數列【12大重點題型60題】原卷版-2025-2026學年高二數學下學期（人教A版選擇性必修第二冊）

數列【12大重點題型60題】

1.（24-25高二下?海南省直轄縣級單位?期中）已知無窮數列｛斯｝的前5項分別為今3,*今11,則此

?5DJ

數列的通項公式可能為（）

7r1-68n—79n-810n—9

A.an=B,an=^—C.an=D.an=

2.（24-25高二下?陜西?期中）已知數列1,一夜，百2,后…，則該數列的第36項為（）

A.-36B.36C.-6D.6

3.（24-25高二下?遼寧大連?期中）已知S”為數列｛Q7J的前幾項和，若S2=l,2S4=7Wn，則Q25的值為

（）

A.23B.24C.25D.26

4.（24-25高二下?四川遂寧?期中）已知數列｛斯｝的前n項和又滿足S”=n2+2,則｛即｝的通項公式為.

5.（24-25高二下?湖北孝感?期中）已知數歹U｛斯｝滿足城+城+諼+…+

（1）求｛斯｝的通項公式；

（2）記砥=￡^7?數列的“｝的前幾項和為又，求治.

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題型2,數列的單調性問題

6.(24-25高二下?北京平谷?期中)在數列｛%｝中，己知斯=*+；bi(neN*),則“即VQ?”是"｛%｝是單調遞

增數列”的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.(24-25高二下?廣東珠海,期中)已知數列｛冊｝滿足即+】=%+3幾—16,則數列他“｝的最小項是第()

項

A.5B.6C.7D.8

8.(24-25高二下?安徽宿州?期中)已知各項非零的遞增數列｛a,J滿足：即+1=含，則實數4的取值范圍

是()

A.(—oo,0)B.(—oo,-1)C.(1,+8)D.(-8,0)u(1,+8)

9.(24-25百二下?上海寶山?期中)已知數列斯=m2一3/一2為嚴格增數列，則實數k的取值范圍為

10.(24-25高二下?江西萍鄉?期中)已知?J是等差數列，=點+???+就；=丹數列他］的

前九項和為且滿足S=2bn-2.

(1)求數列｛斯｝和｛以｝的通項公式；

(2)設呢=邑孝，當或取得最大值時.，求九的值.

題型3等差數列的判定與證明

II.(2025高三?全國?專題練習)“存在p,qWR,使得斯+即+i=pn+q”是“｛斯｝為等差數列''的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

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C.充要條件D.既不充分也不必要條件

12.（24-25高二上?廣東深圳?期末）若數列｛即｝是等差數列，則下列數列不一定是等差數列的是（）

A.｛|%1｝B.｛即+1-。/

C.[pan+q]（p,q為常數）D.｛2an+n]

13.（24-25高三上?福建福州?期末）設｛斯｝是無窮數列，An=an+an+｝（nGN*）,則“｛斯｝是等差數列''是"｛八｝

是等差數列''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

14.（24-25高二下?海南省直轄縣級單位期中）已知數列｛斯｝的前n項和為右，且滿足％=1,Sn+1=+

斯+2?

（1）求證：數列｛即｝是等差數列；

⑵求數列｛"；*｝的前幾項和Tn.

15.（24?25高二下?貴州?期中）在數列fa”）中，?=—小即+i=—黑罟

（1）證明：數列｛六｝是等差數列并求數列｛即｝的通項公式.

n

（2）若勾=3（l-3nan）,求數列｛bn｝的前〃項和％.

等差數列的通項公式

16.（24-25高二下?廣東茂名?期中）已知｛即｝為等差數列，S”為其前n項和，若a$=S5=5,則通項公式為

（）

A.an=2n—5B.an=2n—1

C.々亂——2n+5D.an=2nf5

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17.（24-25高二下?北京,期中）已知數列｛斯｝滿足⑥=白，六一十=2,則由（）=（）

J“ri+1”71

A./B.2C.12D.21

18.（24-25高二下?北京平谷?期中）已知等差數列｛即｝滿足：。6—3。2=6,a3=0,貝^2025=（）

A.2022B.2023C.2024D,2025

19.（24-25高二下?廣東珠海?期中）已知等差數列｛4｝的前〃項和為S〃，且S4=452,a2n=2an+1

（nGN）則數列｛即｝的通項公式即=.

20.（24-25高二下?青海西寧?期中）在等差數列｛冊｝中，的=7,09=-5,｛即｝的前九項和為2.

（1）求數列｛斯｝的通項公式；

（2）設％=|即|+㈤+1的1+…+1aM，求7n.

等差數列的前〃項和及其最值。|

21.（24?25高二下?河南?期中）若等差數列｛斯｝的前〃項和為工，且的+的=12,則Sr的值為（）

A.33B.44C.66D.132

22.（24-25高二下?四川綿陽?期中）設等差數列｛%｝的前幾項和為治，若54=20,Ss=30,則56=（）

A.40B.42C.44D.46

23.（24?25高二下?北京?期中）已知等差數列｛冊｝的前〃項和為%，若:$9=63,a6+a7+a8=3,則Sn

取到最大值的〃是（）

A.7B.8C.9D.10

24.（24-25高二下?黑龍江雞西?期中）已知等差數列｛冊｝,若7=7,即0=10,則S50=.

25.（24-25高二下?四川成都?期中）已知在等差數列｛即｝中，a5=3,a9=-5.

（1）求數列｛斯｝的通項公式；

（2）求數列｛斯｝的前〃項和方.

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題型6等比數列的判定與證明

26.（24-25高二下?湖南?月考）在正項數列｛%｝中，設甲："+幾=。7?。“，乙：｛斯｝是等比數列，則甲是乙

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

27.（24?25高二下?新疆喀什,期中）下列數列是等比數列的是（）

A.3,9,15,21,27B.1,1.1,1.21,1.331,1.464

C.13,16,19,112,115D.4,-8,16,—32,64

28.（24-25高二?全國?課后作業）已知數列｛斯｝是公比為q（qHl）的等比數列，則以下數列：①｛2冊｝；

②｛嫌｝；?y；④｛2即｝中等比數列的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

29.（24-25高二下?江西上饒?期中）在數列｛斯｝中，?=4,。n+1=3即-2TI+1,〃€N+，設b=斯一九

（1）求證：仙“｝為等比數列，并求｛時｝通項公式：

（2）求數列｛斯｝的前幾項和.

30.（24?25高二下?廣東江門期中）已知數列｛an｝滿足上=1,%1=3%+4.

（1）求證：數列｛斯+2｝是等比數列；

（2）求數列｛斯｝的通項公式及前n項和S”

題型7等比數列的通項公式

31.（24?25高二下?山西太原?期中）已知等比數列｛%｝中,=1,且%，3a2,9a3成等差數列，則每=

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A.3nB.2c.3—D.專

32.（24?25高二下?新疆吐魯番?期中）已知在等比數列｛%｝中，%=3,公比q=3,則數列｛郁｝的通項公

式是（）

n+1nnx

A.an=3B.an=3C.an=3-D.an=3n

33.（24-25高二下?遼寧?期中）等比數列｛%｝的前71項和為％,已知%=-1?0=奈5，則如=（）

A.—B.：C.JD.4

oo/

34.（24-25高二下?北京房山?期中）等比數列｛即｝滿足如下條件：①q>l,②數列｛斯｝單調遞減，寫出滿

足上述兩個條件的數列｛斯｝的一個通項公式Q”=.

35.（24-25高二下?山西長治?期中）已知｛%｝為等比數列,ai=l,的+1是。2和的等差中項.

（1）求｛Q'｝的通項公式；

（2）求數列S斯｝的前〃項和.

題型8等比數列的前〃項和

36.（24-25高二下?四川綿陽?期中）等比數列｛即｝的前幾項和為以，且即+丹+。7=8,a2^a5+a8

=12,則S9=（）

A.18B.28C.38D.48

37.（24-25高二下?北京?期中）設等比數列｛斯｝的前〃項和為S”.若的=1,S3=p則S4=（）

A.：B.C.0D.一：

38.（24-25高二下?四川資陽?期中）朱載埴（1536?1611）,是中國明代一位杰出的音樂家、數學家和天

文歷算家，他的著作《律學新說》中制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一組音

（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個八

度13個音，相鄰兩個音之間的頻率之比相等，且最后一個音是最初那個音的頻率的2倍.設前四個音的頻

率總和為前八個音的頻率總和為小,則今=（）

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A.1+22B.1+23C.1+24D.1+26

39.(24-25高二下?黑龍江?期中)等比數列｛%｝的前八項和為方,且由+。3=6,。2+。4=12,則S&=

40.(24?25高二下?北京?期中)在等差數列｛斯｝中，。6=-6,a7=-3.

⑴求通項公式及其前〃項和%的最小值；

(2)若數列｛既｝為等比數列，目61=。9，b2=an，求｛g)的前幾項和Tn.

題型9數列求和

41.(24-25高二下?新疆吐魯番?期中)己知數列｛既｝的前幾項和為G，若垢=忌不，貝療2025=()

%2025_1__1_

20250?202652025M，2024

42.(24-25高二下?河南焦作?期中)已知外是數列｛叫的前〃項和，即+i+a“=5x2n+m則S］。=

()

A.2575B.3435C.4345D.5135

43.(24-25高二下?北京期中)己知f(x)+/(1-x)=2,=/(0)+/Q)+...+/(1)+/(1),則數列｛斯｝

的通項公式為()

A.an=n+1B.a,t=2n+1C.an=2n+2D.an=4n4-2

44.(24-25高二下?遼寧鞍山?期中)已知是數列｛QJ的前〃項和，且S”+I=S”+冊+2^2=8.

(1)求數列｛斯｝的通項公式；

(2)設b=an(an-2y求數列｛0｝的前幾項和7小

45.(24-25高二下?廣西來賓期中)在數列｛斯｝中，由=1,且滿足%+i=20n+1,數列｛%｝的前n項和為

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Sn，且Sn=n2（neN*）.

⑴求｛%｝和｛bn｝的通項公式;

（2）令Cn=（6+l）bn，記｛。｝的前n項和為T“，求7\.

題型10數列與不等式綜合

46.（24-25高二下?浙江杭州?期中）已知數列｛即｝滿足即+1=%+會56N*）,且對任意的九€N‘，都有

的＜2025恒成立，則的的最大值為（）

A.403B.404C.405D.406

47.（24-25高二下?北京?期中）已知數列（即｝的通項公式為Qn="+1,記數列｛斯一5｝的前九項和為Sn，

若5nWS10對任意的"WN*恒成立，則實數￡的取值范圍是（）

A?序相B.（高）C.相用D.（招）

48.（24.25高二下?浙江?期中）已知數列5｝是等差數列，bn=-j—,且⑥=1,b.=數列｛"｝的前〃

項和為若不等式2Z7V恒成立，則實數2的最小值為（）

A.1B.|C.|D.：

49.（24-25高二下?四川成都?期中）已知數列｛二一一工｝是以公比為3,首項為3的等比數列，且即=1.

（1）求｛六一《｝的通項公式；

（2）求出｛斯｝的通項公式；

（3）設砥=圣數列｛3｝的前〃項和為右，若不等式2%＞之—界對任意的九eN*恒成立，求實數2的取值

范圍.

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n

50.(24-25高二下?北京?期中)在數列｛斯｝中，?i=2,an+1=an+2.

(1)求｛斯｝的通項公式；

(2)若數列｛%｝滿足對任意neN\2bn+i=bn+%+2,且加=3fb3=a3+1,設其前n項和為S”.

(i)設數歹心｝的前n項和為乙，求證：T?<|：

(ii)若對任意"WN)勾一54初八恒成立，寫出實數而勺最小值.(結論不要求證明)

題型11數學歸納法

51.(24-25高一?全國?課后作業)用數學歸納法證明："+22+...+儲+...+22+12=](2儲+i),第

二步從k到/c+1,等式左邊應添加的項是()

A.(k2+I)2B.M+i

C.(k+I)24-k2D.(k+l)/c24-2/c2

52.(24-25高二下?全國?課后作業)設/(%)是定義在正整數集上的函數，且/'(X)滿足：“當f(k)>/成立時,

總可推出/(k+1)>(/c+1)2成立"，那么下列命題總成立的是()

A.若/(3)N9成立，則當kN1時，均有/'(k)NA2成立

B.若/(5)之25成立，則當A工4時，均有/1(/<)?M成立

C.若f(7)V49成立，則當kN8時，均有/'(/<)<憶2成立

D.若/(4)=25成立，則當々24時，均有/(k)Nk2成立

53.(24-25高二下?四川綿陽?月考)用數學歸納法證明“12+2、…+小=)(九+1)(2幾+1廠時，由

n=k(keN")的假設證明n=k+l(keN*)時，如果從等式左邊證明右邊，則必須證得右邊為()

A.》(k+l)(2k+1)B.&(k+l)(2k+3)

C.2(k+l)(k+2)(2k+3)D.夫(k+l)(2k+l)(2k+3)

54.(24-25百二下?北京?期中)無窮數列回J的前幾項和為外,且滿足*1=斯+冬0<%V1,給出以

下四個結論：

CD2szVS]+S3；

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②時<nai；

@<zn>n-l；

④若%=發則當心3時，/V需2.

其中所有正確結論的序號是.

55.（24?25高二下?北京房山?月考）已知數列｛an｝滿足的=京2%+1—斯?%+1=1（71€曠）,

（1）計算。2,。3，。4,并推測｛Q,J的通項公式；

（2）證明你所得到的結論.

56.（24-25高二下?江西上饒?期中）若數列｛斯｝滿足限1=3a.-1,則稱｛an｝為“對奇數列”.已知囚+斗為

“對奇數列”，且寸1=3,貝必2025=（）

A.3x22024B.32025C.2x32024D.2x32023

57.（24-25高二下?湖北?期中）定義：在數列的每相鄰兩項之間插入此兩項的積，形成新數列，這樣的操

作叫作該數列的一次“美好成長”.將數列1,4進行“美好成長”，第一次得到數列1,4,4：第二次得到數列

1,4,4,16,4；…，設