第13講 重難點專項突破01中點四邊形模型（學生版）-新九年級數學暑假預習講義（北師大）

重難點專項突破01中點四邊形模型（4種題型）【知識梳理】【考點剖析】題型一、利用中點求長度例1.如圖，某花木場有一塊四邊形ABCD的空地，其各邊的中點為E、F、G、H，測得對角線AC＝11米，BD＝9米，現想用籬笆圍成四邊形EFGH場地，則需籬笆總長度是（）A．20米 B．11米 C．10米 D．9米【變式1】在四邊形中，，E、F、G、H分別是、、、的中點，則的值為（）A．18 B．36 C．48 D．64【變式2】如圖，已知矩形ABCD的對角線AC的長為10cm，連結矩形各邊中點E、F、G、H得四邊形EFGH，則四邊形EFGH的周長為（）cm．A．20 B． C． D．25【變式3】如圖，點O為四邊形ABCD內任意一點，E，F，G，H分別為OA，OB，OC，OD的中點，則四邊形EFGH的周長為（）A．9 B．12 C．18 D．不能確定題型二、利用中點求面積例2.如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G分別為邊AB、BC、CD的中點，若△EFG的面積為4，則四邊形ABCD的面積為（）A．8 B．12 C．16 D．18【變式1】定義，我們把對角線互相垂直的四邊形叫做和美四邊形，對角線交點作為和美四邊形的中心．（1）寫出一種你學過的和美四邊形______；（2）順次連接和美四邊形四邊中點所得四邊形是（）A．矩形B，菱形C．正方形D．無法確定（3）如圖1，點O是和美四邊形的中心，分別是邊的中點，連接，記四邊形的面積為，用等式表示的數量關系（無需說明理由）（4）如圖2，四邊形是和美四邊形，若,求的長．【變式2】如圖，在四邊形中，對角線，且，，，，，分別是四邊的中點，則四邊形的面積為__________．題型三、找規律問題例3.如圖，四邊形ABCD中，對角線，且，，各邊中點分別為、、、，順次連接得到四邊形，再取各邊中點、、、，順次連接得到四邊形，……，依此類推，這樣得到四邊形，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．不確定【變式1】如圖1，，，，分別是四邊形各邊的中點，且，，．（1）試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論；（2）如圖2，依次取，，，的中點，，，，再依次取，，，的中點，，，……以此類推，取，，，的中點，，，，根據信息填空：①四邊形的面積是__________；②若四邊形的面積為，則________；③試用表示四邊形的面積___________．題型四、中點綜合問題例4.通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式就是方程思想，已學過的《勾股定理》及《一次函數》都與它有密切的聯系，最近方程家族的《一元二次方程》我們也學習了它的求解方法和應用。如圖1，矩形中，在上，且，點從點出發，以1個單位每秒的速度在邊上向點運動，設點的運動時間為秒。（1）的面積為，求關于的函數關系式，并求出時的值；（2）在點從點向運動的過程中，是否存在使的時刻？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）如圖2，分別是的中點，在點從向運動的過程中，線段掃過的圖形是什么形狀_________________，并直接寫出它的面積___________________。【變式1】如圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AD，BC的中點，G，H分別是BD、AC的中點，依次連接E，G，F，H．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）當AB=CD時，EF與GH有怎樣的位置關系？請說明理由；（3）若AB=CD，∠ABD=20°，∠BDC=70°，則∠GEF=°．【變式2】如圖，、是四邊形的對角線，點E、F、G、H分別是線段、、、上的中點（1）求證：線段、互相平分；（2）四邊形滿足什么條件時，？證明你得到的結論．【過關檢測】一．選擇題（共6小題）1．（2023?佛山模擬）如圖，四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．若四邊形EFGH為菱形，則對角線AC、BD應滿足條件是（）A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AC⊥BD且AC＝BD D．不確定2．（2022春?蘭山區期末）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA邊上的中點，則下列結論一定正確的是（）A．四邊形EFGH是矩形 B．四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD面積的 C．四邊形EFGH的內角和小于四邊形ABCD的內角和 D．四邊形EFGH的周長等于四邊形ABCD的對角線長度之和3．（2023?銅川一模）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的兩條對角線，順次連接四邊形ABCD各邊中點得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH為矩形，應添加的條件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD4．（2022?南召縣模擬）如圖，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA的中點，則下列說法正確的是（）A．在四邊形ABCD中，若對角線AC＝BD，則四邊形EFGH為矩形 B．在四邊形ABCD中，若對角線AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形 C．在四邊形EFGH中，若對角線EG⊥HF，則四邊形EFGH為矩形 D．在四邊形EFGH中，若對角線EG＝HF，且EG⊥HF，則四邊形EFGH為正方形5．（2022?老河口市模擬）如圖，四邊形ABCD是矩形，E，F，G，H分別為各邊的中點，則四邊形EFGH一定是（）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．對角線相等的四邊形6．（2022?谷城縣模擬）如圖，已知點E、F、G、H分別是四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，順次連接E、F、G、H得到四邊形EFGH，我們把四邊形EFGH叫做四邊形ABCD的“中點四邊形”．若四邊形ABCD是矩形，則矩形ABCD的“中點四邊形”一定是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形二．填空題（共2小題）7．（2020?湘陰縣一模）如圖，四邊形ABCD中，E，F，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點．請你添加一個條件，使四邊形EFGH為矩形，應添加的條件是．8．（2021秋?嶗山區校級月考）如圖，點E、F、G、H分別是任意四邊形ABCD中AD、BD、BC、CA的中點，當四邊形ABCD滿足條件時，四邊形EFGH是菱形．三．解答題（共4小題）9．（2022秋?薛城區校級月考）如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點．（1）判斷四邊形EFGH的形狀．并說明理由．（2）當四邊形ABCD的對角線添加條件時，四邊形EFGH是矩形．（3）在（2）的條件下，說明四邊形EFGH是矩形．10．（2021?梧州模擬）已知：如圖，在四邊形ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，且AC⊥BD于點O．求證：四邊形EFGH是矩形．11．（2023?樂清市模擬）如圖，O是?ABCD的對角線的交點，E，F，G分別是OA，OB，CD的中點．（1）求證：四邊形DEFG是平行四邊形．（2）當∠DEF＝90°，AB＝6，BC＝4時，求四邊形DEFG的周長．12．（2022春?懷仁市期中）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分