2027高考數學復習：等式與不等式綜合（十年）

專題03等式與不等式綜合（含基本不等式）

考點分類五年考情(2017-2026)命題規律

1.題型以選擇題為主，少量填空題，整

體難度偏低，屬于基礎題型。

2026上海卷、2025北京卷、20242.核心考查不等式基本性質、作差/作商

考點01不等式性

上海卷、2022上海卷、2019全國比較大小，常結合實數范圍判斷命題正

質

I【卷、2017山東卷誤。

3.命題形式簡潔，多直接給出變量大小

關系，側重對性質的理解與簡單應用。

1.選擇、填空均有考查，常與集合運算

上海卷、全國二卷、

202620252025結合出題，是高考高頻基礎考法。

上海卷、2025天津卷、2024上海2.重點考查一元二次不等式、高次不等

考點02解不等式卷、2023新課標I卷、2020浙江式求解，同時考查不等式恒成立求參數

卷、2020全國I卷、2019全國H范圍問題。

3.部分試題結合函數綜合考查，對分類

卷、2018天津卷

討論思想有一定要求。

2026天津卷、2026上海卷、2025

上海卷、2024北京卷、2024上海

1.考查題量最多，包含選擇、填空、解

卷、2023上海卷、2022全國甲卷、

答題,有單選、多選形式,難度覆蓋基

新高考全國卷、新高

2022I2022礎到中檔。

考全國H卷、2021全國乙卷、20212.核心考查利用基本不等式求最值、判

考點03基本不等

新高考全國I卷、2021天津卷、斷不等式恒成立，重點考杳“一正、二

式

2021上海卷、2020上海卷、2020定、三相等”使用條件。

3.綜合性強，常融合圓錐曲線、解三角

山東卷、2020全國II卷、2020天

形、函數、解析兒何等知識命題，注重

津卷、江蘇卷、天津卷、

20202019配湊、換元等解題技巧。

2018江蘇卷、2018天津卷、2017

天津卷

gio年真題?精準練‘為

考點（）1不等式性質

1.（2026?上海?高考真題）已知則下列不等式恒成立的是（）

A.x>/B.C.x2>yD.x+y>xy

【答案】C

【分析】舉反例即可求解ABD,根據不等式的傳遞性即可求解C.

【詳解】對于A,取x=3,），=2,則x=3，V=4,故所以人錯誤，

對于B,取x=1.5,y=L2?則孫=L8,x+y=2.7,此時孫<%+y,故B錯誤,

對于C,由于故％2>x,因此彳2>丁，C正確，

對于D,取x=3,y=2,則x+y=5,盯=6,此時4+），<封，故D錯誤,

故選：C

2.（2025?北京?高考真題）已知1〃>0/>0,則（)

I11

A.a2+/?2>2abB.—+->——

ahab

112

C.a+b>>fabD.

abaib

【答案】C

【分析】由基本不等式結合特例即可判斷.

【詳解】對于A,當〃時，/故A錯誤;

對于BD,取它此時卜3=2+4=6<丁，=8=￡

242Xi

lie,,2A后21

—h—=2+4=6>-i--------------=4。2=,—

abkJ向，故BD錯誤;

V2X4

對卜C,由基本不等式可得〃+Z?22\/i萬>5/^,故C正確.

故選：C.

3.（2024.上海.高考真題）a,b,CGR,b>c,下列不等式恒成立的是（）

A.a+b1>a+c2B.a2+b>a2+cC.ab1>ac~D.a-b>ere

【答案】B

【分析】ACD舉反例；B選項由不等式的可加性可判斷.

【詳解】對于A,若問〈同，則〃</,選項不成立，故A錯誤；

22

對于B,由不等式的可加性可知，a+b>a+c，故B正確;

對于C、D,若。=0,則選項不成立，故C、D錯誤.

故選:B.

4.（2022?上海?高考真題）若實數。、〃滿足下列不等式中恒成立的是（）

A.a+b>2\fabB.a+b<2\[abC.—+2b>2\[abD.—+2b<2\/ab

【答案】A

【分析】利用作差法可判斷各選項中不等式的正誤.

【詳解】因為">〃>（）,則〃+〃一2荷=（6-揚丫>0,故a+b>2而,A對B錯;

2嗚+妹2瘋,

當且僅當5=2。時，即當。=助時，等號成立，CD都錯.

故選：A.

5.（2022?上海?高考真題）已知下列選項中正確的是（）

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>beD.ac>bd

【答案】B

【分析】用不等式的基本性質得解.

【詳解】Q3>2>l>0,但3+0=2+1,3x0<2xl,A、C錯

Qa>b>c>d,:.a>c,b>d,所以a+c>〃+d.B正確.

Q30>2>-1>-2,(130x(-l)<2x(-2),D錯.

故選:B.

6.（2022?上海?高考真題）x-yWO,x+y-1，。，則z=x+2y的最小值是___________.

3

【答案】1/1.5

31

【分析】分析可得x+2），=；（x+y）-；（%-），），利用不等式的基本性質可求得z=x+2），的最小值.

,3

【詳解】設x+2），=〃z（x+），）+〃（％-y）=W+〃）x+（〃7-〃）y,叫“_〃一2,解得J1'

n=

2

所以，z=x+2y=-(x+y)--(x-y)>~,

3

因此，z=x+2y的最小值是

3

故答案為：

7.(2019?全國H卷?高考真題)若a>b,則

A.ln(a-Z?)>0B.3a<3b

C.蘇_加>0D.|?|>|/?|

【答案】C

【分析】本題也可用直接法，因為“>〃，所以當々—2=1時，ln(a-〃)=(),知A錯，因為j，=3、是

增函數，所以3〃>3人，故B錯；因為基函數y=Y是增函數，a>h,所以知C正確：取〃=11=-2,

滿足〃>/九1=同<|a=2,知D錯.

【詳解】取。=2,〃=1,滿足ln(a-加=0,知A錯，排除A；因為9=3。>3卜=3,知B錯，排除B；

取。=1”=-2,滿足。>力，1=同<網=2,知D錯，排除D,因為霧函數y=/是增函數，〃>/>,所以/>乩

故選C.

【點睛】本題主要考查對數函數性質、指數函數性質、暴函數性質及絕對值意義，滲透了邏輯推理和運算

能力素養，利用特殊值排除即可判斷.

8.(2017?山東?高考真題)若a>b>0,且加1,則下列不等式成立的是

A.〃+\〈卷vlog2(a+〃)B.^-<log2(a+b)<a+^

b1b

C.?+—<log2(a+b)<—D.Iog2(a+b)<a+—<—

【答案】B

【詳解】因為a>—>0,且"=],所以a>l,0v》vl,，3a，log2(a+〃)〉log22，^=l,

設f(x)=2v-x,(x>1),則/(X)=2rln2-l>0,所以/(力=2'-x,(x>1)單調遞增,

所以2'"不>。+,>4+〃=>4+1>bg、(a+力),所以選B.

bb

【名師點睛】比較幕或對數值的大小，若幕的底數相同或對數的底數相同,通常利用指數函數或對數函數單調

性進行比較，若底數不同，可考慮利用中間量進行比較.本題雖小，但考查的知識點較多，需靈活利用指數函數、

對數函數的性質及基本不等式作出判斷.

[Q考點02解不等式

1.（2025?全國二卷?高考真題）不等式二22的解集是（）

x-\

A.{JA-2<X<\}B.{RX4-2}

C.{A|-2<X<1}D.{x\x>1}

【答案】C

【分析】移項后轉化為求一元二次不等式的解即可.

【詳解】=22即為gwO即上：2）尸）"。，故.2?x1,

x-1x-\[x-1*0

故解集為{xl—2WXV1}.

故選：C.

2.（2023?新課標I卷?高考真題）已知集合加={-2,-1。1,2},/=卜卜27―62。},則（）

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

【答案】C

【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合N,即可根據交集的運算解出.

方法二：將集合”中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出.

【詳解】方法一：因為'={#27_620}=（-8,—2]33,+8）,而“={-2,-1,0,1,2},

所以MQN={-2}.

故選：C.

方法二：因為例={-2,-1,0,1,2},將—2,-1,0,1,2代入不等式/一工一620,只有-2使不等式成立，所以

MN={-2}.

故選：C.

3.（2020?浙江?高考真題）已知小方€1i且出/0,對于任意后0均有a-a）db）（x-2a-/2）K）,則（）

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【答案】C

【分析】對。分。>0與avO兩種情況討論，結合三次函數的性質分析即可得到答案.

【詳解】因為他工0,所以且方=0,設/（幻="一。）（%一歷“一2。一與，則/"）的零點

為再=a,x2=b,x3=2a+b

當。>0時，則/<七，方>。，要使/*)20,必有加+力=。，且力<0,

即“一叫且。<0,所以〃<0；

當avO時，則W>用,x,<0,要使/(x)20,必有人<0.

綜上一定有〃<().

故選：C

【點晴】本題主要考查三次函數在給定區間上恒成立問題，考查學生分類討論思想，是一道中檔題.

4.(2020?全國I卷?高考真題)已知集合4={%|^-3x-4<0},B=HM,3,5},則()

A.{-4,1}B.{L5}

C.{3,5|D.{1,3}

【答案】D

【分析】首先解一元二次不等式求得集合4,之后利用交集中元素的特征求得ACB,得到結果.

【詳解】由丁一3工一4<0解得-l<xv4,

所以A={x[T<x<4},

又因為8={<1,3,5},所以ArB={1,3},

故選：D.

【點睛】本題考查的是有關集合的問題，涉及到的知識點有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交

運算，屬于基礎題目.

5.(2019?全國H卷?高考真題)設集合4={小2_5.計6>0},B={x|x-l<0},則A08二

A.(-OD,1)B.(-2,1)

C.(-3,-1)D.(3,+8)

【答案】A

【分析】先求出集合A,再求出交集.

【詳解】由題意得，人={#(2或?3},4={小<1},則AcB={x|x<l}.故選A.

【點睛】本題考點為集合的運算，為基礎題目.

t+2

6.(2026?上海?高考真題)關于x的不等式—<。的解集為____________.

x-3

【答案】(-2,3)

r4-2

【分析】由\<。可得3)<。，解不等式可得其解集.

【詳解】由—r4-2<。可得:。+2)*-3)<。，

x-3

解得:-2<x<3,

所以不等式主r43-2<o的解集為(-2,3).

x-3

故答案為：(-2,3).

X—1

7.(2025?上海?高考真題)不等式一^<0的解集為_________.

x-3

【答案】(1,3)

【分析】轉化為一元二次不等式(x-1)"-3)<0,解出即可.

【詳解】原不等式轉化為解得lvxv3,

則其解集為(1,3).

故答案為：(1,3),

8.(2025?上海?高考真題)不等式一\<0的解集為____.

x-1

【答案】(0,1)

【分析】將不等式上7<0化為即可得答案.

X—1

【詳解】由題意得不等式一?<0即

X—1

即不等式一、<0的解集為(0,1),

x-1

故答案為：(0,1)

9.(2025?天津?高考真題)若a,AR,對Wxe[—2,2],均有(2。+〃)/+次一。一】《。恒成立，則2〃+b的最

小值為_______

【答案】-4

【分析】先設/=2〃+沙，根據不等式的形式，為了消。可以取"=-；，得到/2-4,驗證f=Y時，。/是

否可以取到，進而判斷該最小值是否可取即可得到答案.

【詳解】設1=2。+人，原題轉化為求f的最小值，

原不等式可化為對任意的-24x<2,t^+(t-2a)x-a-\<0.

不妨代入x=_g，得%一；(—2°)—4—1?0,得d-4,

當Z=T時，原不等式可化為Yx2+(-4-2a)x-a-\<0,

即一2工+仕4+1]+-6/2<0,

[1244

觀察可知，當。=0時，一(2x+l)2《0時—2Wx?2?定成立，當且僅當％=取等號,

此時，a=0,b=-4,說明Z=T時，4,。均可取到，滿足題意，

故/=%+6的最小值為T.

故答案為：-4

10.(2024.上海.高考真題)已知xwR則不等式f-2x-3v0的解集為.

【答案】{x|-l<x<3}

【分析】求出方程丁-21-3=0的解后可求不等式的解集.

【詳解】方程V—2x—3=0的解為x=—l或x=3,

故不等式/-2公3<0的解集為卜1一1<工<3},

故答案為：{x|—lvx<3}.

11.(2018?天津?高考真題)已知aeR,函數={2rI';若對任意上{[-3,+8),”心

一廠+2x-x>0.

kl恒成立，則〃的取值范圍是.

【答案】已，2

O

【分析】由題意分類討論x〉()和xWO兩種情況，結合恒成立的條件整理計算即可求得最終結果.

【詳解】分類討論：①當x>0時，即：-X2+2A-2?<X,

整理可得：CI>~^X2?

22

由恒成立的條件可知:4之沁/+(X>。)，

、乙乙/max

結合二次函數的性質可知:

當舊時，則&N：；

I22J848

maxO

②當一3W0時,/(x)<|x|gp：x2+2x+a-2<-x?整理口J得：a<-x2-3x+2?

由恒成立的條件可知：6/＜（-%2-3^+2）^（-3＜^＜0）,

結合二次函數的性質可知：

巧工=-3或X=0時，（一/—3x+2）mjn=2,則々＜2；

綜合①②可得°的取值范圍是2,21，故答案為1,2.

_OJ[_O

點睛：對「恒成立.問題，常用到以下兩個結論：⑴回㈤恒成（2）恪"）恒成'＞：=舊㈤加

有關二次函數的問題，數形結合，密切聯系圖象是探求解題思路的有效方法.一般從：①開口方向；②對

稱軸位置；③判別式；④端點函數值符號四個方面分析.

[Q考點03基本不等式

14

1.（2026?天津?圖考真題）（XH■—）（1+—）的最小值為（）

XX

A.10B.9C.8D.6

【答案】B

【詳解】因為（工+，丫工+±]=工2+_4+522,2.?+5=9,

Ix八xJxVx

A

當且僅當即丁=2,土灰時，等號成立，

x~

所以（1十T）（工十：）的最小值為9.

2.（2024?北京?高考真題）己知（小y）,（七,%）是函數5=2,的圖象上兩個不同的點，則（）

y+先:x+小

A.B.log2

22

C.log-,V|>，2<x,+x

2D.log]%；""+%

【答案】B

【分析】根據指數函數和對數函數的單調性結合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.

【詳解】由題意不妨設％＜公，因為函數），=2、是增函數，所以0＜2$＜23即

/T|,JX-----------a+x?4.V*!+電

對干選項AB：可得/'2＞，2+?珍=2,即v五江＞22＞0,

22

根據函數y=log2”是增函數，所以log?log22空=土土殳，故B正確，A錯誤；

22

對于選項D：例如耳=0,x2=1，則y=1，%=2,

3I3J

II；log2--~-=log2e(0,1),即log2n；"<1=9+入2,故D錯誤；

對干選項C:例如XI=-1,々=一2，則y=：,%=；,

可得log?岑&=log21=log23-3?-2,-l),BpiOg2Ai2i>-3=A-i4.X2,故c錯誤，

2o2

故選：B.

3.(2022?全國甲卷?高考真題)已知9m=10,a=l(T-U,1=8,一9,則()

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，"=1。心1。>1,再利用基本不等式，換底公式

可得〃?>lgll,log89>m,然后由指數函數的單調性即可解出.

【詳解】［方法一］:(指對數函數性質)

2

由9"'=10可得，〃=1唱1。=瞿>1，而lg91gli<產+怛11］<l=(lg10),所以瞿>黑，

1g9I2JI2Jv7lg9IglO

即〃?所以a=l(r-ll>ld8U-ll=0.

2

又1§8電10<(電8；310)=(等)<(lg9)l所以督〉翳，Epiog89>m,

所以方=8f<8"-9=0.綜上,a>0>b.

［方法二］:【最優解】(構造函數)

由9"'=10，可得機=bg"0e(l，L5).

根據。力的形式構造函數”工)=爐7-心>1)，則r(x)=n"-l,

令r*)=0,解得小=小士，由m=log910w(l,1.5)知毛w(0,l).

/(x)在(1,-Ko)上單調遞增，所以f(10)>f(8),即a>b,

乂因為/(9)=9MO-IO=。，所以a>o>b.

故選：A.

【點評】法—：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；

法二：利用。，〃的形式構造函數f(x)=K"'-x-l(x>l),根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該

題的最優解.

4.（2022.新高考全國II卷.高考真題）（多選）若x,y滿足Y+）/-沖=|,則（

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<>2D.x2+y2>]

【答案】BC

【分析】根據基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假.

【詳解】因為時《若（。加R），由丁+），2-個=1”『變形為，（彳+#2-1=3不，43（受）2,

解得_2Kx+yK2,當且僅當x=y=_l時，x+y=-2,當且僅當x=y=l時，x+y=2,所以A錯誤，B

正確；

由工2+）,2一孫=]可變形為卜2+9）_]=盯<￥/，解得/+/工2,當且僅當x=y=±l時取等號，所以

C正確；

因為V+y2—1變形可得仁_￡1+3,2=],設x-2=cosa且y=sin。，所以

I2），22,

1252111

x=cose+-7=sine,y=-7=sin0,因此丁+y?=cos2。+二sin2^+-^sin^cos^=1+-T=sin2^——cos28+一

J3.J33V3J333

=9+Jsin（2e—所以當x=Yi,y=—正時滿足等式，但是Y+ybl不成"所以D錯誤.

33I61|_3」3-3

故選：BC.

5.（2021?全國乙卷?高考真題）下列函數中最小值為4的是（）

A.y=x2+2x+4B.>?=lsinxl+j^~i

C.y=2'+2”D.y=lnx+---

Inx

【答案】C

【分析】根據二次函數的性質可判斷A選項不符合題意，再根據基本不等式“正二定三相等”，即可得出

用D不符合題意，C符合題意.

【詳解】對于A,y=x24-2x+4=（x4-l）2+3>3,當且僅當x=-l時取等號，所以其最小值為3,A不符合

題意；

對于B,因為0v卜而目41,丁=卜皿乂+高22〃=4,當且僅當卜何目=2時取等號，等號取不到，所以其

Io111AI

最小值不為4,B不符合題意:

對于C,因為函數定義域為而2、>0,y=2'+22r=2'+2224=4,當且僅當2'=2,即x=l時取

等號，所以其最小值為4,C符合題意；

4

對于D,y=\nx+---,函數定義域為（0/）一（1,轉），而In工tR且InxwO,如當lnx=-l,>=-5,D不

In,r

符合題意.

故選：C.

【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等''的意義，再結合有關函數的

性質即可解出.

6.（2021.新高考全國I卷.高考真題）已知片，居是橢圓C：三+.=]的兩個焦點，點M在。上，則

94

周的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

【答案】C

【分析】本題通過利用橢圓定義得到|M耳|+|M|=2a=6,借助基本不等式歸（也曾㈣即

可得到答案.

【詳解】由題,"=9,從=4,則網+題|=2a=6,

所以阿后卜園用j幽業㈣]=9（當且僅當|嗎|=|M用=3時，等號成立）.

t2，

故選：C.

【點睛】

7.（2020?上海?高考真題）下列不等式恒成立的是（）

A.a2+b2<2abB.a2+b~>-lab

C.a4■〃之2J|出“D.ci+h^—25/1ah\

【答案】B

【解析】根據基本不等式即可判斷選項A是否正確，對選項B化簡可得（〃+8）220,由此即可判斷B是否

正確；對選項C、D通過舉例即可判斷是否正確.

【詳解】A.由基本不等式可知/+從之2",故A不正確；

B.fl2+b2>-2ab=>a2+b2+2ab>0^即20恒成立，故B正確；

C.當a=-l,〃=0時，，不等式不成立，故C不正確；

D.當。=-3/=-1時，不等式不成立，故D不正確.

故選：B.

8.（2020?山東?高考真題）（多選）已知。>0,b>0,且a+從1,則（）

A.a2+b2^-B.2f>■!

22

C.Iog2a+log,b-2D.y/a+>/b<\/2

【答案】ABD

【分析】根據。+〃=1，結合基本不等式及二次函數知識進行求解.

【詳解】對J'A,a~+b~=a2+（1-?）*=2a1-2a+\=2\a

當且僅當。二人二g時，等號成立，故A正確;

對于B,a-b=2a-\>-\,所以岑">2/=二，故B正確;

2

a+b、

對于C,log2a+log2b=log2ab<log.

當且僅當。時，等號成立，故C不正確；

對于D,因為（6+形丫=1+2而41+4+0=2,

所以右+〃工血，當且僅當時，等號成立，故D正倆:

故選：ABD

【點睛】本題主要考查不等式的性質，綜合了基本不等式，指數函數及對數函數的單調性，側重考杳數學

運算的核心素養.

9.（2。2。?全國”卷?高考真題）設。為坐標原點，直線與雙曲線0卞一2=（〉。力>。）的兩條漸近

線分別交于DE兩點，若-8E的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

2、,2A

【分析】因為。:r=-二=1（。>0力>0）,可得雙曲線的漸近線方程是y=±-X,與直線工=。聯匯方程求得

a'b~a

D，E兩點坐標，即可"求得|石。|,根據的面積為8,可得而值，根據2c=2必方，結合均值不等

式，即可求得答案.

【詳解】。:5一￡=1（。>0/>0）

?,.雙曲線的漸近線方程是尸±3

?.?直線.〃與雙曲線。。一營一心。"。）的兩條漸近線分別交于〉“兩點

不妨設。為在第一象限，￡在第四象限

x=a

x=a

聯立b，解得

y=~xy=b

故D(a,b)

x=a_

聯立解得仁b

故E(a,-Z?)

:.\ED\=2b

二.QDE面積為：SA0DE=^ax2b=ab=S

?雙曲線C:二一二=l(a>0,"0)

a'h'

?1?其焦距為2c=2^/7+P'>2=2x/l6=8

當且僅當a=〃=2右取等號

??.C的焦距的最小值：8

故選：B.

【點睛】本題主要考查了求雙曲線焦距的最值問題，解題關鍵是掌握雙曲線漸近線的定義和均值不等式求

最值方法，在使用均值不等式求最值時，要檢驗等號是否成立，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.

10.（2026?上海?高考真題）已知/+4尸=1,則必的最大值為.

【答案】；/0.25

4

【分析】根據基本不等式可得/+4/>4ab，結合條件即可求結論.

【詳解】因為/+4〃=/+（2/?）222小幼=4（力，當且僅當。=勃時等號成立,

結合"+4〃=1可得，。匕二!，

4

當且僅當。=顯,b=顯或"一紅，b=-顯時等號成立，

2424

所以當a=立，力=正或〃=一直，）=_4!時，必取最大值，最大值為:

24244

11.（2026.上海?高考真題）若。>0,b>0,且。+2〃=4,則曲的最大值是.

【答案】2

【分析】由于。、b為正值，且。+?為定值4,因此可以運用基本不等式先求出2國的最大值，進而求

出面的最大值.

【詳解】解：V?>0,b>0,a+2b=4

4=a+2h>2\j2ab

：,ab<2,當且僅當a=?時取等號，即a=2,。=1時取等號

故答案為：2

【點睛】此題考查基本不等式的應用，應用基本不等式求最值要注意“一正二定.三相等”的條件，屬于基礎

題

12.（2025?上海?高考真題）設!=則的最小值為_________.

ba

【答案】4

【分析】靈活利用“1”將人+，=卜+，展開利用基本不等式計算即可.

ak〃八b）

【詳解】易知匕+，=[7+，]fa+，）=。而+，+2224山一!-+2=4,

aI〃八bJabvab

當且僅當必=1,即〃=g,A=2時取得最小值.

故答案為：4

13.（2024?上海?高考真題）已知而=1,4/+9/的最小值為.

【答案】12

【分析】利用不等式用+從之皿即可求解.

【詳解】44+%2=（2〃y+（3與2A2X2〃X3〃=12/而=12,

當且僅當a=3,即"逅，人誣或〃=-亞力=-亞時，等號成立，

故4/+9從的最小值為12.

故答案為：12.

14.（2023?上海?高考真題）已知正實數〃、滿足a+4A=l,則而的最大值為.

【答案】J

lo

【分析】由"=,小4〃4」(竺竺f,代入即可得出答案.

4”2J

【詳解】ab=-a-4b<—(a+^^\=lx-=—,

44(2J4416

當且僅當“。=4。、'，即。=；力=：時取等，

28

所以時的最大值為4.

16

故答案為：J

10

15.(2022.新高考全國I卷.高考真題)記VA4C的內角A,B,C的對邊分別為mb,c,已知

cos4_sin24

I+sinAl+cos28

(1)若。=彳，求B；

/J.〃2

(2)求幺?-的最小值.

c-

【答案】⑴j

o

⑵4&-5.

【分析】(1)方法一：直接根據待求表達式變形處理，方法二：先二倍角公式處理等式右邊，在變形，方

法三：根據誘導公式可將題干同構處理，結合導數判斷單調性，推知A+28=］即可求解，方法四：根據半

角公式和兩角差的正切公式化簡后求解.

(2)由⑴知，。=2+8,A=1-28,再利用正弦定理以及二倍角公式將佇互化成4cos"十一T5,

22c2cos-B

然后利用基本不等式即可解出.

【詳解】(1)方法一：直接法

cosAsin28

---:---=—=---可得cosAcos2B+cosA=sin2B+sinAsin2B,

1+sinAI+cos28

則cosAcos2B-sinAsin2B+cosA=sin2A,即cos(A+28)+cosA=sin28,

注意至I」A+8=m，J-zt；cos(—4-B)4-cos(-^-B)=sinIB,

3JJ

展開可得2cosycosB=2sinBcosB,則sinB=g,

又B=j

36

方法二：二倍角公式處理+直接法

cosAsin2B2sinZ?cosBsinB

因為

1+sinAl+cos2B2cos'4cos4

即sinB=cosAcos8-sinAsin8=cos(A+8)=-cos。=；，

而0<8<三，所以8=3

36

方法三：導數同構法

cos^|-2Bj

柏用cos4sin28cosA

根據言7=。^可知‘

I+sinA

1+sin--2B

12)

2

COSX(0<x<?/Xx)=-sin.v(l+sinx)-cosx

設f⑶=

1+sinx(I+sinx):

兀由

cos-----2D

cosA_1.2)

則f(x)在0,5上單調遞減,

乙)1IsinA..。/

1+sinl

故A+28=g,結合A+B=3解得8=9

236

方法四：恒等變換化簡

,4->AA.A

cos----s:n--cos---sin-

cosAsin2B2sin8cosB

--------=----------<=>22o----x------申=tanB

I+sinAI+cos2BA.A}2cos2BA.A

cos4-smcos—+sin

、22)22

,A

1-tan-

。I_(兀A)_

=tan5<=>tan(-4----2-)=tan,

I+tan-

2

姑介正切函數的單調性，=則A+2B=],

結合A+6=/解得6=[.

36

(2)由(1)知，sinB=-cosC>0,所以2<。<兀,0<8<￡,

22

而sin4=-cosC=sin(C-5,

所以。=色+8,即有A=2—28,所以Be

22.kg

所以由正弦定理得且￥■sin'A+sin、Bcos223+1—cos'B

csin2ccos2B

(2COS2?-1)2+1-COS2B

=4cos"+—4——5之2屈5=4夜-5?

cos2Bcos'B

當且僅當cos?3=］時取等號，所以勺Q的最小值為40-5.

16.（2022?全國甲卷?高考真題）已知VA8C中，點。在邊3c上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當?

AB

取得最小值時，BD=.

【答案】G-1/T+石

【分析】設8=28。=2〃?>0,利用余弦定理表示出箓后，結合基本不等式即可得解.

【詳解】［方法一］:余弦定理

設CD=2BD=2m>。,

則在△AB。中，AB2=BD~+AD--2BDADcosZADB=m1+4+2m，

222

在LACD中，AC=CD+AD-2CDADcosZADC=4〃『+4-4〃?，

AC2_4>+4-4m_4(>+4+2/〃)-12(1+m)?地

I圻以A8*m2+4+2mw2+4+2m/,3

(/?M2+lH------

'7m+\

I)

24——/=4-26

V7m+\

當且僅當機+1=二即加=6-］時，等號成立，

m+l

Ar

所以當三取最小值時，，〃=GT,

故答案為：V3-1.

BD

［方法二］:建系法

令BD=t,以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.

則C(2t,0),A(1,石)，B(-t,0)

￡二(2一廠3=4；j+4=4__12,4_273

AB

~(f+l)-+3廠+力+4(/+1)+J_

'7/+l

當且僅當1+1=6,即8。=6-1時等號成立。

［方法三］:余弦定理

設BD=x,CD=2x.由余弦定理得

(?=x2+4+2x

:.