2026年高考數學一輪復習專練函數的概念及其表示

第01講函數的概念及其表示

A夯實基礎B素養提升

A夯實基礎

一、單選題

1.（24-25高三上?廣東潮州?期中）在下面四個圖中，可表示函數），=/（力的圖象的可能是

Q

2.（24-25高三上?河南?期末）函數/（x）=31n（2x-l）+—；的定義域為（）

X—1

A.（1,+co）B.C.U（l，+8）D.U（!?+<?）

Iz/

2ax+a-\,x<0

3.（24-25高三上?四川廣元?期末）已知函數/（i）=在R上單調遞增，則。

x2,x>0

的取值范圍是（）

A.[—1J]B.[-1,0）C.（0,1]D.（0,+8）

4.（24-25高三上?福建福州?階段練習）已知函數/（力=「2在（，幾〃?+1）上單調

遞增，則實數〃?的取值范圍為（）

A.S，-2]U[1什）B.[-2,1]

C.（-<?,-1]U[2,-K?）D.[-1,2]

5.（23-24高二上?安徽馬鞍山?開學考試）已知函數/（1）的定義域為（0』，則函數

/（W）-/（1一月的定義域為（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[-1,1]D.[-h0）U（0,l]

6.（24-25高三上?四川成都?期中）已知定義在（0,內）上的函數/*）滿足/（1）-3/（1）=-3，

XX

則/（2）的值為（）

A.7B.8C.13D.14

7.（24-25高三上?甘肅酒泉?期末）己知函數〃力=,的值域為。,

3）

-,+cc,則實數。的取值范圍是（）

一乙/

25

C.一,+00

16

二、多選題

8.（24-25高三上?四川綿陽?期末）若xwR,函數仆）=?-2%+9的值域是［0,問，且

〃7?！?，則下列結論中正確的是（）

A.a>0B.ab=4

C.若/（，〃）=/（〃），則加+”=［

6

三、填空題

9.（25-26高三上?全國?課后作業）已知函數一3X-4,且/"（〃）］=-4,則實數

6LV-1

10.（25-26高三上?全國裸后作業）若函數/（%）=的定義域為R,則實數。

\Jcvc2-2ax+1

的取值范圍是.

四、解答題

11.（2024高三?全國?專題練習）求函數），==的最大值.

12.（24-25高三上?河北邢臺?階段練習）已知函數/（x+5）=2x.

⑴證明：/（6為一次函數.

⑵若/（/（〃?））+/（/叫=0,求〃，的值.

13.(2024高三?全國?專題練習)求下列函數的解析式：

(1)已知/(I一sinx)=co/x,求/(x)的解析式；

(2)已知=求/(x)的解析式；

Ix)x-

(3)已知是一次函數且3/(x+l)-2/(x-l)=2x+17,求f(W的解析式;

(4)已知/(大)滿足2/(x)+/(r)=3x,求f(x)的解析式.

B素養提升

1.(2025?山西?模擬預測)已知函數/(”=

2.(25-26高三上?全國?課后作業)已知函數/(幻=3,其中⑶表示不超過x的最大整數,

當一9W時，下列函數中，其值域與/⑴的值域不相同的函數為，)

A..V=X,XG{-1,0,1,2,3)=2x,xe

D.>'=X2-I,XG(0,1,>/2,>/3,2}

a,a>b,

{,,設函數/(x)=x+1,g(x)=(x-1)?,

記函數2(x)=max{/(x),g(x)},且函數”(幻在區間[〃?,，力上的值域為似1],則區間,間的

長度的最大值為()

(tz-2)x-3,x<2

4.(2025高三?全國?專題練習)己知函數/")=a八，若對R上的任意實數々，

—,x>2

%(司二占)，恒有(七一七)[/(芮)一/(々)]<0成立，那么實數”的取值范圍是

5.（24-25高三上?湖南邵陽?期末）已知〃x）八若存在實數〃（八0

x-（a-3）x+b,x>1

且〃工1）,W/占eR,當彳尸占時，都有>2,則實數。的取值范圍為.

?GF

6.（24-25高三上?云南昭通?期末）已知函數〃x）=bg2（加-2加+4）.

⑴若/W的定義域為R，求〃的取值范圍；

（2）若/（X）的值域為R,求。的取值范圍.

第01講函數的概念及其表示

A夯實基礎B素養提升

A夯實基礎

一、單選題

1.（24-25高二上?廣東潮州?期中）在下面四個圖中，可表示困數），=/（犬）的圖象的可能是

【答案】D

【知識點】函數關系的判斷

【分析】根據函數的定義，即可判斷選項.

【詳解】根據函數的定義可知，任何一個％值只能對應唯一的）'值，（1）（2）（3）不滿

足，

故選：D

Q

2.（24-25高三上?河南?期末）函數"x）=31n（2x-l）+—的定義域為（）

A.（l,+oo）B.（g，+8C.；1[u（l，+8）D.（g/U（l，yj

【答案】D

【知識點】求對數型復合函數的定義域、具體函數的定義域

【分析】根據對數函數的直數大干零和分式函數的分母不為零列不等式如求解即可.

【詳解】由題意知《解得且XW1,

工一1二0,2

所以函數/（力的定義域為（g，l）u（l，+8）.

故選：D

3.（24-25高三上?四川廣元?期末）已知函數=12fM/"<0在R上單調遞增，則。

的取值范圍是（）

A.[-1J]B.r-1,0）C.(0,1]D.(0,+oc)

【答案】C

【知識點】根據分段函數的單調性求參數

【分析】根據給定條件，利用分段函數的單調性列式求解即得.

【詳解】由函數/（幻=12nli在R上單調遞增，

x",x>0

[2a>0

得<解得0v〃Wl,

所以4的取值范圍是（。,11

故選：C

4.（24-25高三上,福建福州?階段練習）已知函數/0）=<:二:°在（川,m+1）上單調

遞增，則實數〃?的取值范圍為（）

A.2]U[1?+CC）B.[-2,1]

C.（^?,-1]U[2,-H?）D.[-1,2]

【答案】A

【知識點】根據分段函數的單調性求參數

【分析】作出函數/'（x）的圖象，由圖象得到/（"的單調遞增區間，根據條件列出關「小的

不等式，解不等式得到機的取值范圍.

【詳解】作出函數〃x）=_；'一的圖象，如下圖，

要使函數/（X）在（見〃7+1）上單調遞增，

則或〃2+1W-1,解得〃后1或〃三一2,

.??實數〃7的取值范圍為（70,-2]U[l，y）.

故選：A.

5.（23-24高二上安徽馬鞍山?開學考試）己知函數/（%）的定義域為（05，則函數

的定義域為（）

A.（0,1）B.（0,1]C.[-U]D.[-l,0）U（0,l]

【答案】A

【知識點】抽象函數的定義域

【分析】依題意得解出該不等式組即可得解.

【詳解】因為函數/（"的定義域為

0<x2<l-l<x<0gg0<x<l

所以=>=>0<x<1,

0<l-x<l0<x<l

所以函數/卜—的定義域為（0,1）.

故選：A.

6.（24-25高三上?四川成番?期中）已知定義在（0,xo）上的函數/*）滿足/（幻-3/4）=-3,

xx

則/（2）的值為（）

A.7B.8C.13D.14

【答案】C

【知識點】函數方程組法求解析式

【分析】由構造方程法可先求出/。）解析式，再求出。2）的值.

【詳解】由題意得，因為3/（3=-3，

xx

所以對于任意X€（0，y）,/（-）-3/（x）=-16.r,

X

聯立XX消去/（3可得,

X

/(-)-3/(x)=-16x

x

2

f(x)=6x+~,

x

所以"2)=6x2+l=13,

故選：C.

x~~2xH—,xW1,

2的值域為O,

7.（24-25高三上?甘肅酒泉?期末）已知函數

a,,

X4-----1,X>I

X

3、

。1孑，+8,則實數。的取值范圍是（）

4/

【答案】c

【知識點】根據分段函數的值域(最值)求參數、根據值域求參數的值或者范圍

【分析】分段函數在兩段上分別根據自變量范圍求函數值范圍，再與值域對比求實數。的取

值范圍.

【詳解】當XW1時，/(x)=Y-2x+5=(x-l)2+/在(-0),1］上單調遞減，

此時,，+8);

當X>1時，f(X)=XH------1.

X

①若.41,則/'(7)="十9-1在(1,+8)」二單調遞增,此時/(x)e(a,18),

X

「3、

乂函數“力的值域。仁于+8，不合題意；

-乙/

②若"I,則f(x)=x+q-122&-l,當且僅當工=石>|時，等號成立，

X/

..3\2>［a—1>—

又函數〃力的值域。1；，+8，則｛2,

L；1^>1

解得。之?孑5.綜上所述：〃之9孑5.

1616

故選：C.

二、多選題

8.(24-25高三上?四川綿陽?期末)若xwR,函數仆)=?—2%+9的值域是［0,同，且

"7W〃，則下列結論中正確的是()

A.。>0B.ab=4

C.若/(〃?)=/(〃)，則〃?+"」D.—1

C14+。8

【答案】ABD

【知識點】根據值域求參數的值或者范圍、基本不等式求和的最小值

【分析】根據二次函數的值域性質，結合基本不等式逐一判斷即可.

【詳解】當〃=0時，/(/)=-2工+1,顯然此時函數的值域不是［0,”)，不符合題意；

當“工0時，f(x)=ax2-2x+—=a\x-^-\--+—,對稱軸為工=,，

因為二次函數/(x)=ad_2x+［的值域是［0,+x),且xwR,

?！鉧>0n

所以有｛1b八=<,/，因此選項AB正確，

——+—=0ab=4

a4

、2

若〃沖〃且/(/〃)=/(z〃)，所以由二次函數的對稱性可得m十〃=',

因此選項C不正確：

a>0

>0

由心，=卜>0,因為4+〃之2皿=8,當且僅當。=〃=2時取等號，

b=4

ab=4

所以選項D正確，

故選：ABD

三、填空題

9.(25-26高三上,全國?課后作業)已知函數/(x)=f—3x—4,且/"(〃)］=-4,則實數

a-.

【答案】匹返或4或一1

2

【知識點】已知函數值求自變量或參數

【詳解】令，=/3)，則/一3"4=T,解得/=3或0.由八。)=/=3,得。2一3。一7=0,

解得。=出晝.由/(，)=，=0得〃2一3〃一4=()，解得a=4或一1.

2

10.(25-26高三上?全國裸后作業)若函數/(%)=/"'7='的定義域為R,則實數a

Var*-2ar+l

的取值范圍是.

【答案】m)

【知識點】一元二次不等式在實數集上恒成立問題、己知函數的定義域求參數

【詳解】若函數/")=/"11=■的定義域為R，則如對任意xeR恒成

7ax-lax+1

ftz>0

立.當a=0時，不等式ar2-2at+l>0化為I>0,恒成立：當a=0時，需滿足｛,

△=4a2-4a<0

解得Ovavl.綜上所述，實數a的取值范圍是

四、解答題

11（2。24高三?全國?專題練習）求函數戶中子的最大值.

【答案】"①

4

【知識點】基本（均值）不等式的應用、復雜（根式型、分式型等）函數的值域

【分析】將多項式化簡計算，利用基本不等式計算可得當x=±蚯時，有最大值為安邑.

4

八2產+2（x、2）+2Yjf

【詳解】易知y=2（X4+2）2+X4+2*eR）：

2x4+4-

當x=0時，）'=；；當x=0時，x2>0.

2

x1<11

易知工4+2一廣力工一「八2一南,

7VV

7

當且僅當丁二:，即廣士也時，等號成立.

2

可得y=g+x-3也.

X4+224

故當*=土啦時，y有最大值生蟲.

4

12.（24-25高三上?河北邢臺?階段練習）己知函數/（x+5）=2x.

（1）證明：f（x）為一次函數.

⑵若〃"〃?））+/'（〃『）=0,求/〃的值.

【答案】（1）證明見解析；

（2）/H=-1±>/2T-

【知識點】已知函數值求自變量或參數、已知f（g（x））求解析式

【分析】（1）應用換元法求原函數解析式，即可證；

（2）由（1）所得解析式，根據已知將相關參數代入得方程，即可求解.

【詳解】（1）令x+5=f,得-5,則/⑺=2（/-5）=2/-10,

所以〃力=2/-10,故/（x）為一次函數.

（2）因為/（/（〃?））+/（〃『）=（）,所以2（2〃L10）―10+2^-10=0,

整理得〃/+2〃?一20=0，解得m=-1土立L

13.（2024高三?全國?專題練習）求下列函數的解析式:

（1）已知-（1一sinx）=co§2x,求/（x）的解析式；

(\\I

(2)已知/x+—=f+r,求/(x)的解析式；

IX)x-

(3)已知/(大)是一次函數且3/(X+I)-2/(X-1)=2X+I7,求/(x)的解析式：

(4)已知/*)滿足2/(用+/(—)=3x,求/*)的解析式.

2

【答案】(1)/(X)=2X-X,X€[0,2]:

(2)f(x)=x2-2,xe(-<?,-2]|J[2,-H?)；

(3)f(x)=2x+7；

(4)/(x)=3x.

【知識點】已知函數類型求解析式、已知f(g(x))求解析式、函數方程組法求解析式

【分析】(1)設l-sinx=//e[0,2],由換元法可得出答案.

(2)由f+與=(1+_[丫-2,由配湊法可得答案.

尸Ix)

(3)可設/(幻=紗+"。=0),利川待定系數法可得答案.

(4)將x用一“替換，由方程消元法可得答案.

【詳解】(1)(換元法)設l-sinx=fjw[0,2],則sinx=lT.

所以/(l-sinx)=cos2;v=l-sin2x,所以/⑺=1一(1-f)?=2f-J,/e[0,2].

即/(A)=2x-x\xe[0,2].

(2)(配湊法)因為+_2,

kx)『Ix)

又當x>。時，x+->2(當且僅當x=l時取,

X

當x<0時，x+-<-2(當且僅當x=—l時取"="),

X

所以/(X)=x2-2,xe(-oo,-2]U[2,+oo).

(3)(待定系數法)因為/(“是一次函數，可設/(幻="+。(。工0),

所以3[a(x+l)+0]-2[a(x-l)+〃]=2x+17.

a=2

即at+(5a+b)=2K+17,所以

5〃+。=17

a=2

解得

b=l

所以f(x)的解析式是/(X)=2x+7.

(4)(方程組法)因為2/(x)+/(-x)=3x,①

所以將x用一工替換，得2f(-x)+/(x)=-3x,②

由①②解得/(x)=3兒

B素養提升

1.（2025?山西?模擬預測）已知函數=則/（）

9

A.-B.5C.9D.10

2

【答案】C

【知識點】求函數值

【分析】用士■代換“得小?|=」7,即可求目標函數值.

n~\rrJn-\

故選：C

2.（25-26高三上?全國?課后作業）已知函數/*）=[%],其中3表示不超過x的最大整數,

I7

當-（時，下列函數中，其值域與/（X）的值域不相同的函數為（）

c1八1,3

A.y={-1,0,1,2,3)B.y=2xxe^--,0,-,l,->

C.屋D.y=/_],xe{0.1,&,32}

?XIZ3?

【答案】c

【知識點】函數新定義、常見（一次函數、二次函數、反比例函數等）的函數俏域

■17~

【詳解】當XC時，”V）的值域為{-1,0123}.對于C,該函數的值域為{-1,123,4}.

3.（25-26高三上?全國?課后作業）定義max{?〃}=<：'：一設函數f（x）=x+l,^（x）=（x-1）2,

b、b>a.

記函數/"）=max{/*）**）},且函數"（x）在區間[〃?,川上的值域為OU,則區間[〃?,〃]的

長度的最大值為（）

7

A.1B.3C.-D.2

4

【答案】D

【知識點】根據分段函數的值域（最值）求參數

【詳解】令/（x"g（x）,則K+12（X+1）2,解得—IWXWO,所以

(x+l)~,x<—1?

F(x)=max{f(x),g(x)}=x+1,T4xW0,則尸(力的圖象如圖:

(x+l)2,x>(),

又F（0）=F（-2）=l,F（-l）=0,且函數F（x）在區間［m,〃］上的值域為似11,當〃=0時，

-2</n<-l；當〃?=一2時，TW〃工0,所以當<=-2,〃=0時,區間［，小川的長度取得最大

值，最大值為2.

（￡7-2）X-3,X<2

4.（2025高三?全國?專題練習）已知函數/。）=〃.，若對R上的任意實數為，

一,x>2

%（內工/），恒有（5-七）［/（與）-/（七）］<0成立，那么實數。的取值范圍是

【答案】耳2）

【知識點】根據分段函數的單調性求參數

【分析】根據是R上的減函數，列出不等式組，解該不等式組即可得答案.

【詳解】因為函數滿足對R上的任意實數N，巳，（A-,*X2）,

恒有（再一%）［/（芭）-/（玉