2026年云南省玉溪市高考數學二模試卷（帶答案解析）

2026年云南省玉溪市高考數學二模試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確

的，

1.（5分）已知集合力=**=1}，8={-2,0,1},則/UB=（）

A.{1}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,1}D.{-2,-1,（）,1,2）

2.（5分）已知復數z=l-2i,Bjz-z=（）

A.-3-4/B.-3HzC.V5D.5

3.（5分）向如圖放置的空容器中勻速注水，直至注滿為止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水的高度與

時間的函數關系的是（）

A.25B.22C.20D.15

5.（5分）為調查社區居民對社區工作的滿意度，在社區內抽取200名居民進行問卷調查，將收集到的數

據分成五組，繪制出以下頻率分布直方圖，若［65,75）的頻率為0.48,a,〃的值為（）

第1頁（共18頁）

B.0.017,0.48

C.0.17,0.048D.0.17,0.48

6.(5分)在△彳8c中，內角兒B,C的對邊分別為a,b,c,若Q=2,V3sinA+cosA=2,貝I」△力8c

面積的取值范圍為()

A.[V3,+oo)B.(0,V3]C.[1,+8)D.(0,I]

7.(5分)已知定義域為R的函數/(x)滿足/(x+2)=/(-x),且/(2x-1)為奇函數，則一定有()

A.f(0)=0B.f(2)=0C.J(3)=0D.J(4)=0

8.(5分)已知雙曲線C：*餐=l(a>0,b>0)的左右焦點分別為四，后，。是。上一點，且尸產2,

Fg,若△尸Fi乃的內切圓半徑廠與|P尸2|的比值為*，則C的離心率為()

A.V3B.2C.V7D.3

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多個選項符合要求。全

部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得。分.

(多選)9.(6分)已知角9的終邊過點P(s山號兀，cosing下列選項正確的是()

1[Q

A.sind=-2B.cosO=-^-

C.tunO=—，D.sin(0H-

?D4乙

(多選)10.(6分)設函數/(x)=(x-1)(x-a)Cx-h),其中aVIVb,則下列說法正確的是()

A./(X)可能為奇函數

B./(X)既有極大值也有極小值

C.不等式/(x)>0的解集是(m1)U(6,+8)

D.若/(x)/(2-x)W。恒成立,則a+b=2

(多選)11.(6分)已知菱形力8CO的邊長為2,/8/。=60°,力。與8。交于點O,將Z\D4C沿4C

翻折得到△巴(7且POJLO8,E,產分別為48,BC中點,OG=xOP(0<x<l),設平面EFG截四面體

第2頁(共18頁)

P-ABC所得截面面積為/（x）,下列選項正確的是（)

A.若GE與平面力所成角為30°,則％=卓

B.若GE_LGE則》二辛

瓜

C./（x）的極大值為三

D.f（.V）的極小值為

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）設拋物線Cx2=2py（p>0）的焦點為E點4（刈，1）在。上，且|/刈=3,則〃=.

13.（5分）已知a,0均是第一象限角，————=1,tanatanp=6,則cos（a+p）

stna-cosa

14.（5分）4],42，43,44,05是1，2,3,4,5的一個隨機排列,對每一個中間位置的數aG=2,3,

4）,要求它左右相鄰的兩個數的」與am中，至少有一個大于它，則該排列滿足此條件的概率

為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）如圖，在四棱錐P-/8CO中，BC//AD,力。_1_平面以4,PA=AB=BC=\,AD=2,E為棱

PD上一點、,ED=2PE.

（1）證明：尸8〃平面力CE；

（2）若PB=或，求二面角P-4C-E的余弦值.

16.（15分）已知橢圓C：^+y2=l（a>l）,直線/：尸x?2.

（1）若/經過。的右焦點，求。的標準方程；

（2）若/與。交于M,N兩點,且|MN|=%，求C的標準方程.

17.（15分）有三個外觀相同的箱子，編號分別為1,2,3,其中1號箱裝有1個紅球和4個白球，2號箱

裝有2個紅球和2個白球，3號箱裝有4個紅球和6個白球，這些球除顏色外完全相同.

（1）某人先從三個箱子中任取一箱，再從中任意摸出一球，求取到紅球的概率；

第3頁（共18頁）

（2）某人先從三個箱子中任取一箱，再從中任意摸出一球，發現是紅球，求該球取自幾號箱的可能性

最大.

n+1

18.(17分)已知數列｛斯｝中，%=2,an+1=2an+2.

（1）證明:數列｛縹｝是等差數列;

（2）如圖，在平面直角坐標系xOy中，若$=察，依次連接點Pi（xi，1）,Pi（必2）…，P〃+]（x〃+i，

77+1)得到折線尸|尸2…尸〃+1，求由該折線與直線y=0,x=xi，x=x〃+i所圍成的區域的面積7〃；

(3)記4+1，若42胎恒成立，求實數人的最大值.

-I幾—十，沅（工7*n、）八十人

-4x)-eK+eA+2x.

(1)若。=（）,討論/（x）的單調性;

(2)若戈＞0時，/（X）＞0恒成立,求4的范圍;

8V2-3V2+18

(3)證明:——<ln2<——

1228

第4頁（共18頁）

2026年云南省玉溪市高考數學二模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確

的，

1.（5分）已知集合8={-2,0,1},則力U8=（）

A.{1}B.{-2,-1,（）,1）

C.{-L1}D.{-2,-1,0,1,2）

【解答】解：由題可知，集合4={x|f=l}={-1,1},

又因為8={-2,0,1},

所以4U8={-2,-1,0,1}.

故選：B.

2.（5分）已知發數z=1-23則z?5=（）

A.-3-4/B.-3+4/C.V5D.5

【解答】解：z=l-2z>

得z-z=\z\2=1+4=5.

故選：D.

3.（5分）向如圖放置的空容器中勻速注水，直至注滿為止.下列圖象中可以大致刻畫容器中水的高度與

時間的函數關系的是（）

第5頁（共18頁）

水高水高

C.。時間D.。時間

【解答】解：由圖可知，該容器為倒立的圓臺，可將圓臺看成一個一個的圓組合而成，從下到上圓的直

徑逐漸增加,

故上升高度的速度減慢,

結合選項可知，。符合題意.

故選：C.

4.（5分）記S〃為等差數列｛〃〃｝的前〃項和.若。2+。6=10,4418=45,則S5=（）

A.25B.22C.20D.15

【解答】解：方法-：設等差數列g〃｝的公差為d,首項為依題意可得,

。2+。6=。1+4+。1+54=1()，即〃i+3d=5,

又。4。8=(a\+3d)(c“+7d)=45,解得：d=1,a\=2

5x4

所以55=5al4-xd=5x2+10=20.

2

故選：C.

方法二：。2+。6=2。4=10，4448=45,所以44=5,48=9,

從而d=-~~甘=1,于是口3=。4-4=5-1=4,

所以S5=5a3=20.

故選：C.

5.（5分）為調查社區居民對社區工作的滿意度，在社區內抽取200名居民進行問卷調查，將收集到的數

據分成五組，繪制出以下頻率分布直方圖，若［65,75）的頻率為（）.48,a,人的值為（）

B.0.017,0.48

C.0.17,0.048D.0.17,0.48

第6頁（共18頁）

【解答】解：已知數據在[65,75）的頻率為0.48,

由頻率分布直方圖可知組距為10,則b=鬻=0.048,

又因為（0.005+0.025+6+4+0.005）X10=l,解得。=0.017.

故選：A.

6.（5分）在中，內角力，B,C的對邊分別為a,b,c,若Q=2,y/3sinA+cosA=2,貝必力8。

面積的取值范圍為（）

A.[V3,+00）B.（0,V3]C.[1,+8）D.（0,1]

【解答】解：在△48。中，內角4B，C的對邊分別為mb,c,

由百si/M+cosA=2,得2(挈sizM4-^cosA)=2,

所以2(sinAcos^+cosAsin^)=2,即si〃(4+看)=1,

又OV/Vm所以二＜力十三＜2，

666

所以A+＞多解得4=*

在△/8C中，a=2,由余弦定理可得J=b2+c2-2Acos4

所以4=b2+cr-bc^2bc-bc=bc,

所以0V6cW4,當且僅當b=c=2時取等號，

根據三角形的面積公式可得S.=\bcsinA=*be,

所以OVS/BCWK，

則△/8C面積的取值范圍為（0,V3].

故選：B.

7.(5分)已知定義域為R的函數/(%)滿足/(x+2)=/(-x),且/(2x?1)為奇函數，則一定有()

A./(0)=0B./(2)=0C./(3)=0D./(4)=0

【解答】解：因為定義域為R的函數/(x)滿足/(由2)=/(-x),且/(2「1)為奇函數，

所以/(-2x-1)4/(2x-1)=0,所以/(-x)+f(x-2)=0,且/(-I)=0,

所以/(x+2)+f(x-2)=0,

所以/(x+4)tf(x)=0，所以/(x+8)4/(/4)=0,

所以/(x+8)=f3,所以/(x)的周期為8,

所以由/(x+4)+f(x)=0,可得/(3)(-1)=0,又/(-1)=0,

所以/(3)=0,所以C選項正確：

第7頁（共18頁）

對其它選項中的函數值沒有條件得到，所以4B,。選項錯誤.

故選：C.

8.（5分）己知雙曲線滔一］=1（Q>0,匕>0）的左右焦點分別為產I，Fz，尸是C上一點，且尸@_L

廠砂2，若△尸的內切圓半徑，?與|尸"2|的比值為右則。的離心率為（）

A.V3B.2C.y/7D.3

22

【解答］解：由小_LQ乃，令』，得？一意=1，可得y2美，

卜2

所以|Pa|=3，

A2

則由雙曲線的定義可知，|P尸i|=\PF2\+2a=^-+2a,

11b2b2c

則的面積為-1^21=~'2c--=—,

周氏為|尸片|十\PF2\十IQ&I=萼+2a十2c,

2

42b2bc/r,2x崢h2

*-(—+2a+2c)r=—得“坐+2H2c

已知ZWE尸2的內切圓半徑〃與|P「2|的比值為土

b2

則」-----至——______1

I房2l一處一Q+C-4'

a

則。的離心率為r3.

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多個選項符合要求。全

部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分。

（多選）9.（6分）已知角。的終邊過點尸（s山cosjyr）,下列選項正確的是（）

A.sinO=—^D.cosO=一當

第8頁（共18頁）

C.tanO=_D.sin(e+竽)=苧

【解答】解：由題意，角6的終邊過點P(si7iA，cos^n),

可得P(第，—

可得cos6=P，sinO=—i,tanO=—=■=-故WC正確，8錯誤：

T

可得si7i(。+岑)--sin(0+y)=-cosO=-竽，故D錯誤.

故選：AC.

(多選)10.(6分)設函數/(x)=(x-1)(x-a)(x-力)，其中aVIVb,則下列說法正確的是()

A.f(x)可能為奇函數

B./(x)既有極大值也有極小值

C.不等式/(X)>0的解集是(a,I)U(匹+OO)

D.若/(x)/(2-x)W0恒成立，貝lJ“+〃=2

【解答】解：對于選項人若/(4)為奇函數，則/(0)=-必=0,且aVIVb,則a=0,b>\,

這樣/G)的三個零點不關于原點對稱，則/(x)不是奇函數，故/錯誤；

2

對于選項Bff(x)=(x-1)[x-(。+力)x+ab],

所以/(x)=3?-(2a+2/>4-2)x+ab+a+b,

由/(x)=0=3f-(2a+2b+2)x+ab+a+b=0,

A=(2a+2b+2)2-12(ab+a+b)=4a2+4b2+4-4ab-4a-4b

=2(a-b)2+2(a-1)2+2(Z>-1)2,

因為0<1V仇所以A>0,

所以，(x)=0有兩個不相等的零點，不妨設為MVX2，

f(x)>()>得xVx]或x>X2；f(X)V()，得x|Vx〈K2，

所以函數的減區間為(xi，X2；，增區間為(-8,XI)和(工2，+8),

所以X2是/(》)的極小值點，XI是/(》)的極大值點，故8正確；

對于選項G當x>力時，/(I)>0,當IVxV力時，/(x)<0,當aVxVl時，/(x)>0,當xVa

時，/(.r)<0,

所以/G)>0的解集為(。，1)U(b,+8),故C正確；

對于選項O,y=f(x)與y=/(2-x)關于x=l對稱，若/(x)/(2-x)W0恒成立，

第9頁(共18頁)

則/（x）的零點a,b關于直線x=l對稱，所以a+b=2,故。正確.

故選：BCD.

（多選）11.（6分）已知菱形48CQ的邊長為2,NB/1D=60°,/1C與8。交于點。，將△D4C沿力C

翻折得到△口。且戶O_LO8,E,廠分別為48,8C中點，OG=M》（OV%V1）,設平面EFG截四面體

尸-44c所得截面面積為/（X）,下列選項正確的是（）

A.若GE與平面48C所成角為30°,則％=亨

B.若GELGF,則"?

V6

C.f（x）的極大值為彳

3^/15

D.f（x）的極小值為一丁

16

【解答】解：過G作MN〃4C,設EFCOB=H,MNCPA=M,MNCPC=N,

因為￡,尸分別為48,8c中點，則防〃4C,可得EF//MM

可知平面EFG截四面體P-ABC所得截面為EFNM,

又因為力。_1_8。，貝OBLAC,

且20005=。，PO,。&=平面208,則/C_L平面夕08,

由G〃u平面PO4可得力C_LG〃，即￡^_LG”,MN工GH,

因為尸OJ_4C,PO1OB,

旦4cA08=。，AC,O8u平面為8C,則尸。_L平面力8C,

由題意可知4C=2g,PO=OB=\,

則0G=x,OH=g,EF=炳,M/V=2>/3(l-x),

可得GH=70G2+OH?=Jx2+i,

所以平面EFG截四面體P-ABC所得截面面積如下，

為f(x)=，枕雪I)x=亨J(4N+1)(2%-3)2,

第10頁（共18頁）

對于選項兒因為PO_L平面/8C,則GE與平面48C所成角為NGEO=30°,

且。七=1,可得OG=*OE=*，故/正確；

對于選項從若GE工GF,且〃為E/中點，則GH=*EF;瞪，

即J%2+1=坐,解得％=多故4正確；

對于選項8,因為f@)=孚)(4/+1)(2*-3)2,0<x<l,

令gG)=(4?+1)(Zv-3)2,0<x<i,

則g'(X)=8x(2x-3)2+4(4.r+l)(2x-3)=4(2r-3)(It-1)(4x7),

因為OVxVI,則2x-3VO,

令g'(x)>0,解得:VxV；：令g'(x)<0,解得0Vxv"或;VxVl；

可知g(x)在("，劣)內單調遞增，在(0,i),(劣，1)內單調遞減，

且y=在定義域內單調遞增，

則/(x)在(/,辦內單調遞增，在(0,1),0，1)內單調遞減，

所以/⑴的極大值為/?)=學，極小值為/'?)=零，故C正確，。借誤.

乙乙1XO

故選：ABC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(5分)設拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為八點力(刈，1)在。上，且舊|=3,則k4

【解答】解：由題可知拋物線C：，=2.的準線為丫=一號，

由拋物線定義可得:|尸川=1一(一專)=1+芻=3,解得〃=4.

故答案為：4.

cosa、萬

13.(5分)已知a,R均是第一象限角，-------=1.tanatariA=6,則co$(?+p)=_——.

sina-cosa-z-

COSOL

【解答］解：由---------=1?可得cosa=sina-cosa,即sina=2cosa,

sina—cosa

所以tana=^^=2,結合lanalan0=6,解得tan0=3,

C-C/<JL€

(_sina_9r反

由“n0=而至=/,結合a是第一象限角，解得s出a=告，cosa二警,

isnz”a+cos^a=1

根據0足第一象限角，同理求彳尋sin/?=3^^,cosp=

第11頁(共18頁)

店同2店3/10_&

所以cos(a+/?)=cosacosp-sinasinp=--rx^o-=_i_-

故答案為：-苧，

14.(5分42，43，44,。5是1，2,3,4,5的一個隨機排列,對每一個中間位置的數跖(i=2,3,

4),要求它左右相鄰的兩個數⑺一】與防+1中，至少有一個大于它，則該排列滿足此條件的概率為

2

15—,

【解答】解：根據題意，數字1,2,3,4,5的全排列，有福=120種排法，

因為沒有比5大的數，所以5只能排在第一位或者第五位，

分2種情況討論：

①當5排在第一位時，

若4排在第二位，此時排列可以是(5,4,I,2,3),(5,4,2,1,3),(5,4,3,1,2),(5,4,3,

2,1),共4種情況；

若3排在第二位，此時若4排在中間位置(如43或。4)，

其鄰居(來自剩下的數)必然都小于4,不滿足題設條件，枚4只能排在第五位，

此時排列可以是(5,3,1,2,4),(5,3,2,1,4),共2種情況：

若2排在第二位，此時沒有比4大的數，故4只能排在第五位，此時排列可以是(5,2,1,3,4),共

1種情況；

若1排在第二位，此時沒有比4大的數，故4只能排在第五位，此時排列可以是(5,1,2,3,4),共

1種情況；

由上可知，當5排在第一位時，共有4+2+1+1=8種情況；

②當5排在第五位時，同理可得，也有8種情況滿足條件；

綜上所述，共有8+8=16種排列滿足條件，

162

所以該排列滿足此條件的概率為而=".

JL/UJLKX

故答案為：—.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)如圖，在四棱錐。■48CO中，BC//AD,平面以8,PA=AB=BC=\,AD=2,E為棱

PD上一點,ED=2PE.

(1)證明：P8〃平面力CE；

(2)若PB=&,求二面角P-4C-E的余弦值.

第12頁(共18頁)

p

E

因為8C〃XO,且BC=1,AD=2,

BODC1

故--=---=一，

ODAD2

JE1..PEBO

而指=5'故而=而‘

故

而EOu平面月￡C,P8C平面山X?,

故08〃平面力CE；

(2)解；因為P4=4B=1,PB=VLPB2=AB2+PA2,

故以?

而4。1平面PAB,故可建立如圖所示的空間直角坐標系,

則力(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),A(0,0,0),D(0,2,0),

T1Tl21T

故PE="O=掾(0,2,-1)=(0,三,-1),4P=(0,0,1)，

故后'=AP+PE=(0,I，|),

第13頁（共18頁）

又4c=(1,1,0).

設平面4EC的法向量為五=（x,y,z）,

則,=0,即取》=1,

（科+^=0

可得九1=（1，-1，1），

設平面力尸。的法向量為R=（a,b,c）,

t：Xo咽胃令4=1,

取3=(1,-1,0),

可得同.A=1X1?IX(-1)+1X0=2,|ni|=VI+1+1=V3,|7^|=VI+1+0=V2.

nn

可HT殂得COS1VT”即"*＞、=而l'而2=反2五=丁\6’

設二面角p-4C-E的平面角為e,由題設可得e為銳角，

可得cos0=|cosVn]，n2>|=苧.

16.（15分）已知橢圓C：^2+y2=l（a>l）,直線/：y=x-2.

（1）若/經過C的右焦點，求C的標準方程：

（2）若/與C交于M,N兩點，且|MN|=%,求C的標準方程.

【解答】解：（1）設橢圓。的右焦點為（c,0）,因為/經過C的右焦點,

所以0=。-2,解得。=2,而6=1,所以〃2=62+°2=]+4=5,

x2

故。的標準方程為三+y2=1.

（y=x-2

（2）聯立忙+2=1，消去N得（1+/）x2-4A+3a2=0,

\a2y_

Ari2Q/J2

設M（XI，yi）,N（X2，”），則勺+無2=耳冠，滔，

所以|MN|="TFxJ借lx需=警，

化簡得（黑?）2-4x=H，整理可得2k/4-8342-4=0,

解得〃=4（負根舍去），故橢圓。方程為不十y2三i.

第14頁（共18頁）

17.35分）有三個外觀相同的箱子，編號分別為I,2,3,其中1號箱裝有1個紅球和4個白球，2號箱

裝有2個紅球和2個白球，3號箱裝有4個紅球和6個白球，這些球除顏色外完全相同.

（I）某人先從三個箱子中任取一箱，再從中任意摸出一球，求取到紅球的概率；

（2）某人先從三個箱子中任取一箱，再從中任意摸出一球，發現是紅球，求該球取自幾號箱的可能性

最大.

【解答】解：（1）設事件以表示“球取自i號箱"（i=l,2,3）,事件/表示“取到紅球”，

1119

則P（BI）=P（82）=P（B3）=）P（川％）=，P（川B3）=*

可得〃CA）=〃（81）P04“+〃（62）P（力陽）+〃（63）〃（力四）

444444=^故取到紅球的概率礙；

（2）根據（1）中數據,

由貝葉斯公式知哂⑷=鏘=地喘瀉=等二條

PL-誕迪生?-遲■-工

氣以⑸_P（A）_P（4）-n-ir

p（B⑷一「⑸力）—P（%）P?%）_我春_4

〃出聞_p（＜）-p（｛）-ii-ir

245

因為五V五〈五，所以該球取自2號箱的可能性最大.

18.（17分）已知數列｛〃“｝中，%=2,冊+i=2%+2"+i.

（1）證明:數列（袋｝是等差數列;

（2）如圖，在平面直角坐標系xQu中，若%n=M，依次連接點Pi（X】，1）,Pl（X2，2）…，P“+1（x〃+l，

n+\）得到折線P|P2?-P〃+1，求由該折線與直線y=0,X=X1,x=MH所圍成的區域的面積7〃；

（3）記力"〃二一（幾+/1%）（1、-/〃）、+.若4“2n令+1恒成立，求實數人的最大值?

第15頁（共18頁）

【解答】解：(1)證明：因為%+】=2即+2-1,

所以兩邊同時除以2叫得箝-關=1，

因為ai=2,所以今"=1,

所以數列｛果｝是首項為1,公差為1的等差數列.

(2)過P],尸2,尸3,……，尸〃+1向X軸作垂線，垂足分別為。],02,。3，……，。〃+1，

nn+1n

由(1)得/吟=2,所以修計1—xn=2-2=2\

記梯形產〃辦+]0〃+10〃的面積為Cn.

由題意得金=S+：+Dx2n=(2n+l)x2-1,

所以Tn=C\+C2+C3+......+Cn

=3X2°+5X21+7X22+……+(2/7-1)X2n'2+(2〃+l)X2/rl,①

123n-1

又因為2Tn=3x24-5x2+7x24-……+(2n-1)x2+(2n+1)x23(2)

①-②得：一G=3x2°+2(2+22+……+2”T)-(2九+1)x2n=(1-2n)x2n-l,

所以7“=3+2(21+22+…+2”T)-(2n+1)-2n=(2n-1)x2n+1,

所以由該折線與直線y=0,x=xi,x=x“+i所圍成的區域的面積〃=(2九一1)乂2"+1；

(3)因為Tn=(2n-l)2n+l,所以1-7\=1一[(2九-1)2"+1]=—(2"一1)2八，

所以41=(n+l)|-(2n-l)2?]+1=1-(n+l)2n，

因為4N系恒成立，所以1—鬲加工總恒成立，

即(n+1)—.>2%恒成立，

因為｛(n+1)—右｝單調遞增，

所以當〃=1時，[(n+1)-/嬴=|,所以21今,BIU<

所以人的最大值為土

4

19.(17分)/(x)=a(e2A?e"?4工)-ex+ex+2x.

(1)若。=0,詞論/(x)的單調性;

第16頁(共18頁)

(2)若x>0時，/(x)>0恒成立，求a的范圍;

8V2-3企+18

(3)證明:---------<ln2<----------

1228

【解答】解：(1)由題意/(%)=。(心?。2?4%)-^+e'x+2x,

當a=