【暑假拔高訓練】七年級全等三角形綜合尖子生培優系列 專題08 平行或垂直模型的綜合應用（解析版）（北師大版）

專題08平行或垂直模型的綜合應用題型精講例1.（作平行線構造全等）P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）DE＝3．【分析】（1）過點P作PF∥BC交AC于點F；證出△APF也是等邊三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS證明△PDF≌△QDC，得出對應邊相等即可；（2）過P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS證明△PFD≌△QCD，得出對應邊相等FD=CD，證出AE+CD=DEAC，即可得出結果．【詳解】（1）如圖1所示，點P作PF∥BC交AC于點F．∵△ABC是等邊三角形，∴△APF也是等邊三角形，AP=PF=AF=CQ．∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ．在△PDF和△QDC中，，∴△PDF≌△QDC（AAS），∴PD=DQ；（2）如圖2所示，過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF．∵PE⊥AC，∴AE=EF．∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．在△PFD和△QCD中，，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD．∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DEAC．∵AC=6，∴DE=3．

【點睛】本題考查等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定（AAS）與性質、平行線的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，解題的關鍵是掌握等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定（AAS）與性質、平行線的性質，熟練掌握等邊三角形的性質．【變式訓練】如圖，△ABC中，點D，E在邊AB上，點F在邊BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，連接DF．（1）在圖1中找出與∠ACE相等的角，并證明；（2）求證：∠BDF＝∠EFC；（3）如圖2，延長FD，CA交于點G，連接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代數式表示）．【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，證明見解析；（2）見解析；（3）k【分析】（1）由三角形外角的性質可得出答案；（2）連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，證明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性質可得出∠EDF＝∠EMC，證出∠EMD＝∠EFC，則可得出結論；（3）連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，證明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性質可得出GF＝DC，證出GD＝DM，則根據平行線分線段成比例即可得出答案．【詳解】解：（1）∠DEF＝∠ACE．證明：∵∠DEC是△ACE的外角，∴∠DEC＝∠A+∠ACE，∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF，∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE，∵∠CEF＝∠A，∴∠DEF＝∠ACE；（2）證明：連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵EM∥AC，∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE，∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM，∴ED＝EM，又∵EF＝EC，∴△DEF≌△MEC（SAS），∴∠EDF＝∠EMC，∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°，∴∠BDF＝∠EMC，∵EM∥AC，∴∠DEM＝∠A，∵∠A＝∠CEF，∴∠DEM＝∠CEF，∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝，∴∠EMD＝∠EFC，∴∠BDF＝∠EFC；（3）連接CD，過點E作AC的平行線與CD交于點M，∵EG＝AG，∴∠GAE＝∠GEA，∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°，∴∠DAC＝∠GED，∵∠CEF＝∠DAC，∴∠DEG＝∠CEF，∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF，即∠GEF＝∠DEC，∵△DEF≌△MEC，∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC，又∵EF＝EC，∴△EFG≌△ECD（ASA），∴GF＝DC，∴DC﹣MC＝GF﹣DF，即GD＝DM，∵EM∥AC，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，平行線分線段成比例，三角形的內角和定理，三角形的外角性質，添加輔助線證明三角形全等是解題的關鍵．例2.（作垂線構造全等）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．（1）現給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析；【詳解】（1）①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CED中，，∴△BEF≌△CED（SAS），∴BF＝CD，∠F＝∠CDE，∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F，∴AB＝BF，∴AB＝CD；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G，∴∠F＝∠CGE＝∠CGD＝90°，∵點E是BC的中點，∴BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BEF≌△CEG（AAS），∴BF＝CG，在△BAF和△CDG中，，∴△BAF≌△CDG（AAS），∴AB＝CD；（2）如圖3，過C點作CM∥AB，交DE的延長線于點M，則∠BAE＝∠EMC，∵E是BC中點，∴BE＝CE，在△BAE和△CME中，，∴△BAE≌△CFE（AAS），∴CF＝AB，∠BAE＝∠F，∵∠BAE＝∠EDC，∴∠F＝∠EDC，∴CF＝CD，∴AB＝CD．【變式訓練】（1）如圖，，．求證：．（2）如圖，，．求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）過點分別作，，垂足分別為、，通過三角形全等得到，即可求解；（2）過點分別作，，垂足分別為、，通過角之間的關系得到點在的平分線上，再通過三角形全等得到，即可求解；【詳解】（1）證明：過點分別作，，垂足分別為、．，即點在的平分線上，，，垂足分別為、，．在和中，．．在和中，．（2）證明：如圖，過點分別作，，垂足分別為、．，，．即點在的平分線上．，，垂足分別為、，．在和中，．．在和中，．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，解題的關鍵是根據題意構造全等的直角三角形．遷移應用1．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點P在AB上，過點P作PE⊥AC，垂足為E，延長BC至點Q，使CQ＝PA，連接PQ交AC于點D，則DE的長為（）A．1 B．1.8 C．2 D．2.5【答案】C【分析】過作的平行線交于，通過證明≌，得，再由是等邊三角形，即可得出．【詳解】解：過作的平行線交于，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，∵CQ＝PA，∴在中和中，，≌，，于，是等邊三角形，，，，，，故選：C．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．2．如圖，已知AD為△ABC的中線，點E為AC上一點，連接BE交AD于點F，且AE＝FE.求證：BF＝AC．【答案】證明見解析【分析】方法一：當題中有三角形中線時，常加倍中線構造平行四邊形，利用平行四邊形和等腰三角形的性質證得結論．方法二：向中線作垂線，證明，得到，再根據AE＝FE，得到角的關系，從而證明，最終得到結論.【詳解】方法一：延長AD到G，使DG＝AD，連接BG，CG，∵DG＝AD，BD＝DC，∴四邊形ABGC是平行四邊形，∴AC//BG，∠CAD＝∠BGD，又∵AE＝FE，∴∠CAD＝∠AFE，∴∠BGD＝∠AFE＝∠BFG，∴BG＝BF，∵BG＝AC，∴BF＝AC方法二：如圖，分別過點、作，，垂足為、，則.，，，.，，，，又，，.【點睛】本題是較為典型的題型，至少可以用到兩種方法來解題，此題的特點就是必須有中線這個條件才能構造平行四邊形或雙垂線.3．如圖1，已知四邊形ABCD，連接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延長CA到點E，使得AE＝AD，點F為AB上一點，連接FE、FD，FD交AC于點G．（1）求證：△EAF≌△DAF；（2）如圖2，連接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度數．【答案】（1）見解析；（2）∠DCF＝45°．【分析】（1）由垂直定義可得∠CAD=∠ACB=90°，再根據題意得∠EAF=∠DAF，即可證得結論；（2）過點F作FM⊥FA交AC于點M，由“AAS”可證△AEF≌△MCF，可得∠AFE=∠MFC，EF=DF，可證△CDF是等腰直角三角形，可得∠DCF=45°．【詳解】證明：（1）∵AD⊥AC，BC⊥AC，∴∠CAD＝∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴∠EAF＝180°﹣∠BAC＝135°，∠DAF＝∠CAD+∠BAC＝135°，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS）；（2）如圖2，過點F作FM⊥FA交AC于點M，∵FA⊥FM，∠FAM＝45°，∴∠FMA＝45°＝∠FAM，∴FA＝FM，∠FMC＝∠FAE＝135°，∵EF＝FC，∴∠FEM＝∠FCA，在△AEF和△MCF中，，∴△AEF≌△MCF（AAS），∴∠AFE＝∠MFC，EF＝DF，∵△EAF≌△DAF，∴∠EFA＝∠DFA，∴∠DFA＝∠MFC，∴∠AFM＝∠DFC＝90°，∵DF＝EF＝CF，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠DCF＝45°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．4．在中，，，點E、分別是，上的動點（不與，C重合），點是的中點，連接．（1）如圖1，當時，請問與全等嗎？如果全等請證明，如果不是請說明理由；（2）如圖2，在（1）的條件下，過點作，若，，則HF=；（3）如圖3，當時，連接，若，請求的面積．【答案】（1），見解析；（2）3；（3）【分析】（1）先證明：從而可得結論；（2）在上截取，使，證明從而可得結論；（3）過作，交于，證明，設，則，，再求解，從而可得答案.【詳解】解：（1）全等，理由如下：在中，∵，點是的中點，∴，∵∴∴在和中∴（ASA）（2）在上截取，使，在中，，∴在和中∴（SAS）∴由（1）∴∴∵∴∵∴故答案為：（3）過作，交于∴∵∴∴由（2）得，在和中∴（SAS）∴，即設，則，∴，【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，作適當的輔助線構建全等三角形是解題的關鍵.5．我們定義：三角形一個內角的平分線所在的直線與另一個內角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內角的遙望角．(1)如圖1，是中的遙望角．①直接寫出與的數量關系___________；②連接AE，猜想與的數量關系，并說明理由．(2)如圖2，四邊形ABCD中，，點E在BD的延長線上，連CE，若已知，求證：是中的遙望角．【答案】(1)①；②，理由見解析(2)見解析【分析】（1）①運用角平分線的定義，以及三角形外角的性質，推導得到，，即、可得出；②過點作交延長線于點，過點作交于點，過點作交延長線于點，運用角平分線的性質及判定定理可證，由，可得；（2）過作交于點，過作交延長線于點，先證四邊形是矩形，再證，最后證得平分，平分即可．【詳解】（1）解：①