高一預習（人教A版）高中數學必修一《誘導公式》知識點總結及練習（解析版）

第21講誘導公式

【人教A版2019】

■內首航

夯基?基礎知識梳理模塊一：誘導公式

「題型1誘導公式二、三、四的應用

一題型2誘導公式五、六的應用

■題型3三角函數的化簡、求值——誘導公式

提升?必考題型歸納

一題型4三角函數恒等式的證明——誘導公式

一題型5誘導公式在三角形中的應用

I題型6誘導公式與其他知識綜合

課后作業（19題）

思維導圖

公式一二三四口訣：函數名不變，符號看象限;

公式五六七八口訣：函數名改變，符號看象限

誘導公式_公式一、公式二、公式三、公式四、公式五、公

----J式六

誘

(l)sin(njr+?)=(-I)"sina(n^Z).

導(2)cos(wr+a)=(-I)cos?(?SZ).

公誘導公式-(3)sin(//^-?)=(-1)'sin?

_____________

(4)ccs(〃萬-?)=(-1)cosa(n￡Z).

式J一組重要公式

____

⑴求值:負化正，大化小，化到銳角為終了

帝蠢式的兩"G2）化簡:統一角，統一名，同角名少為終了

模塊一誘導公式

第1頁共15頁

知識梳理

1.誘導公式

(1)誘導公式

公式—?二三四五六七八

亢33

角2k7t+a(左￡Z)兀+T-a7v—a7+a57r+a尸一a

正弦sina-sina-sinasinacosacosa-cosa-cosa

余弦cosa-cosacosa-cosasina-sinasina-sina

正切tanatana-tana-tanacota-cota-cotacota

余切cotacota-cota-cotatana-tana-tanatana

口訣函數名丕變，符號看象限.函數名改變，符號看象限.

(2)誘導公式的作用

誘導公式作用

公式一將任意角轉化為0?2%的角求值

公式二將。?2兀的角轉化為0~兀的角求值

公式三將負角轉化為正角求值

公式四將三?江的角轉化為。?］的角求值

公式五實現正弦與余弦、正切與余切的相互轉化

公式六實現正弦與余弦、正切與余切的相互轉化

2.一組重要公式

(l)sin(〃兀+a)=(-1)nsina(nCZ).

①當〃=2A(A￡Z)時，由誘導公式有sin(2A7r+a)=sina=(-l)2*sina(2￡Z).

②當n=2k+1a￡Z)時，由誘導公式有sin[(24+1)〃+a]=sin(2a+兀+a)=sin(乃+a)=-sina

=(-l)2A+,-sin?(^GZ).

(2)cos(nn+?)=(-1)z,cosa(n€Z).

①當〃=22伙￡Z)時，由誘導公式有cos(2Avr+a)=cosa=(-1)2,cosa(Zc^Z).

②當〃=22+l(大￡Z)時，由誘導公式有cos[(2Zr+1)^+a]=cos(Ikn+^+a)=cos(^+a)=-cosa

第2頁共15頁

=(-l)2"+l-cosa(&￡Z).

類似地，有:

(3)sin(〃乃—a)=(-1)M-lsina(w€Z).

(4)cos(〃兀一a)=(-l)”cosa(〃￡Z).

3.誘導公式的兩個應用

⑴求值:負化正，大化小，化到銳角為終了.

⑵化簡:統一角，統一名，同角名少為終了.

啕題型歸納

【題型1誘導公式二、三、四的應用】

LJ［例?(24-25高一上?廣東江門?階段練習)已知cos(53°-a)=/則cos(127。+a)=()

AfB.當C.1D--I

【解題思路】根據給定條件，利用誘導公式化簡即得.

【解答過程】［tlcos(53°—a)=|,得cos(127°+a)=cos［180°-(53°—a)J=—cos(53°—a)=—

故選：D.

【變式1.1］(24-25高一上?浙江湖州?期末)tan(-2040°)=()

A.—B.--C.-V3D.V3

33

【解題思路】利用誘導公式及特殊角的三角困數值求解即.

【解答過程】tan(-2040°)=tan(-12x180°+120°)=tan(180°-60°)=-tan60°=一百.

故選：C.

【變式1.2］(24-25高三上?湖南常德?階段練習)求值：$泊300。+匕11600。=()

A.當B.-與C.當D.-苧

【解題思路】利用三角函數的誘導公式化簡求值即可.

［解答過程］sin300°4-tan600°=sin(-60°+360°)+tan(60°+180°x3)

=sin(-60°)+tan60°=-sin60°+tan60°=-^+V3=y,

故選：A.

【變式1.3](2025高二上?北京?學業考試)在下列各數中，與coslO。相等的是()

A.sin80°B.cos80°C.sinl70°D.cosl70°

【解題思路】由半角和全角誘導公式逐項化筒即可；

第3頁共15頁

【解答過程】對于A,sin80°=sin(90°—10°)=cosl0°,故AiE確：

對于B,cos800=cos(90°—10°)=sinl00,故B錯誤;

對于C,sinl70°=sin(180°-10°)=sinlO%故C錯誤；

對于D,cosl70°=cos(180°-10)=-coslO°,故D錯誤;

故選：A.

【題型2誘導公式五、六的應用】

【例2】(24-25高一上?云南保山?階段練習)若cos(a+9=￡則sing-a)=()

A.--B.-C.--D.-

5555

【解題思路】利用誘導公式以及整體帶入思想即可求得結果.

【解答過程】因為(a+9+a)=]，所以=sing-(a+勺]=cos(a+J=|,

故選：D.

【變式2.1](24-25高一上?山東泰安?階段練習)已知所借一號二一手，則cos(詈+])=()

【解題思路】利用三角函數的誘導公式即可求解.

【解答過程】cos(瑞4-0=-COS焦+同=-sin仁+/)]

./5na\\fs

=-sin(^---J=T，

故選：D.

【變式2.2](24-25高一上?江蘇鹽城?階段練習)已知sin則cos6-a)的值等于()

A.-B.1C.-呼D.竽

3333

【解題思路】根據誘導公式化簡求值.

【解答過程】因為a—?+2a=T，

442

所以cos(;-a)=COS[一1(a-^)]=cos*+(°-乎)]="sin(a-T)=-r

故選:A.

【變式2.3](24-25高一上?浙江寧波?期末)已知角6的終邊過點(5,-12),則85《+。)=()

A.-B.--C.-D.--

13131313

第4頁共15頁

【解題思路】根據三角函數定義得到sin。二-1|,由誘導公式得到答案.

【解答過程】由三角函數定義知，sin6=赤者正=-￡,

cos（；+6）=-sinO=^|.

故選：C.

【題型3三角函數的化簡、求值——誘導公式】

==【例3】（24-25高一上?江蘇常州?階段練習）計算：sin（-3TT+J-cos管+§+tan管一=（）

A.UB.1c.紅D.謂+1

【解題思路】利用誘導公式化簡即可求值.

［解答過程］sin(-3n+,-cos管+；)+tan(y一

/3TTTT

=sin(-4n+n+口)一cos(2n+H)+tan(2TT4-————

(7T\/TT1T\/31TTT\

=sin^+_J_cos^_+_J+tan^___J

/3nTT\

J.ITs,n

=-sin-+sin-H-------?--------

638sd,

.n..n.-cos?1,x/3.—1+V3

=-sin-+sin-4---4=--+—+——.

63-Sin-222

故選:A.

【變式3.1]（24-25高一上?江蘇囪京?階段練習）計算sin（3”一；）一cos（T+9+tan（三一9二（）

A.V2+1B.1C.V2-1D.-V2+1

【解題思路】利用誘導公式和特殊角的函數值求解即可.

【解答過程】原式=sin(五一一cos(；+；)+tan-=sin^+sin：+tan：=x/2+1.

故選：A.

【變式3.2］(24-25高一上?全國?課后作業)化簡cos?(180。+a)tan(—a+180°)—2sin(—180°+a)cos(—a).

【解題思路】根據誘導公式化簡即可求解.

【解答過程】原式=cos2a(-tana)-2(-sina)cosa

/sina\

=cos7za--------+2sinacosa

\cosa/

=sinacosa.

第5頁共15頁

sin(3n-a)cos(y+a)tan(57T-a)cos(y-a)

【變式3.3](24-25高一上?河南洛陽?階段練習)⑴化簡:

sin(詈+a*os(2n-a)cos(6n-a)

(2)已知sin(75。+a)=[,求cos(a-15。)+sin(105。-a)的值.

【解題思路】(1)利用誘導公式運算求解即可；

(2)以75。+a為整體，結合誘導公式運算求解即可.

【解答過程】(1)原式=電3+型3=嘩一空=o；

-cosacosccosacos^acos'a

(2)因為(75。+a)-(a-15°)=90。，(75°+a)+(105°-a)=180°,

所以cos(a-15°)+sin(1050-a)=cos[(75°+a)-90°]+sin[180°-(75°+a)]

=2sin(75°+a)=

【題型4三角函數恒等式的證明一誘導公式】

a【例4】(24-25高一上?上海?課后作業)已知sin(a+￡)=1,求證：tan(2a+/?)+tan/?=0.

【解題思路】由已知可得a=2kn+]-6(kwZ),代入等式左邊，再利用誘導公式推理即得.

[解答過程】由sin(a+/?)=1,得a+P=2/CTT+](k￡Z),則a=2/CTT+1—0(keZ),

因此tan(2a+S)+tan/?=tan[2(2/cn+]一夕)+夕]+tan/?

=tan(4/frr+IT-20+/?)+tan/?=tan(4/cn+n-/?)+tan/?

=tan(n-/?)4-tan/?=—tan/?+tan/?=0,

所以原等式成立.

【變式4.1](24-25高一上?全國?課后作業)證明：sin(217°—a)cos(a—127°)4-cos2(127°—a)tan2(53°4-

a)=1.

【解題思路】利用誘導公式、同角三角函數的基本關系式來證得等式成立.

【解答過程】sin(217。一。)=5也[180。+(37。一。)]=-sin(370-a)

cos(a-127°)=cos(1270-a)=-sin(37°-a),cos2(127°-a)=sin2(37°-a),

2/rooI\_$?2(53。+，)_5也2[90。-(37。-喇_COs2(37—a)

2o

tan+a)=cos2(S3o+a)=cos[90-(37°-a)J=Sin2(37j)'

故等式左邊=sin2(37°—a)+cos2(37°—a)=1,等式成立.

【變式4.2](24-25高一?全國?課后作業)已知小B、(:為R4BC的三個內角，求證：sinQ+^)=cos(等一*

【解題思路】利用三角形的內角和定理可得出呼=?,再結合誘導公式可證得原等式成立.

第6頁共15頁

【解答過程】證明：在△48C中，A+B+C=n,則等=味.

所以，cos(半_；)=cos(等_y=cosg_T_g=碗一（海）

=新仔+：），

故原等式得證.

lan(kn-a)tan(kTr+a)__sina

【變式4.3】<24-25高一?全:國?課后作業）求證:當k-2或3時.

cos(2kTr-a)sin[(2k+l)n+a]cos3a'

【解題思路】根據題設，應用誘導公式化簡等式左側即可.

tan(2n-a)tan(2n+a)-tana-tana_tan2a_sina

【解答過程】當k=2時，左邊二

cos(4ir-a)sin(5n+a)cosa(-sina)cosasinacos3a

當A_3時左邊_tan(3n-a)tan(3rr+a)_-tana-tana_tan2a_sina

cos(6n-a)sin(7n+a)cosa(-sina)cosasinacos3a，

綜上，k=2或k=3有原等式恒成立.

【題型5誘導公式在二角形中的應用】

||【例5］（24-25高一上?全國?課后作業）已知在△ABC中，sin（Tr+A）=-5則cos（8+C）=（）

A.叵B.一立C.+立D.!

22-22

【解題思路】利用誘導公式以及三角形內角和關系，結合平方關系計算可得結果.

【解答過程】由sin(n+4)=—J可得sin/=：,

易知cos(B+(?)=cos(n—力)=-cos71

所以cosA=±V1-sin2/4=土與所以cos(8+C)=±*

故選：C.

【變式5.1](2025高一上?全國?專題練習)在△A8C中，下列等式一定成立的是()

A.sinQ4+B)=—sinCB.cos(/4+B)=cosC

C.cos—B+—C—s.inA-cD.si.n—8+—C—si.n-A

2222

【解題思路】根據三角形中角之間的關系，結合誘導公式化簡即可.

【解答過程】在△48C中，有4+B+C=n,

???sin(y4+8)=sinC,故A錯誤;

COS(J4+B)=-cosC,故B錯誤；

cos等=cos(―)=sin+故C正確；

第7頁共15頁

5也等二sin（1）=cosg,故D錯誤.

故選：C.

【變式5.2］（25-26高一上?全國?課后作業）己知角力,8,C為△43C的三個內角，若sin竺尸=sin號1則

△ABC一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.鈍角三角形

【解題思路】根據誘導公式以及內角和定理得出B=C,從而判斷三角形的形狀.

【解答過程】因為sin”尸=sin上廣，4+8+C=TT,

n―2c?n-2B

所以sin------=sin-------

2

川一得cos。=cos/?,

又因為B,CE（0,TT）,

所以B=C,則AC=4B,所以△ABC-?定是等腰三角形.

故選：C.

【變式5.3］（24-25高一下?浙江?期中）已知48,C為△ABC的三個內角，下列各式不成立的是（）

A.sin/1=sin(F+C)B.cosB=-cos(/l+C)

廠.AB+CnB

C.sin-=cos--D.cos-=-si.n——A+C

2222

【解題思路】利用三角函數誘導公式，結合三角形的內角和為立，逐個去分析即可選出答案.

【解答過程】由題意知，在△A8c中，A+B+C=n,

對A選項，sin(C+B)=sin(n-A)=sia4,故A選項正確;

對B選項，cos(/4+C)=cos(n-F)=-cosB,故B選項正確;

對C選項，cos與=cosE?=sing,故C選項正確;

對D選項，sin=sin等=cosg,故D選項不正確.

故選：D.

【題型6誘導公式與其他知識綜合】

【例6】（24-25高一上?全國?周測）已知角a終邊上一點P［l,2）,則/+斤8s（…）=（）

sin^~aj-sin（2n+a）

aA.2B.-2C.0D.：2

【解題思路】由三角函數的定義可得出tana的值，再利用誘導公式結合弦化切可得出所求代數式的值.

第8頁共15頁

【解答過程】由題意，點P(l,2)為角a終邊上一點，由三角函數定義可得tana=2,

所以把史止竺竺之=2cosa=2=_2

sin(1-a)-sin(2n+a)cosa-sina1-tana

故選：B.

【變式6.1](2025?遼寧?三模)已知tana=；,則加(：+口-率=()

2cos(-a)-sin(n-a)

A.-1B.1C.-3D.3

【解題思路】由三角函數的誘導公式和弦切關系化簡可得.

【解答過程]sm(a+%cos管-a)=cosa+sina==其=3,

cos(-a)-sin(n-a)cosa-sina1-tana1--

故選:D.

【變式6.2](24-25高一上?山東淄博?期末)已知角a的始邊與％軸的正半軸重合，終邊過點P(2,3).

⑴求sina,cosa的值;

cos(岑一a)sin悔+a)-2sin(n+a)cos(-a)

⑵求cosQ+a)sin(-n-a)的值.

【解題思路】(1)由求出點r二|0P|的值，結合三角函數定義可得;

(2)利用誘導公式化簡可得.

【解答過程】(1)由題意知，因角a的終邊與乃軸的正半軸重合，且終邊過點P(2,3),

則點P到原點。的距離r=\0P\=V22+32=V13,

貝ijsina=/=W="77~?cosax22V13

7=^=^T

cos(皆-a)sin(學+a)-2sin(n+a)cos(-a)cos傳-a)sinC+a)+2sinacosa

(2)

COSC+a)sin(-n-a)-sinasina

2Vli

-sinacosa+2sinacosa_cosa__2

-sinasinasina3?i3

13

cos(n-a)cos(n+a)

【變式6.3](24-25高一上.云南曲靖?階段練習)己知a是第三象限角，且sinQ-ajtan(2ir-a)sin(n+a)

(1)求tana的值;

(2)求sin2a+3sinacosa的值.

【解題思路】(1)借助誘導公式和同角三角函數的基本關系化簡即可;

(2)構造齊次式，將弦化切，代入tana=&計算即可.

cos(n-a)cos(n+a)(-cosa>(-cosa)cosa

【解答過程】(1)由題意,sing-a)tan(2n-a)sin(ir+a)-cosa(-tana)(-sina)-tanasinatan2a-2'

解得taMa=2,又a是第三象限角,

???tana=\[2.

第9頁共15頁

(2)由(1),tana=V2,a是第三象限角，則cosa。0,

sin2a+3sinacosatan2a+3lana_2+3\'2

sin2a+3sinacosa=

sin2a+cos2atan2a+l3

?課后作業(19題)

一、單選題

I.(24-25高一上?安徽合肥?階段練習)cos卷竺=()

A.--B.-C.--D.—

2222

【解題思路】根據誘導公式即可求解.

【解答過程】因為cos2°："=cos(674X；+2"=cos(674TT+=cosy=~

故選：A.

2.(24-25高二上.浙江杭州?期末)若sin管一x)=g,且0VX＜；,則sin&+%)=()

A."B.C.；D.-g

3333

【解題思路】根據“范圍計算費7范圍，再結合sin管-％)的正負性，得出0＜費7＜拳則可計算

cos管一X),最后利用誘導公式化簡sinC+“)=sin卷一管一")］即可，

【解答過程】則一名〈答一工〈萼，

2888

又sin偌7)=：＞0,則OV^-xV"

故cos(y-x)=苧，

sin《+x)=sinU)]=cos管-x)=當

故選:A.

3.(24-25高一上?云南德宏?期末)sin2025°的值是()

A.力B.史C.遺

222

【解題思路】根據誘導公式求值.

【解答過程】sin2025°=sin(5x360°+225°)=sin225°

=sin(180°+45°)=-sin45°=

第10頁共15頁

故選：A.

4.(24-25高一上?廣東汕頭?期末)COS3300+tan6000=()

C遺D,也

【解題思路】利用誘導公式化簡即可求出.

［解答過程］cos330°+tan600°=cos(360°-30°)+tan(360°+180°+60°)

=cos(-30v)4-tan(18Uv+60v)

=cos300+tan60°

存百產

故選:D.

5.(24-25高一上?云南昭通?期末)sin(：+0)=￡那么cosa=()

【解題思路】根據三角函數的誘導公式，可得答案.

【解答過程】因為sin(3+戊

故選：D.

6.(24-25高一上?浙江杭州?期末)已知sin—｝且0<xV彳，則sin&+%)=()

B.也D.-也

【解題思路】由三角函數的誘導公式和同角三角函數關系可得.

【解答過程】因為0V”V?所以一

N633

由平方關系可得cosQ-%)=Jl-sin2Q-x)=苧，

故選：B.

7.(24-25高一上?江蘇鎮江?期末)已知角6的頂點在坐標原點，始邊與工軸的非負半軸重合，終邊經過點

P(-3,-4),則sin+9=()

D.j

【解題思路】根據任意角的三角函數的定義求出cos。，再化簡sin(e+?可求得結果.

第11頁共15頁

【解答過程】由題意得cose=0二，?

V(-3)2+(-4)25

所以sin(6+5=cosO=

故選:B.

8.(24-25高一上?廣西百色?期末)已知角a的終邊過點(一5,12),則筆竿與生二()

sin(--aj4-cos(-+a)

A.—1B.1C.——D.—

717

【解題思路】由三角函數的定義求得tana,利用誘導公式化為齊次式，進而求解即可.

【解答過程】因為角。的終邊過點(一5,12),所以tana=-后，

所以sin(-a)+cos(n-a)_-sina-cosa

sin^^-a)+cos^+a)cosa-sina

=-tana-1=-(T)T=J_

1-tanar—(一317,

故選：D.

二、多選題

9.(24-25高一上?浙江溫州?期末)已知sina=—5則()

A.sin(n4-a)=1B.sin(n—a)=1

C.sin(1+a)=]D.cos(a-1)=-

【解題思路】根據誘導公式逐項分析即可得解.

【解答過程】由誘導公式知，sin(7i+a)=-sina=故A正確;

sinfir-a)=sina=一，故B錯誤；

sinG+a)=cosa=±V1—sin2cr=±y?故C錯誤；

cos(a—5)—sina——故D正確.

故選：AD.

10.(24-25高一上?安徽亳州?期天)在△48C中，下列關系成立的是()

A.sin(i4+8)=sinCB.cos(4+8)=cosC

-、A+B4c_A+BC

C.tan---=tan-D.sin---=cos-

2222

【解題思路】應用三角形內角關系結合誘導公式計算求解各個選項即可.

第12頁共15頁

【解答過程】由已知4+B=n-C,所以sin(A+B)=sin(n-C)=sinC,A正確;

cos(/l+Z?)=COS(TI—C)=—cosC,所以B錯誤;

c

O4+BnC4A+B4ZnC\cos-

因為^-=5-5，匕n-^-=tan匕_藐一觥，

sin"3=sin(E一￡)=cos￡,故C錯誤D正確.

2\22/2

故選:AD.

H.(24-25高一上?安徽合肥?期末)已知角a的始邊為工軸的非負半軸，角a的終邊與單位圓的交點為

P停一③則()

A.tana=\/2B.sin(-a)=當

C.cos(n-a)=--D.cos(D二一半

【解題思路】根據三角函數的定義可得sina=一半,cosa=澤tana=一伉即可結合誘導公式逐一求解.

【解答過程】由題意可知：sina=-^,cosa=^,tana=-V2,

故sin(-a)=—sina=乎，cos(n-a)=-cosa=-與cos(?-1)=sina=一等故BCD正確，A錯誤,

故選：BCD.

三、填空題

12.(24-25高一_L?云南玉溪?期末)己知sin(8-B)=；,MOcos(0-1?

【解題思路】由頡色一等;次順冶)，，利用誘導公式求解.

【解答過程1cos(。一?=cosg§加6一(。一[)]=如(6

故答案為：9

13.(24-25高一上?山西大同?期天)tanlO°+tanl70°+sinl866°-sin(-606°)=0.

【解題思路】根據誘導公式化簡計算即可.

【解答過程】原式=tan10°+tan(180°-10°)+sin(5x360°+66°)-sin[(-2)x360°+114°]

=tan100—tan10°+sin66°—sin(180°—66°)=sin66°—sin66°=0.

故答案為：0.

14.(24-25高一上?江蘇?期末)已知sin(x+》=3,則sin(g—x)+siMg—%)=苔.

[解題思路】利用誘導公式及同角公式計算得解.

第13頁共15頁

【解答過程】由sin(%+；)=：,得sin譚-x)+sin2(^-x)=sin[n一(；+%)]+sin2[^-+x)]

=sing+x)+cos2(j+x)=sin(j4-%)+1—sin2G+x)=1+l—i=^-.

故答案為:Y-

四、解答題

15.(24-25高一上?全國,課后作業)化簡sinC—a)cos+a)+sin(n—a)sin+a).

【解題思路】利用誘導公式進行化簡求值.

(解答過程】sin(T-。)=cosa,cos管+。)=cos()+a)=—sina,sin(n-a)=sina,sin得+a)=

-sing+0)=-cosa,

故原式=-2sinacosa.

16.(24-25高一上?全國?課后作業)化簡下列各式并求值：

(l)2sin=+3cos(-IT)+tan-：

26

(2)cos(-495°)sinlll0°+sin390°cos(-780°).

【解題思路】直接利用誘導公式和特殊角的一.?角函