數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算-2026湘教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊章節(jié)練（含解析）

2026湘教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊

1.5.2數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1.已知點(diǎn)人(1,2)鳳2,3)C(-2,5),則荏.衣等于()

A.-lB.OC.lD.2

2.(2025甘肅平?jīng)銮f浪紫荊中學(xué)月考)若向量a=(x,2),b=(-l,3),a,b=3,則x=()

A.3B.-3D.-|

3.如圖，在平面四邊形ACDE中，點(diǎn)B在邊AC上,△ABE是等腰直角三角形,四邊形BCDE

是邊長為1的正方形，則前?在二.

4.AABO的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(l,0),B(0,2)Q(0,0),P(x,y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足

》.屬《),麗.無N0,則方?刀的最小值為.

題組二向量模的坐標(biāo)運(yùn)算

5.(2025甘肅隴南禮縣白河中學(xué)月考)已知向量a=(-l,-2),向量b=(-3,4),則向量a在b方向上

的投影為()

A.lB.-lC.V5D.-V5

6.已知方二(2,。,衣二(3,3),|而=1，則玄?就=.

7.在直角梯形ABCD中,AD〃BC,NADC=90。,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則\PA^3PB\

的最小值為.

題組三向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算

8.已知向量瓦M(jìn),y),^C=(y*),則ZABC=()

A.30°B.45°C.60°D.12O0

9.在菱形OABC中,已知刀二(2,0),無=(3,k),則ZAOC=()

A.；B?忌D.g

10.(2025廿肅張掖民樂第一中學(xué)期中)已知a=62),b=(-3,5),且a與b的夾角為銳角，則X的

取值范圍是.

題組四向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算

11.(2025甘肅金昌永昌第一高級(jí)中學(xué)月考)已知向量a=(0,l),b=(2,x),若b_L[b-4a),則

x=()

A.-2B.-lC.lD.2

12.(2025吉林長春笫三中學(xué)月考)在矩形ABCD中,AB=4,AD=1,點(diǎn)P在線段CD上，且滿足

AP_LBP,則滿足條件的點(diǎn)P有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè)

13.已知A,B,C是坐標(biāo)平面上的三個(gè)點(diǎn),其坐標(biāo)分別為4L2)#(4』)。(0廠1).求施?方？和

ZACB的大小，并判斷^ABC的形狀.

能力提升練

題組一向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

1.(2025甘肅東西岷縣第一中學(xué)月考)已知向量a.b滿足|a+b|=2V5.a_L(a-2b).且b=(l.l).則

|a|=()

A.A/3B.2C.A/5D.3

2.(多選題)(2025甘肅定西臨洪文峰中學(xué)月考)已知向量a=(5,Q,b=(入-2,3),則下列命題為真

命題的是()

A.若a〃b,則入=-3或入=5

B^a_Lb,則內(nèi)

C.若入=1,則|a+b|=40

D.若入=2,則向量a在向量b方向上的投影向量的坐標(biāo)為(0,2)

3.(2025河北張家口第一中學(xué)月考)已知向量a=(6,-l),b=C，￡).

⑴求與a平行的單位向量c的坐標(biāo)；

⑵設(shè)x=a+(t2+2)b,y=?2kta+b,若存在[0,2],使得x±y成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

題組二向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的綜合應(yīng)用

4.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,AB_LAD,P為矩形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則

(⑸+P分方的最小值是()

A-iB+C,-jD.-i

5.(2025廣東東莞眾美中學(xué)月考)已知荏_LK,|福二t(t〉0),|北|二：若P是^ABC所在平面內(nèi)

一點(diǎn)，且刀二備等，則而?定的最大值為()

A.13B.5-2V2C.5-2V6D.10+272

6.如圖，在四邊形ABCD中.AB=CD=1,NBrNC,M和N分別是邊AD和BC的中點(diǎn)，延長

BA和CD,分別交NM的延長線于點(diǎn)P,Q,則(兩+而)d；?良方0的值為.

7.(創(chuàng)新題新考法)(2025甘肅平?jīng)鲮o宇文萃中學(xué)階段測試)如圖，在斜坐標(biāo)系xOy中?,e2分

別是與x軸,y軸的正方向同向的單位向量，且ei,e2的夾角為60。,定義向量加=xei+ye2在該

斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)為有序數(shù)對(x,y),記為赤=xei+ye2=(x,y).在斜坐標(biāo)系xOy中,完成如

下問題：

⑴若u=(l,2),v=(-3,l),求u+2v的坐標(biāo)；

⑵若a=(2,4),b=(5,m),且a_Lb,求實(shí)數(shù)m的值；

(3)若m=(4,-5),n=(-2,3),求向量m,n的夾角0的余弦值.

X

答案與分層梯度式解析

1.5.2數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其計(jì)算

基礎(chǔ)過關(guān)練

l.B2.A5.B8.A9.Bll.D12.C

1.BJB=(2,3)-(1,2)=(1,1)JC=(-2,5)-(1,2)=(-3,3),AABAC=1x(-3)+lx3=0.

2.Aa?b=-x+6=3,解得x=3.

3.答案-1

解析以B為原點(diǎn)，沅，匠的方向分別為x軸,y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所

示.

則A(-1,0),C(1,0),D(1』),E(0,1),

所以翔二(2,1),在二(-1,1),

所以石?豆=-2+l=-1.

4.答案3

.._■??，????，，?????)

解析'：AP<)A=(x-1,y)-(1,0)=x-1<0,

Ax<l,

???麗?麗=(x,y-2)?(0,2)=2(y-2)N0,Ay>2,

OPAB=(x,y)-(-1,2)=2y-x>3,

，而?刀的最小值為3.

5.B向量a在b方向上的投影為冷(-了)(34)=?=/

向啊C5

6.答案3

解析因?yàn)榉?(2,t)及=(3.3),

所以就=配-刀=(1,3-。，

又|就上1,所以品]=[12+(3-/)2=1,解得t=3,

所以配二(1,()),

所以元?豆=3x1+3x0=3.

7.答案5

解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

V4

JDZvAx

設(shè)DC=h,則A(2,0),B(l,h).

設(shè)P(0,y)(0WyWh),則西二(2,-y),而=(l,h-y),

，|就+3麗仁/25需14^^后=5,當(dāng)且僅當(dāng)3h=4y,即DP=：DC時(shí)，等號(hào)成立.

故兩+3廂的最小值為5.

8.A由題意得cosZABC=--—.=2222=~r^wABC=30°.

|8/1||78C]1x12

9.BOC=AB^OB^OA=(\,k),|OC|=|04|=2,

所以cosZAOC=cos<dC,^>=gg=^4

因?yàn)镹AOCG。花)，所以ZAOC=j.

10.答案(-8廠加(-鴻)

解析因?yàn)橄蛄縜與b的夾角為銳角，所以ab>0且a與b不共線，所以?3九+100且5H-6,

解得也弓且以假.故X的取值范圍為(-8,-?U(《，宇).

易錯(cuò)警示

利用cos來判斷a與b的夾角9的情況時(shí),要注意cos0<0有兩種情況:一是0是

\a\\b\

鈍角，二是0=7T；cos0>0也有兩種情況:一是0為銳角，二是6=0.

11.D因?yàn)閎_L(b-4a),所以b-(b-4a)=0,

所以b2-4a-b=03P4+x2-4x=0,所以x=2.

12.C以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐

標(biāo)系，

則A(0,0),B(4,0),設(shè)P(t,l)(0<t<4),

則N=(t,l),而=(t-4,l),

因?yàn)锳P_LBP,所以萬?麗二0,即t(t-4)+l=0,

解得1=2±6,即滿足條件的點(diǎn)P有2個(gè).

13.解析由已知，得方二(4-11-2)=(3,-1),

^C=(O-1,-1-2)=(-1,-3),

二方就=3x(-1)+(-1)x(-3)=0,

;.AB±AC,>ZA=90°.

XIj5|=Js2+(-1)2=A<iO,|j(-1)2+(-3)2=^,：.\AB\=\AC\,

/.△ABC是等腰直角三角形,，ZACB=45°.

能力提升練

l.D2.ACD4.A5.B

1.D因?yàn)閍J_(a-2b),所以a-(a-2b)=0,

所以a2-2a?b=0,所以a2=2a-b.

因?yàn)閨a+b|=2亞所以a2+2a-b+b2=20,

因?yàn)閎=(l,l),所以b2=2,

所以2a2+2=20,所以a2=9,所以|a|=3.

2.ACD對于A,因?yàn)閍〃b,所以5x33(1-2)=0,解得X=-3或入=5,

當(dāng)X=-3時(shí),a=(5,-3),b=(-5,3),滿足題意;當(dāng)當(dāng)5時(shí),a=(5,5j,b=(3,3),滿足題意，故A正確.

對于B,因?yàn)閍_Lb,所以5(入-2)+3入=0,解得九三,故B錯(cuò)誤.

對于C,當(dāng)X=1時(shí)胞=(5,l),b=(-1,3),則a+b=(4,4),所以|a+b|=序不二4近,故C正確.

對于D,當(dāng)入=2時(shí),a=(5,2),b=(0,3),

則向量a在向量b方向上的投影向量為|a|cos<a,b>?，若?b==b,所以向量a在向量b方向上

的投影向量的坐標(biāo)為(0,2),故D正確.

3.解析⑴由題意可得同二師二2,所以與a平行的單位向量為于停,?；)或力(W即

c的坐標(biāo)為伴,-；)或(.9，故

(2)因?yàn)閍=(V3,-l),b=Q,日)所以|a|二2,|b|=Lab=0.

因?yàn)閤_Ly,所以

x-y=［a+(t2+2)b］-(-2kta+b)=-2kta2+a-b-2kt(t2+2)b-a+(t2+2)b2=-2kt|a|2+(t2+2)|b|2=0,

所以t2-8kt+2=0.

回題捌鼠送王出1次方程E犯墳9近叵及四內(nèi)直解的回B

令f(t)=t2-8kt+2,其圖象的對稱軸為直線t=4k.

①當(dāng)4k<0,BPk<0時(shí),f⑴在［0,2］上單調(diào)遞增,f(0)=2,所以方程t2-8kt+2=0在［0,2］內(nèi)無解.

②當(dāng)0<4k<2,即0<叱時(shí)，由f(4k)4),得?16k2+2現(xiàn)解得區(qū)q或k4所以

③當(dāng)4k”即k星時(shí),f⑴在［0,2］上單調(diào)遞減，由f(2)<0得4-16k+2《),解得己所以嗎

綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為+8).

4.A建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,0),B(l,0),C(l,2)^P(x,y),

所以而二(1-x,-y),B4=(-x,-y),PC=(1-x,2-y),^f以就+定=(-x,-y)+(1-x,2-y)=(l-2x,2-2y),

所以(方+斤)?麗=(L2x)(1-x)+(2-2y)(-y)=2(x-J)2+2(y-02-j,

所以當(dāng)xW，y=；時(shí)，(西+藥.而取得最小值，且最小值為

5.B

思路分析

解析以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

則A(0,0),B(t,0),C(0,j)(t>0),

所以方二(t,o),k=(o,；),

貝券+券=（1,2）,即P（l,2）,

|幽\AC\

故而=（t-l,?2）,定二（-1j-2）,

所以而?正=1-t+4孑=5-（什y）＜5-2V2,

當(dāng)且僅當(dāng)目,即t=V5時(shí)，等號(hào)成立.

6.答案0

解析解法一:由題意知P,Q,M,N四點(diǎn)共線,可設(shè)而+麗=＞；/a《R）,

"'"一，

由題圖可得

g=MD+DC+CN.\J

因?yàn)镸,N分別為邊AD,BC的中點(diǎn),

所以①+②可得2麗=0+方+反+0,

^MN=^（AB+DC）,

故（而+函?（刀-萬不）三（林+萬?5.（方-萬?5苦（方臼萬？f）=o

解法二:由于這類求值問題的結(jié)果是一個(gè)定值，角度對答案無影響，所以丕妨設(shè):特殊值以簡

化熊

設(shè)/B=90o,NC=60o,BC=2,以B為原點(diǎn)，蔗的方向?yàn)閤軸正方向，麗的方向?yàn)閥軸正方向建

立