2027高考數學九大專題專項突破第1章 集合簡易邏輯和不等式解析版

§1.1集合2

考點1:集合的表示：列舉法、描述法3

考點2:集合元素的三大特征4

考點3:元素與集合間的關系5

考點4:集合與集合之間的關系6

考點5:集合的交、并、補運算7

考點6:集合與排列組合的密切結合9

考點7:集合的創新定義10

§1.2常用邏輯用語13

考點1:充分條件與必要條件的判斷14

考點2:根據充分必要條件求參數的取值范圍15

考點3:全稱量詞命題與存在量詞命題的真假16

考點4:全稱量詞命題與存在量詞命題的否定17

考點5:根據命題的真假求參數的取值范圍18

§1.3等式與不等式的性質21

考點1:不等式性質的應用22

考點2:比較數(式)的大小與比較法證明不等式23

考點3:已知不等式的關系，求目標式的取值范圍24

考點4:不等式的綜合問題26

考點5:糖水不等式27

§1.4基本不等式及其應用29

考點1:基本不等式及其應用30

考點2:直接法求最值31

考點3:常規湊配法求最值32

考點4:消參法求最值33

考點5:雙換元求最值34

考點6:“1”的代換求最值35

考點7:齊次化求最值36

考點8:利用基本不等式證明不等式38

考點9:利用基本不等式解決實際問題39

考點10:與a+b、平方和、ab有關問題的最值40

§1.5一元二次不等式與其它不等式解法43

考點1:不含參數一元二次不等式的解法44

考點2:含參數一元二次不等式的解法45

考點3:一元二次不等式與韋達定理及判別式47

考點4:其他不等式解法48

考點5:二次函數根的分布問題49

考點6:一元二次不等式恒成立問題50

11

§1.1集合

1、元素與集合

(1)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性．

(2)元素與集合的關系：屬于或不屬于，數學符號分別記為：∈和?．

(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、韋恩圖(venn圖)．

(4)常見數集和數學符號

數集自然數集正整數集整數集有理數集實數集

?

符號NN或N+ZQR

說明：

①確定性：給定的集合，它的元素必須是確定的；也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在

這個集合中就確定了．給定集合A={1,2,3,4,5}，可知1∈A，在該集合中，6?A，不在該集合中；

②互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的；也就是說，集合中的元素是不重復出現的．

集合A={a,b,c}應滿足a≠b≠c．

③無序性：組成集合的元素間沒有順序之分。集合A={1,2,3,4,5}和B={1,3,5,2,4}是同一個集合．

④列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“”括起來表示集合的方法叫做列舉法．

⑤描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．

具體方法是：在花括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，

在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．

2、集合間的基本關系

(1)子集(subset)：一般地，對于兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我

們就說這兩個集合有包含關系，稱集合A為集合B的子集，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”

(或“B包含A”)．

(2)真子集(propersubset)：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我們稱集合A是集合B的真

子集，記作A?B(或B?≠A)．讀作“A真包含于B”或“B真包含A”．

(3)相等：如果集合A是集合B的子集(A?B，且集合B是集合A的子集(B?A)，此時，集合A與集

LaoFan1

合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作A=B．

(4)空集的性質：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作?；?是任何集合的子集，是任何非空集合

的真子集．

3、集合的基本運算

(1)交集：一般地，由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩

B，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合，稱為A與B的并集，記作A∪

B，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

(3)補集：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集

U的補集，簡稱為集合A的補集，記作CUA，即CUA={x|x∈U，且x?A}．

4、集合的運算性質

(1)A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A．

(2)A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A．

(3)A∩CUA=?，A∪CUA=U，CUCUA=A．

【解題方法總結】

(1)若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n-1個，非空子集有2n-1個，非空真子

集有2n-2個．

(2)空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．

(3)A?B?A∩B=A?A∪B=B?CUB?CUA．

(4)CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)，CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)．

考點1:集合的表示：列舉法、描述法

1(2024·廣東江門·統考一模)已知集合A=-1,0,1，B=m|m2-1∈A,m-1?A，則集合B

中所有元素之和為()

A.0B.1C.-1D.2

【答案】C

【解析】根據條件分別令m2-1=-1，0，1，解得m=0，±1，±2，

又m-1?A，所以m=-1，±2，B=-1,2,-2，

所以集合B中所有元素之和是-1，

故選：C．

2LaoFan

2(2024·江蘇·高三統考學業考試)對于兩個非空實數集合A和B，我們把集合

x∣x=a+b,a∈A,b∈B記作A?B．若集合A=0,1，B=0,-1，則A?B中元素的個數為

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】A=0,1，B=0,-1，則A?B=0,-1,1，則A?B中元素的個數為3

故選：C

3(2024·全國·高三專題練習)定義集合A+B=x+yx∈A且y∈B．已知集合A=

2,4,6，B=-1,1，則A+B中元素的個數為()

A.6B.5C.4D.7

【答案】C

【解析】根據題意，因為A=2,4,6，B=-1,1，

所以A+B=1,3,5,7．

故選：C．

【解題總結】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然．

2、描述法，注意代表元素．

考點2:集合元素的三大特征

4(2024·北京海淀·校考模擬預測)設集合M=2m-1,m-3，若-3∈M，則實數m=()

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【解析】設集合M=2m-1,m-3，若-3∈M，

∵-3∈M，∴2m-1=-3或m-3=-3，

當2m-1=-3時，m=-1，此時M=-3,-4；

當m-3=-3時，m=0，此時M=-3,-1；

所以m=-1或0．

故選：C

5(2024·江西·金溪一中校聯考模擬預測)已知集合A=1,a,b，B=a2,a,ab，若A=B，則

a2023+b2022=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

a2=1a2=b

【解析】由題意A=B可知，兩集合元素全部相等，得到或，又根據集合互異性，可

ab=bab=1

a=-1a=1

知a≠1，解得a=1(舍)，和(舍)，所以a=-1，b=0，則a2023+b2022=(-1)2023+02022=-1，

b=0b=1

故選：A

2

6(2024·北京東城·統考一模)已知集合A=xx-2<0，且a∈A，則a可以為()

3

A.-2B.-1C.D.2

2

LaoFan3

【答案】B

【解析】∵x2-2<0，∴-2<x<2，∴A=x|-2<x<2，

3

可知-2?A，?A，2?A，故A、C、D錯誤；-1∈A，故B正確．

2

故選：B

【解題方法總結】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。

2、研究兩個或者多個集合的關系時，最重要的技巧是將兩集合的關系轉化為元素間的關系。

考點3:元素與集合間的關系

7(2024·河南·開封高中校考模擬預測)已知A=x∣x2-ax+1<0，若2∈A，且3?A，則a的

取值范圍是()

551051010

A.,+∞B.,C.,D.-∞,

223233

【答案】B

【解析】由題意，22-2a+1<0且32-3a+1≥0，

510

得<a≤，

23

故選：B

2

8(2024·吉林延邊·統考二模)已知集合A=xax-3x+2=0的元素只有一個，則實數a的值

為()

99

A.B.0C.或0D.無解

88

【答案】C

【解析】集合A有一個元素，即方程ax2-3x+2=0有一解，

2

當a=0時，A=xax2-3x+2=0=x-3x+2=0=，符合題意，

3

當a≠0時，ax2-3x+2=0有一解，

9

則Δ=9-8a=0，解得：a=，

8

9

綜上可得：a=0或a=，

8

故選：C．

x2y2

9(2024·全國·高三專題練習)已知集合A=x,y+≤1,x∈Z,y∈Z，則A中元素的個

42

數為()

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由橢圓的性質得-2≤x≤2，-2≤y≤2，

又x∈Z，y∈Z，

所以集合A=-2,0,2,0,-1,0,1,0,0,1,0,-1,0,0,-1,1,-1,-1,1,1,1,-1

共有11個元素．

故選：C

4LaoFan

【解題方法總結】

1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數集，尤其是N與N*的區別．

2、當集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數，是還是．

考點4:集合與集合之間的關系

10(多選題)(2024·山東濰坊·統考一模)若非空集合M，N，P滿足：M∩N=N，M∪P=P，則

()

A.P?MB.M∩P=MC.N∪P=PD.M∩?pN=?

【答案】BC

【解析】由M∩N=N可得：N?M，由M∪P=P，可得M?P，則推不出P?M，故選項A錯

誤；

由M?P可得M∩P=M，故選項B正確；

因為N?M且M?P，所以N?P，則N∪P=P，故選項C正確；

由N?M可得：M∩?pN不一定為空集，故選項D錯誤；

故選：BC．

k1

11(2024·江蘇·統考一模)設M=xx=,k∈Z，N=xx=k+,k∈Z，則()

22

A.M?NB.N?MC.M=ND.M∩N=?

【答案】B

11

【解析】因為x=k+=2k+1，因為k∈Z，

22

所以集合N是由所有奇數的一半組成，

而集合M是由所有整數的一半組成，故N?M．

故選：B

12(2024·遼寧沈陽·東北育才學校校考模擬預測)已知集合A=x|x2-x-12≤0，B=

x|x2-3mx+2m2+m-1<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，則實數m的取值范圍為

()

55

A.-3,2B.-1,3C.-1,D.2,

22

【答案】C

【解析】由題意集合A=x|x2-x-12≤0=[-3,4]，

B=x|x2-3mx+2m2+m-1<0={x|(x-m-1)(x-2m+1)<0}，

若m>2，則2m-1>m+1，此時B=(m+1,2m-1)，

因為“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，故BüA，

2m-1≤4

5

故m+1≥-3，∴2<m≤；

2

m>2

若m<2，則2m-1<m+1，此時B=(2m-1,m+1)，

因為“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，故BüA，

LaoFan5

m+1≤4

故2m-1≥-3，∴-1≤m<2；

m<2

若m=2，則2m-1=m+1，此時B=?，滿足BüA，

5

綜合以上可得m∈-1,，

2

故選：C

13(2024·廣東茂名·統考二模)已知集合A=xx≤1，B=x2x-a<0，若A?B，則實數

a的取值范圍是()

A.2,+∞B.2,+∞C.-∞,2D.-∞,2

【答案】A

a

【解析】集合A=xx≤1=x-1≤x≤1，B=xx<．

2

a

要使A?B，只需1<，解得：a>2．

2

故選：A

【解題方法總結】

1、注意子集和真子集的聯系與區別．

2、判斷集合之間關系的兩大技巧：

(1)定義法進行判斷

(2)數形結合法進行判斷

考點5:集合的交、并、補運算

14(2024·廣東廣州·統考二模)已知集合A=xx=3n-2,n∈N?，B=6,7,10,11，則集合A∩

B的元素個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因為A=xx=3n-2,n∈N?，B=6,7,10,11，則A∩B=7,10，

故集合A∩B的元素個數為2．

故選：B．

1

15(2024·河北張家口·統考二模)已知集合A=xx-24-x>0，B=x>0，則

3-x

?RA∪?RB=()

A.2,3B.3,4

C.-∞,2∪3,+∞D.-∞,3∪4,+∞

【答案】C

1

【解析】A=xx-24-x>0=x|2<x<4，B=x>0=x|x<3，

3-x

即A=2,4，B=-∞,3，

所以，?RA=-∞,2∪4,+∞，?RB=3,+∞，

6LaoFan

所以，?RA∪?RB=-∞,2∪3,+∞．

故選：C．

16(2024·廣東·統考一模)已知集合M=x∣xx-2<0，N={x∣x-1<0}，則下列Venn圖

中陰影部分可以表示集合{x∣1≤x<2}的是()

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】xx-2<0?0<x<2，x-1<0?x<1，

選項A中Venn圖中陰影部分表示M∩N=0,1，不符合題意；

選項B中Venn圖中陰影部分表示?MM∩N=[1,2)，符合題意；

選項C中Venn圖中陰影部分表示?NM∩N=(-∞,0]，不符合題意；

選項D中Venn圖中陰影部分表示M∪N=-∞,2，不符合題意，

故選：B

17(2024·全國·高三專題練習)2021年是中國共產黨成立100周年，電影頻道推出“經典頻傳：看

電影，學黨史”系列短視頻，傳揚中國共產黨的偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召．現有《青

春之歌》《建黨偉業》《開國大典》三支短視頻，某大學社團有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，

觀看了《建黨偉業》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人．其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨

偉業》的有4人，只觀看了《建黨偉業》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》

的有6人，三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數為．

【答案】3

【解析】把大學社團50人形成的集合記為全集U，觀看了《青春之歌》《建黨偉業》《開國大典》三

支短視頻的人形成的集合分別記為A，B，C，依題意，作出韋恩圖，如圖，

觀察韋恩圖：因觀看了《青春之歌》的有21人，則只看了《青春之歌》的有21-4-6-3=8(人)，

因觀看了《建黨偉業》的有23人，則只看了《建黨偉業》的有23-4-7-3=9(人)，

因觀看了《開國大典》的有26人，則只看了《開國大典》的有26-6-7-3=10(人)，

因此，至少看了一支短視頻的有3+4+6+7+8+9+10=47(人)，

所以沒有觀看任何一支短視頻的人數為50-47=3．

故答案為：3

LaoFan7

【解題方法總結】

1、注意交集與并集之間的關系

2、全集和補集是不可分離的兩個概念

考點6:集合與排列組合的密切結合

?

18(2024·全國·高三專題練習)設集合X=a1,a2,a3,a4?N，定義：集合Y=

x

a+aa,a∈X,i,j∈N*,i≠j，集合S=x?yx,y∈Y,x≠y，集合T=x,y∈Y,x≠y，分別用

ijijy

|S|，|T|表示集合S，T中元素的個數，則下列結論可能成立的是()

A.|S|=6B.|S|=16C.|T|=9D.|T|=16

【答案】D

【解析】不妨設1≤a1<a2<a3<a4，則ai+aj的值為a1+a2，a1+a3，a1+a4，a2+a3，a2+a4，a3+

a4，

顯然，a1+a2<a1+a3<a1+a4<a2+a4<a3+a4，所以集合Y中至少有以上5個元素，

不妨設x1=a1+a2，x2=a1+a3，x3=a1+a4，x4=a2+a4，x5=a3+a4，

則顯然x1x2<x1x3<x1x4<x1x5<x2x5<x3x5<x4x5，則集合S中至少有7個元素，

所以|S|=6不可能，故排除A選項；

2

其次，若a1+a4≠a2+a3，則集合Y中至多有6個元素，則|S|max=C6=15<16，故排除B項；

對于集合T，取X={1,3,5,7}，則Y={4,6,8,10,12}，此時T=

12123344555563

,,,,,,,,2,,,,,,,3，|T|=16，故D項正確；

35235453643252

xixjxixj

對于C選項而言，?i≠j，xi≠xj，則與一定成對出現，-1-1<0，所以|T|一

xjxixjxi

定是偶數，故C項錯誤．

故選：D．

19(2024·全國·模擬預測)已知集合A，B滿足A∪B=1,2,3，若A≠B，且A&B，B&A表

示兩個不同的“AB互襯對”，則滿足題意的“AB互襯對”個數為()

A.9B.4C.27D.8

【答案】C

【解析】當A=?時，集合B可以為{1,2,3}；

當A={1}時，集合B可以為{2,3}，{1,2,3}；

當A={2}時，集合B可以為{1,3}，{1,2,3}；

當A={3}時，集合B可以為{1,2}，{1,2,3}；

當A={1,2}時，集合B可以為{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}；

當A={1,3}時，集合B可以為{2}，{1,2}，{2,3}，{1,2,3}；

當A={2,3}時，集合B可以為{1}，{1,2}，{1,3}，{1,2,3}；

當A={1,2,3}時，集合B可以為?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}．

故滿足題意的“AB互襯對”個數為27．

故選：C

8LaoFan

20(2024·北京·中央民族大學附屬中學校考模擬預測)已知集合A滿足：①A?N，②?x，y∈

A，x≠y，必有x-y≥2，③集合A中所有元素之和為100，則集合A中元素個數最多為()

A.11B.10C.9D.8

【答案】B

【解析】對于條件①A?N，②?x，y∈A，x≠y，必有x-y≥2，

若集合中所有的元素是由公差為2的等差數列構成，例如0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20，集合中

有11個元素，

又0+2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110>100，0+2+4+6+8+10+12+14+16

+18=90<100則該集合滿足條件①②，不符合條件③，故符合條件③的集合A中元素個數最多不能

超過10個，

故若要集合A滿足：①A?N，②?x，y∈A，x≠y，必有x-y≥2，③集合A中所有元素之和

為100，最多有10個元素，

例如A=0,2,4,6,8,10,12,15,18,25．

故選：B．

【解題方法總結】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數的問題，需要運用分析與轉化的思想方法

考點7:集合的創新定義

21(2024·全國·校聯考模擬預測)對于集合A，B，定義A-B=xx∈A，且x?B．若A=

{x|x=2k+1,k∈N}，B={x|x=3k+1,k∈N}，將集合A-B中的元素從小到大排列得到數列

an，則a7+a30=()

A.55B.76C.110D.113

【答案】C

【解析】因為A=1,3,5,7,9,11,?，B=1,4,7,10,13,16,19,22,25,?，

*

所以A-B=3,5,9,11,15,?，所以a7=21．A-B相當于集合A中除去x=6n-5n∈N形

式的數，其前45項包含了15個這樣的數，所以a30=89．

則a7+a30=110，

故選：C．

22(多選題)(2024·河南安陽·安陽一中校考模擬預測)由無理數引發的數學危機一直延續到19世

紀．直到1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數(史稱

戴德金分割)，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，才結束了無理數被認為“無理”的時代，也

結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機．所謂戴德金分割，是指將有理數集Q劃分為

兩個非空的子集M與N，且滿足M∪N=Q，M∩N=?，M中的每一個元素都小于N中的每一

個元素，則稱M,N為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是()

A.M=xx<0，N=xx>0是一個戴德金分割

B.M沒有最大元素，N有一個最小元素

C.M有一個最大元素，N有一個最小元素

D.M沒有最大元素，N也沒有最小元素

【答案】BD

LaoFan9

【解析】對于A，因為M=xx<0，N=xx>0，M∪N={x|x≠0}≠Q，故A錯誤；

對于B，若M=x∈Q|x<0，N={x∈Q|x≥0}，則滿足戴德金分割，

此時M沒有最大元素，N有一個最小元素0，故B正確；

對于C，若M有一個最大元素，設為a，N有一個最小元素，設為b，則a<b，

則M=x∈Q|x≤a，N=x∈Qx≥b，而(a,b)內也有有理數，

則M∪N≠Q，故C錯誤；

對于D，若M=x∈Q|x<2，N={x∈Q|x≥2|，

則滿足戴德金分割，此時M沒有最大元素，N也沒有最小元素，故D正確，

故選：BD

23(2024·湖北·統考二模)已知X為包含v個元素的集合(v∈N*，v≥3)．設A為由X的一些

三元子集(含有三個元素的子集)組成的集合，使得X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含

在唯一的一個三元子集中，則稱X,A組成一個v階的Steiner三元系．若X,A為一個7階的

Steiner三元系，則集合A中元素的個數為．

【答案】7

【解析】由題設，令集合X={a,b,c,d,e,f,g}，共有7個元素，

所以X的三元子集，如下共有35個：

{a,b,c}、{a,b,d}、{a,b,e}、{a,b,f}、{a,b,g}、{a,c,d}、{a,c,e}、{a,c,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{a,d,

f}、{a,d,g}、{a,e,f}、{a,e,g}、{a,f,g}、{b,c,d}、{b,c,e}、{b,c,f}、{b,c,g}、{b,d,e}、{b,d,f}、{b,d,

g}、{b,e,f}、{b,e,g}、{b,f,g}、{c,d,e}、{c,d,f}、{c,d,g}、{c,e,f}、{c,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}、{d,e,

g}、{d,f,g}、{e,f,g}，

因為A中集合滿足X中的任意兩個不同的元素，都恰好同時包含在唯一的一個三元子集，所以

A中元素滿足要求的有：

{a,b,c}、{a,d,e}、{a,f,g}、{b,d,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7個；

{a,b,c}、{a,d,f}、{a,e,g}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{c,e,f}，共有7個；

{a,b,c}、{a,d,g}、{a,e,f}、{b,d,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{c,e,g}，共有7個；

{a,b,d}、{a,c,e}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,e,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有7個；

{a,b,d}、{a,c,g}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,f}、{d,e,g}，共有7個；

{a,b,d}、{a,c,f}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,f,g}、{c,d,g}、{d,e,f}，共有7個；

{a,b,e}、{a,c,d}、{a,f,g}、{b,c,f}、{b,d,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有7個；

{a,b,e}、{a,c,f}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,g}、{d,e,f}，共有7個；

{a,b,e}、{a,c,g}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,f,g}、{c,e,f}、{d,e,g}，共有7個；

{a,b,f}、{a,c,d}、{a,e,g}、{b,c,e}、{b,d,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有7個；

{a,b,f}、{a,c,e}、{a,d,g}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,f,g}、{d,e,f}，共有7個；

{a,b,f}、{a,c,g}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,g}、{c,e,f}、{d,f,g}，共有7個；

{a,b,g}、{a,c,d}、{a,e,f}、{b,c,e}、{b,d,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有7個；

{a,b,g}、{a,c,e}、{a,d,f}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,f,g}、{d,e,g}，共有7個；

{a,b,g}、{a,c,f}、{a,d,e}、{b,c,d}、{b,e,f}、{c,e,g}、{d,f,g}，共有7個；

共有15種滿足要求的集合A，但都只有7個元素．

故答案為：7

【解題方法總結】

1、集合的創新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數學知識，一般情況下，它所涉及到的知識和方

10LaoFan

法并不難，難在轉化．

2、集合的創新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運算法則，新的定理”，要

根據這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進行理解。

LaoFan11

§1.2常用邏輯用語

一、充分條件、必要條件、充要條件

1、定義

如果命題“若p，則q”為真(記作p?q)，則p是q的充分條件；同時q是p的必要條件．

2、從邏輯推理關系上看

(1)若p?q且q?p，則p是q的充分不必要條件；

(2)若p?q且q?p，則p是q的必要不充分條件；

(3)若p?q且q?p，則p是q的的充要條件(也說p和q等價)；

(4)若p?q且q?p，則p不是q的充分條件，也不是q的必要條件．

對充分和必要條件的理解和判斷，要搞清楚其定義的實質：p?q，則p是q的充分條件，同時q是p的

必要條件．所謂“充分”是指只要p成立，q就成立；所謂“必要”是指要使得p成立，必須要q成立(即

如果q不成立，則p肯定不成立)．

二．全稱量詞與存在量詞

(1)全稱量詞與全稱量詞命題．短語“所有的”、“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號“?”

表示．含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題．全稱量詞命題“對M中的任意一個x，有p(x)成立”

可用符號簡記為“?x∈M，p(x)”，讀作“對任意x屬于M，有p(x)成立”．

(2)存在量詞與存在量詞命題．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號

“?”表示．含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題．存在量詞命題“存在M中的一個x0，使p(x0)成

立”可用符號簡記為“?x0∈M，P(x0)”，讀作“存在M中元素x0，使p(x0)成立”(存在量詞命題也叫存

在性命題)．

三．含有一個量詞的命題的否定

(1)全稱量詞命題p:?x∈M，p(x)的否定?p為?x0∈M，?p(x0)．

(2)存在量詞命題p:?x0∈M，p(x0)的否定?p為?x∈M，?p(x)．

注：全稱、存在量詞命題的否定是高考常見考點之一．

【解題方法總結】

1、從集合與集合之間的關系上看

設A=x|p(x)，B=x|q(x)．

12LaoFan

(1)若A?B，則p是q的充分條件(p?q)，q是p的必要條件；若A?B，則p是q的充分不必要條

件，q是p的必要不充分條件，即p?q且q?p；

注：關于數集間的充分必要條件滿足：“小?大”．

(2)若B?A，則p是q的必要條件，q是p的充分條件；

(3)若A=B，則p與q互為充要條件．

2、常見的一些詞語和它的否定詞如下表

原詞語等于(=)大于(>)小于(<)是都是任意(所有)至多有一至多有一

個個

否定詞語不等于(小于等于大于等于不是不都某個至少有兩一個都沒

≠)(≤)(≥)是個有

(1)要判定一個全稱量詞命題是真命題，必須對限定集合M中的每一個元素x證明其成立，要判斷全

稱量詞命題為假命題，只要能舉出集合M中的一個x0，使得其不成立即可，這就是通常所說的舉一個

反例．

(2)要判斷一個存在量詞命題為真命題，只要在限定集合M中能找到一個x0使之成立即可，否則這個

存在量詞命題就是假命題．

考點1:充分條件與必要條件的判斷

【解題總結】

1、要明確推出的含義，是p成立q一定成立才能叫推出而不是有可能成立．

2、充分必要條件在面對集合問題時，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．

3、充分必要條件考察范圍廣，失分率高，一定要注意各個知識面的培養．

24(2024·江蘇揚州·揚州中學校考模擬預測)已知向量a=m2,-9，b=1,-1，則“m=-3”是

“a?b”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若m=-3，則a=9,-9=9b，所以a?b；

若a?b，則m2×-1--9×1=0，解得m=±3，得不出m=-3．

所以“m=-3”是“a?b”的充分不必要條件．

故選：A．

LaoFan13

25(2024·全國·高三專題練習)已知直線a⊥平面α，則“直線a?平面β”是“平面α⊥平面β”的

()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】若“直線a?平面β”成立，設l?β，且l?a，又a⊥平面α，所以l⊥平面α，又l?β，所以

“平面α⊥平面β”成立；

若“平面α⊥平面β”成立，且直線a⊥平面α，可推出a?平面β或a?平面β，

所以“直線a?平面β”不一定成立．

綜上，“直線a?平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要條件．

故選：A．

11

26(2024·天津和平·高三天津一中校考階段練習)“cos2α=-”是“cosα=”的()

22

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

11

【解析】cos2α=2cos2α-1=-，cosα=±，

22

11

所以“cos2α=-”是“cosα=”的必要不充分條件．

22

故選：B

27(2024·天津南開·南開中學校考模擬預測)已知a，b∈R，則“a>b”是“a2>b2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】若a=0>b，則a2>b2不成立，若a>b且a<0=b，此時a2>b2推不出a>b，所以“a>

b”是“a2>b2”的既不充分也不必要條件．

故選：D

考點2:根據充分必要條件求參數的取值范圍

【解題總結】

1、集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含關系．

2、在充分必要條件求解參數取值范圍時，要注意端點是否能取到問題，容易出錯．

28(2024·山東濰坊·統考二模)若“x=α”是“sinx+cosx>1”的一個充分條件，則α的一個可能

值是．

ππ

【答案】(只需滿足α∈2kπ,2kπ+k∈Z即可)

42

ππ2

【解析】由sinx+cosx>1可得2sinx+>1，則sinx+>，

442

ππ3ππ

所以，2kπ+<x+<2kπ+k∈Z，解得2kπ<x<2kπ+k∈Z，

4442

π

因為“x=α”是“sinx+cosx>1”的一個充分條件，故α的一個可能取值為．

4

14LaoFan

ππ

故答案為：(只需滿足α∈