材料力學（I）（第5版）課件 ch3 軸向拉壓變形、ch4 扭轉

第

3

章軸向拉壓變形單輝祖：材料力學Ⅰ（第５版）單輝祖：材料力學Ⅰ2第

3

章軸向拉壓變形

本章主要研究：

軸向拉壓變形分析的基本原理

簡單拉壓靜不定問題分析

熱應力與初應力分析

單輝祖：材料力學Ⅰ3

§1

拉壓桿的變形

§2

節點位移與小變形

§3

應變能概念

§4

簡單拉壓靜不定問題

§5

熱應力與初應力

單輝祖：材料力學Ⅰ4§1

拉壓桿的變形

軸向變形與胡克定律

橫向變形與泊松比

例題單輝祖：材料力學Ⅰ5

軸向變形與胡克定律分析基礎－胡克定律

比例極限內,正應力與正應變成正比E－彈性模量,應力-應變圖直線段的斜率值軸向變形

拉壓桿沿軸線方位的變形橫向變形

拉壓桿垂直軸線方位的變形單輝祖：材料力學Ⅰ6軸向變形基本公式

EA－桿截面的

拉壓剛度

Dl－伸長為正,縮短為負在比例極限內,拉壓桿的軸向變形Dl,與軸力FN及桿長l成正比,與乘積EA成反比－仍稱胡克定律單輝祖：材料力學Ⅰ7軸向變形一般公式

n－總段數FNi－桿段

i

的軸力

變截面變軸力桿

階梯形桿單輝祖：材料力學Ⅰ8

橫向變形與泊松比拉壓桿的橫向變形泊松比試驗表明：在比例極限內,e’

e,并異號,m－泊松比

Db－桿的橫向變形－桿的橫向正應變b－桿的寬度引入比例常數m,得單輝祖：材料力學Ⅰ9

例題例題

已知

l=54mm,di=15.3mm,E=200GPa,m=

0.3,

擰緊后,AB

段Dl=0.04mm,試求螺栓s,Dd與受力。解：1.

螺栓橫截面正應力2.螺栓橫向變形

3.螺栓受力單輝祖：材料力學Ⅰ10例

題圖示螺紋桿,承受軸向載荷F,橫截面面積為A,彈

性模量為E,試計算螺紋桿的軸向變形。解：1.計算簡圖載荷集度為設AD段的外力沿桿軸均勻分布單輝祖：材料力學Ⅰ11桿段AD：2.軸向變形分析桿段DB：結論：單輝祖：材料力學Ⅰ12例

題圖示橢圓形截面桿,承受軸向載荷F作用。已知彈性常數E與m，試計算桿件的體積改變量。

解：展開并略去高階小量單輝祖：材料力學Ⅰ13§2

節點位移與小變形概念

節點位移分析

小變形概念

例題單輝祖：材料力學Ⅰ14

節點位移分析1.軸力與變形分析

圖示桁架,桿1與2分別用鋼與松木制成。F

=

10

kN;E1

=

200

GPa,A1

=

100

mm2,l1

=

1

m；E2

=

10

GPa,A2

=

4000

mm2。試求節點

A的水平與鉛垂位移。單輝祖：材料力學Ⅰ15

圓弧法

切線代圓弧法2.作圖法求節點位移3.節點位移計算用切線或垂線代替圓弧作圖單輝祖：材料力學Ⅰ16

小變形概念小變形：與結構原尺寸相比為很小的變形應用：在小變形條件下,通常即可：

按結構的原有幾何形狀與尺寸,計算約束反

力與內力

采用切線代圓弧的方法確定節點位移單輝祖：材料力學Ⅰ17例

題

F1

=

F2

/

2

=

F，求截面

A

的位移DAy解：1.計算FN與Dl

例題3.位移計算2.畫變形圖剛體EA由Dl與C點垂線確定C’,再由BC’延長線與A點垂線AA’確定A’單輝祖：材料力學Ⅰ18解：1.計算FN與Dl3.位移計算2.畫變形圖例

題圖示桁架,承受載荷F作用,各桿EA相同,求節點A的位移。

由Dl1與Dl2確定B’

；A點鉛垂線與A2水平線相交,確定A’單輝祖：材料力學Ⅰ19解：例

題梁BD為剛體,承受F作用,各桿E相同,

A1=2A2=2A3,

求C點位移，

過B1作水平直線,過B作桿2垂線,二者相交于B’,代表剛桿的水平位移

過D1作水平直線,取,D’即節點D的新位置

取,過C1作鉛垂線,與軸線B’D’相交于C’,此即中點C的新位置單輝祖：材料力學Ⅰ20§3

應變能概念

應變能與功能原理

外力功與應變能計算

拉壓與剪切應變能

例題單輝祖：材料力學Ⅰ21

應變能與功能原理應變能與外力功

彈性體因變形而儲存的能量－應變能

Ve

外力在變形過程中所作之功－外力功

W

功能原理成立條件：載荷由零逐漸緩慢增大,彈性體的動能與熱能等的變化均可忽略不計。

根據能量守恒定律，彈性體因變形所儲存的應變能，數值上等于外力所作的功彈性體功能原理單輝祖：材料力學Ⅰ22

外力功與應變能計算

線彈性桿的外力功

線彈性拉壓桿的外力功與應變能單輝祖：材料力學Ⅰ23

拉壓與剪切應變能單位體積內應變能－應變能密度拉壓應變能密度剪切應變能密度單輝祖：材料力學Ⅰ24

例題解：1.

軸力分析例題用能量法計算DBy2.應變能計算3.位移計算單輝祖：材料力學Ⅰ25解：例題承載剛性桿AB,由鋼絲、光滑滑輪支持。鋼絲產生單位軸向變形所需之力為k,試求端點B的鉛垂位移DB鋼絲應變能：外力功：功能原理：單輝祖：材料力學Ⅰ26例

題

圖示隔振器，鋼桿與鋼套可視為剛體，橡皮的切變模量為G

。求橡皮管內的應力

t

與鋼桿的位移

D。解：1.應力分析單輝祖：材料力學Ⅰ272.應變能計算3.位移計算單輝祖：材料力學Ⅰ28§4

簡單拉壓靜不定問題

靜不定概念

拉壓靜不定問題分析

例題單輝祖：材料力學Ⅰ29

靜不定概念

靜不定度未知力數與獨立平衡方程數之差增加桿AD,增加一未知力兩個未知力,兩平衡方程

靜不定問題僅由平衡方程不能確定全部未知力的問題

靜定問題僅由平衡方程即可確定全部未知力的問題

靜不定問題特點

存在多余桿件或約束，于是靜定變為

靜不定,同時限制了各桿變形,使其相互關聯單輝祖：材料力學Ⅰ30

拉壓靜不定問題分析

建立平衡方程

建立補充方程補充方程變形協調方程

聯立求解求解思路多余約束使各桿變形滿足一定關系單輝祖：材料力學Ⅰ31

平衡方程

補充方程

聯立求解－變形協調方程E1A1=E2A2求解算例－補充方程單輝祖：材料力學Ⅰ32綜合考慮三方面

外力與FNi

滿足靜力平衡方程

各

Dli

之間滿足變形協調方程

Dli

與FNi

間滿足給定物理關系（如胡克定律）（靜力、幾何與物理）靜不定問題求解與內力的特點

內力不僅與載荷有關,而且與截面剛度有關

一般講,對于桿i,

EiAi

加大,FNi也加大內力特點：單輝祖：材料力學Ⅰ33

例題例題求兩端固定桿的支反力解：聯立求解式(a)與

(b)一度靜不定單輝祖：材料力學Ⅰ34解：

畫變形圖與受力圖注意受力圖與變形圖協調

伸長～拉力；縮短～壓力例題已知

F

=

50

kN，[st

]

=

160

MPa，[sc

]

=

120

MPa，

A1=A2。試問

A1=?A2=?

建立平衡方程

建立補充方程單輝祖：材料力學Ⅰ35

截面設計

內力計算聯立求解平衡方程與補充方程結構條件：A1=

A2單輝祖：材料力學Ⅰ36例題圖示桁架,承受水平載荷F作用,桿1長l,各桿各截面EA相同,

試計算各桿軸力。

求解

節點A存在雙側約束,只能水平移動。解：問題分析

設節點A位移至A’,各桿均伸長,

未知力3個,獨立平衡方程兩個,一度靜不定。各桿均受拉。聯立求解,得單輝祖：材料力學Ⅰ37例題圖示桁架,承受鉛垂載荷F作用,各桿各截面EA

相同,桿3長度為

l,a=45o,試求各桿的軸力。

分析：A,B兩節點,4平衡方程,5未知軸力,一度靜不定。節點C下移,桿1

3均受拉；變形協調方程為節點B隨之下移,桿4,5均受壓單輝祖：材料力學Ⅰ38解：變形協調方程為利用胡克定律,得補充方程為根據節點B與C的平衡,得

聯立求解平衡方程與補充方程,得并從而有

單輝祖：材料力學Ⅰ39§5

熱應力與初應力

熱應力與初應力概念

例題單輝祖：材料力學Ⅰ40

熱應力與初應力概念引起應力的非力學因素1.溫度變化2.桿長制造誤差強致安裝后兩端固定桿,溫度變化DT兩端固定桿,制造誤差d單輝祖：材料力學Ⅰ41熱應力與初應力

由于桿長制造誤差或溫度變化,結構在未受載時即已存在的應力,分別稱為初應力與熱應力

在靜不定結構中,各桿段或各桿的軸向變形必須服從變形協調條件,因此,溫度變化或桿長制造誤差,一般將引起應力

由于桿長制造誤差或溫度變化，靜不定結構將可能存在熱應力與初應力－靜不定結構特點

由于桿長制造誤差或溫度變化，靜定結構將發生外形改變,但不會引起熱應力與初應力－靜定結構特點單輝祖：材料力學Ⅰ42

例題例題桿1溫度升高

DT,求

FN1,FN2與支座

C

反力解：1.畫變形圖2.畫受力圖注意分清哪一段是彈性變形

Dl,哪一段是熱膨脹

dT注意軸力

FN與軸向變形

Dl的協調3.建立平衡方程單輝祖：材料力學Ⅰ434.建立補充方程5.聯立求解單輝祖：材料力學Ⅰ44例

題結構左右對稱,桿3誤差d,試建立平衡與補充方程解：畫變形圖畫受力圖

建立平衡與補充方程

單輝祖：材料力學Ⅰ45例

題AC為剛體,各桿EA相同,熱脹系數al,桿1長度誤差d,桿2溫度

升高DT,并承受載荷F作用,試求各桿軸力。

設剛梁位于直線AB’C’位置,則且均為伸長變形,各桿均受拉解：單輝祖：材料力學Ⅰ46解：變形協調方程為利用胡克定律,得補充方程為根據節點B與C的平衡,得

聯立求解平衡方程與補充方程,得并從而有

單輝祖：材料力學Ⅰ47e’e橫向應變e’

與軸向應變e第

4

章扭轉單輝祖編著：材料力學Ⅰ第

4

章扭轉

單輝祖：材料力學Ⅰ49

圓截面軸的扭轉應力與變形

圓截面軸的扭轉強度與剛度

矩形等非圓截面軸扭轉

薄壁截面軸扭轉本章主要研究：

§1

引言

§2扭矩

§3

圓軸扭轉應力

§4

圓軸扭轉強度與合理設計

§5

圓軸扭轉變形與剛度條件

§6

簡單靜不定軸

§7

非圓截面軸扭轉

§8

薄壁桿扭轉單輝祖：材料力學Ⅰ50§1引言

扭轉實例

扭轉及其特點單輝祖：材料力學Ⅰ51

扭轉實例MFF

扭轉及其特點變形特征：各橫截面間繞軸線作相對旋轉,軸線仍為直線－扭轉變形外力特征：作用面垂直于桿軸的力偶－扭力偶扭轉與軸：以扭轉變形為主要特征的變形形式－扭轉

以扭轉為主要變形的桿件－軸扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩扭轉角：橫截面饒軸線間的相對角位移§2

扭矩

功率、轉速與扭力偶矩的關系

扭矩與扭矩圖

例題單輝祖：材料力學Ⅰ54

功率、轉速與扭力偶矩的關系傳動軸是一種常見受扭構件。現研究軸的轉速n(r/min),

所傳遞功率P(kW)與扭力偶矩M(N.m)間的關系。設角速度為

(rad/s)例:P＝5kW,n=1450r/min,則

扭矩與扭矩圖扭矩定義－矢量方向垂直于橫截面的內力偶矩，并用

T

表示符號規定－按右手螺旋法則將扭矩用矢量表示，

矢量方向與橫截面外法線方向一致

的扭矩為正，反之為負扭矩扭矩圖（m－軸單位長度內的扭力偶矩）試分析軸的扭矩在x

-T平面內,扭矩沿桿軸變化的圖線,稱為扭矩圖根據上述方程，畫扭矩沿桿軸的變化曲線

例題例

題

MA=76N

m,MB=191N

m,MC=115N

m,畫扭矩圖解：§3

圓軸扭轉應力

扭轉試驗與假設

扭轉應力分析

薄壁圓管扭轉切應力

極慣性矩與抗扭截面系數

例題單輝祖：材料力學Ⅰ59

扭轉試驗與假設單輝祖：材料力學Ⅰ60圓軸扭轉時,橫截面仍保持平面,其形狀、大小與間距均不改變,而且,半徑仍為直線,稱為扭轉平面假設

當變形很小時，各圓周線的大小與間距均不改變扭轉平面假設扭轉試驗

各圓周線的形狀不變,僅繞軸線作相對轉動從試驗、假設入手,綜合考慮幾何、物理與靜力學三方面單輝祖：材料力學Ⅰ61扭轉變形交互式動畫,演示正或負扭矩及其大小變化下圓軸的變形或通過按鈕點擊畫面

扭轉應力分析物理方面幾何方面dj

/

dx－扭轉角變化率靜力學方面應力與變形公式－極慣性矩－抗扭截面系數公式的適用范圍：圓截面軸；

薄壁圓管扭轉切應力單輝祖：材料力學Ⅰ64假設

切應力沿壁厚均勻分布適用范圍適用于所有勻質薄壁桿,包括彈性、非彈性、各向同性與各向異性情況公式精度在線彈性情況下,當

d≤R0/10

時,誤差≤4.53

極慣性矩與抗扭截面系數單輝祖：材料力學Ⅰ65

空心圓截面

實心圓截面

例題單輝祖：材料力學Ⅰ66例

題已知MC=2MA=2MB=200N·m；AB段，d=20mm；BC段，di=15mm，do=25mm。求各段最大扭轉切應力。解：單輝祖：材料力學Ⅰ67例

題直徑為d圓截面軸,應力應變關系為t=kgn,式中,k與n為材料常數,試利用平面假設建立扭轉切應力公式。

解：根據平面假設由靜力學可知于是得由此得扭轉切應力為單輝祖：材料力學Ⅰ68例題圖示托架,承受鉛垂載荷F作用。各鉚釘的材料相同,直徑均為

d,試求鉚釘的最大剪切應力。

在分析中,視托架為剛體。解：

在F作用下,托架剛性鉛垂下移,各鉚釘的剪切應力均為

將載荷F平移至鉚釘群剪切面形心C,得集中力F與矩為Fl的附加力偶M。

在M作用下,托架繞C點剛性轉動。設鉚釘1的剪切應力為tM1,則鉚釘2的剪切應力

tM2=tM1/3,從而有§4

圓軸扭轉強度與合理設計

扭轉極限應力

圓軸扭轉強度條件

圓軸合理強度設計

例題單輝祖：材料力學Ⅰ69

扭轉極限應力單輝祖：材料力學Ⅰ70塑性材料屈服斷裂脆性材料斷裂扭轉屈服應力與扭轉強度極限,統稱為扭轉極限應力tu圓軸扭轉屈服時橫截面上的最大切應力－扭轉屈服應力圓軸扭轉斷裂時橫截面上的最大切應力－扭轉強度極限扭轉極限應力扭轉失效形式

圓軸扭轉強度條件單輝祖：材料力學Ⅰ71tu－扭轉極限應力n-安全因數塑性材料：[t]=（0.5~0.577）[s]

脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[st]為保證軸不因強度不夠而失效,要求軸的最大扭轉切應力不超過扭轉許用切應力危險點處于純剪切狀態,又有

圓軸合理強度設計單輝祖：材料力學Ⅰ721.

合理截面形狀若

Ro/d

過大將產生皺褶空心截面比實心截面好2.

合理截面變化－采用變截面軸與階梯形軸注意減緩應力集中

例題單輝祖：材料力學Ⅰ73例

題已知T=1.5kN

.

m，[t]

=

50MPa，試根據強度條件設計實心圓軸與

a

=

0.9

的空心圓軸，并進行比較。解：1.確定實心圓軸直徑2.

確定空心圓軸外徑3.重量比較空心軸遠比實心軸輕單輝祖：材料力學Ⅰ74解：1.扭矩分析例

題R0=50

mm的薄壁圓管,左、右段的壁厚分別為

d1=5mm,d2=4mm,m=3500N

.m/m,l=1m,[t]=50MPa,

試校核圓管強度。2.

強度校核危險截面：截面A與B單輝祖：材料力學Ⅰ75例

題密圈螺旋彈簧應力分析與強度條件解：1.內力分析密圈螺旋彈簧—螺旋升角a

很小的彈簧單輝祖：材料力學Ⅰ762.應力分析3.應力修正公式4.強度條件[t]－純剪切許用切應力§5

圓軸扭轉變形與剛度條件

圓軸扭轉變形

圓軸扭轉剛度條件

例題單輝祖：材料力學Ⅰ77

圓軸扭轉變形單輝祖：材料力學Ⅰ78圓軸扭轉變形一般公式GIp－圓軸截面扭轉剛度，簡稱扭轉剛度常扭矩等截面圓軸

圓軸扭轉剛度條件單輝祖：材料力學Ⅰ79圓軸扭轉剛度條件[q

]－單位長度的許用扭轉角

注意單位換算:

一般傳動軸，

[q

]=0.5~1

()/m

例題單輝祖：材料力學Ⅰ80例題已知：MA=180N.m,MB=320N.m,MC=140N.m,Ip=3105mm4,l=2m,G=80GPa,[q]=0.5()/m。jAC=?校核軸的剛度解：1.變形分析單輝祖：材料力學Ⅰ812.剛度校核注意單位換算！單輝祖：材料力學Ⅰ82例題試計算圖示圓錐形軸的扭轉角解：單輝祖：材料力學Ⅰ83例題圖示密圈彈簧,由n圈彈簧絲組成,彈簧直徑為Ｄ,切變模量為

Ｇ,在拉力F作用下，試計算彈簧的軸向伸長l。解：彈簧的軸向伸長主要是彈簧絲的扭轉變形造成的。

微段ds的扭轉角與應變能分別為根據功能原理彈簧絲的總長為

彈簧的應變能為

§6

簡單靜不定軸

扭轉靜不定問題分析

例題單輝祖：材料力學Ⅰ84

扭轉靜不定問題分析單輝祖：材料力學Ⅰ85問題

試求圖示軸兩端的支反力偶矩問題分析未知扭力偶矩－2個，平衡方程－1個，一度靜不定單輝祖：材料力學Ⅰ86建立補充方程計算支反力偶矩聯立求解方程(a)與(b)

例題單輝祖：材料力學Ⅰ87例題

已知

G1

=G2

=

G，Ip1=2Ip2，試求圓盤的轉角。解：1.建立平衡方程單輝祖：材料力學Ⅰ882.建立補充方程3.扭矩與圓盤轉角聯立求解方程(a)與(b)

單輝祖：材料力學Ⅰ89例題由銅管與鋼軸組成組合軸,二者的截面極慣性矩分別為Ipc與Ips,且Ipc/Ips=b,鋼與銅的切變模量分別為Gs與Gc,且Gs/Gc=2,扭力偶矩為M,試求銅管的扭矩。解：§7

非圓截面軸扭轉

矩形截面軸扭轉

橢圓等非圓截面軸扭轉

例題單輝祖：材料力學Ⅰ90

矩形截面軸扭轉單輝祖：材料力學Ⅰ91

圓軸平面假設不適用于非圓截面軸試驗現象

截面翹曲,角點處

g為零,側面中點處

g最大單輝祖：材料力學Ⅰ92應力分布特點

橫截面上角點處,切應力為零

橫截面邊緣各點處,切應力

//

截面周邊

橫截面周邊長邊中點處,切應力最大單輝祖：材料力學Ⅰ93彈性力學解系數

a,b,g表長邊中點

t最大a

0.208

0.219

0.231

0.239

0.246

0.258

0.267

0.282

0.299

0.307

0.313

0.333

b

0.141

0.166

0.196

0.214

0.229

0.249

0.263

0.281

0.299

0.307

0.313

0.333

g

1.000

0.930

0.859

0.820

0.795

0.766

0.753

0.745

0.743

0.742

0.742

0.742

單輝祖：材料力學Ⅰ94狹窄矩形截面扭轉h－中心線總長推廣

橢圓等非圓截面軸扭轉單輝祖：材料力學Ⅰ95

Wt,

It的量綱分別與

Wp,

Ip相同

計算公式見《材料力學Ⅰ》的附錄D橢圓、三角形等非圓截面軸

例題解：1.邊寬a與直徑d的關系例題

材料、橫截面面積與長度均同的兩軸,一為正方形截面,一為圓形截面。在同值扭力偶矩

M作用下,試比較tmax與扭轉變形。2.方形軸的應力與變形4.比較圓形截面軸的抗扭性能比方形截面軸好3.圓形軸的應力與變形單輝祖：材料力學Ⅰ98解：1.閉口薄壁圓管例題試比較閉口與開口薄壁圓管的抗扭性能,設

R0＝20d2.開口薄壁圓管3.抗扭性能比較閉口薄壁桿的抗扭性能遠比開口薄壁桿好§8

薄壁桿扭轉

開口與閉口薄壁桿

閉口薄壁桿扭轉應力與變形

開口薄壁桿扭轉簡介

薄壁桿合理截面形狀

例題單輝祖：材料力學Ⅰ99

單輝祖：材料力學Ⅰ100截面中心線－截面壁厚平分線閉口薄壁桿－截面中心線為閉合曲線的薄壁桿開