異面直線（傳統法與向量法）原卷版

1.7異面:【線（傳統法與向量法）

模塊一：基礎知識...................................................2

考點一：異面直線相關基礎........................................2

考點二：傳統法求異面直線夾角....................................2

考點三：向量法求異面直線夾角....................................2

模塊二：題型分類...................................................3

題型一：傳統法求異面直線夾角....................................3

題型二：向量法求片面直線夾角....................................4

題型三：異面直線夾角范圍易錯題..................................5

題型四：片面直線夾用范圍與最值..................................7

題型五：片面直線夾知求參數類....................................8

模塊三：綜合鞏固..................................................10

1.7異面直線（傳統法與向量法）

模塊工基礎知識

考，點；?：異面直線相關叢礎

1、平面內兩條直線所成的角

平面內兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角）.

2、異面直線所成角

<1）定義；已知兩條異面宜線a,b,經過空間任一點。作直線〃&,6〃6,

我們把泉與6'所成的銳%（或白角）叫做異面?直線a與6所成的角（或夾角）.

（2）角的范闈：異面直線所成的角J的取值范圍：0°<8W900.

（3）當8=90°時，a與6互相垂直，記作a_L6.

取宜有兩種情況：異而垂直和相交垂直.

3、判定兩條宜線是異面比線的方法

①定義法：由定義判斷兩直線不可能在同一平面內

②重要結論：連接平面內一點與平面外一點的直線，和這個平面內不經過此點的直線是異面直線.用符號

i普言可表示為樨*於a,1Ua,屏/0M與】是異面直線（如圖）.

考點工傳統法求異面直線夾角

1、作角：根據異面直線所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角；

2、證角：證明作出的角就是要求的角,即證明所作角的兩邊分別與兩條異面直線平行

3、計算：求角的值，常利用解三角形得出。

可用“一作二證三計并”來概括,同時注意異面直線所成角范圍是。V"<90。.

4、結論：若求出的角時銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角；

若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角。

考點三向疑法求異面直線夾角

已知。，6為兩異面直線，N，。與3,。分別是。，6上的任意兩點，〃，力所成的角為6,則

------就?麗

?cos<AC,BD>=.————-

■\AC\\BD\

_____\AC-BD

@cos6=|cos<AC,BD>|=____

AC[\BD

模塊工題型分類

遨型H傳統法求異向直線夾角

1.如圖，在正方體松力中,

<1)4。和，2所成的角足；

<2)4；和。G所成的角是；

(3)4。和同月所成的角是:

<4)力。和48所成的角是.

2.如圖，在空間四邊形被第中，AD=BC=2,￡尸分別是小⑺的中點，親EF=忑,求異面直線4?,

加所成角的大小.

3.在H三棱柱"c-44G中，NBZC=三，A^=AC=2AB=2,。為四邊形441G。的中心，則異面

直線”】與Afi夾角的余弦值為()

A.立B.立C.此D.正

10152025

4.在平行六面體力88-4與。］。］中，底面48co是菱形，ZBJD=60°,44,與底面4BCD垂直，Af,N

分別在8。和即>1上，且BD=3BM,3］。］=3。^，且3=3一乜=4,則異面直MN與工。1所成角的余弦

值為()

7-719R7后「3曬n3拒

34341717

5.在正方體中，E為棱8用的中點，則異而直線4石與方G夾角的余弦侑為（）

A.0B.立C.3D.巫

2310

6.（補形法）正方體NB8-44GP中，M是，3的中點，則。與與CM所成角的余弦值為____

7.在三棱柱々C-481G中，44_L平面晶。，ABJ.BC,=BC=2AB,則異向直線月田與4c所成

角的余弦值為（）

A.也B.在C.晅D.典

5555

題型：：向同法求異血匕線夾角

1.已知正四棱柱疑8-4與GR中，AB=2,44=4,點石，F分別是3￡和54的中點，初是線段。尸

的中點，則直線4H和CE所成角的余弦值為（）

2.如圖，在三棱臺功。-4丹￡中，BA1BC,平面44"J■平面相C,二面角4-方。的大小為45°,

AB=2,BC=44=也￡=1.

⑴求證：X4，平面43。；（2）求異面直線34與B0所成角的余弦值.

3.如圖，在四棱錐尸-JBCD中，R4JJ氐面2BCD,底面NBCD為正方形，PA=BC,E為CD的中點，F

為PC的中點，則異面直線師與P石所成角的余弦值為（）

面直線ME與FG所成角的余弦值為（）

5.如圖,在多面體45CZ）及'G中，四邊形45CZ）為菱形，48=2,ZDAB=60°,AE//CG//DF,且。尸工

平面Z5CZ）,四邊形3EFG是E方形，則竺=；異面直線NG與D石所成角的余弦值為.

1.三棱錐O-4C中，OA.OB.OC兩兩垂直且相等，點P.0分別是線段8C和04上移動,且滿足BPwgsC,

AO<^AOt貝W2和08所成角余弦值的取值范圍是（）

A.哈李B.[f4]C.隱鳴D.性用

2.如圖所示,在棱長為2的正方體ABCD-4Mq中，E是棱CG的中點，於二4五5,若異面直感［E

和4F所成用的余弦值為處，則異面立線4廠與HE所成角e的余弦值為（）

A.-立B.立C.垣D.一辿

10101010

3.止方體38-4用。4中，￡＞尸分別為AG，叫的中點,則異面直線4E與尸。所成角的余弦值

叵B.拽C..拽D.也

15151515

4如圖,將乙4=60,的菱形沿對用線8。折起，使得平?面平?面CBZ），則異面直線與CD

所成角的余弦值為（）

5.在四面體ZBCD中，為正三角形，平面疑C,且,四=m，若3亞=刀，2CF=CD,則

異面H線OE和BF所成角的余弦值等J-（

「2回n2叵

13133939

題型叫：異曲I'［線夾角范圍與妣值

1.已知R4_L平面押8,四邊形"CD是矩形，24=如為定長，當W5的長度變化時,異面直線尸。與"）

所成角的取值范圍是.

2.有很多立體圖形都體現了數學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體,

半止多面體因其最早由阿基米德研究發現，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數為24,棱長為0

的半正多面體，它的所有頂點都在同?個正方體的發面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面

體所得.若點E為線段BC上的動點，則苴線OE與直線所成角的余弦值的取值范圍為（）

C.

3.如圖，在長方體X38-44G烏中，E如44的中點，點戶是AD上一點,45=引4=2,BC=3,JF=1,

動點尸在上底面4用GD"：,R滿足三棱錐尸-BE尸的體積等于1,則直線。尸與所成角的正切值的最

小值^.

4.已知正四面體Z-BCD內接于半徑為三?的球O中，在平面BCD內有一動點尸，且滿足4P=40，則

忸P|的最小值是；直線心與直線BC所成角的取值范圍為______.

5.如圖，四邊形疑8中，幺8=應）=￡14=2.87=6=應.現將4血）沿8。折起，當二面角2-8。一。

處于二巨過程中，直線4）與8C所成角的余弦值取值范圍是（）

66

一立5"

A.一也叵B.

~8~3~T~J。隹8］

6.如圖所示，正方體功8-4好\。1中，點。為底面疑8的中心，點尸在側向BCG4的邊界及其內部

移動，若DQ工OP,則異而I’［線2尸與43所成角的余弦值的最大值為（）

A.|B.走C.@D.亞

3233

題型心與面H線夾角求參數類

1.己知四棱錐尸的底面為平行四邊形，NQ=2,OC=4,NR4D=6（r，尸。,平面二458,直

絞尸。與平面尸NC所成角為30'，則尸D=<）

A.20B.孚C."D,布

2.如圖，在四棱柱458-44（71。1中，44JL底面44力，IL底面d塊力為菱形，d4=3,AB=2,

ZJBC=120°,P為8C的中點，”在力4上，。在平面a8內運動（不與尸重合），且尸0工平面441GC

異面宜發尸。與坊河所成角的余弦值為半，則tan/Z0M的最大值為___________.

3.如圖，在四棱鉞尸-NBCD中，己知尸4_L平而NBCD,IL四邊形/BCD為“角梯形，zLABC=^BAD=-,

2

PA=AD=21AB=BC=1.

<1）求平面與平面PCD所成銳二面角的余弦值；

<2）點0是線段B尸上的動點,當直線。。與。尸所成的角鼠小時,求線段呢的長.

4.如圖，在四棱徒尸一38中，尸d_L平面且88,XC_La。，AB_LBC,N0c4=60。，AP-AD-AC-2,

E為CD的中點，河在H3上，II.而=2而.

⑴求證：EM■〃平面R4D；

⑵求平面R4Z）與平面P8C夾角的余弦值；

⑶點尸是線段尸。上異「兩端點的任意一點，若滿足異面H線石產與NC所成角為4夕，求"的K.

5.已知四棱錐尸一N5CD的底面是邊長為2的正方形，APND是以4。為斜邊的等腰直角三角形，ABA.

平面?4Z），E是線段?Z）上的動點（不含端點），若線段43上存在點產（不含端點），使得異面直線尸4

和a'所成的加的大小為30。，則線段幺廠長的取值范圍是.

模塊:，獴企鞏固

1.如圖，.43是半圓柱底面的直徑，尸4是半圓柱的高，。是向上一點，且R4=ZC=BC,Z）為尸5的

中點，則異面?直線4。與5C所成角的余弦值為________.

2.如圖，在直三棱柱建C-JAG中，力。為等腰直角三角形，且疑=ZC=當物=1,則異面直線盟

與4c所成角的正弦值為（）

A.|B.在