f(x0)為極大值；

②若f(x0)0，則f(x0)為極小值。

4.凹凸區間和拐點的應用

（1）曲線的凹凸性及拐點：

①若；則在內是凹的（下凸），（∪）；

f(x)0,xa,bf(x)(a,b)

②若f(x)0,xa,b；則f(x)在(a,b)內是凸的（上凸），（∩）；

（2）凹凸性改變的點稱為拐點。

5.漸近線方程

limf(x)b

（1）水平漸近線：若x，則曲線yf(x)有水平漸近線yb；

(x)

limf(x)

xx

（2）垂直漸近線：0，則曲線yf(x)有垂直漸近線xx0；

(xx0)

f(x)

（3）斜漸近線：若limk0，blim[f(x)kx]，則ykxb為yf(x)的斜漸近線。

xxx

第三章一元函數積分學

第一節不定積分

1.不定積分的概念和性質

（1）若F(x)f(x)，則F(x)是f(x)的一個原函數，則f(x)dxF(x)C

（2）f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx

（3）kf(x)dxkf(x)dx

d

（4）[f(x)dx]f(x)或d[f(x)dx]f(x)dx

dx

（5）F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C

四朵花團隊

2.基本積分公式

1

x1

（1）kdxkxC（2）xdxC(1)（3）dx2xC

1x

111dx

（4）dxC（5）dxlnxC（）

262arctanxC

xxx1x

dx（）

（7）arcsinxC（8）cosxdxsinxC9sinxdxcosxC

1x2

x

xxa

（10）edxeC（11）axdxC

lna

3.不定積分的方法

（1）第一換元積分法（湊微分法）

g(x)dx拆f[(x)](x)dx湊f[(x)]d(x)(x)uf(u)du

F(u)Cu(x)F[(x)]C

（2）第二換元積分法

f(x)dx令x(t)f[(t)](t)dtF(t)Ct1(x)F[1(x)]C

(t)0

（3）分部積分

udvuvvdu-----分部積分公式

第二節定積分

bn

1.定積分的定義f(x)dxlimf(i)xi

a0

i1

定理1設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在區間[a,b]上可積。

定理2設f(x)在區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。

2.定積分的性質

設f(x)，g(x)在區間[a,b]上可積，則四朵花團隊

aba

（1）f(x)dx0（2）f(x)dxf(x)dx

aab

bbbbb

（4）kf(x)dxkf(x)dx（5）[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx

aaaaa

bcb

（）b

6f(x)dxf(x)dxf(x)dx（3）1dxba

aaca

3.牛頓——萊布尼茨公式：

若是連續函數在上的一個原函數，則

F(x)f(x)[a,b]

bb

f(x)dxF(x)F(b)F(a)

aa

4.變上限函數求導

xdx

如果函數f(x)連續，則f(t)dt(axb)是上限x的可導函數，且有f(t)dtf(x)

adxa

若(x)，(x)均可導，則變上限函數的求導公式：

dx(x)

（1）f(t)dtf(x)（3）f(t)dtf[(x)](x)

dxadxa

dad(x)

（）f(t)dtf(x)（）f(t)dtf[(x)](x)f[(x)](x)

24

dxxdx(x)

d

5.積分計算總結公式

（1）定積分對稱區間內，偶倍奇零

設f(x)在[a,a]上連續，則

0f(x)為奇函數

a

f(x)dxa

a2f(x)dxf(x)為偶函數

0

a1

（2）a2x2dxa2

04

6.定積分的換元法和分部積分法

（1）定積分的換元法

設函數f(x)在區間[a,b]上連續，令x(t)，如果

①(t)在[,]上連續，當t[,]時，(t)的值不超出[a,b]并且有連續的導函數，

b

②()a,()b則有f(x)dxf[(t)](t)dt

a

（2）定積分的分部積分法bbb

設函數、在上有連續導數，則：uvdx[uv]udv

u(x)v(x)[a,b]aaa

7.反常積分的概念和計算

（1）無限區間的反常積分

b

如果極限limf(x)dx(ba)存在，則稱此極限值為函數f(x)在無限區間[a,)上的廣義積分。記作

ba

b

f(x)dx，即：f(x)dxlimf(x)

aaba

b

此時稱廣義積分f(x)dx收斂.如果limf(x)dx不存在，則稱廣義積分f(x)dx發散。

abaa

若F(x)f(x)，則：

①limF(x)

f(x)dxF(x)aF(a)四朵花團隊

ax

b

b

②f(x)dxF(x)F(b)limF(x)

x

③f(x)dxF(x)limF(x)limF(x)

xx

（2）無界函數的反常積分

設函數f(x)在區間(a,b]上連續。而limf(x)，稱a為f(x)的瑕點。

xa

b

如果極限limf(x)dx存在，則稱此極限值為函數f(x)在區間[a,b)上的反常積分。

tat

bbb

記作f(x)dx，即f(x)dxlimf(x)

aatat

bb

此時稱反常積分f(x)dx收斂。如果上述極限不存在，則稱反常積分f(x)dx發散。

aa

bt

類似地，若b為瑕點，則f(x)dxlimf(x)；

atba

bcb

反常積分f(x)dx收斂的含義是f(x)dx與f(x)dx同時收斂。

aac

若F(x)f(x)，則

b

bF(b)limF(x)

（1）若a為瑕點，f(x)dxF(x);

aaxa

b

b

（2）若b為瑕點，f(x)dxF(x)alimF(x)F(a).

axb

bcbcb

（3）若c為瑕點，f(x)dxf(x)dxf(x)dx=F(x)+F(x)=limF(x)F(a)+F(b)limF(x)

aacacxcxc

第三節定積分的幾何應用

1.平面圖形的面積

b

①直角坐標下：設區域D是由yf(x),yg(x)以及直線xa,xb所圍成，則平面圖形D面積Sf(x)g(x)dx

a。

2.旋轉體體積

①直角坐標下：設曲線是由yf(x)，且f(x)0(axb)，則

b

繞軸旋轉的體積：2

xVxf(x)dx

a

b

繞y軸旋轉的體積：

Vy2xf(x)dx

a

第四章多元函數微積分學

第一節空間解析幾何與向量代數

1.向量的運算

（1）向量積和數量積

設a(ax,ay,az)，b(bx,by,bz)

①加減ab(axbx,ayby,azbz)

②數乘a(ax,ay,az)

③數量積ababcos

abaxbxaybyazbz四朵花團隊

cabsin

④向量積abc

ca,cb

ijk

abaxayaz

bxbybz

2.向量關系

axayaz

（1）a//bab0

bxbybz

（2）abab0axbxaybyazbz0

3.平面方程

（1）平面的基本方程：

①點法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0

法向量n(A,B,C)

②一般式：AxByCzD0

xyz

③截距式：1(abc0)

abc

（2）平面與平面的位置關系

平面1A1xB1yC1zD10

①垂直12n1n20A1A2B1B2C1C20

n1(A1,B1,C1)ABC

②平行111

1//2n1n20A

2B2C2

平面2A2xB2yC2zD20

n2(A2,B2,C2)

4.直線方程

（1）空間直線方程

xx0yy0zz0

①點向式方程：s{m,n,p}為方向向量，(x0,y0,z0)為直線上的一點。

mnp

A1xB1yC1zD10

②一般式方程：

A2xB2yC2zD20

xx0mt

③參數式方程：yy0nt

zz0pt

（2）直線與直線的位置關系

xxyyzzxxyyzz

111222

直線L1：直線L2：

m1n1p1m2n2p2

s1(m1,n1,p1)s2(m2,n2,p2)

①垂直：LLss0mmnnpp0

1212121212

mnp

②平行：L//Lss0m111

1212np

222

（3）直線與平面的位置關系

xxyyzz

直線L：000

mnp

s(m,n,p)

平面：AxByCzD0

n(A,B,C)

mnp

①垂直：Lsn0

ABC

②平行：L//sn0mAnBpC0

第二節多元函數微分學

1.二元函數的概念

定義設D是R2上的一個非空子集，稱映射f:DR為定義在D上的二元函數，通常記為zf(x,y),(x,y)D。

其中點集D稱為該函數的定義域。x,y稱為自變量，z稱為因變量。

2.偏導數的定義

（1）一階偏導數

定義

設函數zf(x,y)在點(x0,y0)的某一領域內有定義，當y固定在y0，而x在x0處有增量x時，

相應的函數有增量f(x0x,y0)f(x0,y0)。

f(x0x,y0)f(x0,y0)

如果lim存在，則稱此極限為函數zf(x,y)在點(x0,y0)

x0x

z

處對x的偏導數，記為；或fx(x0,y0)。

xxx0

yy0

類似的，函數zf(x,y)在點(x0,y0)處對y的偏導數定義為

z

f(x0,y0y)f(x0,y0)

lim，記作或fy(x0,y0)。

y0

yyxx0

yy0

如果zf(x,y)在區域D內每一點(x,y)處對x的偏導數都存在，那么這個偏導數就是x的偏導函數，它就稱為zf

zz

(x,y)對x的偏導函數，記為，或f(x,y)。類似地，定義zf(x,y)對y的偏導函數，記為，或f(x,y)。

xxyy

函數連續

偏導數連續函數可微

偏導數存在四朵花團隊

（2）二階偏導數

zz

定義設函數zf(x,y)在區域D內具有偏導數fx(x,y),fy(x,y)，如果這兩個函數的偏導數也存在，

xy

則稱它們是函數zf(x,y)的二階偏導數，按照對變量的求導次序的不同，有下列四個二階偏導數：

2zz2zz

()；();

x2xxxyyx

2zz2zz

()；();

yxxyy2yy

（3）隱函數的導數

dyFx

①設由方程F(x,y)0確定的函數yf(x)在點x處有Fy0，則有

dxFy