第二章 相交線與平行線 單元培優(yōu)題（含解析）2025-2026學年北師大七年級數(shù)學下冊

第二章相交線與平行線單元培優(yōu)題2025-2026學年北師大數(shù)學七年級下冊

一.選擇題（共5小題）

1.在同一平面內(nèi)，有8條互不重合的直線，八,，2,，3…，8，若ll」2,h"13,，3~L/4,，4〃/5…以此類推,

則和/8的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

C.平行或垂直D.無法確定

2.如圖，AB//EF,設(shè)NC=90°,那么x、》和z的關(guān)系是（）

A.y=x+zB.x+y-z=90°

C.x+y+z=180°D.尹z-x=90°

3.如圖，AB//CD,/ABE=^NEBF,ZDCE=\^ECF,設(shè)NE=0,ZF=y,則a,0,丫的

4J

數(shù)量關(guān)系是（）

A.4p-a+v=360cB.3p-a+y=360°

C.4P-a-y=360°D.3p-2a-Y=360°

4.如圖，AB"CD,F為4B上一點,FD〃EH,且FE平分/AFG,過點F作FG上EH于點G,且/4FG

=2/。，則下列結(jié)論：①NO=30°；②2NO+N￡77C=90°；③五。平分識④平分NGQ.其

中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

第1頁（共49頁）

5.如圖，CD"AB,8c平分N/CO,C尸平分N4CG,點G、C、。共線，點8、E、A./夾線，ABAC

=40°,Z1=Z2,則下列結(jié)論：①CB上CF；②Nl=70°；0Z3=2Z4；@ZACE=2Z4.其中

正確的是（）

D.①②③④

二.填空題（共6小題）

6.如圖，將一副三角板和一張對邊平行的紙條按如圖方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角

的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則N1的度數(shù)

7.一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線的兩相交，最多有6個交點；5條直線兩兩

相交，最多有10個交點；8條直線兩兩相交，最多有個交點.

8.如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①N1=N3；②如果N2=30°,則有力C〃。反③

如果N2=30°,則有8c〃/i。；④如果N2=30°,必有N4=NC.其中正確的有.（填

序號）

99

9.如圖，AB//CD,2ABF=專乙ABE,乙CDF=$"DE,DQ,4。分別平分NGOE和則/。必,

/DQB滿足的數(shù)量關(guān)系為:

第2頁（共49頁）

10.【動手操作】如圖，點0為直線48上一點，過點。作射線0C,使N8OC=135°.將直角三角板MON

繞點。旋轉(zhuǎn)一周，當直線與直線0c互相垂直時，N40M的度數(shù)是

11.將一條兩邊互相平行的紙帶沿七尸折疊，如圖（1）,AD//BC,ED'//FC,設(shè)N4E0=x°

（1）/EFB=.（用含x的代數(shù)式表示）

（2）若將圖1繼續(xù)沿8b折疊成圖（2）,/EFC”=.（用含x的代數(shù)式表示）.

三.解答題（共16小題）

12.已知，如圖，EF上4c于F,Q4_L/C于Z1=Z2,N3=NC,求證：AB//MN.

(1)如圖1,Zl+Z2=；

(2)如圖2,Zl+Z2+Z3=：

(3)如圖3,Nl+N2+N3+/4=；

(4)如圖4,試探究N1+N2+/3+N4+…+N〃=

第3頁（共49頁）

BB

14.問題情境：如圖1,AB//CD,ZPAB=i30°,NPCD=120°,求/力尸C的度數(shù).

小明的思路是：過P作PE〃/8,通過平行線性質(zhì)來求N/PC.

（1）按小明的思路，易求得N/1尸。的度數(shù)為度；

（2）問題遷移：如圖2,月8〃。。，點尸在射線041上運動，記NR4B=a,ZPCD=p,當點P在8、

。兩點之間運動時，問N/FC與a、口之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

（3）在（2）的條件下，如果點Q在仄。兩點外側(cè)運動時（點P與點O、B、。三點不重合），請直

接寫出N力尸C與a、0之間的數(shù)量關(guān)系.

15.已知，直線力8〃QC,點尸為平面上一點，連接4P與CP

（i）如圖1,點P在直線48、CO之間，當/歷fP=60°,/DCP=20°時，求N4尸C.

（2）如圖2,點P在直線力仄。之間，N84P與NQCP的角平分線相交于點K,寫出N4KC與乙仍C

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

（3）如圖3,點尸落在C、。外，尸與NOC尸的角平分線相交于點K,/4KC與N4PC有何數(shù)量關(guān)

系？并說明理由.

16.已知4W〃CM點8為平面為一點，4B工BC于B.

第4頁（共49頁）

(1)如圖1,直接寫出N4和NC之間的數(shù)量關(guān)系:

(2)如圖2,過點8作8。_L4M于點。，求證：/ABD=NC；

(3)如圖3,在(2)問的條件下，點￡、“在QM上,連接4￡、BF、CF,BF平分/DBC,平分

NABD,若NFCB+NNCF=l80",NBFC=3NDBE,求NE8C的度數(shù).

17.如圖，已知力4〃。。，現(xiàn)將一直角三角形尸放入圖中，其中NP=90°,PM交AB干點、E,/W交

CD于點F

(1)當△PA/N所放位置如圖①所示時，則與N4EM的數(shù)量關(guān)系為

(2)當△PA/N所放位置如圖②所示時，求證：ZPFD-ZAEM=90°：

18.“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照

燈.如圖1所示，燈4射線從4W開始順時針旋轉(zhuǎn)至4N便立即回轉(zhuǎn)，燈8射線從8P開始順時針旋轉(zhuǎn)

至8。便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈力轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈8轉(zhuǎn)動的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即00〃MN,且/歷IM：ZBAN=2：1.

(I)填空；ZDAN=°；

(2)若燈8射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈力射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈8射線到達8。之前，力燈轉(zhuǎn)動幾秒，兩燈

的光束互相平行？

(3)如圖2,若兩燈同時轉(zhuǎn)動，在燈彳射線到達力N之前.若射出的光束交于點C,過。作N4CO交

P。于點。，且/48=120°,則在轉(zhuǎn)動過程中，請?zhí)骄縉8/IC與N8C。的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？

若不變，請求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由.

第5頁(共49頁)

19.已知一個知的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，請結(jié)合圖，探索這兩個角之間的關(guān)系，并說明理由.

（1）如圖①，AB//CD,BE//DF,N1與N2的關(guān)系是:

證明：

（2）如圖②，AB//CD,BE//DF,Z1與N2的關(guān)系是；

證明：

（3）經(jīng)過上述證明，我們可得出結(jié)論，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個

角;

（4）若這兩個角的兩邊分別平行，且一個角比另一個角的3倍少60°,則這兩個角分別是多少度？

解：

20.當光線經(jīng)過鏡面反射時，入射光線、反射光線與鏡面所夾的角對應相等例如：在圖①、圖②中，都

有N1=N2,Z3=Z4.設(shè)鏡子48與8C的夾角

（1）如圖①，若a=90°,判斷入射光線E/與反射光線的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖②，若90°<a<180°,入射光線勿'與反射光線G〃的夾角NEH〃=0.探索a與0的數(shù)量

關(guān)系，井說明理由.

（3）如圖③，若a=120°,設(shè)鏡子CO與3c的夾角N8CD=Y（9（）。<y<180°）,入射光線E尸與

鏡面M的夾角（0°<w<90°）,己知入射光線EE從鏡面”開始反射，經(jīng)過〃（〃為正整數(shù),

且〃W3）次反射，當?shù)凇ù畏瓷涔饩€與入射光線"'平行時，請直接寫出丫的度數(shù).（可用含有〃?的代

數(shù)式表示）

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21.如圖，直線NC=N044=100°,E、F在.CB上,且滿足/力。4,OE平分4COF

（1）求/￡08的度數(shù)；

（2）若平行移動力4,那么NO4C：NOFC的值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律或求出變

化范圍：若不變，求出這個比值.

（3）在平行移動48的過程中，是否存在某種情況，使N0EC=N08/l?若存在，求出其度數(shù)；若不

存在，說明理由.

22.如圖，AB//CD,定點、E,廠分別在直線48,CD±,在平行線CO之間有一動點P,滿足0°<

Z￡P(guān)F<180°.

（1）試問/4EP,NEPF,NPR7滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解：由于點。是平行線48,。。之間有一動點，因此需要對點夕的位置進行分類討論：如圖1,當P

點在E廠的左側(cè)時,NAEP,ZEPF,NPFC滿足數(shù)量關(guān)系為,如圖2,當尸

點在七戶的右側(cè)時，NAEP,￡EPF,NP*C滿足數(shù)量關(guān)系為.

（2）如圖3,QE,。產(chǎn)分別平分/PE8和N/Y7X且點尸在“'左側(cè).

①若NE尸產(chǎn)=60°,則/七。尸=.

②猜想NE/N與NEQ/的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

③如圖4,若/4￡。與乙"。的角平分線交于點。|,/航0與的角平分線交于點02，NMQ2,

與NQ/Q的角平分線交于點。3；此次類推，則NEP尸與NEQoi才滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？（直接寫出

結(jié)果）

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23.已知力8〃。。，點M、N分別是/B、CO上兩點，點G在44、CO之間，連接A/G、NG.

(I)如圖1,若GM1GN,求N4WG+NCNG的度數(shù)；

(2)如圖2,若點P是CD下方一點，MG平分/BMP,ND平分/GNR已知NBMG=40°,求N

MGN+/MPN的設(shè)數(shù);

(3)如圖3,若點、E是AB上方一點、,連接EM、EN,且GW的延長線M/平分N4M&NE平分NCNG,

2/MEN+NMGN=102°,求N4ME的度數(shù).(直接寫出結(jié)果)

24.將△力8c紙片沿QE折疊，其中N4=NC.

(1)如圖1,點C落在8c選上的點尸處，力8與。”是否平行？請說明理由：

(2)如圖2,點C落在四邊形力8CQ內(nèi)部的點G處，探索與/1+N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理

25.問題情境

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩條平行線力&CO利一塊含60°角的直角三角尺EFG1NEFG

第8頁(共49頁)

=90°,NEG/=60°）”為主題開展數(shù)學活動.

操作發(fā)現(xiàn)

（1）如圖（1）,小明把三角尺的60°角的頂點G放在CQ上，若N2=2N1,求N1的度數(shù)；

（2）如圖（2）,小穎把三角尺的兩個銳角的頂點石、G分別放在和CO上，請你探索并說明N力七下

與/產(chǎn)GC之間的數(shù)量關(guān)系；

結(jié)論應用

（3）如圖（3）,小亮把三角尺的直角頂點廠放在CO上，30°角的頂點￡落在上.若/AEG=a,

則NGG等于（用含a的式子表示）.

圖⑴圖⑵圖（3）

26.如圖，點O為直線上一點，過點。作射線。C,使/8。。=110。.將一直角三角板的直角頂點放

在點。處（NOMN=30°）,一邊OM在射線。8上，另一邊ON在直線的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點0逆時針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊在N8OC的內(nèi)部，且恰好平分N8。。.求

N8ON的度數(shù).

（2）將圖1中的三角板繞點。以每秒5°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第，秒時，

直線ON恰好平分銳角N//OC,則/的值為（直接寫出結(jié)果）.

（3）將圖1中的三角板繞點。順時針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在/力OC的內(nèi)部，請?zhí)骄縉/1QW與/NOC

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

27.已知M、N分別為直線力從直線C。上的點，且力〃〃。。，E在AB,C。之間.

（1）如圖1,求證：NBMEMDNE=NMEN；

第9頁（共49頁）

(2)如圖2,尸是CO上一點，連作MQ〃EN,若/QMP=NBME.

試探究N￡1與N4必尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(3)在(2)的條件下，作NG_LC。交于G,若M尸平分/QM?,NF邛■分乙ENG,若NMGN=m。,

/MFN=n：直接寫出小與〃的數(shù)量關(guān)系.

第10頁(共49頁)

2026年北師大版七年級下冊第二章相交線與平行線單元培優(yōu)題

參考答案與試題解析

一.選擇題（共5小題）

題號12345

答案ABABA

一.選擇題（共5小題）

1.在同一平面內(nèi),有8條互不重合的直線,Z1，，2，，3…，8,若/I_L，2，h〃h，h工汨，4〃，5…以此類推，

則人和/8的位置關(guān)系是（）

A.平行B.垂直

C.平行或垂直D.無法確定

【分析】如果一條直線垂直于兩平行線中的一條，那么它與另一條一定也垂直.再根據(jù)“垂直于同i條

直線的兩直線平行”，可知心與及的位置關(guān)系是平行.

【解答】解：???/2〃/3,皿4,14〃卜，皿6,16〃17,/7±/8?

/./2±74,皿6,皿8,

A/2±/8.

???/山2，

故選：A.

【點評】靈活運用“垂直于同一條直線的兩直線平行”是解決此類問題的關(guān)鍵.

2.如圖，AB//EF,設(shè)NC=90°,那么x、），和z的關(guān)系是（）

A.y=x+zB.x+y-z=90Q

C.x+y+z=180°D.j?z-x=90°

【分析】過C作CM〃力8,延長CD交EF于N,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NCNE=y-z,根據(jù)平行線

性質(zhì)得出Nl=x,N2=NCNE,代入求出即可.

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【解答】解：過C作CM〃力6,延長。。交于N,

則NCDE=NE+NCNE,

即NCNE=y-z

,:CM〃AB,AB//EF,

：.CM//AB//EF,

ZABC=x=Z1,N2=NCNE,

?：/BCD=90°,

/.Zl+Z2=90o,

：.x+y-z=90°.

故選：B.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)的應用：注意：平行線的性質(zhì)有：①兩直線平行,

同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，題目比較好，難度適中.

3.如圖，AB//CD,/ABE=』NEBF,ZDCE=\AECF,設(shè)N48E=a,N￡=0,ZF=y.則a，B，Y的

數(shù)量關(guān)系是（）

A.4p-a+Y=360°B.3P-a+y=360°

C.4p-a-y=360°D.3|3-2a-Y=360°

【分析】過E作EN〃48,過尸作尸根據(jù)已知條件得出斤=3a,ZDCF=4ZECD,求出

AB//EN//CD,AB//FQ//CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N川如=N4￡V=a,ZECD=ZCEN,ZABF+

Z5FO=180°,ZDCF+ZCFQ=\^,求出a+NECO=0,3。+丫+4/。"=360°,再求出答案即可.

【解答】解：過E作EN〃AB,過產(chǎn)作“。〃力以

第12頁（共49頁）

11

?:/ABE=/EBF,ZDCE=^ZECF,NABE=a,

AZABF=3a,/DCF=4/ECD,

，：AB〃CD,

：.AB//EN//CD,AB//FQ//CD,

:.NABE=/BEN=a,ZECD=ZCEN,N4BF+NBFQ=180°,ZDCF+ZCFQ=ISO°,

:.NABE+NECD=NBEN+NCEN=NBEC,^ABF^^BFQ^ZCFQ^rZDCF=\^+180°=360°,

即a+NECQ=B，3a+y+4NOCE=360°,

AZFCD=p-a,

???3a+Y+4（p-a）=360°,

即40-a+Y=36O°,

故選：A.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運用知識點進行推理是解此題的關(guān)鍵.

4.如圖，AB//CD,F為乂B上一點,FD//EH,且在平分/力廠G,過點尸作"G_LE"于點G,且N4"G

=2NO,則下列結(jié)論：①/。=30。；②2ND+NEHC=90。；③/力平分NH7弭④切平分NG77。.其

中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解答.延長網(wǎng)，交。〃于/,構(gòu)造出直角三角形，利用直

角三角形兩銳角互余解答.

【解答】解：延長R7,交CH于I.

?:AB"CD,

：?4BFD=4D,NAFI=/F【H,

第13頁（共49頁）

'JFD//EH,

：.ZEHC=ZD,

?；FE平分/4FG,

NFIH=2NAFE=2/EHC,

：?3NEHC=90°,

:,NEHC=30°,

/.ZD=30°,

：?2/D+/EHC=2又300+30>=90°,

J①/。=30°；②2/O+N￡HC=900正確，

平分N/IFG,

，/4/7=3()°X2=60°,

?：NBFD=30°,

.\ZGFZ)=90o,

；?NGFH+/HFD=90°,

可見，NHFQ的值未必為30°,NGF”未必為45°,只要和為90°即可,

:.③FD平分4HFB,④尸〃平分NGFQ不一定正確.

故選二

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，二者有機結(jié)合，難度較大，需要作出輔助線，對

能力要求較高.

5.如圖，CD"AB、4c平分NZCO,C/平分N/CG,點（7、C、。共線，點）、E、A.“夫線，NBAC

=40°,Z1=Z2,則下列結(jié)論：①CB上CF；②NI=70°；③N3=2N4：（4）ZJC￡=2Z4.其中

正確的是（）

第14頁（共49頁）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【分析】根據(jù)角平分線的意義和平角的定義即可判斷①；根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等和外角的性質(zhì)

得出N力4=N4=N/1W=2O°,N8cO=N2,再根據(jù)角的和差即可判斷②；根據(jù)三角形內(nèi)角和定

理即可判斷③；根據(jù)外角的性質(zhì)即可判斷④.

【解答】解：??.AC平分N/CD,C77平分N4CG,

/./.BCD=Z.BCA=^z.ACD.z4=AACF=^AACG,

VZJCD+ZJCG=180°,

+乙ACF=±4+BCD=^/.ACD+^ACG=90°=LBCF,

AC51CF,①正確；

,:CD〃AB,/B4C=40°=NAFC+NACF,

/.Z/iFC=Z4=ZJCF=20o,N8CO=N2,

???N8CO=900-Z4=70°=Z2,

.*.Zl=Z2=70°,②正確；

VZl+Z2+Z3=180°,

.??N3=18O°-Z1-Z2=40°,

，N3=2/4,③正確；

?：NT=NB4C+N/1CE,

：.ZACE=Z\-ZBAC=30°W2N4,④錯誤；

故選：A.

【點評】本題考查了角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，熟練

掌握知識點是解題的關(guān)健，

二.填空題（共6小題）

6.如圖，將一副三角板和一張充邊平行的紙條按如圖方式擺放，兩個三角板的一直角邊重合，含30°角

的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，MZ1的度數(shù)

【分析】過力點作相〃4,利用平行線的性質(zhì)得力8〃4所以N1=N2,N3=N4=30°,加上N2+

第15頁（共49頁）

N3=45°,易得Nl=15°.

【解答】解：如圖，過4點作力8〃。,

AZ1=Z2,

?：a〃b,

:.AB〃b,

/.Z3=Z4=30°,

而N2+N3=45°,

AZ2=15°,

AZ1=15°.

故答案為15°.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

7.一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有6個交點；5條直線兩兩

相交，最多有10個交點：8條直線兩兩相交，最多有28個交點.

【分析】由已知一平面內(nèi)，三條直線兩兩相交，最多有3個交點；4條直線兩兩相交，最多有6個交點:

5條直線兩兩相交，最多有10個交點總結(jié)出：在同一平面內(nèi)，〃條直線兩兩相交，則有g(shù)二?個交點,

代入即可求解.

【解答】解：???由已知總結(jié)出在同一平面內(nèi)，〃條直線兩兩相交，則最多有若3個交點，

8（8-1）

???8條直線兩兩相交，交點的個數(shù)最多為I'=28.

故答案為：28.

【點評】此題考查的知識點是相交線，關(guān)鍵是此題在相交線的基礎(chǔ)上，著重培養(yǎng)學生的觀察、實驗和猜

想、歸納能力，掌握從特殊到一般猜想的方法.

8.如圖，將一副三角板按如圖放置，則下列結(jié)論：①N1=N3：②如果N2=3O°,則有力C〃。氏（3）

如果N2=30°,則有8c〃力Q；④如果N2=30°,必有N4=NC.其中正確的有①②④.（填

序號）

第16頁（共49頁）

【分析】根據(jù)兩種三角板的各角的度數(shù)，利用平行線的判定與性質(zhì)結(jié)合已知條件對各個結(jié)論逐一驗證，

即可得出答案.

【解答】解：①???NC48=NE/O=90°,

：,Z\=ZCAB-Z2,Z3=ZEAD-Z2,

???N1=N3.

二?①正確.

（2）VZ2=30°,

AZ1=90°-30°=60°,

???/￡=60°,

AZ1=Z￡,

：,AC//DE.

???②正確.

（3）VZ2=30°,

/.Z3=90°-30°=60°,

???N8=45°,

???8C不平行于4Q.

???③錯誤.

④由②得〃。石.

,Z4=ZC.

???④正確.

故答案為：①②④.

【點評】此題主要考查學生對平行線判定與性質(zhì)、余角和補角的理解和掌握，解答此題時要明確兩種三

角板各角的度數(shù).

97

9.如圖，AB//CD,乙ABF="ABE,乙CDF="CDE,DQ,80分別平分/GOE和則/。產(chǎn)8,

第17頁（共49頁）

Q

/。。片滿足的數(shù)量關(guān)系為：=180°_.

【分析】根據(jù)拐角//和N0的特性，作FT"CD,QK〃48,根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等分別推出四

個角NDFT,ZTFB,ZDQK,NK08對應的相等角，再根據(jù)平角的定義和角平分線的定義推出N。照,

NQ4。兩者的數(shù)量關(guān)系.

【解答】解：過點尸作尸7V/CD,過點。作0K〃/14

C.CD//FT//QK//AB,

:?/DFT=/CDF,/TFB=/ABF,/DQK=/GDQ,ZKQB=ZQBH,

/.NDFB=ZDFT+ZTFB=ZCDF+ZABFZDQB=ZDQK-^ZKQB=ZGDQ+ZQBH,

22

■:乙ABF=^Z.ABEZ-CDF=W“DE,

222

:?乙DFB=(CDF+乙ABF=三乙CDE+微=^(zCDE+乙ABE),

ooo

3

:*DFB=乙CDE+UBE,

2

VDQ,8。分別平分NGQE和

iii

乙DQB=乙GDQ+乙QBH="GDE+/HBE=1(乙GDE4-Z.HBE),

???NGOE+NCOE=180°,/HBE+NABE=180°,

???乙DQB=1(180°-Z.CDE+180°-Z.ABE),

113

:.乙DQB=180°-y(ZCDE+LABE)：.^LDQB=180°-1x

3

:.乙DQB+*乙DFB=180°,

故答案為：/.DQB+^DFB=180°.

【點評】本題考查了平行線的性質(zhì)，涉及到的是知識點有內(nèi)錯角和角平分線的定義，解題過程中是否能

第18頁（共49頁）

熟練掌握兩宜線平行，內(nèi)錯角相等是解題重點，能否畫對輔助線是解題的關(guān)鍵.

10.【動手操作】如圖，點。為直線力8上一點，過點。作射線OC,使N8OC=135°.將直角三角板"ON

繞點。旋轉(zhuǎn)一周，當直線與直線OC互相垂直時，N/0M的度數(shù)是135°或45°.

【分析】分在直線OC的右側(cè)和OM在直線OC的左側(cè)兩種情況求解即可.

【解答】解：???NBOC=135°,

AZAOC=\SO0-135°=45°.

當OM在直線OC的右側(cè)時，如圖，

Azcaw=9o",

/.ZAOM=ZAOC+ZCOA4=135°

當OM在直線OC的左側(cè)時，如圖,

VOM1OC,

/.ZCOM=90°,

：.AAOM=ACOM-ZAOC=45°.

故答案為：135°或45°.

【點評】本題考查了垂直的定義，角的和差計算，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵.

11.將一條兩邊互相平行的紙帶沿環(huán)折置，如圖（I）,AD〃BC,ED'//FC,設(shè)N/E/T=x°

第19頁（共49頁）

圖1圖2

（1）NEFB=90°-#.（用含x的代數(shù)式表示）

3

（2）若將圖1繼續(xù)沿8b折疊成圖（2）,4EFC"=-x0-90：.（用含x的代數(shù)式表示）.

【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得/。￡尸=/￡7咕，N/1E"+NE，B=18O°,折疊和三角形的外角得）

11

=NEFB,/EFB="EHB,最后計算出NEM=90°—聲；

（2）由折疊和平角的定義求出N"V=9（）。+^x°,再次折疊經(jīng)計算求出NEFC=.

【解答】解：（1）如圖I所示：

圖1

,:AD〃BC,

:"DEF=4EFB,ZAEH+ZEHB=\S00,

又?：/DEF=/D'EF,

,NDEF=/EFB,

又,?ZEIIB=ZD'EF+ZEFB,

/./EFB=3/EHB,

又.：/AED'=x°,

；?NEHB=180°-x°

/.ZEFB=1(180°-x°)=90。-

(2)如圖2所示：

第20頁（共49頁）

圖2

?；/EFB+/EFC=180°,

.\Z￡：FC=180°-(90°-1x°)=90°+1x°,

又???/EFC=2/EFB+/EFU,

/./EFC=/EFC-2ZEFB

=90°+|x°-2(90°-1x°)

3

=^x°-90°,

3

故答案為90。.

【點評】本題綜合考查了平行線的性質(zhì)，折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，平角的定

義和角的和差等相關(guān)知識，重點掌握平行線的性質(zhì)，難點是折疊前后的變及不變的問題，二次折疊處的

前后大小等量關(guān)系.

三.解答題(共16小題)

12.己知，加圖，E/J_4C于凡￡)4_L4c于A/,N1=N2,N3=NC,求證：AB//MN.

【分析】由于￡7口_力C,。5_1_4。得到￡/〃力加，根據(jù)平行線的性質(zhì)得N2=NCOM,而/1=N2,則

Z1=ZCDM,根據(jù)平行線的判定得到〃N〃CD所以NC=N4WM又N3=NC,于是N3=N4WM

然后根據(jù)平行線的判定即可得到AB//MN.

【解答】證明：*：EFVAC,DBLAC,

:.EF//DM,

：,Z2=ZCDM,

VZ1=Z2,

第21頁(共49頁)

/.Z1=/CDM,

:?MN〃CD,

JZC=/AMN,

VZ3=ZC,

：.43=NAMN,

:.AB〃MN.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等.

13.已知，AB//CD,試解決下列問題：

（1）如圖1,Zl+Z2=180°；

（2）如圖2,Nl+N2+N3=360°；

（3）如圖3,Zl+Z2+Z3+Z4=540°；

（4）如圖4,試探究N1+N2+N3+N4+…+/〃=180°（.??-!）.

【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補作答；

（2）過點上作平行于力〃的直線，運用兩次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補即可得到三個角的和;

（3）分別過點E,尸作48的平行線，運用三次平行線的性質(zhì)，即可得到四個角的和；

（4）同樣作輔助線，運用（〃-1）次平行線的性質(zhì)，則〃個角的和是（/?-1）180°.

解：（1）,：AB//CD,.\Z1+Z2=18O°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）;

（2）過點E作一條直線EE〃/18,

第22頁（共49頁）

：.CD//EF,

.*.Zl+ZJ￡F=180°,ZF￡C+Z3=180°,

AZ1+Z2+Z3=36O°；

(3)過點E、/作EG、"/平行于月心

,:AB"CD,

：.AB//EG//FH//CD,

AZ1+ZJEG=18O°,/GEF+/EFH=T80°,NHFC+N4=180°；

???N1+N2+N3+/4=54O°；

(4)根據(jù)上述規(guī)律，顯然作(〃-2)條輔助線，運用(/?-1)次兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補.即可

得到八個角的和是180°(n-1).

【點評】注意此類題要構(gòu)造平行線，運用平行線的性質(zhì)進行解決.

14.問題情境：如圖1,AB//CD,ZPAB=\30°,ZPCZ)=120°,求N/PC的度數(shù).

小明的思路是：過P作PE〃么8,通過平行線性質(zhì)來求N4PC.

<1)按小明的思路，易求得/4PC的度數(shù)為」度：

(2)問題遷移：如圖2,AB1CD,點尸在射線OM上運動，記NR18=a,ZPCD=p,當點、P在B、

。兩點之間運動時，問N力PC與*B之間有何數(shù)顯關(guān)系？請說明理由：

(3)在(2)的條件下，如果點P在夙。兩點外側(cè)運動時(點P與點。、B、力三點不重合)，請直

接寫出乙4尸C與a、0之間的數(shù)量關(guān)系.

【分析】(1)過P作PE〃彳B.通過平行線性質(zhì)求N/PC即可；

(2)過戶作PE〃48交4c于E,推出48〃PE〃OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Na=N/IPE,Zp=Z

CPE,即可得出答案：

(3)分兩種情況：。在5。延長線上；Q在。6延長線上，分別畫出圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Na

=N4PE,4=NCPE,即可得出答案.

第23頁(共49頁)

【解答】(1)解：過點、P作PE〃4B,

?：AB〃CD,

PE//AB//CD,

AZJ+ZJPE=180°,ZC+ZCPE=180°,

*：ZPAB=130°,NPCD=l20°,

AZJP￡=50°,NCPE=60',

/.ZAPC=^APE+ZCPE=110°.

(2)ZJPC=a+p,

理由：如圖2,過P作PE//4B交4C于E,

?：AB"CD,

：.AB//PE//CD,

:.a=NAPE,^=ZCPE,

：.ZAPC=ZAPE+ZCPE=a-^-

(3)如圖所示，當尸在8。延長線上時,

如圖所示，當P在。〃延長線上時,

NC以=0-a.

第24頁(共49頁)

【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較典型

的題目，解題時注意分類思想的運用.

15.已知，直線48〃。。，點P為平面上一點，連接力P與".

(1)如圖1,點P在直線力以C。之間，當/歷10=60°,NDCP=20°時，求NIPC.

(2)如圖2,點產(chǎn)在直線/I從C0之間，/41〃與NOCP的角平分線相交于點K,寫出乙4KC與N力〃C

之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,點。落在C。外，NB4P與NOCP的角平分線相交于點K,N/KC與//PC有何數(shù)量關(guān)

系？并說明理由.

【分析】(1)先過P作PE〃/18,根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到//PE=NA4P,/CPE=NDCP,再根

據(jù)ZAPC=ZAPE+ZCPE=ZBAP+ZDCP進行計算即可；

(2)過K作KE〃49,根據(jù)KE〃Z8〃CQ,可得N4KE=NBAK,/CKE=/DCK,進而得到N/IKC

=NAKE+NCKE=NBAK+NDCK,同理可得，ZAPC=ZBAP+ZDCP,再根據(jù)角平分線的定義，得

出NB4K+NDCK=3NB4P+g/DCP另(ZBAP+ZDCP)=^ZAPC,進而得至ljN4KC=裊/iPC；

乙乙乙乙乙

(3)過K作KE//4B,根據(jù)KE〃力4〃。。，可得NBAK=NAKE,ZDCK=ZCKE,進而得到N4KC

=NAKE-NCKE=/BAK-4DCK,同理可得，NAPC=NBAP-NDCP,再根據(jù)角平分線的定義，

得出/q力犬-/DCK=1ZP-1/DCP=/RAP-/DCPy=^/APC,進而得至l]//1KC=④/4戶C.

【解答】解：(1)如圖1,過。作尸E〃彳￡

■:AB//CD,

:.PE〃AB//CD,

:?/APE=/BAP,4CPE=4DCP,

:?/APC=/APE+/CPE=NBAP+/DCP=600+20°=80°；

第25頁(共49頁)

1

(2)ZAKC=jZAPC.

理由：如圖2,過K作K￡〃力B,

?:AB"CD,

：,KE//AB//CD,

AZAKE=ZBAK,ZCKE=^DCK,

/.Z.AKC=RAKE必CKE=ZBAK+ZDCK,

過P作PF〃4B,

同理可得，NAPC=NBAP+NDCP,

?；/BAP與/DCP的角平分線相交于點K,

：.ZBAK+ZDCK=.NBAP+*4DCP=1(NBAP+NDCP)=|ZJPC,

ANAKC=1Z/4PC；

,I

(3)NAKC=aNAPC.

理由：如圖3,過K作KE〃力從

,:AB"CD,

KE//AB//CD,

:?/BAK=/AKE,ZDCK=^CKE,

，ZAKC=/AKE-ZCKE=/BAK-ZDCK,

過P作PF〃4B,

同理可得，ZJPC=NBAP-NDCP,

:/BAP與/DCP的角平分線相交于點K,

111、1

:./BAK-/DCK=^NBAP-+NDCP=+(NB4P-/DCP)=jZAPC,

乙乙乙乙

,ZAKC=3NAPC.

【點評】本題主要考行了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)

第26頁（共49頁）

錯角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等進行計算.

16.已知/M/〃CN,點8為平面內(nèi)一點，AB上BC于B.

<1）如圖1,直接寫出N/1和NC之間的數(shù)量關(guān)系4+NC=90。；

（2）如圖2,過點B作BDL4M于點、D,求證：/ABD=NC；

（3）如圖3,在（2）問的條，牛下，點E、”在。必上，連接8E、BF、CF,BF平分NDBC,BE平分

/ABD,若NFCB+NNCF=180°,NBFC=34DBE,求NE8C的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)進行證明即可；

（2）先過點8作8G〃OM,根據(jù)同角的余角相等，得出N/8Z）=/C8G,再根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出

ZC=ZCBG,即可得到N45D=NC；

（3）先過點4作4G〃QM,根據(jù)角平分線的定義，得出N48/：=NGB”,再設(shè)NQ4E=a,/<3尸=0,

根據(jù)NC3產(chǎn)+NBR7+N8C產(chǎn)=180°,可得（2a+0）+3a+（3。+0）=180°,根據(jù)力8_L8C,可得0+0+2a

=90°,最后解方程組即可得到N"E=I5°,進而得出NE8C=N/8E+N/1〃C=15°+90°=105°.

【解答】解：（1）如圖1,與8C的交點記作點。，

?:AM//CN,

；?/C=/4OB,

■:AB1BC,

：.ZA+ZAOB=90°,

AZJ+ZC=90°,

故答案為：ZJ+ZC=90°；

第27頁（共49頁）

(2)如圖2,過點8作8G〃DM,

???8O_L4M,

:?DBLBG,BPZABD+ZABG=90°,

又,：ABLBC,

:?NCBG+NABG=90°，

J4ABD=4CBG,

，：AM〃CN,BG〃AM、

:.CN//BG,

：.4C=4CBG,

/.NABD=NC；

(3)如圖3,過點8作BG〃DM,

YBF平64DBC,BE平分N4BD,

：?/DBF=/CBF,/DBE=/ABE,

由(2)可得NABD=NCBG,

JZABF=/GBF,

設(shè)NDBE=a,ZABF=p,則

ZABE=a,ZABD=2a=ZCBG,ZGBF=^=ZAFB,NBFC=3/DRE=3a,

JNN/C=3a+0,

</AFC+/NCF=180°,NFCB+NNCF=180°,

：.ZFCB=ZAF'C=3a+p,

△8C尸中，41ZCBF+ZBFC+ZBCF=\SOQ,可得

(2a+p)