中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓的拓展》專項測試卷（帶答案）

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓的拓展》專項測試卷（帶答案）

1.問題探窕如圖1,A8是。。的直徑ZC=15°.

⑴求284。的度數(shù).

⑵拓展延伸如圖2,若AC=BC，A8與CO的交點(diǎn)記作E,AE=2.

①求00的半徑；

②如圖3,若。尸是。。的切線，且點(diǎn)尸在明的延長線上，求圖3中陰影部分的周長.

2.如圖，在。。中，A8為直徑，0C_LA8,弦CO與OB交于點(diǎn)F,在A8的延長線上有一

點(diǎn)E,且EF=ED.

（1）求證：OE是。。的切線；

⑵若探究線段AB和BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明：

（3）在（2）的條件下，若。F=l,求。。的半徑和CO的長.

3.問題背景：如圖（1）在四邊形A3CO中ZACB=ZADB=90°AD=BD探究線段AC

BCCO之間的數(shù)量關(guān)系.小明探究此問題的思路是：將△放?力繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)90。到

△ATO處點(diǎn)、BC分別落在點(diǎn)AE處（如圖（2））易證點(diǎn)C4E在同一條直線上并

且是等腰直角二角形所以CE=&CO從而得出結(jié)論：AC+BC=41CD.

簡單應(yīng)用：

（I）在圖（I）中若AC=6BC=2近求C。的長

（2）如圖（3）48是。。的直徑點(diǎn)C。在。。上若A3=134c=12求

C。的長.

(1)求證：AB=BC

（2）探究△膏二的值是否為一個定值？若是求出這個定值若不是請說明理由.

（提示：將ZMDC。5轉(zhuǎn)化到同一個三角形中）

5.問題背景：已知點(diǎn)4是半徑為「的圓。上的定點(diǎn)連接。4將線段繞點(diǎn)。逆時針方

向旋轉(zhuǎn)。（。°vav90。）得到0石連接AE過點(diǎn)人作圓。的切線/在直線/上取點(diǎn)C使

得/CAE為銳角.

圖1圖2圖3

初步感知:

(1)如圖1當(dāng)。=60。時ZCAE=。

問題探究：

(2)以線段AC為對角線作矩形4BC。使得邊A。過點(diǎn)E連接CE對角線AC8。相

交于點(diǎn)F.

①如圖2當(dāng)AC=2尸時求證：不論。在給定的范圍內(nèi)如何變化8C=8+￡D總是成立.

②如圖3當(dāng)處=：=4時請補(bǔ)全圖形并求出31。及柴的值.

r30E3AC

6.在人教版九年級上冊數(shù)學(xué)課本兒3頁的實驗與探究提及到了圓與圓位置關(guān)系其中內(nèi)切

是指一個圓在另一個圓的內(nèi)部且兩圓有且只有一個公共點(diǎn)且過該公共點(diǎn)關(guān)于兩圓的切

線為兩個圓的公切線.如圖。。2與oa內(nèi)切于點(diǎn)了0a的半徑為Ro。?的半徑為廣

R=2r87為OQ與0a的公切線連接廈劣交O。?與OQ于CA兩點(diǎn)連接C7.

⑴求證：ZCTA=ZBTA

⑵若「=癡tanZC4T=3求AB的長.

7.閱讀材料某個學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)：在等腰VA3。中A。平分NZMCVAB=AC

BD=CD:,黑=咚他們猜想：在任意V48C中

一個內(nèi)角角平分線分對邊所成的兩

CCZ-/

條線段與這個內(nèi)角的兩邊對應(yīng)成比例.

圖1圖2

【證明猜想】如圖1所示在V48c中AD平分N8AC求證：

ACCD

丹丹認(rèn)為可以通過構(gòu)造相似三角形的方法來證明

思思認(rèn)為可以通過比較NBD和△人6面積的角度來證明.

⑴請你從上面的方法中選擇一種進(jìn)行證明.

(2)【嘗試應(yīng)用】如圖2是心△ABC的外接圓點(diǎn)E是。O上一點(diǎn)(與8不重合且

AB=AE連結(jié)AE并廷長AEBC交于點(diǎn)、D〃為AE的中點(diǎn)連結(jié)5H交AC于點(diǎn)G求

HG*古

麗的值.

(3)【拓展提高】如圖3在(2)的條件下延長8,交。。于點(diǎn)尸若BE=EFGH=x求

。。的直徑(用x的代數(shù)式表示).

8.定義：如果三角形的兩個內(nèi)角。與/滿足。+2尸=90。那么稱這樣的三角形為“類直角

三角形

【嘗試運(yùn)用】

(1)如圖1在RtZ\A8C中ZC=9008c=3AB=58。是N48C的平分線.

①求證：△A3。是“類直角三角形”

②求出此時CO的長

③請在邊4c上找一點(diǎn)石(異于點(diǎn)。)使得.A/組也是。類直角三角形”并求出此時CE的

長.

【類比拓展】

(2)如圖2△A3。內(nèi)接于直徑A8=13弦AQ=5點(diǎn)E是弧40上一動點(diǎn)(不包

括端點(diǎn)A。)延長8E至點(diǎn)C連接AC且NCAD=NAOQ當(dāng)VA3c是“類直角三角

形”時求AC的長.

9.【問題背景】定義：若兩個三角形有一對公共邊且另有一組對應(yīng)邊和一對對應(yīng)角分別對

應(yīng)相等那么這兩個三角形稱為鄰等三角形.

例如：如圖1AB=ACZB=ZCA。是公共邊則AAB。與△ACQ是鄰等三角形.

（I）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2四邊形是的內(nèi)接四邊形點(diǎn)。是8c的中點(diǎn)那么請判

斷△A8Q與△ACO是否為鄰等三角形并說明理由.

（2）【拓展探究】以點(diǎn)A（2、2）為圓心Q4為半徑的0A交x軸于點(diǎn)8（4,0）交），軸于點(diǎn)。

△OBC是。A的內(nèi)接三角形4coB=30。.

①如圖3求/C的度數(shù)和OC的長

②如圖4點(diǎn)P為上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)。和點(diǎn)。重合）連接PCOP若NPOC=75。

判斷△小#與△OBC是否為鄰等三角形（如果是請寫出證明過程如果不是請說明理由）

并求點(diǎn)人到線段PC的距離.

10.綜合與探究

如圖1VA4c內(nèi)接于。。點(diǎn)。在AC上連接3。交AC于點(diǎn)EAE=DE

N8EC=60°.

猜想證明：

（1）請判斷V8EC的形狀并說明理由.

拓展延伸：

（2）如圖2過點(diǎn)。作OM_LAC于點(diǎn)M延長交BD千點(diǎn)、N.若AE=6EN=4求

8C的長.

（3）在（2）的條件下尸為平面內(nèi)的一點(diǎn)且BPLCP連接PE請直接寫出小的最大

值.

11.問題探究：

⑴如圖1在。0中點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)點(diǎn)尸在0。外且cP在直線AA的同側(cè)

則/C與NP的大小關(guān)系為NC______NP（填“v="或。"）

⑵如圖2在RtZXABC中?B90?AB=BC=2點(diǎn)E是8C的中點(diǎn).若點(diǎn)尸是邊AC上

一點(diǎn)試求P8+P石的最小值

⑶如圖3社區(qū)便民步道！與書干道OO相交于點(diǎn)。步道入口C到。的距離為500mC

到主干道的距離。。為300m.步道上有一休息椅M它到點(diǎn)。的距離為250m.現(xiàn)需要

在主干道。。上設(shè)置一段長5m的便民服務(wù)宣傳欄為節(jié)約成本需使步道入口C到A

休息椅M到8的路程和最短（即C4+M8最小）且居民在步道上散步時希望在點(diǎn)P處

能以最佳視角（即/八PK最大）看清宣傳欄人B上的內(nèi)容求點(diǎn)P到路口。的距離.

12.【問題情境】如圖矩形ABC。中作㈤尸=45。分別交8c邊于點(diǎn)E交C。邊于點(diǎn)

【特殊體會】當(dāng)NR4￡=15。時如圖1判斷。〃與AF之間的數(shù)量關(guān)系是

【初步探究】當(dāng)。。經(jīng)過點(diǎn)。時如圖2試探究人8CF八。之間的數(shù)量關(guān)系并加以

證明

【深入探究】當(dāng)。。與8c相切時如圖3解決下列問題：

①判斷。。與CO的位置關(guān)系并說明理由

②若BE=5DF=3求EF（直接寫出結(jié)果）.

參考答案

1.(1)75°

⑵①3+g②（3+.卜+2/.

6

【分析】（1）連接8。允根據(jù)圓周角定理得到NADB=90。進(jìn)而結(jié)合題意進(jìn)行角的運(yùn)算

即可求解

（2）①連接OC先根據(jù)圓周角定理結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)得到N4OC=90。

ZC4E=45°進(jìn)而得到NOEC的度數(shù)設(shè)0。的半徑為1則0七=。4一AE=〃-2再根

據(jù)題意解直角三角形即可求解②連接OO進(jìn)而根據(jù)圜周角定理得到448=30。由①

可得。。的半徑為3+6進(jìn)而根據(jù)弧長的計算公式得到AO的長再根據(jù)切線的性質(zhì)得到

ZODF=90°再解直角三角形得到O尸和AA從而根據(jù)“陰影部分的周長為

2+8+人尸唧可求解。

【詳解】（1）解：如圖1連接8。

?.?A8是。。的直徑

：.ZADB=90°.

?/Zfi=ZC=15°

/.ZBAD=90°-15o=75°.

圖1

（2）解：①如圖2連接OC.

AC=BCAB是O。的直徑

/.ZAOC=90°ZC4E=45°

.?.ZO￡C=ZC4E+ZAC￡=45o+15o=60°.

設(shè)。。的半徑為「則一AE=r-2.

在Rt/XCOE中4OEC=60°

（）C

：.tanZOEC=—即，-=6

OEr-2

解得r=3+G.

圖2

②如圖3連接OO.

???ZC=15°

/.ZAOD=3（）°.

由①可得oo的半徑為3+百

?加的長為上巫!L但庭.

1806

尸是0。的切線

ZO￡>F=90°.

???在Rt^ODF中4FOD=30°

DF

tanZFOD=—

OD

DF=—OD=73+1

3

OF=2DF=2x/3+2

A/=O產(chǎn)一。人=26+2—（3+石）=6-1

???陰影部分的周長為/+。/+4產(chǎn)="段+6+】+6一1="生+26

4D66

c

圖3

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理切線的性質(zhì)弧長的計算以及解直角三角形等解題的關(guān)

鍵在于正確畫出輔助線.

2.(1)證明：如圖連接。。

\'OC=OD

.\Z3=Z4

EF=ED

：.^EDF=Z2

Z1=Z2

:.ZEDF=Z\

OCLAB

ANl+N3=90。

Z4+Z1=Z4+ZEDF=90nBP“DE=9(T

???O。是0。的半徑

.,.OE是。。的切線

(2)AB=3BE

理由如下：如圖連接

c

OA-OD

：.ZOAD=ZODA

???45是0。的直徑

/.ZADB=900即ZADO+ZODB=90°

.?.￡>石是。。的切線

ZODE=90。BPNEDB4-NODB=90°

:.ZA()D=NBDE

ZE=NE

.△ADESQBE

DBDEBE

~DA~~AE~~DE

B[)]

在Ri△ABD中tanA=-----=—

AD2

.DE-BE-1

"~AE~~DE~2

設(shè)OE=a

AE=2DE=2a.BE=；DE=；a

3

...AB=AE-BE=-a

2

AB=3BE

(3)。0的半徑為3CO=%萼

【分析】(1)根據(jù)等邊對等角可得N3=/4/EDF=N2根據(jù)。C_LAB可得

-l+N3=90。進(jìn)而根據(jù)等量代換可得N4+N￡Q/7=90°根據(jù)切線的判定定理即可證明

。七是。O的切線

RRIr\pnp?

(2)證明△A￡>ES/\￡)5E在用VA8O中tanA=—=-可得——=——=-設(shè)

AD2AEDE2

DE=a分別表示出AB,BE即可得到AB=3BE

(3)過點(diǎn)尸作PG_L3C于點(diǎn)G設(shè)/G=〃z則G8=a,F8=Ji〃?CG=2FG=2m在

RAOBC中根據(jù)&OC=AC求得/〃=應(yīng)進(jìn)而求得OC=OB=3過點(diǎn)。作O〃_LCD

根據(jù)tanNOCH=H=tanOCr=22=：解直角三角形即可求得C”的長進(jìn)而求得

CHOC3

CQ的長.

【詳解】（1）略

（2）略

（3）如圖過點(diǎn)尸作FGJL8C于點(diǎn)G

?，OCJ-ABAC=AC

:.ZABC=-ZAOC=45°

2

.?.△8PG是等腰直角三角形

DB=DB

4FCG=AA

I

,/tanAA=—

2

/.tanZGCF=-

2

1

/.FG=—

CG2

設(shè)FG=m則GB=m.FB=CG=2FG=2m

BC=3m

在R^OBC中OC=OB=OF+FB=T+6m

gOC=BC

即(1+0〃？)0一3〃？

解得〃1=解

:,FB=2

；.OC=OB=OF+FB="2=3

過點(diǎn)。作

-OC=OD

:.CD=2CH

/~；------71—0尸又℃335/10

在RtQCF中

CF7OC-+OF2=9)OH-CF=^=—

在RSOCH中

CHOC3

9x/io

CH=3OH=

10

：.CD=2CH誓

3.(1)3

【分析】（1）本題主要考查對上述結(jié)論的理解與應(yīng)用代入上述結(jié)論：AC+8C=夜CD直

接計算即可.

（2）本題主要考查在圓內(nèi)利用已知結(jié)論求解線段長作輔助線根據(jù)直徑所對的圓周角是直

角得：ZADB=ZACB=9U。由弧相等可知所對的弦相等得到滿足圖I的條件所以

AC+BC=V5cn代入可得。的長解答本題的關(guān)鍵在于作出合適的輔助線.

【詳解】解：（1）由題意知：AC+BC=6CD

???&+2無=血8,

???CO=3

故答案為3

(2)如圖3連接ACBDAD

圖3

???AB是。O的直徑

/.ZWB=ZACB=90°,

=AD=BD

，AD=BD

VAB=\3BC=12

???由勾股定理得：AC=5

由圖1得：AC+BC=6CD,

5+\2=y/2CD,

?「八J友

2

4.(1)證明見詳解

(2)是定值值為友

【分析】(1)根據(jù)角平分線得到相等的圓周角利用'誰等的圓周角所對的弧相等“推出

AB=BC再由“等弧對等弦“證明AB=BC

(2)采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形將D4+DC轉(zhuǎn)化為線段。產(chǎn)結(jié)合直徑所對圓周角

為直角角平分線的性質(zhì)證明△D8尸是等腰直角三角形從而建立D4+DC與。8的數(shù)

最關(guān)系求出比值.

【詳解】(1)證明：:瓦)平分/4/X?

???NADB=/CDB

JAB=BC

，AB=BC.

(2)解：空華是定值定值為夜理由如下：

DB

延長0c到點(diǎn)”使得b=D4連接8尸如圖

???四邊形48CQ內(nèi)接于。。

/84。+/8。。=180。

又,/NBCD+NBCF=180°

，NBAD=/BCF

由（1）知A8=8C

DA=CF

在.BAD和&BCF中、/BAD=NBCF

AB=BC

???△朋。3△8C*SAS）

，BD=BFNABD=NCBF

〈AC是GX）的直徑

/.NADC=90°90。即NABD+NDBC=90°

???/CBF+NDBC=/DBF=90°

又???平分/AQC

NADB=NCDB=45。

由△BAD*BCF得ZF=/ADB=45°

在ADBF中ZDBF=9（r//=45。

???△08/是等腰直角三角形

,DF=42DB

又?：DF=DC+CF=DC+DA

DA+DC=>/2DB

DB

5.（1）30"（2）見解析（3）①見解析②圖見解圻tana=g凳二

3nC2

【分析】本題主要考查了圓的綜合題以及切線的性質(zhì)銳角三角函數(shù)全等的判定和性質(zhì)

相似的判定和性質(zhì)等熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

（1）根據(jù)等腰4。七的角度和切線的性質(zhì)即可求出NC4￡=30。

（2）因為AO=8C且AO=A￡+￡D要證3C=CD+￡D實際要證CD=A￡根據(jù)我

們證線段相等的思路：（1）同一個三角形證等腰（2）不同三角形證全等可證

AAS）即可

4AC4FHOF3

（3）由4C=7/?得==：再作。H1AE證△OE〃s^c也）得到中=二=二

3OA3EDCE2

通過設(shè)邊長再利用勾股定理建立勾股方程即可找到線段之間的關(guān)系.

【詳解】（1）；0A=0E3LZA0E=（A）0

是等邊三角形

N04￡=6O°

?.?直線/是圓。的切線A為切點(diǎn)

AOA±l即/。4。=90。

二.ZC4￡=ZCMC-ZCZ4￡=90o-60o=30°

故答案為：30°

（2）證明：?.?四邊形A3CQ是矩形AC=2r

OA=OE=CF=DF=r

ZO4C=ZADC=90

ZOAE+ZC4D=ZACD+ZCAD

^OAE=ZACD

-OA=OECF=DF

:.ZOAE=ZOEA=ZACD=/CDF

在△。4￡和4^。。中

ZOEA=ZFDC

-NOAE="CD

OA=CF

.?.△O4E^AFCD（AAS）

:.AE=CD

,/AD=AE+ED

二.BC=CD+ED.

即無論夕在給定的范圍內(nèi)如何變化BC=CD+ED總、成立.

（3）①補(bǔ)全圖形如圖

???AC是切線

/.ZOAC=90

4

?.MC=-r

3

tanZAOC=—=-

OA3

4

設(shè)。A=3ni貝ljAC=-r=4m

3

OC=>JOA2+AC2=J?,"+(4〃。2=5m

CE2

?/----=—OE=OA=3m

OE3

CE=2mOE+CE=5m=OC

即點(diǎn)E在線段OC上

4

/.tana=tanZ.AOC=—.

3

②：由OH〃CO得

4DCE=4HOE=4CAD

又?:ND=ND

.CDCE_2m_I

AD=7C=4^=2

AB1

----=—.

BC2

6.⑴見解析

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理可證NCT8=N8QJZD=ZA7B根據(jù)

0Q=&A可證2ZD=乙40/從而可證ZCTA=NBTA

(2)由(1)可知NG=N。又有/ACT=ND4r=90。^vF.^CAT^ATD根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)可得tanNA7D=3設(shè)AT=x貝i」AO=3A7=3x利用勾股定理可得AT=4

4）=12設(shè)AC=y則b=3），利用勾股定理可得八。=①。7=347=迎

55

。生叵再利用相似三角形的性質(zhì)可得BC-%叵從而可求人“-回.

5102

【詳解】（1）證明：如圖1延長。2a交oa于點(diǎn)。連接A。連接。］

BT為。。2與OQ的公切線為OO2的半徑

圖1

/.O-T±BT

zLO-JB=90°

2002=O；T0。與。。2內(nèi)切

???0i027三點(diǎn)共線

又?.?。/為的直徑

ZO,C7'=90°

ZCOJ+ZCTO[=90°ZCTB+NCTO、=90°

:.NCTB=NBO】T

???ZBZ4+ZATO=90°ZATO+ZD=90°

??ZD=ZATB

又O{D=O.A

2ZD=ZAOJ

1.ZCTA=ZBTA

⑵解：VZCL4=ZDZACT=ZZMr=90°

^CAT^ATD

?CAAT

~CT~~ADZ.CAT=ZATD

VtanZCAT=3。7=4，=4M

tanNA77)=---=3

AT

T^AT=X貝IJ47)=3A7=3X

在R^AOT中AT2+。尸=DT2

.-.x+(3x)2=(4>/i0)2

解得：x=4

/MT=4

AAD=3AT=\2

設(shè)4C=y則CT=3y

在RSACT中AC2+CT2=AT2

.-.y2+(3y)2=42

解得：),=2叵

5

.._2屈57.T6x/io

55

...cq=yjo^-cr2=J40-—xio=5^

j255

4CTB=ZBOJ/([CT=/BCT=90°

:.△CTO\S&BCT

.CT_BC

CO^~CT

5J,9亞

CO,8910

,AB=BC-AC=^-^=^.

1052

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理圓與圓的位置關(guān)系相似三角形的判定與性質(zhì)勾股

定理本題的綜合性較強(qiáng)解決本題的關(guān)鍵需要熟練地掌握圖形的性質(zhì)并綜合運(yùn)用這些

性質(zhì).

7.(1)見解析

(3)。。的直徑為竽x

【分析】(1)選丹丹延長4。交過點(diǎn)C與A8平行的直線交于E4。平分/84C得出

ZBAD=ZCAD根據(jù)可得AC=EC再證△4B7)S/\EC。即可

選思思過點(diǎn)。作汽＞_L"OQLAC于點(diǎn)PQ根據(jù)角平分線性質(zhì)得出戶。=。。根據(jù)

q—'AB-PD，nq-BD-flnr\

三角形高等得出產(chǎn)2-^--------=—再根據(jù)-------=右即可

'△ACDi.ACDQAL242Dh"

(2)連接CE先證NAEC=90。再證R"ABC/RlZkAEC(HL)得出N8AC=NE4C即

AC為N34E的角平分線得出空=空根據(jù)〃為AE的中點(diǎn)可得4/4!人石即

GBAB22

可

(3)作助V_L4￡交AE于點(diǎn)N設(shè)8E交AC于M光證小HBEs^BAE得出

ABAEBE

而=詼=應(yīng)根據(jù)4B.得出BH=BE根據(jù)GM=X可求BH=BE=3x得出

華=條求得田亞

可得"=4￡=2〃石=3正工根據(jù)勾股定理BN=

3xHE

=加工利用三角函數(shù)得出

>IBE2-NE2

4

后―一3岳12"

cosZ.NBE=-----=----=cosZBAC在A/VA3O中cosZ.BACJ|47”即可.

BE4---

4

【詳解】(1)選丹丹方法丹丹認(rèn)為可以通過構(gòu)造相似三角形的方法來證明

證明：延長人。交過點(diǎn)C與48平行的直線交于石

???A。平分NB4C

：,ZBAD=ZCAD

，：CE〃AB

???/BAD=/CED=/CAD

：,AC=EC

?:AB〃CE

/.AABDs4ECD

,ABBD

*~EC~~CD

.ABBD

'7c-CD

選擇思思方法：思思認(rèn)為可以通過比較△A8O和△ACO面積的角度來證明.

證明：過點(diǎn)。作OQJL4C于點(diǎn)。Q

?二人。平分/BACPD1ABDQ1AC

PD=DQ

$LABPDAN

S4ABD_2_，/

L.ACDQAC

&BDh_BD

又：

S.ACD-CDhCD

2

.ABBD

'~AC~'CD

(2)解:連接CE

*/0。是的外接圓/A8O90。

JAC為0。的直徑

???ZAEC=90°

在Ri△人BC和RIA4EC中

AB=AE

AB=AB

???R3A8CgRt"EC(HL)

A

ZBAC=ZEAC

即4c為NBAE的角平分線

.HGAH

又???，為4E的中點(diǎn)

：.AH=-AE=-AB

22

.AH_GH

',~AB~2~~GB

(3)作8N_LAE交AE于點(diǎn)N設(shè)8E交人。于加

，NF=NEBH

?：4BAE=/BFE

；?NHBE=NBAE

???NHEB二NBEA

△HBEs△BAE

.ABAEBE

*：AB=AE

:?BH=BE

又"：GH=x

由（2）知BG=2G〃=2x

BE4

僅，――3歷12仃

在R/VA3O中一COSYBAL9一7八

丁

即0。的直徑為"也》.

7

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線定義平行線性質(zhì)等腰三角形判定與性質(zhì)相似三角形判定與

性質(zhì)三角形面積三角形全等判定與性質(zhì)角平分線性質(zhì)線段中點(diǎn)勾股定理一元

二次方程銳角三角函數(shù)圓的直徑掌握以上知識是解題關(guān)鍵.

79R45

8.（1）①見解析②；③=：（2）—

【分析】（1）①證明4+2244短=9（）。即可解決問題

②由勾股定理得AC=4再由角平分線的性質(zhì)得CO=ZW然后由面積法求出CD的長

即可解決問題

③如圖假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)E（異于點(diǎn)功使得zMBE是“類直角三角形證明

△ABCs^BEC可得雋=*由此構(gòu)建方程即可解決問題.

CEBC

(2)分兩種情形：①如圖當(dāng)NA3c+2NC=90。時作點(diǎn)。關(guān)于直線A8的對稱點(diǎn)尸連

接￡4FB.則點(diǎn)小在。。上旦NDBF=NDOA.

②如圖由①可知點(diǎn)CA尸共線當(dāng)點(diǎn)E與。共線時由對稱性可知平分

2FBC可證NC+2N/WC=90。利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程即可解決問題.

【詳解】（1）①證明：

QBO是NA8C的角平分線

.\ZABC=2ZABD

ZC=90°

:.ZA+ZABC=90P

.-.ZA+2Z4BD=90°

為“類直角三角形”.

②解：如圖過點(diǎn)D作DW/AB于點(diǎn)M

C

\VZC=90°BC=3AB=5

AMB

:.AC=\IAB2-BC2=4DCYBC

Q8￡＞平分/ABCDM1AB

\CD=DM

,?^SABC=S^BD+S、cBD

：.-ACBC=-ABDM+-BCCD

222

..AC-BC=ABDM-￥BCCD

即3x4=58+38

3

解得：CD=3

③解：如圖假設(shè)在AC邊設(shè)上存在點(diǎn)￡（異于點(diǎn)必使得△A即是“類直角三角形”.

c

???ZAEB=ZC+ZEBC>9()0

AB

二.NA跳：+2/4=90°

ZABE+ZA+Z.CBE=9^

:“=NCBE

:.AABCS^BEC

,BCAC

~CE~~BC

?8c29

AC4

(2)解：?.?"是直徑

.-.ZADB=90°

?：AD=5AB=\3

:.BD=7AB2-AD2=V132-52=12

①如圖當(dāng)NABC+2/C=90。時作點(diǎn)。關(guān)于直線ABH勺對稱點(diǎn)尸連接￡4則點(diǎn)

尸在。。上且ND8/=/力。4

\Z.DBF+^DAF=\W且NC4O=NAOQ

.?.ZC4D+ZmF=180°

-CAr共線

?/ZC+ZABC+ZABF=9(F

/.ZC=ZABF

—BP—=——

FBFC1212+AC

1|Q

.?.4C=手(不合題意舍去).

②如圖由①可知點(diǎn)、CA尸共線當(dāng)點(diǎn)E與。共線時由對稱性可知明平分

NFBC

Z.CAD=NCBFZC=ZC

.△DACs/BC

CDADCD5

——=——即niI------=一

CFBFAC+512

.-.CD=(4C+5)

在Rl^ADC中CD2+AD2=AC2

A。=(含去負(fù)值)

綜上所述當(dāng)V/WC是“類直角三角形”時AC的長為8常45.

【點(diǎn)睛】本題通過“類直角三角形”為背景考查角平分線的性質(zhì)勾股定理相似三角形的判

定和性質(zhì)對稱性和共線的性質(zhì)解題的關(guān)鍵是熟悉相似三角形的判定和性質(zhì)以及分類討

論思想的應(yīng)用.

9.(l)z\A4O與是鄰等三角形理由理由見解析

⑵①ZC=45°OC=2+2x/3②點(diǎn)A到線段PC的距離為6-1

【分析】⑴根據(jù)點(diǎn)。是BC的中點(diǎn)BD=CD,?BAD?CAD又4)=4)符合鄰等

三角形的定義

(2)①作44_L0B連接AO,AB作6K_LOC在RtZXBOK中0B=4

NBOK=30°進(jìn)而求得0長=2道,在口33“中CK=2,BC=2夜根據(jù)

OC=CK+KC即可求解②先證？OCP30??BOC再證即可證出結(jié)論

作b_Lx軸垂足為點(diǎn)F先求出PC所在直線與x軸間的距離是1+G再求出結(jié)論即可.

【詳解】(1)解：△A3。與AAa)是鄰等三角形理由如下：

丁點(diǎn)。是5c的中點(diǎn)

:,BD=CD,?BAD2CAD

AD=AD

???△ABD與AAC力是鄰等三角形

(2)①如圖2作連接AO,A8

?：OA=OB

/.OH=BH

???點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2,2）

/.AH=OH=BH=2

/.ZO\B=90°

<NC=4NOAB=45。

2

作8KJLOC在RIA80K中08=4,?BOK30?

ABK=2,OK=2也

在RtAJ5KC中NC=45。

:,CK=2,BC=2也

，OC=2+2/

②△OCP與△O8C是鄰等三角形理由如下：

由①知?BOC30靶OCB=45?

\?OBC180?30?45?105?

B、C、P四點(diǎn)都在。。上即四邊形08cp為圓內(nèi)接四邊形

\?OBC20PC180?

\?OPC75?

?;?POC75?

\2OCP180?75?75?30??BOC

\OP=BC

\OP=BC

???0C為公共邊

「.△OC/與△08C是鄰等三角形

作3_1_不軸垂足為點(diǎn)尸

V?OCP?BOC30?

\尸。〃不軸

在RIZXCO尸中OC=2+2GZBOC=30°

\CF=loC=l+x/3即PC所在直線與k軸間的距離是1+G

由①知點(diǎn)A到x軸距離=2

???點(diǎn)A到線段PC的距離為1十百-2=g-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓與三角形綜合考查圓周角定理圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)及勾股定理解

直角三角形等知識牢記相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.（I）△BCE是等邊三旃形（2）10（3）5+56

【分析】（1）先證明VAQE是等邊三角形從而可得/ZME=NADE=60。再利用圓周角

定理得出ZACB=ZADE=60°/CBD=ZDAE=600從而可得△4CE是等邊三角形

（2）先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出/NEM=60。再利用含有30度角的直角三角形的性質(zhì)

求得￡用從而可求得4例利用垂徑定理求得4c從而可結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)求得

BC

（3）先根據(jù)題意得出?在以BC為直徑的圓上并確定直線EQ交圓。于點(diǎn)P如圖此時

莊為最大分別求出QEP。相加即可.

【詳解】（1）解：連接AO如圖

??以）交AC于點(diǎn)七

/.ZAED=ZBEC=ar

?:AE=DE

，VADE是等邊三角形

AZmE=ZA￡>E=60°

，ZAC/?=Z4DE=60°

/CBD=NDAE=&T

???△4CE是等邊三角形

(2):△BCE是等邊三隹形

A/LNEM=60°BC=EC

OM±AC

/.ZENM=90°-NNEM=30°

又EN=4

EM=-EN=2

2

,?AE=6

AM=AE+EM=S

VOM±AC

AC=2AM=16

/.EC=AC-AE=\6-6=W

???BC=EC=U)

(3)VBPVCPBC=EC=\0尸為平面內(nèi)的一點(diǎn)

???P在以8c為直徑的圓上

作O_L4C于點(diǎn)。如圖

圖2

???△3C￡是等邊三角形

:.BE=EC=BC=IO/￡8C=60。

就是以BC為直徑的圓的圓心

???EQ垂直平分BC

直線￡Q交圓Q于點(diǎn)。如圖此時PE為最大

BQ=；BC=5

在R3BQE中BE1=BQ2+EQ1

.\102=52+Ee2

??.￡Q=±5石(負(fù)值舍去)

:BP1CP

.?.QP=3BC=5

???EP的最大值為尸Q+Q￡=5+56.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)含30度角的直角三角形用勾股定理解三

角形利用垂徑定理求值圓周角定理等知識解題關(guān)健是掌握上述知識點(diǎn)并能熟練運(yùn)用

求解

11.(D>

⑵石

(3)點(diǎn)尸到路口。的距離為

【分析】(1)令加)與。。的交點(diǎn)為Q連接3Q根據(jù)同弧所對的圓周角相等得出

NC=ZAQB根據(jù)外角的性質(zhì)可得乙即可得出NC>NP

(2)作E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)￡連接C￡EEBEBE交AC于P根據(jù)對稱的

性質(zhì)得出推得當(dāng)點(diǎn)。PE三點(diǎn)共線時P3+莊的值最小最小值為

的長度根據(jù)等腰直角三侑形的性質(zhì)得出4CB=45。根據(jù)中點(diǎn)的定義得出C￡=l結(jié)合

對稱的性質(zhì)和勾股定理求得4￡=石即可求解

(3)根據(jù)勾股定理求出OD=400m過點(diǎn)A作/UT〃/加旦AM'=8W過點(diǎn)M'作0。的

對稱點(diǎn)M"M'M"交OD于點(diǎn)、E過點(diǎn)M作交于點(diǎn)尸過點(diǎn)M"作

M"G_LCO的延長線于點(diǎn)G連接CM"與。。交于點(diǎn)《連接4M"結(jié)合三角形中位線

的定義求出Mb=150mDF=200mME=ME=M/=150mGM*=195m

CG=450m根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出CA+MBNCM"推得當(dāng)點(diǎn)CAM"三點(diǎn)共

線時C4+M8取最小值結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)求出。4'=130m結(jié)合（1）得出

滿足最大則需要點(diǎn)P人8三點(diǎn)在同一個圓上據(jù)此過弦AB確定圓O'0<7

與C。相切于點(diǎn)/>連接08O,BOD過點(diǎn)。'作。9_LOD交于點(diǎn)P結(jié)合垂直平分

線的性質(zhì)求出PO=267.5m根據(jù)勾股定理推得=產(chǎn)斤-產(chǎn)夕即可求出符合條件時

點(diǎn)尸到路口。的距離.

【詳解】（1）ZC>ZP理由如下：

令”與。。的交點(diǎn)為。連接3。如圖：

???ZC=ZAQB

在NBPQ中ZAQB=NP+NQBP

即ZAQB>NP

:.ZC>ZP.

(2)作E關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)￡連接EE!BE'BE交AC于P如圖:

，PE=PE

，PB+PE=PB+PE

當(dāng)點(diǎn)、BP￡三點(diǎn)共線時P8+莊的值最小最小值為的長度

VZABC=90°AB=BC=2

ZACT=45°

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)

：.CE=-BC=\

2

■:E￡關(guān)于直線AC對稱

，ZACE=ZACB=45°CE=CE=1

，NBCE=90。

在RtABCf*中BE=，BC,+EC?=4+/=石

???PA+正的最小值為后.

(3)根據(jù)題意可得MZ)=250mCD=5(X)mCO=3(X)mA8=5m

故點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)OD=yjcDr-OC2=75002-3OO2=400m

過點(diǎn)人作W〃8M且AA7'=8W過點(diǎn)M'作。。的對稱點(diǎn)ATM'M8交OD于點(diǎn)E過

點(diǎn)、M作MF上OD交OD干點(diǎn)、F過點(diǎn)AT作ATG_LCO的延長線干點(diǎn)G連接CM〃與

交于點(diǎn)A連接AM".如圖：

則EF=MM'=AB=5m四邊形MM'EF是矩形四邊形M/WM是平行四邊形

'：MF工ODCO1OD

：.CO\\MF

.CDOP

^~MD~~DF

又???點(diǎn)例是C。的中點(diǎn)

，DF=-OD

2

故M歹是△COQ的中位線

JMF=-OC=\50mDF=-OD=200m

22

M'E=MnE=ME=\50mGM"=OE=Dk-￡卜=200-5=195m

CG=CO+OG=CO+MT=300+150=450m

C4+8M=C4+AM'=C4+AM"

在△CAM”中C4+4M"之CM"

，CA+MB>CMn

故當(dāng)點(diǎn)。AM"三點(diǎn)共線時C4+M8取最小值.

〈ON〃GM"

，△COASCGAT

.OArCO

GMnCG

AOA，=C￡^=30()xl95=130m>

CG450

由第1小問可得滿足NAP8最大則需要點(diǎn)尸A