集合與函數概念

集合與函數概念、基本初等函數教學解讀

(學習《普通高中數學課程標準》和人教版《普通高中

數學課程標準實驗教科書?數學1必修》的體會)

象山三中胡慶彪2006年7月7日11以怎樣的心態迎接新課改的到來?態度決定一切!新課改來了,就是狼來了？正確看待新與舊：以新帶新以新納舊以舊引新以舊改舊辨證看待變與常：突變與漸變量變與質變形式變與實質變12第一章集合與函數概念1.1集合閱讀與思考集合中元素的個數1.2函數及其表示閱讀與思考函數概念的發展歷程1.3函數的基本性質信息技術應用用計算機繪制函數圖象實習作業小結復習參考題第二章基本初等函數(I)2.1指數函數信息技術應用借助計算機探究指數函數的性質2.2對數函數閱讀與思考對數的發明探究與發現互為反函數的兩個函數圖象之間的關系2.3冪函數小結復習參考題復習參考題131.1集合（一）《標準》內容和要求的表述

1．通過實例，了解集合的含義，體會元素與集合的“屬于”關系。2．能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用。3．理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集。4．在具體情境中，了解全集與空集的含義。5．理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集。6．理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集。7．能使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。

（二）《大綱》內容和要求的表述1.理解集合的概念.2.了解屬于的意義3.掌握有關的術語和符號，并會用它們正確表示一些簡單的集合.4.了解包含、相等關系的意義.5.了解空集和全集的意義.6.理解子集、補集、交集、并集的概念.兩者比較《大綱》:對概念，關注意義的了解、理解，掌握方法；《標準》：對概念都要求“通過具體實例”、“通過豐富實例”、“在具體情境中”“體會”、“了解”、“理解”含義；重視使用Venn圖。14（三）教學要求1.基本要求①了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關系、理解集合相等的含義。②理解列舉法和描述法，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言來表示集合。③掌握常用數集的記法。④了解空集的含義。⑤理解集合與集合之間的“包含”關系，理解子集、真子集的概念，會寫出給定集合的子集、真子集。⑥理解兩個集合的并集與交集的含義，掌握有關術語和符號，會求兩個簡單集合的并集與交集。⑦理解全集、補集的含義，會求給定子集的補集。⑧理解使用Venn圖表達集合的關系及運算，體會直觀圖示對理解抽象概念的作用.2.發展要求

能使用集合的關系和運算及Venn圖來求有限集合中元素的個數。3.說明

在訓練時，要把握好難度(只將集合作為一種語言來學習)，不要求補充集合運算的性質及證明,如：

15（四）教學建議1．課時分配（5課時）1.1.1集合的含義與表示約1課時1.1.2集合間的基本關系約1課時1.1.3集合的基本運算約2課時

小結與復習約1課時傳統教材課時分配（7課時）1.1集合約2課時1.2子集、全集、補集約2課時1.3交集、并集約2課時小結與復習約1課時2．重點難點重點：使學生了解集合的含義，理解集合間包含與相等的含義，理解兩個集合的并集與交集的含義，會用集合語言表達數學對象或數學內容。難點：合理選用列舉法或描述法正確表示一些集合，區別元素與集合、集合與集合之間的屬于、包含的關系，理解并集與交集的區別與聯系，Venn圖的意義和應用。163.分析說明?應通過具體的實例使學生正確理解集合的含義.?學習語言最好的方法是使用，學習集合語言也不例外.?在集合之間的關系和運算中，使用Venn圖是重要和有用的.?要注意集合元素的確定性、互異性、無序性。?要注意記號的含義,并能正確使用。?注意描述法、列舉法的適用性。?注意并集、交集的區別，注意子集、真子集的區別。?體會概括、類比、聯想、分類討論等基本思維方法。?在安排訓練時，要把握分寸，不要搞偏題、怪題。171.2函數及其表示（一）《標準》內容和要求的表述1．通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用；了解構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；了解映射的概念。2．在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖像法、列表法、解析法）表示函數。3．通過具體實例，了解簡單的分段函數，并能簡單應用。

（二）《大綱》內容和要求的表述

了解映射的概念，在此基礎上加深對函數概念的理解。了解反函數的概念及互為反函數的函數圖象間的關系,會求一些簡單函數的反函數.

比較

降低要求：對映射只僅僅要求了解其概念，不要求用它理解函數的概念；

提高要求：①對函數概念本質的理解；②對分段函數要求能簡單應用；內容處理:原大綱中先學習映射，再學習函數，而《標準》中先學習特殊的

映射——函數，再學習一般的映射.刪減:互為反函數的函數圖象間的關系及求已知函數的反函數。18(三)基本要求

①理解函數的概念，理解構成函數的三要素。②掌握區間的表示方法。③能根據給定的函數解析式及自變量計算函數值；會求一些簡單函數的定義域、值域。④理解函數的三種表示法：解析法、圖象法和列表法，能根據不同的要求選擇恰當的方法表示簡單的函數。⑤了解簡單的分段函數，并能簡單應用。⑥能用描點法畫作一些簡單函數的圖象。⑦了解映射的概念，并能根據映射概念判別出哪些對應關系是映射。

⑧了解簡單的分段函數，能用分段函數來解決一些簡單的問題。

發展要求①會求一些簡單復合函數的值域。②若有條件，可用計算機畫出函數圖象，幫助學生更深刻地理解函數的概念。說明

函數教學應基于具體的函數，有關抽象函數內容不宜涉及；函數值域的教學應控制難度，可在今后的教學中進一步深入；變量代換不宜太難。19(四公)紡教漿學建遭議1.信課時續分配肌（4課時促）1.秒2.木1函浙數的體概念雹約2培課時1.屬2.鴉2函闊數的躍表示吐法箭約貨2課狐時傳統局教材經課時批分配銀（3虹課時粉）2．重慈點難針點重點灑：函某數的球概念歪。難點梁：函妨數概界念的鍬理解假，對取簡單腥的分赤段函沫數認辜識，霜求簡底單函王數的步值域睛。3.梳分析賺說明.要洪從實反際背蘿景和謙定義貧兩個臭方面村幫助衰學生就理解吧函數印的本規質。.要估注意凍構成貞函數夠的要僵素和康相同行函數尸的含懶義。.要宣注意富函數視的三贈種表棟示法禍的聯殺系、摸區別殖與適陣用性方。.注應意分簡段函叼數的艙意義負。.注里意映輔射的司概念閃和判夫斷。.在即求函累數定拔義域透、值陰域時齒，要采控制拿難度可。.函升數的知兩種眨定義譜之比席較:吉宏觀雜與微際觀。110初中浮時的堡函數體定義貝：設在撫一個謎變化戰過程亮中有側兩個蜂變量x與y，如草果對朱于x的每提一個垃值，y都有學唯一勞的值嚷與它球對應蚊，那醫么就猛說y是x的函糖數，x叫做釣自變俘量．高中立時的斃函數哈定義授：設A蘇，B謹是非泛空的膝數集列，如師果按子照某眨種確健定的比對應盲關系沸f，間使對致集合志A中的枯任意輕一個扯數x糊，在朝集合拍B中榆都有友唯一味確定揮的數姥f（沃x）飽和它唐對應所，那么灰就稱災f：廳A→孫B為絲式從集挎合A墓到B域的一絹個函特數．漠記作y=墊f(揉x)莖,x梯∈A其中辯x叫援做自妹變量雅，x宇的取驚值范捉圍A新叫做嫂函數尸的定間義域耐，與億x的示值相騾對應的y藝值叫嬸做函蜓數值祥，函僅數值發的集霧合互{姥f(英x)占|x摟∈A賓}蜜叫做彩函數凝的值穗域．討論袖:今天茶學習顆的這赴個函膝數的懼近代紗定義肯，與陷初中疫學習砍的函罷數的傳統講定義齡，是交否一鄙致？獻如果截是一謝致的墻，為尸什么碑要換丘成這臥樣的概念尤？兩宗者的串變化蛾過程雁如何層？1111.戶3函瞧數的連基本軋性質（一哄）《址標準勝》內蘆容和襯要求歪的表呢述1.潑通過青已學咬過的她函數排特別控是二均次函然數，偽理解請函數刮的單嘆調性查、最法大（森小）值及穩其幾優何意眨義；腳結合購具體盆函數厚，了趣解奇煌偶性累的含濫義。2.學會袋運用需函數藏圖象伯理解龜和研筒究函獎數的抵性質徑。（二怖）《銅大綱糖》內容合和要煌求的德表述了解脆函數儲單調若性的頭概念鍬,掌哈握判關斷一懼些簡腦單函礦數單拋調性棗的方種法.兩者癥比較1.咳對函撐數的脖單調盟性由紫“了繳解”勁提升貝為“嚼理解辰”；2.榆對運隊用函彈數的蝕圖象練理解有和研融究函燃數的傍性質沖提出嫂了較低高的亂要求湖；3.防增加援函數衣的奇栗偶性種，最否值提鉤前有寬了名忽份.112(三質)基絹本要爆求①理賭解函權數的埋單調徹性及透其幾舒何意羽義，劇能根困據函榜數圖巡壽象求句出單嚼調區狐間、判斷牽其單踏調性是。②會第討論交和證患明一鋪些簡廈單函陜數的黃單調掌性。③理糧解函耕數的狼最大捧（小觸）值蜻及其次幾何織意義羨，能凡根據套函數資圖象夕和單舊調性求出圣一朗些簡賭單函紅數的聚最大量（小點）值減。④理嚇解函饒數奇繪偶性暫的含舞義，藥會判污斷簡墨單函籠數的勿奇偶吹性。⑤了載解奇膨（偶險）函喜數圖判象的障對稱賽性。發展酷要求能研商究某豬些簡譜單的注復合樸函數炮及分箱段函宅數的炕奇偶燥性、校單調飼性、虜最值寄和圖橋象。說明研究沒函數愿性質截的例綿題和唯訓練犁不宜爺太難唇，應珠局限德于具驢體的累函數終；奇（余偶）質函數遵的圖酬象對遠稱性殿在本燈節教靜學時委不要蛾求證推明。(四庫)教清學建蘿議1．課刷時分涉配（4課時河）單調唐性與陶最大梅（小粉）值鎖約2課時奇偶坊性扛約1課時小結觀與復躬習熄約1課時1132．重鞠點難趨點重點法:函煮數的開單調循性、圣奇偶紋性、貞最值遣的概饑念和孕幾何敬特征倚。難點糠:判撈斷和堡證明鋪單調絕性、雹奇偶柏性，侍求一涂些簡敵單函逼數的周最值什。3．豪分析藝說明.本鋼節概聰念的甘教學令,均繡可由饞具體柱的函統數圖舟象直鳴觀引辟入，覽再歸判納幾致何特派征。.在肯“判服斷和嚷證明趁”時諸要體燥現數莫學思孫維的某嚴謹旗性、想邏輯間性，營并要帝求規便范書帆寫。.教鋤學中沙要重辟視數央形結象合思殲想方閱法的嫌培養錫。.要悔注意著函數竟單調陣區間震與定阻義域綿的關碰系,銳奇啄偶函派數定妹義域軍的特犯征。.學售習函環數的趴基本千性質麻重在按對概扒念理粥解和興對一乏些簡丟單函昂數的捏性質需討論靜。如“增函距數”的名教學廚，以短下幾罷點是貓必須梳向學默生指閉出的群：1）受隨著蟲自變殖量的色增大慶，函欣數值確也增波大；2）僅數學鑒的上誓升是失“天瓶天向脆上”弄,“夫一個叼都不殊能少牛”3）撿如定少義域護是有夸限數敘集，暗則把垃有限皺多個題函數遼值排覽起來金就行凈；如果兄定義驕域是餡無限渾集，捧情況啊該怎鮮么辦性？4）賤“無堤限多常”天巧的一悠個都扶不能尼少的抵“天很天向味上”四，意謙思就億是任圈意選岔兩天進行賞比較熄都得凝向上火；反著之亦避然。5）擔最后敬得到耐教學房誠符號篇表示余，對留任何幅的114第二連章距基曲本初壞等函壺數(拆I)2.戒1指眨數函往數(一妄)課陷程標歉準內該容１．笛通過謀具體佳實例登，如宇細胞彩的分畜裂，銷考古訪中所招用14C的口衰減膀，藥丘物在叔人體涼內的趨殘留量的養變化礙等，鳴了解筆指數往函數結模型柔的實怕際背霧景。２．炕理解討有理治指數兵冪的勇含義蓬，通恒過具咬體實擊例了脫解實痕數指佛數冪撫的意憶義，桑掌握掃冪的旅運算分。３．涉理解夠指數隊函數請的概頸念和啄意義狼，能揭借助抽計算益器或氏計算狗機畫紛出具山體指浮數函培數的魔圖象窩，探索蔑并理嶼解指化數函見數的加單調連性與顫特殊挺點。４．鹽在解擴決簡箱單實粘際問嚼題過得程中累，體你會指悲數函故數是亮一類架重要拍的函爪數模益型。（二敘）《筍大綱賀》內容騎和要真求的趴表述理解烤分數蠅指數堪的概侵念，灑掌握惜有理坊指數畢冪的尿運算浸性質跑。掌握占指數嚼函數率的概膀念、狼圖象軍和性術質。兩者茄比較加強船了函原數模虧型的系背景勉和應拿用的概要求當。提出歡了與魂信息倆技術即整合拾的要磨求。115(三儉)基本磨要求①了俱解指向數函武數模眾型的西實際戒背景鳥，認丘識學巾習指公數函貞數的瘡必要巷性；②理解n次方得根與n次根牛式的咽概念儲，理閃解分濟數指泡數冪蒸的含按義，熟練用掌握商用根筐式與惜分數聰指數晚冪表莫示一爪個正艱實數阻的算揭術根凝；③能運昌用有裹理指桂數冪怕的運嬸算性朽質進筑行運仰算和侄化簡義，會進蛋行根東式與歸分數貫指數擊冪的陡相互孟轉化礎；④通過稱經歷漆用有躬理指陸數冪并逼近癥無理踏指數欠冪的暮過程訂，了傲解實余數指兇數冪病的意魔義；⑤理解雁指數化函數功的概抹念和炕含義膽；⑥能用具描點躁法或狗借助旨計算屢機（須器）籮畫出哲指數雨函數芳的圖釋象，傘探索通并理用解指數弦函數畏的性魔質（蹲單調唇性、餡特殊妙點、釘定義鄙域、矛值域士）；⑦在腦解決際簡單醒的實慮際問濟題過蒜程中旋，體勤會指燭數函慚數是戴一類霉重要鑼的函凳數模序型；發展尋要求.會庭求一嫌類與誕指數及函數騙有關胃的復奔合函賢數的明定義匙域、逝值域戲、單封調性并等；.了鳳解函衰數圖疏象的緞平移傅與對中稱變位換；.體難會數誼學的劫逼近漫、數本形結轟合等旅思想忙；.體嚷驗數我學概臭念的蹄發生浮、蝦發展扮的過棋程，歉培養危學生產的思逐維能甩力。說茂明.有盆關根糾式的軋復雜器運算半及繁逢瑣的緊根式孤化簡羞不必哈多練膠。116（四恭）教星學建劃議1．施課時網分配魂（6劣課時鼓）2.聲1.黑1引艘言、燦指數扛與指型數冪貫的運憤算沫約稅3課慈時2.企1.郊2指玻數函眨數及殺其性盈質碎約3毫課時2．重濃點難璃點重點禁:指繞數函域數的柱概念鑰、圖速象和繳性質倚。難點艇:對煌非整肢數指莊數冪躲意義勇的了扁解，刺特別突是對抬無理礎指數優冪意齊義的項了解摔。3．蜂分析營說明.用鵝實例盲說明閣學習闊指數障函數矮、對喚數函近數、非冪函德數以炊及擴棗張指援數范花圍的廉必要君性。.通那過復潔習和夠舉實龍例理廣解n次方脂根及斃運算夸性質茶,培肆養學孟生探如究精輪神和械感受徑分類糧討論害思想莫。.通逗過舉實話例和隊練習竟,理嗽解分舉數指堅數冪始的意怖義和蘿學會差根式旱與分仙數指綠數冪遲之間摟的相挺互轉右化。.建證議利固用計雞算器餃或計愿算機筑進行葛實際鏈操作熱，親權歷有槽理指推數冪雅向無袍理指亂數冪唐逼近告的過國程。.通過附實例磨抽象猴概括眾出指預數函輛數的宣一般繁形式肝。.引差導學俗生多瀉畫幾艇個具何體的燙指數小函數盜的圖香象,非再通眉過觀控察圖凈象歸桃納概蹈括指待數函違數的宴性質排..例襖7是絹用指衡數函米數的垂單調暖性比滅較兩襯個值愁（冪查）的濃大小殿:比較顯下列筆各題樹中兩色個值守的大仔小（1還）膨1產.72.且5,1.殘73（2皮）0論.8-0論.1,0.客8-0身.2（3明）1罷.70.戰3,0.93.遷1..例木8的是教學趣應體滲現從耳具體依到抽望象、全特殊串到一酷般的予思維旬過程桑，以甩及歸傘納、竄總結陰的一興般方酸法:截止釘到1王99方9年華，我京國人曲口約腰13方億，至如果損今后喪能將萍人口敘年平錘均增律長率勻控制喘在1搬%，巡壽那么經過臥20桶年后派，我餃國人僵口數卸最多鑼為多買少？尤（精遣確到撤億）1172.疼2對棍數函盯數（一言）《蜂標準羅》內表容和捉要求波的表尋述1．五理解豬對數功的概絲式念及飲其運話算性壓質，移知道以用換殿底公脫式能律將一高般對宜數轉毛化成自末然對批數或殊常用蛛對數波；通錦過閱汁讀材桶料，亭了解亡對數應的發芝現歷鐮史以推及其對騰簡化桶運算柿的作店用。2．泉通過膜具體愧實例肯，直餃觀了封解對驕數函剪數模曠型所牽刻畫拾的數寨量關亦系，挎初步蜘理解對鉗數函下數的蚊概念魚，體遵會對壘數函關數是肚一類蠶重要升的函餃數模挖型；聯能借京助計算床器或葉計算賤機畫擠出具戰體對勝數函荒數的吳圖象維，探泄索并涼了解羅對數換函數怠的單調狀性和綱特殊搖點。3．京知道板指數沖函數勿y=贏ax與對央數函鋒數y受=l袋ogax互碑為反欠函數佳（a>剩0，且a≠1）。（二遞）《置大綱注》內容描和要踐求的嘆表述理解矮對數賄的概雙念，降掌握襖對數鉗的運順算性爆質；掌握煎對數撒函數貓的概絡念、轎圖象炊和性圍質。兩者絕比較降低兼要求家：對款于反春函數繳只要葛求知男道，驅不要摩求形供式化役的理怎解其奪概念席，也不稈要求養求已強知函袍數的郵反函啄數。提高溪要求糞：加能強了常函數熊模型陣的背百景和硬應用箏的要調求；118(三淺)基本欲要求①經歷勺由指幟數得島到對進數的亭過程省，理界解對初數的刺概念綢，會杰熟練替地進絡行指挽數式與葛對數售式的咐互化給；②理解感對數扁的運崗算性仔質，芝并能柴靈活警準確澆地運漲用對欣數的館運算舞性質鼻進行扯對數式奴的化魂簡與匆計算纏；③了解耐對數慈的換波底公奔式，剪能將旋一般繡對數另化成歸自然固對數稿或常店用對雪數；④了解爽對數胳的發祖明史煤以及云對數撞在簡界化運眨算中掉的作冠用；⑤理解片對數均函數重的概竊念；⑥能用名描點旦法或覽借助味計算臉機（呼器）吳畫出筆對數側函數唯的圖點象，坦探索易并掌厚握對數抖函數創的性滔質（渴定義鍋域、嶄值域判、特誕殊點撤、單隸調性政）；⑦通過窗實例療，體賣會對家數函許數是耳一類藥重要無的函握數模束型；⑧了元解指度數函贏數y織=ax(a﹥0，a≠1)與對延數函省數y疏=l稅ogax(a﹥0，a≠1)是互裕為反票函數蘇。發展霞要求①能鄭研究針一些找與對蝕數函沾數有畢關的堤復合幟函數厲的定彈義域隱、值逮域、辦單調衡性等使；②知夜道指櫻數函截數y拘=ax(a堂﹥0龍，a悟≠1丑)與們對數陜函數蟻y=伯lo費gax參(a效﹥0爹，a扎≠1依)的圖象江關于乏直線鬼y=連x對攀稱；③掌照握化施歸、喪數形漁結合場、類鑒比、典分類兄討論謊等數蘭學思丑想方未法。說叼明:不必準去討智論形重式化捷的反勤函數眨定義引，也板不要籃求求科已知愛函數粱的反狹函數習。119(四煌)教纖學建曬議1．課減時分甩配（6課時處）對數跳與對溫數運森算菠約3課時對數能函數口及其代性質度約3課時2．重濾點難寇點重點丙：對故數函撇數的悲概念恰、圖委象和狼性質罪。難點緣瑞：理頂解對矮數的珠概念值，以角及對耗數函宰數性脾質的億歸納蓮。分析翻說明.先聯通過細具體棚實例訂，讓券學生撓知道邁研究珠對數配的必吹要性衰。.有企關對旨數恒脈等式胸(公皮式)估的教斤學,誦可先社通過炮具體棚實例白驗證流，再固作證繪明..通桃過換降底公老式的吳應用垂，讓類學生戶再次革體會蘆化歸嘆思想.通遙過例動5（浮地震妹振幅鉆的計擁算）刷、例壺6（跟碳1探4的爽衰變熱規律跟與考薄古研勢究）挨的教多學，使學細生感橋受對屆數在嫁有關叨方面紋的實竹際應辣用。.以漿生物昌體內警碳1哥4的勸衰減兵規律省為實哲際背聽景，解引入禽對數底函數懂..可暴對比價指數軟函數帆的圖瘦象和曾性質濁的探報索方濾法，弦得出扯對數婚函數腎的圖則象和櫻性質退。.通資過例卵9溶境液酸替堿度僑的測必量使區學生奪進一照步明襖白對鴉數函備數是首重要堵的函擱數模待型。.不旺要求播學生侄討論烤一般掀化的遭反函驢數定驚義，捉也不遼要求浩學生給求已跑知函剩數的時反函完數。1202.稀3冪函理數（一訂）《請標準呀》內健容和繼要求亦的表很述通過滴實例盡，了什解冪蠻函數呆的概板念；師結合州函數詞：的圖始象，疲了解非它們低的變歸化情棟況。（二污）《春大綱支》內容洞和要述求的維表述無兩者紀比較拉:冪函淘數減悅肥后千重出恰江湖(三栗)基石本要疊求①了滿解冪