小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“露在外面的面”知識(shí)清單

小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“露在外面的面”知識(shí)清單一、★【核心概念】空間觀念與有序觀察——本單元的基石（一）什么是“露在外面的面”在數(shù)學(xué)中，特別是關(guān)于立體圖形的學(xué)習(xí)中，“露在外面的面”指的是放置在特定環(huán)境（如墻角、桌面、地面）中的若干個(gè)相同小正方體（或長(zhǎng)方體），能夠被我們直接看到的面的總面積所對(duì)應(yīng)的面數(shù)。它不包括與其它物體（如地面、墻壁、其它正方體）完全接觸、被遮擋而無(wú)法直接看見的面。這是理解后續(xù)表面積計(jì)算、解決堆疊問(wèn)題的基礎(chǔ)。（二）【重要】建立空間想象力的基本方法1.觀察法：從不同的方向（正面、上面、側(cè)面）看物體的形狀，只數(shù)那些能直接看到的正方形的面。這是解決此類問(wèn)題最直觀、最基本的方法，也是培養(yǎng)空間觀念的第一步。2.操作法：在腦海中或通過(guò)實(shí)物（如小積木）擺一擺、看一看、數(shù)一數(shù)。通過(guò)動(dòng)手操作，將抽象的空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為具體的、可感知的形象。3.推演法：當(dāng)小正方體數(shù)量較多，堆疊較復(fù)雜時(shí)，基于有序觀察的結(jié)果，通過(guò)計(jì)算和推理得出總數(shù)。這是從直觀操作向抽象思維過(guò)渡的關(guān)鍵。二、【基礎(chǔ)】單個(gè)正方體與多個(gè)正方體擺放的初步認(rèn)識(shí)（一）單個(gè)正方體的擺放1.一個(gè)放在桌面上的小正方體，無(wú)論從哪個(gè)角度觀察，它都有6個(gè)面。但由于它的底面與桌面接觸，被桌面遮擋，所以我們最多能看到它的3個(gè)面（正面、上面、側(cè)面）。因此，它“露在外面的面”是3個(gè)。2.▲【高頻考點(diǎn)】如果將其放在墻角處，它會(huì)有兩個(gè)面分別與兩面墻壁接觸，一個(gè)面與地面接觸，那么它露在外面的面就只剩下3個(gè)面（正對(duì)前方的面、朝外的側(cè)面、朝上的面）。在墻角擺放時(shí)，露在外面的面數(shù)最少。（二）多個(gè)相同小正方體的規(guī)則擺放（正方體棱長(zhǎng)為1）當(dāng)多個(gè)小正方體組合在一起時(shí)，面與面之間會(huì)產(chǎn)生接觸，這些接觸的面就不再是“露在外面”的了。1.一字排開：（1）將兩個(gè)小正方體并排放在桌面上，它們相鄰的兩個(gè)面會(huì)貼合在一起。（2）計(jì)算方法：兩個(gè)單獨(dú)擺放時(shí)，共可看到3+3=6個(gè)面。但由于中間貼合，有兩個(gè)面被遮擋。所以總共露在外面的面數(shù)為62=4個(gè)。另一種方法：從正面看2個(gè)，從上面看2個(gè)，從側(cè)面（右邊）看1個(gè)，總計(jì)5個(gè)？這里需要特別注意觀察方向。對(duì)于并排放置在桌面上的兩個(gè)正方體，如果我們約定觀察方向包括正面、上面、右側(cè)面，則正面看到2個(gè)面，上面看到2個(gè)面，右側(cè)面看到1個(gè)面，總和為5個(gè)。但實(shí)際計(jì)算“露在外面”的面數(shù)，必須基于物體所在的實(shí)際空間環(huán)境。如果物體放置在桌面，沒(méi)有被墻遮擋，那么它的所有側(cè)面只要沒(méi)有被其它正方體遮擋，都是可見的。所以，對(duì)于并排放在桌面中央的兩個(gè)正方體，露在外面的面包括：所有朝上的面（2個(gè)）、所有朝前的面（2個(gè)）、所有朝后的面（2個(gè)）、所有朝左的面（1個(gè)，最左邊那個(gè)的左面）、所有朝右的面（1個(gè)，最右邊那個(gè)的右面），總計(jì)2+2+2+1+1=8個(gè)。之所以很多題目結(jié)果為5個(gè)，是因?yàn)槟J(rèn)了觀察方向僅限于正面、上面和某一個(gè)側(cè)面，而忽略了背面和另一個(gè)側(cè)面，或者將物體置于墻角，部分方向被墻壁遮擋。因此，理解“露在外面”的核心是“不被遮擋”。（3）★【難點(diǎn)辨析】必須明確題目中的擺放環(huán)境。常見環(huán)境有三種：①懸空（無(wú)遮擋）；②放在桌面（底面被遮擋）；③放在墻角（底面及兩個(gè)相鄰的側(cè)面被遮擋）。不同的環(huán)境，露在外面的面數(shù)完全不同。2.規(guī)則堆疊（如“T”型或“L”型）：（1）例如，下層擺3個(gè)（一橫行），上層在中間那個(gè)上面擺1個(gè)。計(jì)算時(shí)，可以從上往下、從前往后、從左往右分層、分方向計(jì)數(shù)。（2）【非常重要】計(jì)數(shù)原則：不重不漏。既要看到每一個(gè)獨(dú)立的、沒(méi)有被遮擋的面，又要避免重復(fù)計(jì)數(shù)同一個(gè)面。三、▲【高頻考點(diǎn)】【核心方法】計(jì)算“露在外面的面”的方法論（一）視圖法（方向觀察法）——最穩(wěn)妥、最不易出錯(cuò)的方法1.基本原理：從物體的正面、上面和側(cè)面（有時(shí)需要區(qū)分左側(cè)和右側(cè)，但若物體對(duì)稱或題目只要求一個(gè)側(cè)面，則需根據(jù)題目具體描述）三個(gè)基本方向進(jìn)行觀察，分別數(shù)出在這三個(gè)方向上能看到的小正方形的個(gè)數(shù)。2.適用環(huán)境：特別適用于物體放置在水平面上，且無(wú)需考慮背面和另一個(gè)側(cè)面（如物體靠墻放置，或題目只要求計(jì)算可見面）的情況。3.【重要】具體步驟：（1）【第1步】確定觀察方向：通常為正面、上面和側(cè)面。（2）【第2步】畫出或想象三個(gè)方向看到的平面圖形（三視圖）。（3）【第3步】分別統(tǒng)計(jì)每個(gè)方向視圖中正方形的個(gè)數(shù)。（4）【第4步】將三個(gè)方向的個(gè)數(shù)相加，所得的和即為露在外面的面的總數(shù)。4.★【易錯(cuò)點(diǎn)】視圖法要求觀察者站在一個(gè)固定的、無(wú)限遠(yuǎn)的位置，這樣視線才是平行的，才能保證看到的形狀是準(zhǔn)確的，避免因透視而產(chǎn)生的誤差。（二）計(jì)算法（總數(shù)減去遮擋法）——適用于規(guī)則、有規(guī)律的堆疊1.基本原理：先計(jì)算出所有小正方體的總面數(shù)（小正方體個(gè)數(shù)×6），然后減去所有被遮擋的面（包括與地面、墻壁接觸的面，以及小正方體之間相互接觸的面）。需要注意的是，每?jī)蓚€(gè)相鄰的面貼合，會(huì)同時(shí)遮擋住兩個(gè)面。2.【重要】具體步驟：（1）【第1步】求總面數(shù)：小正方體總個(gè)數(shù)×6。（2）【第2步】求被遮擋的面數(shù)：被地面遮擋的面數(shù)（與地面接觸的小正方形個(gè)數(shù)）+被墻壁遮擋的面數(shù)（與墻壁接觸的小正方形個(gè)數(shù)）+小正方體之間互相接觸遮擋的面數(shù)（注意每接觸一處，遮擋2個(gè)面）。（3）【第3步】求露在外面的面數(shù)：總面數(shù)被遮擋的面數(shù)。3.★【難點(diǎn)】計(jì)算相互接觸的面數(shù)時(shí)，需要準(zhǔn)確判斷哪些小正方體之間有接觸面，以及有多少個(gè)接觸面。這要求對(duì)物體的空間結(jié)構(gòu)有清晰的認(rèn)識(shí)。對(duì)于復(fù)雜的堆疊，此法不如視圖法直觀。（三）平移法（填補(bǔ)法）——用于特定圖形求面積或面數(shù)1.基本原理：通過(guò)將凹陷部分的面進(jìn)行平移，使其轉(zhuǎn)化為一個(gè)規(guī)則圖形（通常是長(zhǎng)方體）的表面，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。雖然主要用于求面積，但有時(shí)也可以輔助理解面數(shù)的計(jì)數(shù)。2.適用情況：當(dāng)物體表面有“凹槽”或“凸起”，且形狀比較規(guī)則時(shí)，平移法可以幫助我們快速知道露在外面的總面積相當(dāng)于一個(gè)什么形狀的表面積。3.示例：一個(gè)由小正方體拼成的“L”型立體圖形，通過(guò)平移其凹陷部分的面，可以將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)完整的大長(zhǎng)方體的表面，從而知道其表面積（即所有露在外面的面的總面積）與大長(zhǎng)方體相等。但需注意，面數(shù)并不一定與平移后的面數(shù)相等，因?yàn)橐粋€(gè)大面多個(gè)小面拼接而成的。四、▲【高頻考點(diǎn)】【難點(diǎn)】不同擺放環(huán)境下的面數(shù)分析（一）放置在水平桌面（或地面）上1.特點(diǎn)：底面被遮擋，所有側(cè)面和頂面如果沒(méi)有被其它小正方體遮擋，則完全暴露。2.【重要】解題策略：（1）從正面、上面、左面、右面、后面五個(gè)方向觀察（如果有需要）。但通常我們只從正面、上面和左面（或右面）觀察，并乘以2來(lái)得到所有側(cè)面，前提是物體左右對(duì)稱或題目未作特殊要求。（2）對(duì)于規(guī)則的堆疊，可以直接用“視圖法”計(jì)算三個(gè)可見方向（正、上、側(cè)）的和，再乘以2（如果背面和另一側(cè)對(duì)稱）或單獨(dú)計(jì)算。（二）★【必考】放置在墻角處（兩面墻和地面互相垂直）1.特點(diǎn)：這是小學(xué)數(shù)學(xué)中最常見的考察情景。物體被放置在墻角，意味著它的底面與地面接觸，兩個(gè)相鄰的側(cè)面（如后面和左面）分別與兩面墻壁接觸。因此，這三個(gè)方向的面全部被遮擋，我們只能從剩下的三個(gè)方向（正面、右面、上面）觀察物體。2.【非常重要】結(jié)論：在墻角處，無(wú)論物體由多少個(gè)小正方體堆疊而成，我們只需要數(shù)出從正面、上面和右側(cè)面（或左側(cè)面，取決于墻角的方向）三個(gè)方向能看到的正方形的個(gè)數(shù)，然后相加，所得和即為露在外面的面的總數(shù)。3.經(jīng)典例題：將4個(gè)棱長(zhǎng)為1分米的小正方體按下圖（通常下層3個(gè)呈“U”型或一字型，上層1個(gè)放在一角）堆在墻角，露在外面的面積是多少？（1）解析：首先明確觀察方向。假設(shè)墻角在后面和左邊。那么我們從正面、右面、上面看。（2）步驟：畫出或想象從正面看到的形狀（可能有2個(gè)或3個(gè)正方形），從右面看到的形狀（可能有2個(gè)或3個(gè)正方形），從上面看到的形狀（可能有3個(gè)或4個(gè)正方形）。將這三個(gè)視圖中的正方形個(gè)數(shù)相加，得到總面數(shù)。（3）最后，因?yàn)槊總€(gè)小正方形面積是1×1=1平方分米，所以總面積=總面數(shù)×1平方分米。（三）放置在桌面上，靠一面墻1.特點(diǎn)：底面與桌面接觸（被遮擋），一個(gè)側(cè)面與墻壁接觸（被遮擋）。因此，剩下的四個(gè)方向（正面、上面、左面、右面）的面需要考慮，但其中一個(gè)側(cè)面被墻遮擋，不需要計(jì)數(shù)。2.【基礎(chǔ)】解題策略：先確定被遮擋的面（底面和靠墻的那個(gè)側(cè)面）。然后從正面、上面以及未靠墻的兩個(gè)側(cè)面（如果都有）來(lái)觀察和計(jì)數(shù)。（四）懸空擺放（無(wú)任何遮擋）1.特點(diǎn)：沒(méi)有任何面被地面或墻壁遮擋，只有小正方體之間的相互接觸會(huì)產(chǎn)生遮擋。2.【拓展】此時(shí)，露在外面的面數(shù)計(jì)算最為復(fù)雜。需要先求出所有小正方體的總面數(shù)，再減去所有相互接觸的面（每對(duì)接觸面遮擋2個(gè)面）。3.示例：兩個(gè)小正方體粘在一起，懸空放置。總面數(shù)為2×6=12。它們有一個(gè)接觸面，遮擋了2個(gè)面。所以露在外面的面數(shù)為122=10個(gè)。五、【基礎(chǔ)】棱的認(rèn)識(shí)及其與面的關(guān)系（一）正方體的棱正方體有12條棱，每條棱長(zhǎng)度相等。棱是兩個(gè)面相交的線段。（二）面與棱的對(duì)應(yīng)關(guān)系在計(jì)算露在外面的面時(shí)，有時(shí)會(huì)結(jié)合棱長(zhǎng)來(lái)考查。例如，給出一段棱長(zhǎng)被涂色，或者要求計(jì)算某個(gè)方向上棱長(zhǎng)的總和。1.露在外面的面，其邊界都是由棱構(gòu)成的。每個(gè)露在外面的正方形面，都有4條棱。2.當(dāng)幾個(gè)面共棱時(shí)，這條棱就被包含在多個(gè)面的邊界中。（三）【易錯(cuò)點(diǎn)】棱長(zhǎng)的計(jì)數(shù)題目可能會(huì)問(wèn)：“這些露在外面的面的棱長(zhǎng)總和是多少？”這時(shí)，我們不能簡(jiǎn)單地用“露在外面的面數(shù)×4”來(lái)計(jì)算，因?yàn)橄噜弮蓚€(gè)露在外面的面會(huì)共享一條棱，如果簡(jiǎn)單相乘，這條棱會(huì)被重復(fù)計(jì)算兩次。正確的做法是，需要具體分析哪些棱是真正暴露在外的，即不被其它露在外面的面完全遮擋的、作為立體圖形最外層邊界的棱。六、▲【高分必備】復(fù)雜堆疊圖形的面數(shù)求解策略（一）分層計(jì)數(shù)法對(duì)于有明顯層次的堆疊圖形，可以分層計(jì)算每層露在外面的面，然后相加，但要減去因?qū)娱g接觸而不再露出的面。1.【重要】原理：上層物體的底面與下層物體的頂面接觸，因此上層的底面和下層的頂面都不再是露在外面的面。2.步驟：（1）分別計(jì)算每一層如果單獨(dú)放置（放在桌上）時(shí)，它露在外面的面數(shù)（通常只考慮四周和頂面）。（2）將各層的面數(shù)相加。（3）減去上下層之間接觸的面數(shù)（通常是下層頂面被上層覆蓋的部分，和上層底面被下層覆蓋的部分，但底面本就不計(jì)入單獨(dú)放置的桌面擺放情況，所以關(guān)鍵在于處理好下層頂面）。（4）更精確的方法是：先計(jì)算所有小正方體的總面數(shù)，再減去所有被遮擋的面（包括層間接觸、同層間接觸、與地面墻壁接觸）。（二）分類計(jì)數(shù)法（按方位）根據(jù)面的朝向（上、下、前、后、左、右）進(jìn)行分類計(jì)數(shù)。1.【核心】原理：所有露在外面的面，必然朝向這六個(gè)方向之一。我們只需分別統(tǒng)計(jì)朝上、朝下、朝前、朝后、朝左、朝右的面各有多少個(gè)。2.步驟：（1）朝上的面：從上面觀察，看到的正方形個(gè)數(shù)。（2）朝下的面：只有最底層、與地面接觸的面才朝下，且通常被地面遮擋，所以朝下的面一般不計(jì)數(shù)（除非懸空）。在桌面擺放時(shí)，朝下的面數(shù)為0。（3）朝前的面：從正面觀察，看到的正方形個(gè)數(shù)。（4）朝后的面：從后面觀察，看到的正方形個(gè)數(shù)。（5）朝左的面：從左面觀察，看到的正方形個(gè)數(shù)。（6）朝右的面：從右面觀察，看到的正方形個(gè)數(shù)。（7）求和：將上述六個(gè)方向（根據(jù)實(shí)際情況，如放在墻角，則某些方向?yàn)?）的計(jì)數(shù)相加，即得總面數(shù)。3.【難點(diǎn)突破】這種方法系統(tǒng)性很強(qiáng)，特別適合編程思維或系統(tǒng)化思考，能有效避免遺漏或重復(fù)。七、【考點(diǎn)直擊】常見題型與解題步驟（一）直接數(shù)面題1.題型描述：給出一個(gè)由小正方體拼成的立體圖形（通常放在墻角），要求直接寫出露在外面的面有幾個(gè)。2.【基礎(chǔ)】解題步驟：（1）明確觀察方向（如：從正面、上面、側(cè)面看）。（2）按照一定的順序（如從上到下、從左到右）仔細(xì)觀察，在腦海中或草稿紙上分別畫出三個(gè)方向看到的形狀圖。（3）數(shù)出每個(gè)方向圖上正方形的個(gè)數(shù)。（4）將三個(gè)數(shù)相加，得出答案。（二）求表面積題1.題型描述：已知每個(gè)小正方體的棱長(zhǎng)，求堆疊后立體圖形露在外面的面積。2.【高頻考點(diǎn)】解題步驟：（1）先按照“直接數(shù)面題”的方法，求出露在外面的面的總個(gè)數(shù)。（2）再計(jì)算一個(gè)面的面積：棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)。（3）最后，將總面數(shù)×一個(gè)面的面積=露在外面的總面積。（4）示例：棱長(zhǎng)為2厘米的小正方體，堆在墻角，露在外面10個(gè)面。則露在外面的面積為10×(2×2)=40平方厘米。（三）根據(jù)視圖反推堆疊方式與面數(shù)1.題型描述：給出從正面、上面、側(cè)面看到的形狀圖（三視圖），要求想象出原立體圖形的形狀，并計(jì)算露在外面的面數(shù)（通常指定擺放環(huán)境，如墻角）。2.★【難點(diǎn)】解題步驟：（1）【第1步】拼搭還原：根據(jù)三視圖，嘗試還原小正方體的堆疊方式和數(shù)量。這是關(guān)鍵一步，需要較強(qiáng)的空間想象力。通常從上面視圖入手，結(jié)合正面和側(cè)面視圖確定每個(gè)位置上的層數(shù)。（2）【第2步】確定環(huán)境：明確題目給出的擺放環(huán)境（如墻角），判斷哪些方向的面是被遮擋的。（3）【第3步】計(jì)算面數(shù)：在還原出的立體圖形上，根據(jù)環(huán)境，從未被遮擋的方向（如墻角處則是正面、上面、側(cè)面）去數(shù)可見的面。也可以根據(jù)三視圖直接計(jì)算：墻角環(huán)境中，從正面視圖看到的個(gè)數(shù)+從上面視圖看到的個(gè)數(shù)+從側(cè)面視圖看到的個(gè)數(shù)，就是露在外面的總面數(shù)。（四）增加或減少小正方體后求變化的面數(shù)1.題型描述：在原圖形的基礎(chǔ)上，拿走或添加一個(gè)小正方體，問(wèn)露在外面的面數(shù)增加了還是減少了，增加或減少了幾個(gè)。2.【重要】解題步驟：（1）【第1步】計(jì)算原圖形露在外面的面數(shù)。（2）【第2步】想象或畫出變化后的圖形。（3）【第3步】計(jì)算新圖形露在外面的面數(shù)。（4）【第4步】比較兩數(shù)，得出變化量。（5）【快捷方法】分析被改變的那個(gè)小正方體周圍的情況。拿走一個(gè)正方體，它原本露在外面的面會(huì)消失，但原來(lái)被它遮擋的面可能會(huì)露出來(lái)。增減的數(shù)量=新露出的面數(shù)被拿走的面數(shù)（或反之）。（五）探究規(guī)律題（找規(guī)律）1.題型描述：將小正方體按一定規(guī)律（如一字排開、堆成臺(tái)階狀）擺放，探究隨著個(gè)數(shù)的增加，露在外面的面數(shù)的變化規(guī)律。2.▲【熱點(diǎn)】解題步驟：（1）【第1步】從最簡(jiǎn)單的情況開始（1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)……），分別數(shù)出它們露在外面的面數(shù)。（2）【第2步】將數(shù)據(jù)列表，觀察相鄰兩項(xiàng)的差（即每增加一個(gè)小正方體，面數(shù)增加多少）。這個(gè)差可能是一個(gè)固定值，也可能有變化規(guī)律。（3）【第3步】根據(jù)觀察到的規(guī)律，推導(dǎo)出第n個(gè)圖形露在外面的面數(shù)公式。（4）示例：將正方體按圖（略）的方式沿墻角堆疊，第一層1個(gè)，第二層3個(gè)，第三層6個(gè)……那么露在外面的面數(shù)（從正面、上面、側(cè)面看）的規(guī)律可能需要分別計(jì)算三個(gè)方向的層面積累。八、★【難點(diǎn)辨析】易錯(cuò)點(diǎn)與思維誤區(qū)（一）混淆“面”與“體”【易錯(cuò)點(diǎn)】學(xué)生容易將“露在外面的面”想象成一個(gè)立體的“塊”，而忘記了它是一個(gè)平面的“面”。要時(shí)刻提醒自己，我們數(shù)的是一個(gè)個(gè)小正方形，而不是小正方體。（二）遺漏被遮擋的面【易錯(cuò)點(diǎn)】在數(shù)側(cè)面時(shí)，容易忽略被前面正方體遮擋住的后面或側(cè)面的面。例如，從正面看，只能看到最前面一排的面，后面幾排的面如果高度低于前面，或者被完全擋住，則不能被看到。但如果是側(cè)面看，情況又不同。必須堅(jiān)持“從某個(gè)方向看，只能看到該方向上最外層的面”。（三）重復(fù)計(jì)數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)】當(dāng)一個(gè)面既可以從這個(gè)方向看到，又可以從另一個(gè)方向看到時(shí)（比如一個(gè)正方體的頂面，從上面看能看到，從側(cè)面看也能看到一部分，但那是同一個(gè)面！），在視圖法中，我們通過(guò)分方向計(jì)數(shù)，每個(gè)方向只計(jì)它正對(duì)著的那些面。一個(gè)頂面，在從上面看的視圖中被計(jì)為一個(gè)正方形，在從側(cè)面看的視圖中，它體現(xiàn)為一條線，不是一個(gè)完整的正方形，所以不會(huì)被重復(fù)計(jì)為面。因此，嚴(yán)格按照三視圖的平面投影來(lái)數(shù)，是避免重復(fù)的關(guān)鍵。（四）忽視擺放環(huán)境【易錯(cuò)點(diǎn)】看到題目，不假思索地就用“正面+上面+側(cè)面”去算，而沒(méi)有判斷物體是放在墻角還是放在桌子中央。放在墻角時(shí)，被墻遮擋的兩個(gè)側(cè)面是不用數(shù)的；放在中央時(shí)，所有側(cè)面都需要考慮。（五）計(jì)算表面積時(shí)忘記單位【易錯(cuò)點(diǎn)】求出面數(shù)后，最后求面積時(shí)，要乘以單個(gè)面的面積，并加上正確的面積單位（如平方厘米、平方分米、平方米）。九、【思維拓展】從二維到三維，從有形到抽象（一）與長(zhǎng)方體的聯(lián)系多個(gè)小正方體的組合，可以看作是一個(gè)被分割了的長(zhǎng)方體。其露在外面的總面積，可以通過(guò)計(jì)算這個(gè)組合體的“外套”面積得到。這為后續(xù)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體和正方體的表面積奠定了基礎(chǔ)。（二）與三視圖的聯(lián)系本單元是小學(xué)階段對(duì)三視圖（從三個(gè)方向看）最直接的、最深入的應(yīng)用。通過(guò)數(shù)露在外面的面，學(xué)生實(shí)際上是在反復(fù)練習(xí)將三維立體圖形轉(zhuǎn)化為二維平面圖形，以及由二維平面圖形重構(gòu)三維立體圖形的能力。這是培養(yǎng)工程制圖、建筑設(shè)計(jì)等領(lǐng)域所需空間想象能力的啟蒙。（三）與數(shù)列和函數(shù)的聯(lián)系在探究規(guī)律題中，通過(guò)列表、觀察、歸納，學(xué)生初步接觸到函數(shù)的思想（面數(shù)隨正方體個(gè)數(shù)的變化而變化），為中學(xué)學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)等埋下伏筆。（四）與優(yōu)化思想的聯(lián)系在給定數(shù)量的小正方體時(shí)，如何擺放能使露在外面的面最多？如何擺放能使露在外面的面最少？這引出了簡(jiǎn)單的優(yōu)化問(wèn)題。最多的方式是將它們盡可能分散，互不接觸；最少的方式則是將它們堆成一個(gè)最接近大正方