2025-2026學年高一數學下學期期末高頻考點

高一數學下學期核心高頻考點速查

(含二級結論)

(三角函數與平面向量+解三角形+復數+立體幾何初步+概率統計)

速查01集合與常用邏輯用語(29個核心考點)

一、集合

1.集合的三大要素：確定性、互異性、無序性，解題時需優先槍驗互異性.

2.常用數集的表示：自然數集N、正整數集N+(或N*)、整數集Z、有理數集Q、實數集R.

3.集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩(Venn)圖法，明確描述法中代表元素的類型.

4.空集的定義：不含任何元素的集合，記為0，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集.

5.子集與真子集的區別：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集.

6.集合的交集運算：AAB表示由所有既屬于A又屬于B的元素組成的集合.

7.集合的并集運算：AUB表示由所有屬于A或屬于B(或兩者都屬于)的元索組成的集合.

8.集合的補集運算：CuA表示由所有屬于全集U且不屬于A的元素組成的集合，需明確全集范圍.

9.集合運算性質：AClA=A、AUA=A：An0=0、AU0=A：AnB=BnA,AUB=BUA.

10.若AGB,則AnB=A、AUB=B,解題時需注意A為空集的特殊情況.

11.區分點集與數集：點集表示坐標平面內的點，數集表示具體的數值，不可混淆運算.

12.描述法表示集合時，需明確自變量的取值范圍(隱含定義域).

13.集合關系的判定：若AGB且BGA,則八=B.

14.補集的性質：(1)Cu(CuA)=A：(2)ACl(CuA)=0；(3)AU(C(jA)=U

15.集合運算與集合間關系的轉化：

AnB=AoAUB=B<=>AGB=C(JBGCUA<=>AA=0<=>CuAUB=R.

16.一組重要的結論：

(1)有限集合包1期2瓜3,…,aQ的子集情況：子集有2n個，真子集有2“一1個，非空子集有2門一1個，

非空真子集有2n—2個.

<2)元素與集合的關系：xeAox￡CuA,xWCuA—x名A.

(3)德摩根公式：Cu(AnB)=[AUCuB;Cu(AUB)=C(jAACuB.

(4)容斥原理：card(AUB)=card(A)+card(B)—card(AnB),

card(AUBUC)

=card(A)+card(B)+card(C)—card(AnB)—card(AnC)—card(BnC).

+card(AnBnC)

二、常用邏輯用語

17.命題的定義：可以判斷真假的陳述句，分為真命題和假命題.

18.四種命題的關系：原命題、逆命題、否命題、逆否命題，逆否命題與原命題同真同假.

19.否命題與命題的否定的區別：否命題否定條件和結論，命題的否定僅否定結論.

20.充分條件的定義：若p=q,則p是q的充分條件（p能推出q）.

21.必要條件的定義：若q=p,則p是q的必要條件（q能推出p）.

22.充要條件的定義：若poq,則p是q的充要條件（兩者互相推出）.

23.充分不必要條件：p=q,但q#p；必要不充分條件：q=p,但p#q.

24.全稱量詞命題：含有“任意”“所有”“每一個”等量詞，記為VxEM,p（x）.

25.存在量詞命題：含有“存在”“有一個”“至少一個”等量詞，記為mxWM,p（x）.

26.全稱量詞命題的否定：將全稱量詞換為存在量詞，否定結論，記為mx€M,-＞p（x）.

27.存在量詞命題的否定：將存在量詞換為全稱量詞，否定結論，記為VxEM,-ip（x）.

28.充分條件、必要條件的判定方法：可通過定義、逆否命題、集合包含關系判斷.

29.常用的正面敘述詞語和它的否定詞語

正面詞語等于（=）大于（?小于（＜）是

不等于不大于不小于

否定詞語不是

（H）（＜）（＞）

正面詞語都是任意的所有的至多有一個至少有一個

否定詞語不都是某個某些至少有兩個一個也沒有

速查02函數（27個核心考點）

一、函數核心考點（28條）

1.函數的定義：設非空數集A、B,如果按照某個確定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x,在

集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A-B為從集合A到集合B的一個函數.

2.函數的三要素?：定義域、對應關系、值域，其中定義域和對應關系決定值域.

3.函數定義域的求解原則：分母不為0,偶次根式的被開方數非負，對數的真數人于0、底數人于。且不

等于1.

4.函數定義域的表示方法：常用集合、區間表示，需注意區間的開閉區間區分.

5.函數值域的求解思路：結合定義域，根據函數類型（一次、二次、反比例、指數、對數等）選擇合適方

法.

6.函數解析式的求解方法：待定系數法、換元法、配方法、消元法等，求解后需標注定義域.

7.函數的表示方法：解析法、列表法、圖象法，三種方法可相互轉化.

8.分段函數的定義：在定義域的不同區間上，有不同的對應關系的函數，需注意分段點的取值.

9.分段函數的求值：需先判斷自變顯所在區間，再代入對應解析式計算.

10.函數的單調性定義：對于定義域內的某個區間上的任意兩個自變量Xl、X2,若X1<X2時，f(X[)<f

(X2)則為增函數，反之則為減函數.

11.函數單調性的判定方法：定義法、導數法、利用基本初等函數的單調性、更合函數單調性法則.

12.復合函數單調性法則：同增異減，即內外層函數單調性相同則復合函數為增，相反則為減.

13.函數單調區間的表示：多個單調區間之間用逗號連接，不可汨“U”符號.

14.函數的奇偶性的定義：(1)定義域關于原點對稱，若f(-X)=f(x)為偶函數，若f(-x)=一/(x)為奇函

數.

(2)偶函數圖象關于y軸對稱，奇函數圖象關于原點對稱.

15.函數的奇偶性性質：

(I)如果一個奇函數/(x)在原點處有定義，即/(0)有意義，那么一定有/(0)=0.

(2)如果函數/(x)是偶函數，那么/(x)=/(|x|).

(3)若函數y=/(x+a)是偶函數，則函數y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱.

(4)若函數y=/(x+b)是奇函數，則函數y=/(x)的圖象關于點(b,0)中心對稱.

16.判斷函數奇偶性的步驟：先判斷定義域是否關于原點對稱，再判斷f(一x)與f(x)的關系.

17.常見基本初等函數：一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、箱函數.

18.一次函數的解析式與性質：y=kx+b(k￥0),k決定單調性，b決定與y軸交點.

19.二次函數的解析式：一般式、頂點式、零點式，頂點式便于求最值和對稱軸.

20.二次函數的最值求解：結合開口方向和對稱軸，判斷在定義域內的最值情況.

21.指數函數的解析式：y=ax(a>0且a。1),底數a決定函數單調性.

22.指數函數的性質：定義域為R,值域為(0,+8),過定點(0,1).

23.對數函數的解析式：y=logax(a>0且awl),與指數函數y=a*互為反函數.

24.對數函數的性質：定義域為(0,+8),值域為R,過定點(1,0),底數a決定單調性.

25.暴函數的解析式：y=xa(a為常數)，重點掌握a=l,2,3,-1,1/2的圖象與性質.

26.函數的周期性

(1)定義：若存在非零常數T,使得對于定義域內任意x,都有/'(x+T)=f(x),則T為函數的周期.

(2)對f(x)定義域內任一自變量的值x：①若f(x+a)=-f(x),則T=2a(a>0).

②若/'(x+a)=六，則T=2a(a>0).

③若/(x+a)=—白，則T=2a(a>0).

27.函數圖象的變換：

(1)平移變換:①y=/(x)的圖象版喘黑y=/(x—a)的圖象；

?y=f(x)的圖象t震:震喘黑y=/(x)+b的圖象.

“左加右減，上加下減”，左加右減只針對X本身，與X的系數，無關，上加下減指的是在f(x)整體上加

減.

(2)對稱變換

關于X軸對稱

①〉，=f(x)的圖象TI=一/(X)的圖象：

關于y軸對稱

②y=f(x)的圖象-y-f(-x)的圖象；

關于原點對稱

③y=/'(X)的圖象Ty=-/■(-X)的圖象；

關于直線丫=X對稱

x

④y=a(a>0且aH1)的圖象-y=logax(a>0且aH1)的圖象.

(3)伸縮變換

0<a<l,000000000-0,00000

①丫=/(X)的圖象Ta>l,OI3l3ta013配V~/(ax)的圖象?

a

小rz回4o<a<i,0@a@@@@0@a0,0@aa@,、一的々

②y=/(X)的圖象Ta>l,El[3l3團團G5酬團aEa,E3E!Ell3l3V=af(zx)的圖象.

(4)翻折變換

①丫=/(X)的圖象x軸下方部分翻折到上方y=|f(x)|的圖象；

[

②丫=/(X)的圖象T原X軸左側部分去掉，右側不變卜軸右側部分y=f(|x|)的圖象.

(!)平移變換

①y=/(x)的圖象T其瑞瑞晶y=/(X—a)的圖象；

②y=/(x)的圖象->鹿湍需溫y=f(x)+b的圖象.

“左加右減，上加下減”，左加右減只針對X本身，與X的系數，無關，上加下減指的是在/(X)整體上加

減.

(2)對稱變換

關于X軸對稱

①y=/(x)的圖象-,v=-/(X)的圖象；

關于y軸對稱

②y=/(x)的圖象Ty=f(-x)的圖象：

關于原點對稱

③y=/(x)的圖象Ty=-/(-X)的圖象；

關于直線x=y對稱

x

@y=a(a>0且aH1)的圖象—y=logax(a>0且aW1)的圖象.

(3)伸縮變換

a>l,團團團時同酬團-團，團團團團團

①丫=/(X)的圖象T0〈a<i,團團13cli31aBi130HBic3131313y=f(ax)的圖象.

②y=f(x)的圖象T盟瞿虢罌需歌膘皿y=af(x)的圖象.

(4)翻折變換

①y=/'(x)的圖象x軸下方部分翻折到上方y=|f(x)|的圖象；

[

②丫=/(X)的圖象T原X軸左側部分去掉，右側不變]X軸右側部分y=/(岡)的圖象.

28.函數圖象的對稱性

(1)函數圖象自身的軸對稱

①/(-x)=/(x)o函數y=/(x)的圖象關于y軸對稱；

②函數y=f(x)的圖象關于x=a對稱\(\Lcftrightarrow

/(a+x)=/(a—X)Q/(X)=f(2a—x)<=>/(—x)=/(2a+x)；

③若函數y=/(x)的定義域為R,且有/(a+x)=/(b-x),則函數y=/(x)的圖象關于直線'(x=早

對稱.

(2)函數圖象自身的中心對稱

①/(-x)=-/(x)\(q函數y=/(x)的圖象關于原點對稱；

②函數y=f(x)的圖象關于(a,0)對稱

\(\Leftrightarrow/(a+x)=—/(a—x)o/(x)=—/(2a—x)<=>/(—x)=-/(2a+x)：

③函數y=f(x)的圖象關于點(a,b)成中心對稱

\(\Leftrightarrow/(a4-x)=2b—/(a—x)=f(x)=2b—/(2a—x).

(3)兩個函數圖象之間的對稱關系

①函數y=/(a+x)與y=/(b-x)的圖象關于直線x=等對稱(由\(a+x=b-x得對稱軸方程)；

②函數y=f(x)與y=/(2a-x)的圖象關于直線x=a對稱；

③函數y=/(x)與y=2b—/(—X)的圖象關于點(0,b)對稱；

④函數y=f(x)與丫=21)—/(22—乂)的圖象關于點(a,b)對稱.

速查03三角函數與解三角形(52個核心考點)

一、三角函數

1.任意角的定義：平面內由一條射線繞端點旋轉形成的角，分為正角、負角和零角.

2.終邊相同的角的表示：與角a終邊相同的角可表示為a+2kn(kEZ).

3.象限角的定義：終邊在第幾象限，就稱這個角為第幾象限角，終邊在坐標軸上的角不屬于任何象限.

4.弧度制的定義：弧長等于半徑的弧所對的圓心角為1弧度，記為lrad.

5.角度與弧度的換算：180°=irrad,1°=^rad,lrad=(^)°

6.瓠長公式：1=|a|r(a為弧制度，r為半徑).

7.扇形面積公式：S=S=|lr=||a|r2(1為弧長，a為弧度制，r為半徑).

8.任意角的三角函數定義：設角Q終邊上一點P(x,y),r=42+y2,

則sina=cosa=tana=-(x0).

X

9.三角函數值的符號規律：根據角所在象限判斷sina、cosa、tana的正負.

10.特殊角的三角函數值：牢記0、6也4也o奉Z三及相關誘導角的三角函數值.

22

11.同角三角函數基本關系：sina+cosa=1,tana=co—sa(cosa0).

12.誘導公式的核心原則：奇變偶不變，符號看象限(“奇、偶”指冗/2的奇數倍、偶數倍).

13.正弦函數y=sinx的定義域：R,值域：[—1,1],周期：2TL

14.余弦函數y=cosx的定義域：R,值域：[—1,1],周期：27T.

15.正切函數y=tanx的定義域：｛x|x值域：R,周期：IT.

16.正弦、余弦函數的奇偶性：y=sinx是奇函數，y=cosx是偶函數.

17.三角函數的單調性：掌握y=sinx、y=cosx、y=tanx的單調區間.

18.三角函數的對稱性：正弦、余弦函數的對稱軸和對稱中心，正切函數的對稱中心.

19.三角函數圖象的平移變換：遵循“左加右減、上加下減”的規律.

20.三角函數圖象的伸縮變換：橫坐標、縱坐標伸縮對函數解析式的影響.

21.函數y=Asin(a)x+(p)(A>0,>0)的振幅：A,周期：T=2TT/U),相位：a)x+(p,初相:

(P-

22.函數y=AsinQox+5)的圖象畫法：五點法(零點、最高點、最低點).

二、三角變換

23.兩角和與差的正弦公式：sin(a±似=sinacosp±cosasinp.

24.兩角和與差的余弦公式:cos(a±P)=cosacosp+sinasinp.

25.兩角和與差的正切公式：tan(a±0)=含篙器(a、函a±B工5+kir,kEZ)TT/2+kn).

26.二倍角的正弦公式：sin2a=2sinacosa.

27.二倍角的余弦公式：cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-1=1—2sin2a.

28.二倍角的正切公式：tan2a=，了)Z).

I-tan^a(a4z

”〃一八42l+cos2a.91-cos2a-?l-cos2a.1?、

29.降累公式：cosa=---；sinza=-；—:tanza=―——；sinacosa=-sin2a.

30.升鼎公式：1+cos2a=2cos2(x,1—cos2a=2sin2a.

1-c2osa處與=±泛m1，嗚=±、/黑符號由物在象限決定.

31.半角公式：sin]=±

32.半角正切公式的有理化：匕喧=愚=密

33.輔助角公式：asina+bcosa=Va2+b2sin(a+<p)(a,b不同時為0),其中tan(p=2

34.積化和差公式

cosacosp=1[cos(a+0)+cos(a—P)]；

sinasinp=—1[cos(a+0)—cos(a—P)]；

sinacosp=|[sin(a+0)+sin(a—P)]；

cosasinp=|[sin(a+B)—sin(a—P)].

35.和差化積公式

sina+sinp=2sin^^cos^^；

..cra+B.a—0

sina—sinp=2cos—Lsin—L；

a+Pa-p

cosa+cosp=2cos—rcos—r-

22

c.a+B.a-B

cosa—cosp=—2nsin—sin—

r22

36.配方變換公式:1±sin2a=sin2a+cos2a±2sinacosa=(sina±cosa)2.

37.因式分解變換公式：cos2a=(cosa+sina)(cosa-sina).

.2tan1—tan2^2tan

38.萬能公式：sina=-——七，cosa=-——日，tana=----仁.

l+tan2^1+tan2^1-tan2-

222

39.三角變換的核心思路：切化弦、弦化切、降幕、升幕、角的配湊.

40.角的配湊技巧：將未知角表示為已知角的和、差、倍、半，如a=(a+B)-0、

2a=(a+0)+(a—P).

41.三角函數式化簡的原則：項數最少、次數最低、函數種類最少、分母不含三角函數.

42.三角函數式求值的類型：給角求值、給值求值、給值求角.

43.給值求角的步驟：先求三角函數值，再確定角的范圍，最后求出具體角.

44.三角變換中符號的判斷：結合角的范圍和三角函數值的符號確定結果.

45.利用三角變換解決三角函數式的恒等證明：從一邊推證到另一邊，或兩邊同時推證到同一表達式.

46.輔助角公式的應用：將復雜三角函數式化為丫=Asin(a)x+(p)的形式，便于求性質.

三、解三角形

47三角形的內角和定理：A+B+C=m任意兩角和為n減去第三角.

abr

48正弦定理：==,=搟=2R(R為三角形外接圓半徑).

0111/4blllObill

49正弦定理的變形：(l)a:b:c=sinA:sinB:sinC

(2)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

(3)sinA=2，sinB=sinC=三

''2R2R2R

50余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC

51余弦定理的變形：cosA=4W,cosB=以產，cosC=

2bcZac2ab

52龜形面積公式：

illahr1

SAABcM^absinCn^bcsinAu^acsinBuz^MGS+b+cAr”是三角形內切圓的半徑），并可

乙乙乙*1\4

由

可由此計算R、r.

速查04平面向量（26個核心考點）

一、平面向量

1.向量的定義：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（長度）.

2.零向量：模為0的向量，記為0,方向任意，與任意向量平行.

3.單位向量：模為1的向量，任意非零向量都可以化為與其同向的單位向量.

4.相等向量：方向相同且模相等的向量，與起點無關.

5.相反向量：方向相反且模相等的向量，a的相反向量記為一a.

6.向量的加法：遵循三角形法則、平行四邊形法則，滿足交換律和結合律.

7.向量的減法：減去一個向量等于加上這個向量的相反向量，遵循三角形法則.

8.向量的數乘：實數人與向量a的積為入a,模為I入Ha|，方向由人的符號決定.

9.向量數乘的性質:A（|ia）=（Aji）a；（A+p）a=Aa+網A（a+b）=Xa4-Ab.

10.向量共線的充要條件：非零向量a與b共線o存在唯一實數入，使得b=\a。

11.向量的數量枳：a-b=|a||b|cos0（。為a與b的夾角，0e[0,n]）,結果為實數。

12.數量積的性質：a-a=|a|2；a1b<=>a-b=0（a,b為非零向量）；|a-b|4|a||b|°

13.向量數量積的運算律：ab=ba；（入a）?b=入⑦心）=a?（入b）；（a+b）-c=a-c+b-Co

14.平面向量的坐標表示:若a=（xi，yi）,b=（x2,y2）,則a±b=（x】±x?,%±y?）。

15.向量數乘的坐標運算：入a=（Axi，入yi）；向量數量枳的坐標運算：a?b=x”？+yu?。

16.向量夾角的坐標計算公式：cos。=善宇學虧,a,b非零）。

Vx?+y?Vx!+yi

17.若a,b為不共線向量，則a+b,a-b是以a,b為鄰邊的平行四邊形的對角線向量，如圖。

18.三點共線的等價轉化

A,P,8三點共線0兄）=通（入。0）0而二（1一。&+1加（0為平面內異于八，P,B的任一

點，tE膿）<=>0P=xOA+yOB（0為平面內異于A,P,B的任一點，xWGLyeDLx+y=1）。

19.向量的中線公式

若P為線段AB的中點，0為平面內一點，則0P=5(0A+0B)。

20.三角形重心的向量式

在AABC中，三角形三邊上的中線交于點G,G為AABC的重心，D為BC的中點，則有如下結論:

TTT

①GA+GB+GC=0；

②TAG=1g(TAB+TAC)；

③GD=W(GB+GC)=7(AB+AC)

26O

21.向量模長不等式

對于任意兩個向量a,b,都有||a|一|b||W|a±b|W|a|+|b|。

22.有關向量夾角的兩個結論

已知向量a,b,則

①若a與b的夾角為銳角，貝g-b>0；若a-b>0,則a與b的夾角為銳角或0。

②若a與b的夾角為鈍角，貝必<0；若a,b<0,貝必與b的夾角為鈍角或“。

(3)向量a在向量b上的投影向量為需?4。

23.極化恒等式：

22

(1)向量通用形式：對任意平面向量Ib,有：a-b=4|a+b|-|a-b|]o

(2)平行四邊形模型：向量數量積等于以兩向量為鄰邊的平行四邊形“和對角線”與“差對角線”平方

差的今即：a.b=i[|AC|2-|DB|2

D_______

考

(3)三角形中點模型(高頻核心)：在AABC中，M為BC中點，貝於

AB-AC=|AM|2-|BM|2=|AM|2-Q|BC|)

本質：將數量積轉化為“中線長”與“半底長”的平方差，無需夾角直接計算.

③拓展：線段中點通用模型：對任意兩點A、B,若M為線段AB中點，則對平面內任意點P,有：

PAPB=|PM|2-|AN1|2

24.矩形大法

矩形恒等式（核心）：若四邊形ABCD為矩形，P為平面內任意一點，則:

|PA|2+|PC|2=|PB|2+|PD|2

拓展：平行四邊形中該等式仍成立（矩形是特殊平行四邊形），可推廣至“對角線互相平分的四邊形”.

②衍生結論：在矩形ABCD中，龍角線相等且互相平分，即/=AB+AB,且|辰|=|而|,可快速轉

化向量模長關系.

25.等和線

（1）基本原理與公式（熟記）

TTTTT

定義：設OA、0B為平面內一組不共線基底，若動點P滿足0P=xOA+yOB（x,yeK）,則所有滿

足K+y=入（入為常數）的點P構成的直線稱為“等和線”.

（2）核心性質：

1.①當人=1時，等和線為直線AB（基底所在直線）；

2.②等和線與直線AB平行：入的絕對值與等和線到原點0的距離成正比；

3.③若兩等和線關于原點對稱，則對應的人互為相反數；

④若P在直線AB與原點之間，0＜入＜1；若原點在直線AB與等和線之間，入＞1或入＜0.

26.奔馳定理

奔馳定理是描述三角形內?點與三角形三個頂點構成的三個小三角形面積關系的向量定理，氏定理的向量

表達式結構對稱，形似奔馳車標而得名.

（1）核心定理（三角形內部點）

O是4ABC內一點，且xOA+yOB+zOC=0,貝IJSABOC：SACOA：SAAOB=x:y:z

(2)奔馳定理推論：

0是△ABC所在平面內一點，且xok+yd8+z&：=：則：

SABOC$AAOC：SAAOB=x:y:zl.

SABOC_|X|S-AOC_IyIS-AOB_I7I

SAABCx+y+z'SAABCx+y+z'SAABCx+y+z

速查05復數(16個核心考點)

1.復數的定義：形如a+bi(a,bER)的數，其中a是實部，b是虛部，i是虛數單位#二-1).

2.復數的分類：實數(b=0)、虛數(b=0),虛數中純虛數(a=0且b*0).

3.復數相等的條件：a+bi=c+di(a,b,c,d￡R)=a=<:且6=d.

4.虛數單位i的運算性質：i1=i,i2=-l,i3=-i,i4=1,周期為4.

5.復數的加法運算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,遵循實數加法法則.

6.復數的減法運算：(a+bi)?(c+di)=(a—c)+(b—d)i,遵循實數減法法則.

7.復數的乘法運算：(a+bi)(c十di)=(ac-bd)十(ad十bc)i,類比多項式乘法展開.

8,復數的除法運算：分子分母同乘分母的共桅復數，將分母實數化.

9.共規更數的定義：a+bin勺共規及數為a-bi,共筑目數的實部相等，虛部互為相反數.

10.復數的模：|a+bi|=Va2+b2,表示復數對應的點到原點的距離.

—>

11.復數的幾何意義：復數a+bi對應復平面內的點(a,b),也對應向量OZ(Z為(a,b)).

13.實數與復數的運算：實數與復數相乘，只需將實數與復數的實部、虛部分別相乘.

14..更數的三角表示式及復數的輻角和輻角的主值

一段地，任何一個復數z=a+bi都可以表示成r(cos8+isine)的形式，其中，r是復數z的模；8是

—>—>

以X軸的非負半軸為始邊，向量0Z所在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復數2=2+片的輻角，我們規

定在

0<e<2TT范圍內的輻角e的值為輻角的主值，通常記作argz.

15.復數三角形式的乘、除運算

若復數Zi=i*i(cos/+isin%),z2=r2(cos024-isin02),且ZiHz2,則

(I)ztz2=ri(cos￡+isin0i)-r2(cos02+isin02)=r1r2[cos(01+02)+isin(6]+02)].

(2)^=『:七吸|=LL[coS(e1-02)+isin(e]一外)].

z2r2(cos02+ismO2)r2

16.復數的常用結論：

(1)(l±i)2=±2i；y^=i；三=7.

(2)i的周期性：i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-l,i4n+3=-i(nGN*).

22nn

(3)z-z=|z|=|z|,|zrz2|=Izj-lzzl，￡=皆|z|=|z|.

速查06立體幾何初步(42個核心考點)

一、空間幾何體

1.空間幾何體的分類：分為多面體（棱柱、棱錐、棱臺）和旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺、球）.

2.棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的多

面體.

3.棱柱的性質：側棱都平行且相等，側面都是平行四邊形；兩底面是全等的多邊形.

4.棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形的多面體.

5.棱錐的性質：側棱交于一點，側面都是三角形；底面是多邊形.

6.棱臺的定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫做棱臺.

7.棱臺的性質：側棱延長線交于一點，側面都是梯形；兩底面是相似多邊形.

義圓柱的定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體.

9.圓錐的定義：以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體.

10.圓臺的定義：川一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.

11.球的定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的旋轉體，球的球心到球面上任意

一點的距離相等（均為半徑）.

12.空間幾何體的表面積與體積公式：

幾何體表面積體積

V

柱體（棱柱和圓柱）s團目團二

=S01

Ssaa-1

錐體（棱錐和圓錐）

V=7K.

S團團團=1

V=7

臺體（棱臺和圓臺）

+s圖

+

S=4nl/

球V=7

J?

13.正多面體的定義：每個面都是全等的正多邊形，且每個頂點處的棱數都相等的多面體，高考重點考查

正四面體、正方體.

二、空間點、線、面位置關系

14.斜二測畫法：直觀圖與原平面圖形面積間的關系：S團團團=乎S團團團，Sg）gg=2&S回眄

15.空間中兩點之間的距離：連接兩點的線段的長度，可通過空間直角坐標系求解.

16.空間中直線與直線的位置關系：平行、相交、異面，其中異面直線不共面，無公共點且不平行.

17.異面直線所成角的定義：過空間任意一點，分別作兩條異面直線的平行線，這兩條平行線所成的銳角

（或直角）叫做異面直線所成的角，范圍為（0。,90。］.

18.空間中直線與平面的位置關系：平行、相交、直線在平面內，其中平行和相交統稱為直線在平面外.

19.直線與平面平行的判定：平面外-條直線與平面內一條直線平行，則該直線與這個平面平行.

20.直線與平面平行的性質：如果一條直線與一個平面平行，那么過這條直線的任一平面與此平面的交線

與該直線平行.

21.直線與平面垂直的判定：一條直線與平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與這個平面垂直.

22.直線與平而垂直的性質：如果一條直線垂直于一個平面，那么該直線與平面內的所有直線都垂直：垂

直

于同一個平面的兩條直線平行

23.直線與平面所成角的定義：直線與平面中所有直線所成角中最小的角，范圍為［0。,90。］,直線在平面內

或平行于平面時角為0°,垂直于立面時角為90。

24.空間中平面與平面的位置關系：平行、相交（相交時形成二面角）.

25.平面與平面平行的判定：一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行.

26.平面與平面平行的性質：如果兩個平行平面同時與笫三個平面相交，那么它們的交線平行；如果兩個

平面平行，那么一個平面內的直線與另一個平面平行.

27.平面與平面垂直的判定：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.

28.平面與平面垂直的性質：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另

一個平面.

29.二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形.二面角的大小用其平面角衡量，范圍為

［0°180°］.

30.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面內分別作垂直于棱的兩條射線，這

兩條射線所成的角叫做一面角的平面角.

三、外接球與內切球

31.外接球的定義：一個空間幾何體的所有頂點都在同一個球面上，這個球叫做該幾何體的外接球，球心

為外接球球心，球心到各頂點距離均為外接球半徑R.

32.內切球的定義：一個空間幾何體的內切球與幾何體的各個面都相切，球心為內切球球心，球心到各面

的距離均為內切球半徑r.

33.二級結論（正方體）：正方體的外接球球心為其體對角線中點，外接球半徑區=與（a為正方體校

長）：內切球球心為體對角線中點，內切球半徑r=*

34.二級結論（長方體）：長方體的外接球球心為其體對角線中點，外接球半徑R=>2+；2+C2（a、bc

為長方體的長、寬、高），長方體一般無內切球（需滿足a=b=c,即正方體時才有）.

35.二級結論（正四面體）：正四面體的外接球與內切球球心重合，外接球半徑R=苧，內切球半徑

r=^（a為正四面體棱長），且R=3r.

36.二級結論（直棱柱）：直棱柱的外接球球心為上下底面外接圓圓心連線的中點，外接球半徑

R=（r0為底面外接圓半徑,h為直棱柱的高）.

37.二級結論（圓柱）：圓柱的外接球球心為上下底面圓心連線的中點，外接球半徑R=+1（r為圓

柱底面半徑，h為圓柱的高）：圓柱無內切球（需滿足直徑等于高，即h=2r時才有內切球，半徑r）.

38.二級結論（圓錐）：圓錐的外接球球心在圓錐的高所在直線上，設圓錐底面半徑為人高為h,外接球

半徑為R,則滿足（R—h）2+=2=R2,解得R==JE

Zn

39.二級結論（楂錐）：有一條側棱垂直于底面的棱錐，其外接球球心為底面外接圓圓心在垂直于底面方

向上的投影（與頂點連線中點），半徑可通過勾股定理求解.

3V

40.內切球半徑求解通用二級結論：任意多面體的內切球半徑「二?。╒為多面體體積，S為多面體的表面

積】，適用于正多面體、直棱柱等可求表面積和體積的幾何體.

41.外接球解題核心思路：先確定球心位置（通常在幾何體的對稱中心、高所在直線上），再通過勾股定

理建立關于R的方程，求解半徑.

42.易錯點：判斷幾何體是否有外接球（任意凸多面體都有外接球）、內切球（需各面到球心距離相等，

并豐所有幾何體都有）.

速查07統計（9個核心考點）

一、隨機抽樣

1.簡單隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數法.

2.分層抽樣：總體是由差異明顯的幾個部分組成時，往往選用分層抽樣.

二、用樣本估計總體

3.頻率分布直方圖

（1）頻率分布表的畫法:

第一步：求極差，決定組數和組距，組距隼得

第二步：分組，通常對組內數值所在區間取左閉右開區間，最后一組取閉區間；

第三步：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表.

（2）頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖（如圖）

-

0.030-------------r-i

0.025--------------------

0.015-----------------------1

0.010---------------------

.1.LI_

O力強

頻率

橫軸表示樣本數據，縱軸表示而詬，每個小矩形的面積表示樣本落在該組內的頻率.

4.樣本的數字特征

（1）眾數：一組數據中出現次數最多的那個數據，叫做這組數據的眾數.（2）中位數：把n個數據按大

小順序排列，處于最中間位置的?個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數.

（3）平均數：把為+二：…+an稱為由,a2,…，an這n個數的平均數.

（4）標準差與方差：設一組數據x1，X2,X3,…，Xn的平均數為X,則這組數據的標準差和方差分別是

22

S=J：[（X1-x）2+（X2—X）+…+（xn-X）],

2222

S=；[（Xi-X）+（x2-X）+…+（xn-X）]

5.頻率分布直方圖與眾數、中位數與平均數的關系

（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數.

（2）中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.

（3）