2026年高考數學復習講義：直線的交點坐標與距離公式（知識梳理+題型歸納）學生版+解析

【第32講：直線的交點坐標與距離公式】

【知識梳理】

一、直線的交點坐標

1.核心原理

兩條直線的交點坐標，本質是兩直線方程所構成方程組的唯一解（兩直線相交時）。

2.判定與求解步驟

判定相交條件：設直線4：A》+片），+酬=0,Z2：AX+B,y+C2=o

當4紇一A2MH0時，兩直線相交，有唯一交點；

當4與-44=0時，兩直線平行或重合，無交點或無數交點。

[A二.X++B勺,y，++C,G==0。’所得（"）即為交點'坐標。

求解交點坐標：聯立兩直線方程，解二元一次方程組

二、距離公式（三大核心類型）

i.兩點間距離公式

適用場景：已知兩點R（*，X）、鳥（々，％），求兩點間距離166I。

公式：|初|=4V2f）2+（%一方

（推導依據：平面直角坐標系中勾股定理）

特殊情況:若兩點在X軸上（X=y2），則I[61=1/一%I；若在y軸上（3=.），則I片鳥1=1%-HI。

2.點到直線的距離公式

適用場景：已知點尸（馬,兄）和直線/：Ar+耳y+C=（）（AB不同時為0）,求點到直線的垂線段長度.

\Ax+By+C\

公式：d=Q0

yjA2+B2

（分子取絕對值保證距離非負，分母為直線方程系數的“平方和開根號”，避免分母為0）

易錯點：使用前需將直線方程化為一般式（Ar+8y+C=。），否則公式不適用。

3.兩平行直線間的距離公式

適用場景：已知兩條平行直線4：AE+B），+G=0、l2:Ax+By+C2=0（A,8不同時為0,且

G工。2），求兩直線間的距離。

JIC-CJ

公式：d=/,

y/A2+B2

（推導依據：在一條直線上取任意一點，轉化為“點到直線的距離”計算）

關鍵前提：兩直線方程需滿足“X、y系數對應相等”（即化為相同的一般式形式），若系數不同，需先

統一系數（如4：2x+4y+3=0可化為x+2y+1.5=0,再與4：x+2），+5=。計算距離）。

三、對稱相關知識（四大核心類型）

1.點關于點對稱

核心原理：對稱點與原點（對稱中心）的連線被對稱中心平分，即對稱中心是兩點連線的中點。

求解方法：設點尸（須，）’0）關于點例（。，份的對稱點為P（x'，V），根據中點坐標公式可得：

a=-%-+--x-

xr=2a-

2,,解得《x0

y=2b-y0

2

2.點關于直線對稱

核心原理：直線是兩點連線的垂直平分線，滿足兩個條件：①兩點連線與對稱軸垂直（斜率乘積為T,

若直線斜率存在）；②兩點連線的中點在對稱軸上。

求解步驟：設點關于直線/：Ar+By+C=O的對稱點為P'（V,y'）,則:

①垂直條件：若直線/斜率為2=-一（區工0）,則怎=即:衛?.（-6）二一；

②中點條件：中點（X=,血上X）在直線/上，代入得4方旦+8?2U+C=O：

2222

聯立①②，解方程組得/、/（若直線/斜率不存在，即垂直x軸，直接利用對稱性求解，如直線x=。,

則上二2。一％,/=y0）（,

3.直線關于點對稱

核心原理：兩條對稱直線平行（斜率相同），且對稱中心到兩條直線的距離相等。

求解方法：設直線/：—+為+。=。關于點M（〃,份的對稱宜線為1',則/'方程可設為

AY+By+C=O（因平行，x、y系數相同）；

\Aa+Bb+C\\Aa+Bh+C'\

由點M（a,b）到/與〃的距離相等得/=——=---1=——

y/A2+B2ylA2+B2即

|加+慨+C'|=|Aa+Bb+C\-

又因/與/'不重合，故ChC,解得C'=—2(4。+Bb)—C,即:Ax+By—2(Aci+Bb)—C=0<,

4.宜線關于直線對稱

核心原理：分兩種情況：①兩直線相交，對稱直線過兩直線的交點，且與兩直線的夾角相等；②兩直

線平行，對稱直線與它們平行，且到兩條直線的距離相等。

求解方法：

當兩直線乙與對稱軸/相交時：先求交點P；在4上取一點。，求其關于/的對稱點0：由八0'兩點

確定對稱直線//；

當兩直線4與對稱軸/平行時：設4：Av+8），+G=0,/:Ar+By+C=O,對稱直線

IC-CIIC-CI

/］.:Ax+By+C2=0,根據I212=/；2，得G=2C-C］（保證4與/［在/兩側

四、核心易錯點與注意事項

1.求交點時，需先判斷兩直線是否相交（避免聯立無解或無數解的情況）；

2.距離公式中，分母，42+）不可漏寫,且需保證不同時為（）；

3.兩平行直線距離計算前，必須統一x、y的系數（系數成比例時需化簡為相同系數）；

4.所有距離均為非負數，公式中分子的絕對值不可省略；

5.點關于直線對稱求解時，需同時滿足“垂直”和“中點在直線上”兩個條件，缺一不可；

6.直線關于直線對稱時，需先判斷兩直線是否相交，再選擇對應方法，避免混淆平行與相交的求解邏輯

題型分類知識講解身常善題型

【考點一：兩直線的位置關系】

【例題】1.（2025高三?全國?專題練習）直線/過兩直線3x+y-6=O和2x-），+3=0的交點，且與直線

x+y-10=0平行，則直線/的方程是.

2.（25-26高二上?全國?單元測試）已知直線點2x-），=。與/2：x+y-3=O,過點尸（3,2）的直線;被。〃截得

的線段恰好被點。平分，則這三條直線小%/圍成的三角形面積為.

【針對訓練】3.（25-26高二上?全國?單元測試）已知直線4：2.r+3），-2=0,Z2:/7u+（2/n-l）y+l=0,其

中陽為實數.

（1）當時,求機的值;

（2）當〃?=1時，求過直線44的交點，且垂直于直線X-2），+4=0的直線方程.

4.（2025高三?全國?專題練習）已知直線/1：3x+4），-10=04：4x-6y+7=0,直線。過丸與6的交點且過點

4（4,-7）,求A的方程.

5.（24-25高二下?上海徐匯?期中）在V/WC中，已知c（2,6）,乙4的平分線所在直線方程是x-y=0,BC

邊上的高所在直線是2x-y+1=0,則點8的坐標為

【解題策略】

判斷兩直線的位置關系：

利用斜率判斷：若兩直線斜率都存在，對于不重合的直線4、12,斜率分別為占、k2,則/J40K=包，

4_/2=%/2=-1。要注意前提是兩直線斜率都存在。當兩宜線不重合且斜率都不存在時，兩直線平行;

一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為0時，兩直線垂直。

根據直線方程的一般式判斷：對于直線/1：4r+4），+G=o和/2：41+82），+。2=0,若

A.B.C.[A.x+B呢.y++Cc,『=0。有唯一解'則兩

—,則/J，2；若A4+3]32=。，則若方程組，

兒占

直線相交。

由兩直線的位置關系求參數：

平行關系求參數：根據兩直線平行的條件列方程求解，如兩直線4：Ax+與y+G=0與

，2：&X+約丁+。2=0平行，則4為-&旦=0,同時要注意排除兩直線重合的情況。

垂直關系求參數：依據兩直線垂直的條件AAz+q層=0（斜率都存在時可用K&二T）列方程，進

而求出參數的值。

由兩直線的位置關系求直線方程：

平行直線系方程：與直線Ax+6y+〃=（）平行的直線方程可設為不+5+〃?=0（加工〃），再根據已

知條件求出〃?的值。

垂直直線系方程：與直線4丫+為，+〃=0垂直的直線方程可設為Ai-A），+，〃=O,然后結合其他條件

確定mo

過兩直線交點的直線系方程：過直線4：4工+用），+。1=0與/2：4X+與），+。2=0交點的直線系方程

為44+與），+0+〃41+82>+。2）=0（丸為參數），不包括直線，2。可根據其他條件求出丸，進而得

到直線方程。

【考點二：距離問題】

【例題】L（24-25高二上?上海?階段練習）己知實數。，〃，c成等差數列,則點尸（2,1）到直線?+圾+c=0

的最大距離是.

2.（25-26高二上?全國?單元測試）已知直線/的方程為（〃?+3L+⑵7-l）），-7〃7=O（〃7eR）.

⑴證明：直線/過定點，并求定點到直線3x+4y-7=。的距離；

（2）當，〃為何值時，點Q（3,4）到直線/的距離最大？最大距離是多少？

【針對訓練】1.（25-26高二上?全國?課后作業）若點P（l,a）到直線辦-3），-1=0的距離不大于后，則a的

取值范圍是.

2.（25-26高二上?全國?單元測試）已知4（-3,-4）,8（6,3）兩點到直線/：?+y+l=。的距離相等，則。的

值為（）

17廠Iy7「1-1、7

AA.-BD.C.--BJC--D.-sk--

JxO，J，

3.（25-26高二上?全國?期中）若兩條平行直線《：.”2），+6=。與仆2x+〃），-6=0之間的距離是2。，則

直線4在x軸上的截距為.

【解題策略】

一、核心距離公式（解題基礎，必須熟記）

1.點到直線的距離公式

若點坐標為2%,先），直線方程為/：—+3）'+。=。（4，5不同時為0）,則點尸到直線/的距離為：

_|八七）I孫）?C\

&+■

關鍵前提：直線方程需化為一般式，分母為系數平方和的算術平方根，分子為絕對值（保證距離非負）。

2.兩條平行線間的距離公式

若兩條平行線的方程分別為4：Av+By+G=0和，2：Ar+By+C2=0（A8不同時為0,C,*C2）,

則兩直線間的距離為：

77^

關鍵前提：兩直線方程需滿足X、y系數完全相同（若不同，需先統一系數，如將4：2x+4），+3=O化

3

為4+2丁+不=0,再與4：x+2y+5=0計算距離）。

3.兩點間距離公式（輔助工具）

若兩點坐標為4（X11）、鳥（毛，％），則兩點間距離為：

1附1=—NY+（%—-I

常與“點到直線距離”“對稱問題”結合使用（如求對稱點后計算距離）。

二、常見題型分類及解題步驟（高考高頻考法）

題型1：宜接利用公式求距離

解題步驟：

①統一方程形式：將直線方程化為一般式（點到直線距離）或統一x、y系數（平行線間距離）；

②代入對應公式：明確公式中各參數（如A8,C或小，）'。），注意分子絕對值符號；

③計算化簡：分母有理化（若有根號），結果需化為最簡形式（如分數、整數或根號形式）。

題型2：已知距離求參數（逆向求解）

解題步驟：

①確定距離類型：判斷是“點到直線距離”還是“平行線間距離”，明確已知條件與待求參數的位置（如

參數在直線方程系數中，或在點的坐標中）；

②代入公式列方程：根據距離公式建立含參數的方程，注意絕對值符號帶來的“正負兩種情況”；

③求解并驗證：解絕對值方程得到參數值，需驗證參數是否滿足直線方程的前提（如兩直線平行時，需排

除重合情況，即系數成比例但常數項不成比例）。

題型3：距離的最值問題（高考難點）

解題思路：

①轉化為“點到直線距離”：若求“直線上一點到定點的最短距離”，直接用點到直線距離（最短距離即定

點到直線的垂線段長度）；若求“兩條動直線間的最短距離”，需先判斷直線位置關系（平行時可轉化為定

點到直線的距離，相交時最短距離為0）；

②結合幾何意義：利用“三角形兩邊之和大于第三邊”“垂線段最短”等幾何性質，避免復雜代數運算；

③函數法輔助：若含參數的距離表達式可化為二次函數，可通寸配方法求最值（注意參數的取值范圍）。

題型4：距離與其他知識結合（綜合題）

常見結合方向：與直線的平行/垂直、對稱問題、圓的方程（如圓上點到直線的距離）結合；

解題核心：先拆解問題，優先解決“距離相關的核心條件”，再結合其他知識（如利用垂直關系求直線斜率，

利用對稱點求距離），分步突破。

三、常見誤區與規避方法（易錯點總結）

1.公式使用前提錯誤

誤區：計算平行線間距離時，未統一x、y系數（如直接用4：2x+y+l=O與4：x+O.5y+2=O代入

公式）；

規避：先將兩直線方程化為“Ar+8y+G=0”與“幾+8.V+G=°”形式，確保A、B完全相同。

2.忽略絕對值的多解性

誤區：已知點到直線距離求參數時，直接去掉絕對值（如由|2%+3|=5只解得女=1,遺漏々=-4）；

規避：解絕對俏方程時，明確“|M|=N（N>0）”等價于“加=/7或加=一""，所有解需代入原

直線方程驗證合理性。

3.混淆“點到直線距離”與“兩點間距離”

誤區：求“直線外一點到直線上某點的距離”時，誤用水平/垂直距離（如點（1,2）到直線y=x+l的

距離，誤算為橫坐標差1）；

規避：牢記“點到直線的距離是垂線段長度”，必須用點到直線距離公式，不可用兩點間距離公式隨意

計算。

【考點三：對稱問題】

【例題】1.（24-25高一上?四川自貢?階段練習）已知直線/：）=2x+3,求：

（1）原點關于/的對稱點坐標；

（2）直線）=關于/的對稱直線方程；

（3）直線/關于點A（3,1）的對稱直線方程.

2.（24-25高二上?貴州遵義?階段練習）已知宜線/經過直線2工-3），+8=0和x+y-1=0的交點，且與直線

3x-2y+18=0垂直，若直線陽與直線/關于點對稱，求直線，〃的方程.

【針對訓練】1.（24-25高二上?湖北荊門?期中）已知直線/：3x-）T=0及點A（4,l）,8（0,4）,點。在/

上，當忸Q|的值最大時，點的坐標為,|A9-忸。的最大值為.

2.（2025高三?全國?專題練習）已知直線/：2x-3y+l=0,則直線機：3x-2y-6=。關于直線/的對稱直線

加的方程為.

3.（23-24高二上?海南海口?期中）下列說法正確的是（）

A.直線1-）=2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是4

B.點（0,2）關于直線），=x+l的對稱點為（1,0）

C.直線x—2y+3=0關于直線x+y_3=0的對稱直線的方程為x_2），=（）

D.直線y=3x+3關于點A（3,2）的對稱直線的方程為3x-），-17=0

【解題策略】

一、對稱問題核心解題依據（本質原理）

對稱問題的本質是“垂直”與“中點在對稱軸上“，所有類型的對稱求解均圍繞這兩個核心條件展開：

1.垂直關系：若點P與對稱點卻'$關「直線/對稱，則直線$PP'$與對稱軸/垂宜，即它們的斜率之積為-1

（若其中一條直線斜率不存在，則另一條直線斜率為0）。

2.中點在軸上：線段$PP'$的中點M坐標滿足對稱軸/的方程，即中點在對稱軸直線上。

二、常見對稱類型及解題策略（高考高頻考法）

類型1:點關于直線對稱（基礎且核心）

解題步驟：

1.設坐標:設已知點為2%，%），其關于直線/：—+B.y+C=O（不同時為0）的對稱點為

2.列方程組：根據核心依據列兩個方程：

垂直條件:若直線/斜率存在（8工0）,則上二比（--）=-1：若直線/斜率不存在（8=0）,則$「，$平

x-x（）B

行于y軸，即x=.%。

中點條件：線段$PP'$的中點（王也,二也）代入直線/方程，得A.主也+3?匯滋+C=（）.

2222

3.求解方程組：解上述二元一次方程組，得到x和y的值，即為對稱點$門$的坐標。

類型2：直線關于直線對稱（綜合應用）

解題思路（兩種常用方法）：

1.兩點法（通用）：

取點：在已知直線4上任意取兩個不重合的點片、p2（優先取與對稱軸/相交的點，簡化計算）。

求對稱點：分別求出點片、巴關于對稱軸/的對稱點4、p2（方法同“點關于直線對稱

求直線方程：根據兩點6、修，利用兩點式或點斜式求出對稱直線，2的方程。

2.到角公式法（適用于兩直線相交）：

求交點：先求出己知直線人與對稱軸1/的交點M（該點在對稱直線4上）。

算斜率：設4、/、4的斜率分別為勺、k、k”根據“到角相等”（/到4的角等于4至“的角），利

用到角公式tan。』竺§k-k1

,求解得到公。

1+kk]

定方程：已知對稱直線右過交點用且斜率為0，用點斜式確定其方程。

類型3：點關于點對稱（簡單拓展）

解題步驟：

1.設坐標：設已知點為尸（%,%）,關于定點的對稱點為P*,），）。

2.用中點公式列方程：因M是線段$?「$的中點，根據中點坐標公式得主也=〃，上斗=〃。

22

3.求解：直接解上述方程，得工二2。一與，＞=2〃一％,即對稱點$了$的坐標。

三、常見誤區與規避方法（易錯點總結）

1.忽略斜率不存在的情況：

誤區：求解點關于直線對稱時，默認直線斜率存在，遺漏“直線垂直于x軸（斜率不存在）”或“直線

平行于x軸（斜率為0）”的特殊情況。

規避：先判斷對稱軸直線的斜率是否存在，再選擇對應的垂直條件（如斜率不存在時，對稱點的橫坐

標與已知點相同；斜率為0時，對稱點的縱坐標與已知點相同）。

2.計算中點坐標出錯：

誤區：列中點條件時，誤將中點坐標（專匕亨^）寫為5+%,），+%）,導致方程錯誤。

規避：牢記中點坐標公式，代入對稱軸方程前先檢查中點坐標的表達式是否正確。

3.直線關于直線對稱時漏驗證：

誤區：用兩點法求對稱直線時，取的兩點過于特殊（如兩點連線與對稱軸平行），或未驗正所求直線是

否符合對稱性質。

規避：優先取與對稱軸相交的點，若兩點連線與對稱軸垂直，可額外再取一個點驗證：求出直線方程

后，可隨機取原直線上一點，檢查其對稱點是否在所求直線上。

4.混淆“到角”與“夾角”：

誤區：用到角公式時，誤將“到角”等同于“夾角”（夾角是銳角或直角，到角有方向），導致斜率計

算錯誤。

規避：明確“到角”的方向（如乙至”的角是從右逆時針轉到I的角），嚴格按照到角公式的定義列方程，

若斜率不存在需單獨討論。

踝唁針;對訓練

—*、單選題

1.（25-26高二上全國.課前預習）已知直線2x-2y-6=（）和直線x-）T=O平行，則這兩條平行線之間的距

離為（）

A.*B.V2C.2&D.472

2.（2025高二?全國?專題練習）直線2x+5y—7=0和3x+2y+6=0的交點坐標為（）

A.(4,3)B.(3,4)C.(<3)D.(-4,-3)

3.（2025高三?全國?專題練習）在等腰直角VA8C中，AB=AC=4,P是邊A8上異于A4的一點，光線從

點P出發，經BC,C4發射后又回到原點/，（如圖）.若光線QR經過VA8C的重心，則4,等于（）

4

D.

3

4.（25-26高二上.全國?單元測試）若某直線被兩平行線4"-y+i=o與/2：x-y+3=0所截得的線段的長為

2加，則該直線的傾斜角大小為（）

A.15°B.15。或75。C.30°D.30。或150。

二，多選題

5.（25-26高二上?全國?單元測試）平行于直線x-y-2=0,且與它距離為及的直線方程可能是（）

A.x-y=0B.x-y-1=0

C.x-y+1=0D.x-y-4=0

三、填空題

6.（2025高二上?全國?專題練習）己知直線/經過點（-2,3）,且原點到直線/的距離等于2,則直線/的方程

為一.

7.（25-26高二上?全國?課前預習）己知A（0,l）,4（2,3）,則恒卻,48的中點坐標為.

8.（25-26高二上?全國?課前預習）順次連接43,1）,仇5,加）,。（〃?,2）構成一個等腰三角形，則實數〃［的一個取

值可能為.

9.（25-26高二上.全國.單元測試）己知△A4C的頂點高CO所在直線方程為3x+），-12=0,NABC

的平分線8E所在直線方程為4-2），+4=（）,則8點的坐標為.

四、解答題

10.（2025高二?全國?專題練習）求過兩條直線x+）」2=。和x-2y+4=0的交點，且分別滿足下列條件的

直線/的方程：

⑴與直線34-4），+1=0平行；

（2）與直線5x+3y-6=0垂直.

H.（2025高三?全國?專題練習）在中，已知A（l,4）,并且的角平分線所在直線方程分別為

/,：x-2y=0,/2:x+y-l=0,求直線8c的方程.

12.（24-25高二上?上海?階段練習）分別求經過點P（0,-1）,且滿足下列條件的直線/方程：

（1）點A（2,l）與點8（0,1）到直線/的距離相等;

（2）直線/被兩條平行直線2x+y-6=0和4.2），-5=（）截得的線段長為

13.（25-26高二上.全國?單元測試）已知直線4%-丁+3=0和直線/2：2x-y+l=0交于點C,直線右過點C

且原點到人的距離等于2.

（1）求直線A的方程；

⑵設直線乙關于直線對稱的直線為x軸與直線％和直線乙分別交于點A,B,求|A8|.

14.（25-26高二上?全國?單元測試）已知VABC的頂點8（5,1）,48邊上的高所在的直線方程為公2），-5=0.

⑴求直線AB的方程.

(2)在下面兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

①角A的平分線所在的直線方程為工+2)，-13=0；

②BC邊上的中線所在的直線方程為2x-y-5=0.

,求直線AC的方程.

注：若選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分

【第32講：直線的交點坐標與距離公式】

【知識梳理】

一、直線的交點坐標

1.核心原理

兩條直線的交點坐標，本質是兩面線方程所構成方程組的唯一解（兩更線相交時）。

2.判定與求解步驟

判定相交條件：設直線4：Ax+8]），+G=。，l2:A2x+B2y+C2=0

當4層一為用工0時，兩直線相交，有唯一交點；

當弓4一兒用二。時，兩直線平行或重合，無交點或無數交點。

A.x+B.y-vC.=0

求解交點坐標：聯立兩直線方程，解二元一次方程組《t+/，+G=o'所得（"即為交點坐標,

二、距離公式（三大核心類型）

i.兩點間距離公式

適用場景：已知兩點《（為,%）、鳥（孫力），求兩點間距離165I.

公式：I—|=//一%）2+（%—天）2

（推導依據：平面直角坐標系中勾股定理.）

特殊情況:若兩點在X軸上（J]=%），則I461=1工2-芯I；若在y軸上（玉二X2），則IP\P？1=1%-yI。

2.點到直線的距離公式

適用場景：已知點戶（與，為）和直線/：AY+8.y+C=0（AB不同時為0）,求點到直線的垂線段長度。

八4IA7+3y0+C|

公式：a~/—；---7—

（分子取絕對值保證距離非負，分母為直線方程系數的“平方和開根號”，避免分母為0）

易錯點：使用前需將直線方程化為一般式（4t+By+C=0）,否則公式不適用。

3.兩平行直線間的距離公式

適用場景：已知兩條平行直線4：4x+8），+G=0、l2：Ax+By+C2=0（A,3不同時為0,且

。|工。2），求兩直線間的距離。

公式：d='、1

\IA-+B-

（推導依據：在一條直線上取任意一點，轉化為“點到直線的距離”計算）

關鍵前提：兩直線方程需滿足“x、y系數對應相等"（即化為相同的一般式形式），若系數不同，需先

統一系數（如4：2x+4y+3=。可化為x+2），+1.5=0,再與/2：x+2），+5=0計算距離）。

三、對稱相關知識（四大核心類型）

1.點關于點對稱

核心原理：對稱點與原點（對稱中心）的連線被對稱中心平分，即對稱中心是兩點連線的中點。

求解方法：設點。（公,%）關于點M（a,勿的對稱點為P'（My'）,根據中點坐標公式可得:

r

2x=2a-x{}

解得

)/=〃?一%

2

2.點關于直線對稱

核心原理：直線是兩點連線的垂直平分線，滿足兩個條件：①兩點連線與對稱軸垂直（斜率乘積為T,

若直線斜率存在）：②兩點連線的中點在對稱軸上。

求解步驟：設點2%,打）關于直線/：AY+8），+C=0的對稱點為P（x',），'），貝IJ：

①垂直條件：若直線/斜率為z二一2（8工0）,則原尸/二-1,即2口^（—4）=-1；

Bx-x0D

②中點條件：中點（土上工,迎土）在直線/上，代入得4二旦+8?空空+C=0；

2222

聯立①②，解方程組得/、/（若直線/斜率不存在，即垂直x軸，直接利用對稱性求解，如直線x=〃,

則/二2。一/，y'=）b）。

3.直線關于點對稱

核心原理：兩條對稱直線平行（斜率相同），且對稱中心到兩條直線的距離相等。

求解方法：設直線/：Ar+8.v+C=0關于點的對稱直線為廣，則/'方程可設為

Av+^+C^O（因平行，x、y系數相同）；

z((\Aa+Bb+C\JAa+Bb+C'l

由點M（a,b）到/與，'的距離相等即

\JA2+B2\JA2+B2

\Aa+Bb+C\=\Aa+冊+C|；

又因/與廠不重合，故CwC,解得C'=-2(A4+R?)-C,即r：Ar+3y-2(Aa+3份-C=()。

4.直線關于直線對稱

核心原理：分兩種情況：①兩直線相交，對稱直線過兩直線的交點，且與兩直線的夾角相等；②兩直

線平行，對稱直線與它們平行，且到兩條直線的距離相等。

求解方法：

當兩直線4與對稱軸/相交時：先求交點P；在4上取一點Q,求其關于/的對稱點0'；由凡Q'兩點

確定對稱直線4；

當兩直線4與對稱軸/平行時：設/|：4K+B），+G=O,Z:Ar+By+C=O,對稱直線

IC-CIIc-CI

lv:Ax+By+C2=0,根據~~；，=/；骨，得。2=2C-G（保證/],與4在/兩側）。

yJA+B-\IA~+B-

四、核心易錯點與注意事項

1.求交點時，需先判斷兩直線是否相交（避免聯立無解或無數解的情況）：

2.距離公式中，分母"TF不可漏寫，且需保證A8不同時為0：

3.兩平行直線距離計算前，必須統一x、y的系數（系數成比例時需化簡為相同系數）；

4.所有距離均為非負數，公式中分子的絕對值不可省略；

5.點關于直線對稱求解時，需同時滿足“垂直”和“中點在直線上”兩個條件，缺一不可;

6.更線關于直線對稱時，需先判斷兩直線是否相交，再選擇對應方法，避免混淆平行與相交他求解邏輯

該型分類

【考點一：兩直線的位置關系】

【例題】1.（2025高三?全國?專題練習）直線/過兩直線3x+y-6=0和2x-），+3=0的交點，且與直線

x+y-10=（）平行，則直線/的方程是.

【答案】5x+5y—24=0

【分析】根據直線系方程的性質，兩直線平行的關系求解.

【詳解】設過兩直線3x+y-6=0和2工-》+3=0的交點的直線系方程為3x+y-6+&2x-y+3）=O,

g|J(3+2/l)x+(l-/l)>>-6+32=0.

2

由于/與x+y-1（）=0平行，所以3+22=1—4,解得4=—；.

2

當人一一彳時，直線/的方程是5.g5），-24=0,故符合題意.

故答案為：5x+5.y-24=0

2.（25-26高二上?全國?單元測試）已知直線4：2x-.y=O與4：x+y-3=O,過點P（3,2）的直線;被小4截得

的線段恰好被點尸平分，則這三條直線4,%/圍成的三角形面積為.

【答案】v/5l

33

【分析】設直線/與直線4,4的交點分別為A8,且4（?2〃），則6（6—43）,代入直線/”x+y-3=0,

即可得點AB的坐標，則可算出|A8|和直線/的方程，再求44的交點到/的距離，最后利用三角形的面積

公式計算即可.

【詳解】設直線/與直線44的交點分別為AB,且A（a,2a）,則由題意可知，點A（a,2a）關于點P（3,2）的

對稱點8（6—劣4-2々）在4上，所以6—〃+4—2?—3=0,解得

所以唱，外《卜J所以陰=4x/17

3

?4.2

因為直線/過點尸（3,2）,噌,胃所以直線/的斜率&=/-二?七

3-3

所以直線,的方程為y-2=-4（x-3）,即4x+y-14=（）.

2x,=0

聯立的方程得|（+）：_]二’0解得《4的交點坐標為（1,2）.

因為點（1,2）到直線/:4/），-14=0的距離方=匕廠2二四=塔

V42+l21，

所以這三條宜線人。圍成的三角形面積為5=口人外"=1處乂處=3

21123173

故答案為：號.

【針對訓練】3.（25-26高二上,全國?單元測試）已知直線《：2尤+3），-2=。，/2:/m+（2/H-l）.y+l=0,其

中川為實數.

（1）當人〃，2時，求小的值；

⑵當〃?=1時，求過直線的交點，且垂直于直線工-2），+4=0的直線方程.

【答案】（1），〃=2

（2）2X+>'+6=0

【分析】（1）根據兩直線平行，列出關于機的方程，即可求得答案；

（2）解方程組求出直線44的交點，再根據直線的垂直關系，利用直線的點斜式，即可求得答案.

【詳解】（1）由4〃/2得2（2加-1）=3〃?，解得機=2,經檢驗，/〃=2符合題意，

故〃?=2；

,八，―2x+3y-2=0,,（x=-5

（2）當〃?=1時，Z:x+y+l=0,聯立?八，解得），

2x+y+l=0[y=4

即直線44的交點為（-5,4）,

又直線x-2y+4=0的斜率為3，

故過直線//的交點，且垂直于直線工-2），+4=0的直線方程為y—4=-2（x+5）,即2x+y+6=0.

4.（2025高三?全國?專題練習）已知直線小31+4），-10=（）4：4戈-6y+7=（）,直線g過乙與的交點且過點

A（4,-7）,求&的方程.

【答案】23x+8y-36=0

【分析】點A坐標代入4方程可得答案.

【詳解】由題意可設。的方程為3x+4y—IO+2（4x—6），+7）=0.

因為4過點4（4,f）,

所以3x4+4x(—7)—10+/l[4x4—6x(—7)+7]=0,解得4=2,

5

2,

所以人的方程為3x+4），-10+w（4i-6y+7）=。,

即23%+8)，-36=0.

5.（2425高二下?上海徐匯期中）在VA8C中，己知。（2,6）,N4的平分線所在直線方程是-0,BC

邊上的高所在直線是2i-），+1=0,則點3的坐標為

10638

【答案】

【分析】聯立2A的平分線直線方程和AC邊上的高所在直線方程可求出點A坐標，利用角平分線的性質結

合點關于直線的對稱點的計算可求出直線A8的方程，再利用8c邊上的高所在直線的斜率以及點C坐標求

出直線3C的方程，聯、'/：求解即可得到點"的坐標.

A-y=0二;，所以….

【詳解】由

因為-A的平分線所在直線方程是工-＞，=0,所以點C（2,6）關于直線x-y=0的對稱點C（6,2）在所在直

線上,

所以直線AB的方程為y+l=/K（x+l）,整理得3x-7y-4=0.

又BC邊上的高所在直線是2x-），+l=0,其斜率為2,所以直線8C的斜率為-g,

所以直線8C的方程為〉，—6=—g（x—2）,整理得x+2y-14=o.

106

x=---

"3x-心7y-4=0,解得2，所以則點8的坐標為10638]

由，"TP司，

Jo

y=一

13

10638)

故答案為:

【解題策略】

判斷兩直線的位置關系：

利用斜率判斷:若兩直線斜率都存在,對于不重合的直線4、4，斜率分別為k\、k”則小|2%=%,

要注意前提是兩直線斜率都存在。當兩直線不重合且斜率都不存在時，兩直線平行:

一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為0時，兩直線垂直。

根據直線方程的一般式判斷：對于直線九+"y+G=O和/2：4/+&）,+。2=0,若

AB.C,（A.x+B,y+C,=0

:二U=U，則41%；若44+30=。，則/J。；若方程組丁'八有唯一解，則兩

A,D2C2'[A.X+B2y+C2=0

直線相交。

由兩直線的位置關系求參數：

平行關系求參數：根據兩直線平行的條件列方程求解，如兩直線4：Ax+4y+G=。與

4：人工十約y+G=。平行，則A與一&4=0,同時耍注意排除兩直線重合的情況。

垂直關系求參數：依據兩直線垂直的條件A4+片區=0（斜率都存在時可用人心=-1）列方程，進

而求出參數的值。

由兩直線的位置關系求直線方程：

平行直線系方程：與直線Ax+gy+〃=o平行的直線方程可設為AY+8），+〃7=0（加工，7）,再根據已

知條件求出〃7的值。

垂直直線系方程：與直線Ar+gy+〃=（）垂直的直線方程可設為3工-4）'+m=。，然后結合其他條件

確定m。

過兩直線交點的直線系方程：過直線4：A人+4）葉G=o與，2：A?人十?十G=0交點的直線系方程

為AX+8J+G+〃4X+B2）'+G）=°（/I為參數），不包括直線4。可根據其他條件求出丸，進而得

到直線方程。

【考點二：距離問題】

【例題】1.（24-25高二上?上海?階段練習）己知實數。，方，。成等差數列，則點打2,1）到直線仆+b+。=0

的最大距離是.

【答案】屈

【分析[由條件，結合等差數列定義可得。=乃-。，由此可得直線勿+%-。=0過定點4（1,-2）,推出

點P（2,l）到直線依+切+c=0的距離,由此可得結論.

【詳解】因為*b,。成等差數列，所以a+c=?,即c=?-a,

方程av+〃y+c=0可化為奴+/?>+2〃-a=（）,即a（x-l）+方（y+2）=0,

所以直線如+與+c=0過定點A（1.-2）,

設點P（2,l）到直線依+緲+c=0的距離為"，則當且僅當與直線如+力+。=0垂直時等號成立,

所以當"與直線or+b），+c=0垂直時，點。（2,1）到直線依+切+c=0的距離最大，

最大距離等于|AP|=J（2-l『+（l+2）2=Vi0,

所以點P（2,l）到直線如+外+c=0的最大距離是如，

故答案為：M.

2.（25-26高二上?全國?單元測試）已知直線/的方程為（〃?+3）工+（2〃?-1）），-7〃?=0（〃蚱/?）.

⑴證明：直線/過定點，并求定點到直線3x+4），-7=0的距離；

（2）當，"為何值時，點Q（3,4）到直線/的距離最大？最大距離是多少？

【答案】（1）證明見解析，IQ

⑵盟=g,45

jvI2y7=0

【分析】⑴將直線/的方程整理得（工+2'-7）〃葉（3工-），）=0,令a_；=o—，解出即可定點，由點到

直線的距離公式即可求解；

（2）由（1）可得直線/過定點，設定點為夕。,3）,當尸。，，時，點。到直線/的距離最大，且最大距離,

由兩點間的距離公式即可求最大距離，又由斜率公式即可求小.

【詳解】（1）將直線/的方程整理得（x+2y-7）〃?+（3x-），）=0,

x+2y-7=0解得：所以宣線/恒過點（1,3）.

令

3x-y=0）'=3,

|34-12-7|_8

則定點（1,3）到直線3戈+4），-7=0的距離為