2025-2026學年高中數學人教版必修第二冊教案：棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

一、棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積

問題1我們知道，空間幾何體的表面積是幾何體表面的面積，是圍成多面體的各個面的面積之和,

長方體、三棱錐、四棱臺的側面展開圖是什么樣子的？

提示長方體、三棱錐、四棱臺的側面展開圖如圖所示.

【知識梳理】

棱柱、棱錐、棱臺的表面積

多面體表面積

多面體的表面積就是

棱柱板板柱何欣

圍成多面體各個面的S+2S

棱錐面積的和S楊隹衣=S-世a+S帙

棱臺S度臺農二￡愎先的垃?氐+S卜政

例1(1)現有一個底面是菱形的直四棱柱(側棱與底面垂直)，它的體對角線長為9和15,高是5,

求該直四棱柱的側面積和表面積.

解如圖，設底面對角線AC=a,BD=b,交點為0,對角線4c=15,歷慶9,

：.a2+52=\52,/?2+52=92,

，4=200，/=56.

即AC=10V2,BD=2y[14.

???該直四棱柱的底面是菱形，

?〃C、2/BD\2a2+b2200+56,...

??A8“=e)+(蕓=~4~=-4-二64一?A8n=8o.

，該直四棱柱的側面積S側=4x8x5=160.

該直四棱柱的底面積S底=/c8Z>2()夕.

該直四棱柱的表面積

S表=160+2x2077=160+40位.

(2)已知四樓臺的上、下底面分別是邊長為4和8的正方形，側面是腰長為8的等腰梯形，求該四

棱臺的表面積.

解如圖，在四棱臺ABCD-AiBiG。中，過囪作BF1.BC,垂足為F,

在RtA2J)ra中,Z?F=1x(8-4)=2,BiB=8,

故B\F=\lQ2-22=2V15,

所以)*RRr=7X(8+4)X2/15=I2>/15,

WJTzooiC乙

故四棱臺的側面積S側=4x12代=48m，

所以四棱臺的表面積S表=48代+4x4+8x8=80+48房.

反思感悟(1)求解棱錐的表面積時，注意棱錐的四個基本量：底面邊長、高、斜高、側棱，并注意由它們

組成的直角三角形的應用.

(2)求解正棱臺的表面積時注意棱臺的四個基本量：底面邊長、高、斜高、側棱，并注意兩個直角梯形的應

用：①高、側棱、上下底面多邊形的中心與頂點連線所成的直角梯形；②高、斜高、上下底面邊心距所成

的直角梯形.

跟蹤訓練1已知棱長均為5,底面為正方形的四棱錐S-A8C。，如圖所示，求它的側面積、表面

積.

AB

解?:四棱錐S-A3C。的各棱長均為5,

???各側面都是全等的正三角形.

,S側=4S&sA8=4xgsAS8sin60°

=4xi＞：52x^=25V3,

22

S表=S側+S底=25百+25=25(6+1).

二、棱柱、棱錐、棱臺的體積

【知識梳理】

幾何體體積說明

棱柱V核柱=5〃S為棱柱的底面積,力為棱柱的高

棱錐V^ShS為棱錐的底面積,〃為棱錐的面

S,5分別為棱臺的上、下底面面積,h

棱臺v極臺力(s'+V?^+s)

為棱臺的通

問題2觀察棱柱、棱錐、棱臺的體積公式，它們之間有什么關系？

提示

例2(1)已知高為3的三棱柱的底面是邊長為1的正三角形，如圖所示，則三棱錐

3-ABC的體積為()

1

A.B

“42

C.V3D.立

64

答案D

解析設三棱錐B『ABC的高為。，則、“4S△謝?力今一x3二半.

二棱錐81-M8C3344

(2)正四棱臺兩底面邊長分別為20cm和10cm,側面面積為780cm2.求其體積.

解正四棱臺的大致圖形如圖所示，其中4由i=10cm,AH=20cm,取的中點E,AA的中點E,則

Ei￡為斜局.

設。?,。分別是上、下底面的中心，則四邊形EOOiE為直角梯形.

'/S側=4x^x(10+20)xEEi=780(cm2),

EZT|=13cm.

在直角梯形EOO1E1中，

OiEi=1/liBi=5(cm),OE=^AB=\0(cm),

J0]P=V132-(10-5)2=12(cm).

故該正四棱臺的體積為

歸x12x(102+202+10x20)=2800(cm3).

反思感悟求解正棱臺的體積時，注意棱臺的五個基本量(上、下底面的邊長、高、斜高、側棱長).

常用兩種解題思路：一是把基本量轉化到直角梯形中解決問題；二是把正棱臺還原成正棱錐，利用正棱錐

的有關知識及相似性來解決問題.

跟蹤訓練2如圖，已知是棱氏為a的正方體，￡為44的中點，/為CG上一點,

則三棱錐尸的體積為

答案

解析V=v

三棱椎A1?EF三棱錐F-4M1E'

』］。遇護閉八審，

又三棱錐F-4AE的高為CD=a,

V_二二/

二度錐F-&D1E3412

?三壤錐&-D1EF一石"-

三、簡單組合體的表面積和體積

例3一個造橋用的鋼筋混凝土預制件的尺寸如圖所示（單位：米），澆制一個這樣的預制件需要多

少立方米混凝土（鋼筋體積略去不計，精確到0.01立方米）？

解將預制件看成由一個長方體挖去一個底面為等腰梯形的四棱柱后剩下的幾何體.

S16=0.6x1.13x（0.5+03）x0.3

=0.54〔平方米），

占S底S=0.54x24.8H3.39（立方米）.

故澆制一個這樣的預制件需要約13.39立方米混凝土.

反思感悟（1）求組合體的表面積和體積，首先應弄清它的組成，其表面有哪些底面和側面，各個面應該怎

樣求，然后再根據公式求出各面的面積，最后再相加或相減.求體積時也要先弄清組成，求出各簡單幾何體

的體積，然后再相加或相減.

（2）常見的幾何體體積求法.

跟蹤訓練3如圖，在棱長為〃的正方體A3CD-A山中，截去三棱錐A-A3。，求剩余的幾何

體AxBsC\D\-DBC的表面積和體積.

解由圖可知4A山。是邊長為魚。的等邊三角形，其面積為弓/,

故所求幾何體的表面積S=SA4BD+3s》用廠35丁士.e_c=^a2+3^x2+3a2=^-a2.

1止萬51tK54iBiCiDi22aL

幾何體ASGD28C的體積上4方體…三和

■課堂小結匚

1.知識清單：

(1)棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積.

(2)棱柱、棱錐、棱臺的體積.

(3)組合體的表面積與體積.

⑷棱柱、棱錐、棱臺體積公式之間的關系.

2.方法歸納：公式法、等體積法、割補法.

3.常見誤區：平面圖形與立體圖形的切換不清楚.

隨堂演練

1.已知各面均為等邊三角形的四面體的樓長為2,則它的表面積是()

A.2V3B.4V3C.4D.6

答案B

解析S表=4x坐X22=4VT

4

2.底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為VL體對角線長為遙，則這個棱柱的側面積是

()

A.2B.4C.6D.8

答案D

解析由題意知，該幾何體為長方體，底面正方形的邊長為1,長方體的高為否=2二2,故這個棱柱的側

面積為Ix2x4=8.

3.如圖，ABC-ABC是體積為1的三棱柱，則四棱錐的體積是（）

答案C

解析***V三棱錐三棱柱八8C-A"'cW,

?JJ

V四棱錐C-AA'BB=1

4.棱臺的上、下底面面積分別是2和4,高為3,則棱臺的體積為.

答案6+2\/2

解析V棱fe=1x（2+4+V23c4）x3

=jx3x（6+2^）=6+2x/2.

課時對點練［分值：100分］

單選題每小題5分，共30分；多選題每小題6分，共18分

1.已知一個正六棱鋪的底面邊長為1,側棱長為遙，那么它的體積為（）

A.6>/3B.V3C.2V3D.2

答案B

解析由題可得高狂Jo回二12=2,

又因為底面積S=6x；x1xI二平，

222

所以心知?=勿乎X2=V5.

332

2.將一個棱長為。的正方體切成27個全等的小正方體，則表面積增加了（）

A.6〃B.12/C.I8?2D.24〃

答案B

解析棱長為。的正方體的表面積為S=642,由棱長為。的正方體切成的27個全等的小正方體的表面積和

為S2=27X6X（|）=18/,因此表面積增加了12注

3.一個棱柱和一個棱錐的高相等，底面積之比為2：3,則棱柱與棱錐體積的比值為（）

A.-B.2C.-D.3

23

答案B

解析設棱柱的高為h,底面積為S,則棱錐的高為h,底面積為白，故二者體積的比值為排=逐一=2.

2"2gX-S/l

4.（多選）正三棱錐底面邊長為3,側棱長為2百，則下列敘述正確的是（）

A.正三棱錐的高為3

B.正三棱錐的斜高為苧

C.正三棱錐的體積為空

D.正三棱錐的側面積為岸

答案ABD

解析設E為等邊三角形4OC的中心，產為CO的中點，連接叩，EF,PE,

則PE為正三棱錐的高，夕〃為斜高，

又彎，

EF二忠正,

232

故PE=1^-7=3，故A,B正確.

744

而正三棱錐的體積為：x3xfx9=￥，側面積為3、*3、"=岸，故C錯誤，D正確.

344224

5.在正方體中，三棱錐ABiC的表面積與正方體的表面積的比為（）

A.1：1B.l：V2C.l：V3D.1：2

答案C

解析如圖，三棱錐Q-A8C的各面均是正三角形，其邊長為正方體的面對角線.設正方體的棱長為a,則

面對角線長為魚。,S?=4x^x(V2d)2=2V3?2,S正方體，故5傻：S正方體=1:V5.

4

6.一個封閉的正三棱柱容器，高為3,內裝水若干(如圖甲，底面處于水平狀態)，將容器放倒(如圖乙，

個側面處于水平狀態)，這時水面與各棱交點E,F,F”后分別為所在棱的中點，則圖甲中水面的高度為

)

甲乙

7

AB.-C.2D.-

i44

答案D

解析因為￡,尸，Q,昂分別為所在棱的中點，

&EFC8-JF1gB尸梯形皿'3個23孝女,設甲中水面的高度為h,則S—Xh邛"耽、：?吟

7.(5分)如圖，一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到圖中的兒何體，若該幾何體的體

積為60,則該幾何體的表面積為.

答案110

解析設正四棱柱的底面邊長為小，則4(42-AH2)=60,解得，則該幾何體的表面積為42*4+(42-

12)X2+4X1X4=110.

8.(5分汝n圖，已知正四棱錐的底面正方形的邊長為4cm,高與斜高的夾角為30。，則正四棱錐的側面積為

cm2.

p

答案32

解析正四棱錐的高、斜高、底面邊心距組成一RtZ^POE.因為0￡>2cm,ZOPE=30°,所以斜高

CL0E2...

PE=-——-=-r=4(cm),

sin3001v'

所以正四棱錐的側面積S=4x|x/?CxPE=4xix4x4=32(cnr).

9.（10分）現需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐24aG。1，下部分的形

狀是正四棱柱ABC。-4181G。（如圖所示），并要求正四棱柱的高OiO是正四棱錐的高POi的4倍，若

AB=6m,PO\=2m,則倉庫的容積是多少?

解由POi=2m,知OiO=4PO[=8m.

因為A\B\=AB=6m,

所以正四棱錐P-4囪GOi的體積V^=--A,PO,=-x62x2=24(m3),正四棱柱ABCDA/C。的體積V柱

33

M^2OiO=62x8=288(m3),所以倉莊的容積占丫錐+V柱=24+288=312(m3),

故倉庫的容積是312m3.

10.（10分）如圖，正六棱錐被過棱錐高PO的中點。，且平行于底面的平面所截，得到正六棱臺。。用1較小的

棱錐PO：

（I）求大棱錐、小棱錐、棱臺的側面積之比；（4分）

（2）若大棱錐R9的側楂長為12cm,小棱錐的底面邊長為4cm,求截得的棱臺的側面面積和表面積.（6分）

解⑴由題意知S小棱錐惻：S大棱僮例=1：4,

貝iJS尢棱錐惻：S小棱械側：S棱臺例

=4：1：3.

（2）如圖所示，???小棱錐的底面邊長為4cm,

???大棱錐的底面邊長為8cm,

又PA=\2cm,/.Ai/4=6cm.

又梯形ABBiA的高

h-V62-22=4V2(cm),

S棱臺側=6x±^x4或=144V2(cm2),

S棱臺表=S棱臺＜M+S上底+S下底

=144V2+4x4x—x6+8x8x—x6

44

=144V2+24V3+96V3

=(144V2+120V3)cm2.

11.（多選）“塹堵”“陽馬”和“鱉嚅”是我國古代對一些特殊幾何體的稱謂.《九章算術?商場》：“斜解

立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉嚅”.一個長方體沿對角面斜切（圖1）,得到一模一樣

的兩個塹堵（圖2）,再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜切（圖2）,得一個四棱錐稱為陽馬（圖3）,一個三

棱錐稱為鱉睛（圖4）.

圖】圖2圖3圖4

若長方體的體積為匕由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和鱉嚅的體積分別為％，V2,匕，則下列選項

正確的是（）

A.V1+V2+V3=VB.V）=2V2

C.V=2VID.V-V3=-

224

答案AC

解析由題意，塹堵的體積修干，陽馬的體積匕三，鱉席的體積%為多,

2336

所以^+V2+V3=V,2VI=3V2,6V3=3V2=V,即V2=2V3,所以V2-V3=V^,

6

所以A,C選項正確，B,D選項錯誤.

12.（多選）正多面體統稱為柏拉圖儂若連接某正方體A8CD-A山QG的相鄰面的中心，可以得到一個新的體

積為g的柏拉圖體。.則（）

A.0是正六面體

B.正方體A8CO-A用IGOI的邊長為2

C.0與正方體ABCQ-A/COi的表面積之比是當

D.平面4CG4與。相交所得截面的面積是四

答案BCD

解析對于A,如圖，0是各棱長均相等的正八面體，所以A錯誤；

ABi

對于B,設正方體ABCO-4囪GO的邊長為a,。是正八面體,且四邊形NGMH是對角線長為。的正方形，

以四邊形NGM〃為底面的兩個四棱錐E-NGM〃與尸-NGM〃的高都為］,

則0的體積為為990吟乂2=/=；,

所以“=2,所以B正確；

對于C,正方體A8CQ-A山iGQ的表面積是6x2x2=24,

。的各個面是邊長為企的等邊三角形，

所以Q的表面積是8x1xV2xV2x^=4V3,

所以萼斗，所以C正確；

246

對于D,如圖，平面ACG4與。相交所得截面為四邊形EQF尸，P,。分別是,NG的中點，

且EQ,QF,FP,PE相等，EQ//FP,QF//PE,四邊形EQ”是菱形，EF=2,PQ=^2,其面積為

|X2XV2=V2,所以D正確.

13.（5分）如圖所示，在三棱柱A8C/7TU中，若E,尸分別為AC,A8的中點，平面EC5下將三棱柱分成

體積為V,的棱臺AEATCTT和體積為L的幾何體8FECCB兩部分，那么V,：V2=

C

A

答案7：5

解析設三棱柱的高為h,底面面積為S,體積為V,則因為E,"分別為AC,AS的中點，

所以S/xAE產;S,

4

所以收“s+；S+?S/?,

4=y-V*S/i.所以V1：16=7：5.

14.（5分）在棱長為4的正方體A8CD-4以G。中，E,尸分別為線段8。上的動點，點。為側面

BCGBi的中心，則/周長的立方的最小值為.

答案16+8立

解析如圖①，設側面A88A的口心為M,根據正方體的結構特征可得,FM=FO,

則△（）￡：產周長的最小值即OE+E臼■尸M的最小值.

將側面8CGS繞著“辦旋轉至與平面所。/在同一平面上,

將平面4。山繞著5。旋轉至與平面小。歸在同一平面上，如圖②，則

J(2+2V2)2+22=274+2V2

OE+EF+FM>OM=

故△OEF周長的平方的最小值為（2〃+2偽2=16+8V2.

15.宮燈又稱宮廷花燈（如圖1所示），是中國彩燈中富有特色的手工藝品之一.圖2是小明為自家設計的一個

花燈的直觀圖，該花燈由上面的正六棱臺與下面的正六棱柱組成，若正六棱臺的上底面、下底面的邊長分

另ij為2dm和4dm,正六棱臺與正六棱柱的高分別為1dm和6dm,則該花燈的表面積為（）

圖2

A.(10S+30V3)dm2B.(72+30V3)dm2

C.(64+24V5)dm2D.(48+24V3)dm2

答案A

解析正六棱柱的六個側面面積之和為2x6x6=72(dm2),正六棱柱的底面面積為Xx22x6=6VI(dm2),如圖