七年級數(shù)學(xué)上冊專項訓(xùn)練

L有關(guān)數(shù)軸的探索

1數(shù)軸中的折疊問題

1.如圖，在數(shù)軸上，點4表示數(shù)Q,點8表示數(shù)b,點C表示數(shù)c,b是最小的正整數(shù)，且a,c滿

足|a+2|+（c-6）2=0.

—?-------?-----------------?>

4BC

（1）a=___,b=__,c=__,

（2）若將數(shù)軸折疊，使得點工與點。重合，則折痕與數(shù)軸的交點所表示的數(shù)為點B與數(shù)一

—對應(yīng)的點重合，這時若M,N（M在N的左側(cè)）兩點之間的距離為2022,且M,N兩點經(jīng)折

疊后重合，則點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是.

2.如圖，折疊一數(shù)軸，使得表示數(shù)5與數(shù)-1的兩點重合，若此時數(shù)軸上的4,8兩點也重合,

且上8兩點之間的距離為32,則點4表示的數(shù)為.

3.在數(shù)軸上剪下8個單位長度（從1到9）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重

疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為1:1：2,則折痕與數(shù)軸的

交點所表示的數(shù)可能是.

個X

|'1I~~'1'1:|'

折轉(zhuǎn)剪斷處

2數(shù)軸上的循環(huán)規(guī)律問題

4.正六邊形4BCDE/在數(shù)軸上的位置如圖，點力，F(xiàn)對應(yīng)的數(shù)分別為0和1,若正六邊形（六條

邊省等）4BC0EF繞著頂點按順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點E所對應(yīng)的數(shù)為

2,則連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次后，數(shù)軸上2021這個數(shù)所對應(yīng)的點是（）

CD

-101234人.4點89點C.C點D.0點

7數(shù)上練技巧

5.在數(shù)軸上，點P表示的數(shù)是Q,點P，表示的數(shù)是;，我們稱點是點P的“相關(guān)點”，已

知數(shù)軸上點兒的相關(guān)點為入2,點4的相關(guān)點為力3,點&的相關(guān)點為4,…，這樣依次得到點4,

.若點在數(shù)軸上表示的數(shù)是則點在數(shù)軸上表示的數(shù)是—.

A2,A3IA4I4n4g4024

3數(shù)軸上數(shù)的變化規(guī)律問期

6.已知4,B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別用處匕表示，且（ab+150）2+g+10|=0,P是數(shù)軸上的

一個動點.動點P從原點開始第1次向右移動1個單位長度，第2次向左移動3個單位長度，

第3次向右移動5個單位長度，第4次向左移動7個單位長度，…，點P在移動過程中，第一

一次移動后與點4重合.

7.如圖，在紙面所在的平面內(nèi)，一只電子螞蟻從數(shù)軸上表示原點的位置（0點）出發(fā)，按向上、

向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如匡所示，第1

次移動到第2次移動到第3次移動到第九次移動到4口則三角形。442020的

面積是（）

個4,54個"10^13

八八八八

???

o|it3t.4〔5上161r

°從344748411412

A.%B.505C.1211D.506

22

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7數(shù)上練技巧

2,含參數(shù)的一元一次方程

4解的關(guān)系問題

1.已知關(guān)于x的方程:(8-x)=7+x的解與方程罕一一=：+2a的解互為相反數(shù),求Q的

值.

5錯解問題

2.晶晶在解關(guān)于無的方程皇+6=等時，把6錯寫成1,解得％=1,并且晶晶在解題中沒有

錯誤，請你正確求出此方程的解.

6整數(shù)解問題

3.已知m,九是有理數(shù)，單項式一/y的次數(shù)是3,方程(加+1)/+小工一比+n+2=0是關(guān)

于工的一元一次方程，其中mot.

(1)求m,n的值；

(2)若該方程的解是x=3,求亡的值；

(3)若該方程的解是正整數(shù)，求整數(shù)t的值.

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7數(shù)上練技巧

7解的個數(shù)問題

4.已知關(guān)于x的方程4+3ax=2a-7有唯一解，關(guān)于y的方程2+y=(b+l)y無解，判斷關(guān)于

z的方程az=匕的解的情況.

5.已知關(guān)于x的方程(a-2)/E+4b=0為一元一次方程，且該方程的解與關(guān)于x的方程

41=4+1的解相同.

(1)求a,b的值；

(2)若關(guān)于y的方程-l|y+幾=a+1+2by有無數(shù)個解，求機，幾的值.

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7數(shù)上練技巧

3,方程的應(yīng)用一動點問題

8距離問題

1.本數(shù)軸上，點4在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè)，點4距離原點12個單位長度，點B距離

原點2個單位長度.

(D點A對應(yīng)的數(shù)為____，點8對應(yīng)的數(shù)為一,兩點之間的距離為一;

(2)若點P為數(shù)軸上一點，且BP=2,求4P的長；

(3)若點N,Q,M同時向數(shù)軸負方向運動，點N從點4出發(fā)，點Q從原點出發(fā)，點M從點B出

發(fā)，且點N的運動速度是每秒6個單位長度，點Q的運動速度是每秒8個單位長度，點M的運

動速度是每秒2個單位長度.運動過程中，當(dāng)其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時

三個點對應(yīng)的數(shù)各是多少.

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7數(shù)上練技巧

9相遇問題

2.數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點4B表示的數(shù)分別為a,b,則48兩點之間

的距離表示為AB=如：點4表示的數(shù)為2,點8表示的數(shù)為3,則48=|2-3|=1.

（1）問題提出：填空：如圖，數(shù)軸上點4表示的數(shù)為-2,點B表示的數(shù)為13,4,8兩點之間

的距離48=—,線段48的中點表示的數(shù)為

---A??----------------------?B?

-2013

（2）拓展探究：在（1）的條件下，若點P從點4出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向

右至動，同時點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度向左運動.設(shè)運動時間為￡秒?>0）.

①用含t的式子表示：t秒后，點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為；

②求當(dāng)士為何值時，P,Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù).

（3）類比延伸：在（2）的條件下，如果P,Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當(dāng)各自

到達線段AB的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段48上做往復(fù)運動，那么再經(jīng)

過多長時間P,Q兩點第二次相遇？請求出此時相遇點所表示的數(shù).

10追及問題

3.如圖，已知數(shù)軸上三點4,0,B表示的數(shù)分別為6,0,-4,動點P從A出發(fā)，以每秒6個單

位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動.另一動點R從B出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度沿數(shù)軸向

左勻速運動，若點P,R同時出發(fā)，則點P運動秒時，追上點R.

204

-

06

-4

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7數(shù)上練技巧

4,與線段上的中點有關(guān)的計算

11雙中點模型

1.如圖，點C是線段48上的一點，且4CV8C,M和N分別是48和8c的中點，已知AC=10,

NB=7,則線段MN的長度是（）

?----------------------------?--------?------------?---------------------?

4CMNB

A.3B.3.5C.4D.5

2.如圖，點C在線段上，點M,N分別是4C,BC的中點.

I」」I1

AMCNB

（1）若4C=9cm,CR=6cm,求線段M/V的長.

（2）若C為線段48上任一點（不與48重合），滿足4C+C8=acm,其他條件不變，你能

猜想出MN的長度嗎？請說明理由.

（3）若C在線段的延長線上（不與B重合），且滿足4C-BC=bcm,點M,N分別為AC,

8C的中點，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由.

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7數(shù)上練技巧

3.如圖，AtB,C,。四點在同一直線上.

?------,--------------------*-----?----

4BC0

(1)若AB=CD,

①比較線段的大?。篈C—BD(填"=”或“<”)；

②若=-AC,且AC=12cm,則40的長為cm.

4

(2)若=3:4:5,且AB的中點M和。0的中點N之間的距離是16cm,求40的長.

12三中點模型

4.如圖，點4,B,。在同一直線上，”為4C的中點，M為力B的中點，N為BC的中點，則下列

說法：①MN=HC；②MN=；(AC+HB)；③MH=*AH-HB)；④HN=+HB),其

中王確的是()

?-------------?????

AMHBNC

A.①③B.②④C.①④D.①③④

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7數(shù)上練技巧

5,雙角平分線模型

13兩個角無公共部分

1.如圖，^AOB=a,OAi，OB1分另IJ是40M和/M08的平分線，OA2，0^2分另U是4心0M和

NM。當(dāng)?shù)钠椒志€，。43，。83分另1」是42。用和功。82的平分線，…，04n,。為分別是N4LI

OM和,川。匿_1的平分線，則N&O%的度數(shù)是()

14兩個角有公共部分

2.(1)如圖，若408=120。，ZA0C=40°,0D,0E分別平分4。8,40C,求40E的

度數(shù)；

(2)若N40B,-4OC是平面內(nèi)兩個角，^AOB=m°,NAOC=n°(0<n<m<180),OD,

OE分別平分▲408,40C,求-DOE的度數(shù).(用含m,幾的代數(shù)式表示)

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7數(shù)上練技巧

3.如圖，已知在同一平面內(nèi)，^AOB=90°,^AOC=60°.

(2)如果。。平分NBOC,OE平分4OC,求NDOE的度數(shù);

(3)如果在(2)的條件下將4OC=60。改為440c=2a(0。＜aV45。)，其他條件不變,

求/DOE的度數(shù).

15三個角圍成周角

4.如圖，ZAOB=126°,射線OC在4OB外，且NBOC=24OC,若OM平分NBOC,ON平

分乙40a則/M0N=_____.

C

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7數(shù)上練難點

1簡化有理數(shù)的計算

類型1歸類——同號相加，同分母相加

1.計算：-16-（-21）+（-12）-35-（-3）.

2.計算：

類型2湊整——將和（積）為整數(shù)的數(shù)相結(jié)合

3.計算：2：—0.6+2—2.5+10—1

4.計算：（-1.25）x,x（-4）x（-J

類型3變序——方便約分和計算

5.計算：45乂（-25）'B（一裝）+"（-1》

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7數(shù)上練難點

6.計算:4x(—3')—3x(—3-6x3.

類型4組合——找出規(guī)律，重新組合，然后通過約分或抵消簡化計算

7.計算：1-3x2+5+7-9x2+11+13-15X2+17+…+2011-2013x2+2015

+2017.

C、-LHZ13、，/2,4、，/35、/2021,2023、

8.計算：(-XX(---X-)X(---X-)X???X(-----X----).

'22，'33，'44，'202220227

類型5拆分——將帶分數(shù)拆分

9.用簡便方法計算:

(1)(-2024|)+4046：+(-2025|)+1|.

(2)(一19嗡x76.

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7數(shù)上練難點

類型6裂項一拆項相消

10.閱讀下面的解答過程.

計算：—+—+—

1X22x33X49x10

Anrxi-M-,1_111_111_111_11

解：因為啟=1—2，^=2"?羔=§一7…，=

所以原式=(l-1)+(1-1)+(1-i)+

=1+(-鴻)+(-渭)+…+(-泊)-4

1

=1------

10

9

=10

根據(jù)以上解題方法計算：

(D-2―=_______(九為正整數(shù))；

n(n+l)

(2)

2612203042

(3)—+—+—H---p]

2x44X66x82018x2020

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7數(shù)上練難點

類型7換位——將被除數(shù)與除數(shù)顛倒位置

11.閱讀下列材料，回答問題.

計算：50+

解法1：原式=50+工―50+二+50+工=50x3-50x4+50x12.該解法對嗎？

3412

答：.

解法2：先計算原式的倒數(shù)，(?”+50+1=總故原式=300.

(1)請你用解法2的方法計算：(一分+(>■+?>

(2)計算:(弓―卜今+(_,+(_[

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7數(shù)上練難點

2規(guī)律探索

類型1遞推型規(guī)律探索

1.一只小球落在數(shù)軸上的某點％=Q處，第一次從P。處向右跳1個單位到匕處，第二次從匕處

向左跳2個單位到P2處，第三次從P2處向右跳3個單位到P3處，第四次從P3處向左跳4個單位

到七處，….若小球按以上規(guī)律跳了(2n+3)次，

則它落在數(shù)軸上的點P2n+3處所表示的數(shù)是()

AQ+幾B.a+n4-2C-a+n—1D.。+n+3

2.有一組正整數(shù)：Qi，0.2,,*?,。2024,。2025，從@3開始，滿足。3=-2a21。4=1。2—2a3I，

a5=\a3-2a4\,—,a2025=l?2023-2a2024h當(dāng)%=%a2=l(m>3,機為整數(shù))時，

a2025=-------------------

3.觀察下列單項式：-r,3r2,-Sx3,7r4,…，29丫20,…，寫出第九個單項式，為

了解這個問題，特提供下面的解題思路.

(D這組單項式的系數(shù)依次為多少？系數(shù)的絕對值的規(guī)律是什么？

(2)這組單項式的次數(shù)的規(guī)律是什么？

(3)根據(jù)上面的歸納，你可以猜想出第八個單項式是什么嗎？

(4)請你根據(jù)猜想，寫出第2024個和第2025個單項式.

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7數(shù)上練難點

類型2累加型規(guī)律探索

4.觀察下列圖形，第1個圖形中有7個空心點，第2個圖形中有11個空心點，第3個圖形中

有15個空心點，…，按此規(guī)律排列下去，第八個圖形中有個空心點（用含幾的式子表示）.

5.將正方形4BCD（如圖（1））作如下劃分：第1次劃分：分別連接正方形4BCD對邊的中點

（如圖（2））,得線段Hr和EG,它們交于點M,此時圖（2）中

圖⑴圖⑵圖（3）

共有5個正方形；第2次劃分：將圖（2）左上角正方形再劃分，得圖（3）,則圖（3）

中共有9個正方形.

（1）若把左上角的正方形依次劃分下去，則第100次劃分后，圖中共有_____個正方形.

（2）繼續(xù)劃分下去，第九次劃分后圖中共有_________個正方形.

（3）能否將正方形ABCD劃分成有2020個正方形的圖形？如果能，請算出是第幾次劃分；如

果不能，需說明理由.

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7數(shù)上練難點

3整式的化簡求值

類型1化繁為簡再求值

1.先化簡，再求值：—3Q2b+(4。/—Q2^)—2(2Q/一Q2/J),其中Q=1,b=—1.

2.先化簡，再求值：2x2-[3(-1x2+|xy)-(xy-3%2)]+2xy,其中x是最小的正整數(shù)，y

*JJ

是2的相反數(shù).

3.先化簡，再求值：2/-[3(-|%2+|xy)一(孫一3/)]+2孫，其中x是最小的正整數(shù)，y

是2的相反數(shù).

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7數(shù)上練難點

類型2整體代入求值

4.閱讀：小穎同學(xué)善于總結(jié)反思，她發(fā)現(xiàn)在代數(shù)式求值問題中整體思想的運用非常廣泛.如：

已知5Q+3b=-4,求代數(shù)式2(Q+b)+4(2a+b)的值.

小穎同學(xué)提出了一種解法如下：

原式=2Q+2b+8Q+4/?=10a+6b=2(5a+3b),所以當(dāng)5a+3b=—4時，原式=2x(—4

)=-8.

仿照小穎同學(xué)的解題方法，解答下面的問題：

(1)若Q+6=2,則a+b+l=；

(2)已知Q-匕=-2,求3(。一匕)-2a+2b+5的值；

(3)已知Q2+2Q/)=—2,ab—b2=—4,求4a2+7ab+/的值.

5.【閱讀理解】若代數(shù)式/+%+3的值為7,求代數(shù)式2/+2%-3的值.小明采用的方法

如下：

由題意得/+%+3=7,則有/+%=4,

2x2+2x-3=2(x24-x)-3

=2x4-3

=5.

所以代數(shù)式27+2x—3的值為5.

【方法運用】(1)若代數(shù)式/+%+1的值為10,求代數(shù)式—27—2%+3的值.

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7數(shù)上練難點

(2)當(dāng)x=2時，代數(shù)式+以+4的值為9,當(dāng)x=-2時，求代數(shù)式Q/+力工+3的值.

【拓展應(yīng)用】若小一時=26,ab-b2=-16,則代數(shù)式十一2耐+匕2的值為

類型3整式化簡中的“無關(guān)”問題

6.如圖，長為a,寬為b的長方形被分割成7部分，除陰影圖形P,Q外，其余5部分為形狀和

大小完全相同的小長方形。，其中小長方形。的寬為3.

3

(1)求小長方形。的長(用含a的代數(shù)式表示).

(2)小明發(fā)現(xiàn)陰影圖形P與陰影圖形Q的周長之和與Q值無關(guān)，他的判斷是否正確？請說明理

由.

7.已知4=2/+mx-y,B=n/一x+6y是關(guān)于x,y的多項式，其中幾為常數(shù).

(1)若7n=1,n=-2,化簡A+B；

(2)若4—2B的值與x的取值無關(guān)，求代數(shù)式血2rl2。21的值.

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7數(shù)上練難點

類型4利用數(shù)形結(jié)合化簡求值

8.有理數(shù)Q,仇。所對應(yīng)的點在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡代數(shù)式|a-c\-\b\-\b-a\+\

b+a\.

9.已知a,b,c三個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示.

ab()c

(1)在數(shù)軸上標出-a,-b,一c這三個數(shù)所對應(yīng)的點，并將叫b,c,-a,-b,-c這6個數(shù)

按從小到大的順序用“V”連接；

(2)化簡式子|—a-+\b-c\—\c-a\\

(3)若a+b+c=O,且表示數(shù)a的點向左運動1個單位長度后在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)恰好與c互

為相反數(shù),求一3?-匕)-(c+5)-2(c+4b)的值.

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7數(shù)上練難點

4特殊/b次方程的解法

類型1分子、分母化整

L解方程：言一言=】?

0.3X+0.8_0.02X+0.30.8X-0.4

2.[2025陜西西安調(diào)研，中]解方程:

0.50.33

類型2利用倒數(shù)關(guān)系去括號

3.解方程：|[f（i-l）-2]-x=2.

i,

4.解方程:日（'乎+4）+6]+9}=1.

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7數(shù)上練難點

類型3整體思想的應(yīng)用

5.解方程：9》_7)=6_-%_7).

6.關(guān)于%的方程彳+W5=0,我們也可以這樣來解：將原方程整理得6+：+9%=0.因為9+

：+3。0,所以方程的解為x=0.請按這種方法解下列方程：

x-23x-19x-15.x-11x-7

(2)----H-------r-----r-----r---10.

246810

類型4先拆分，再合并

7.解方程：/聲方+*1.

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7數(shù)上練難點

5線段中的動態(tài)問題

類型1動點問題

1.如圖，線段的長為20cm,。是線段4B的中點，P,Q是線段4B上的動點，點P沿/

以4cm/s的速度運動，點Q沿B-＞力以2cm/s的速度運動.若P,Q兩點同時出發(fā)，則當(dāng)OP=OQ

時，運動時間為（）

PQ

I」」11

A0B

A.0s或10s或三sB.Os或5s或Us

C.Os或Us或竺s或10sD.Os或5s或2s或竺s

類型2動線段問題

2.如圖，已知點C在線段4?上，且AC=2BC,線段OE在線段48上運動（點D,E不與點48重

合，且點。在點E的左側(cè)），4B=15,DE=6.

ADCEB

CB

（D當(dāng)點E為BC的三等分點時，求線段4。的長;

（2）點廠在線段4B上（不與點A,B,。重合），且4E=3AO,CF=3,求線段力E的長.

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7數(shù)上練難點

類型3定值問題

3.如圖，線段？18的長為24,動點P從點4出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿射線4B運動，M

為4P的中點，設(shè)點P的運動時間為x秒.

I」I」

AMPB

■I

AB

(1)當(dāng)x=5時，求BM的長.

(2)當(dāng)P在線段48上運動時，2BM-是定值嗎?如果是，請求出該定值；如果不是，請說

明理由.

(3)當(dāng)P在射線48上運動時，N為8P的中點，求MN的長.

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7數(shù)上練難點

6動角問題

類型1判斷角的數(shù)量關(guān)系

1.把直角三角板的直角頂點C放在直尺的一邊M/V上.

(1)當(dāng)點4和點B都在直線的上方時(如圖(1)),乙4cM與NBCN的數(shù)量關(guān)系是44cM

+ZBCN=：

B

(2)當(dāng)將這把直角三角板繞頂點C旋轉(zhuǎn)到點4在直線MN的下方，點B仍然在直線MN的上方時

(如圖(2)),4CM與NBCN的數(shù)量關(guān)系是;

B

A

(3)當(dāng)將這把直角三角板繞頂點。旋轉(zhuǎn)到點/和點8都在直線MN的下方時(如圖(3)),ZACM

與/BCN的數(shù)量關(guān)系是.

MCN

B

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7數(shù)上練難點

類型2求運動時間

2.如圖（1）,。為直線48上一點，過點。在直線AB上方作射線0C,乙4OC=30。，將一直角三

角板（/M=30。）的直角頂點放在點。處，一直角邊ON在射線04上，另一直角邊0〃在直線AB

的上方.（注：本題旋轉(zhuǎn)角度最多為180。）

（1）將圖（1）中的三角板繞點。以每秒3。的速度沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖（2）,經(jīng)過￡秒后,

NA0N=____。（用含￡的式子表示），若。M恰好平分則亡=—.

（2）在（1）的條件下，若在三角板轉(zhuǎn)動的同時，射線0C也繞點。以每秒6。的速度沿順時針方

向旋轉(zhuǎn)，如圖（3）,經(jīng)過t秒后，NA0C=°（用含t的式子表示），若0C平分NM0N,

則t=—.

M

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7數(shù)上練難點

類型3定值問題

3.已知40B=80°,^COD=50°,OE平分4OC,OF平分NBOD.

(D如圖(D,當(dāng)08,。。重合時，求/EOF的度數(shù).

A后

oj。

(2)當(dāng)NCOO繞點。順時針旋轉(zhuǎn)n。。<n<50)時(如圖(2)),“。F的度數(shù)是否為定值？

若是定值，求出-EOF的值；若不是，請說明理由.

A

(3)在(2)的條件下，若滿足4。0-NEOF=|(/BOE+NCOF),求九的值.

4

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7數(shù)上練技巧

L有關(guān)數(shù)軸的探索

1數(shù)軸中的折疊問題

1.如圖，在數(shù)軸上，點4表示數(shù)Q,點8表示數(shù)b,點C表示數(shù)C,b是最小的正整數(shù)，且Q,C滿

足|Q+2|+(C-6)2=0.

—??-----------------?----->

4BC

(1)a=____,b=___,c=___?

2

解析：因為匕是最小的正整數(shù)，所以b=1.因為|Q+2|20,(c-6)>0,且

2

|a+2|+(c-6)2=O所以|a+2|=0,(c-6)=0,所以Q+2=0,

c-6=0,所以Q=—2,c=6.

(2)若將數(shù)軸折疊，使得點4與點C重合，則折痕與數(shù)軸的交點所表示的數(shù)為點B與數(shù)一

對應(yīng)的點重合，這時若M,N(M在N的左側(cè))兩點之間的距離為2022,且M,/V兩點經(jīng)折

疊后重合，則點M表示的數(shù)是，點N表示的數(shù)是.

解析：將數(shù)軸折疊，使得點4與點。重合，則寧=2,所以折痕與數(shù)軸的交點

表示的數(shù)是2.點8到折痕與數(shù)軸的交點的距離為1個單位長度，則2+1=3,所以

點B與數(shù)3對應(yīng)的點重合.設(shè)M點表示的數(shù)是％,則N點表示的數(shù)是x+2022,所以

2二日壽經(jīng)，則％=一1009,-1009+2022=1013,所以點M表示的數(shù)是

-1009,點N表示的數(shù)是1013.

數(shù)軸中的折注問題

將數(shù)軸折疊后，數(shù)Q與數(shù)b對應(yīng)的點重合，則折痕與數(shù)軸的交點所表示的數(shù)為恰，若數(shù)c與數(shù)d

對應(yīng)的點也重合，則a+b=c+d.

2.如圖，折疊一數(shù)軸，使得表示數(shù)5與數(shù)-1的兩點重合，若此時數(shù)軸上的4,B兩點也重合,

且兒B兩點之間的距離為32,則點4表示的數(shù)為_________.

-1

解析：因為表示5的點與表示-1的點重合，所以折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù)為2.因為數(shù)軸折

疊后，數(shù)軸上的4B兩點也重合，且4B兩點之間的距離為32,所以兩個點到折痕與數(shù)軸交

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7數(shù)上練技巧

點的距離均是16,所以點A表示的數(shù)為2+16=18或2-16=-14.故答窠為18或一14.

3.在數(shù)軸上剪下8個單位長度（從1到9）的一條線段，并把這條線段沿某點折疊，然后在重

疊部分某處剪一刀得到三條線段（如圖）.若這三條線段的長度之比為1:1：2,則折痕與數(shù)軸的

交點所表示的數(shù)可能是.

個__________________X

I,■I1

折痕剪斷處

解析：因為總的線段長為8,剪后三條線段的長度之比為1:1:2,又因為

8^（14-14-2）=2,所以這三條線段的長度分別為2,2,4.如圖（1）,若剪下

的第1條線段長為2,第2條線段長度也為2,則折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù)為4；如

圖（2）,若剪下的第1條線段長為2,第2條線段長度為4,則折痕與數(shù)軸的交點表

示的數(shù)為5；如圖（3）,若剪下的第1條線段長為4,第2條線段長度為2,則折痕

與數(shù)軸的交點表示的數(shù)為6.綜上，折痕與數(shù)軸的交點表示的數(shù)為4或5或6,故答案

為4或5或6.

圖（1）---------!---------!-------------------圖（2）?'1,."1

圖（3）

2數(shù)軸上的循環(huán)規(guī)律問題

4.正六邊形4BCDEF在數(shù)軸上的位置如圖，點4,F對應(yīng)的數(shù)分別為0和1,若正六邊形（六條

邊用等）ABCDEF繞著頂點按順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點E所對應(yīng)的數(shù)為

2,則連續(xù)翻轉(zhuǎn)2021次后，數(shù)軸上2021這個數(shù)所對應(yīng)的點是（）

A.工點B.B點C.C點D.。點

解析：正六動形在翻轉(zhuǎn)第一周的過程中，點F,E,D,C,B,A對應(yīng)的數(shù)分別

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7數(shù)上練技巧

為1,2,3,4,5,6,翻轉(zhuǎn)6次為一次循環(huán).因為2021+6=336……5,所以數(shù)

軸上2021這個數(shù)所對應(yīng)的點是B點.故選B.

5.在數(shù)軸上，點P表示的數(shù)是見點表示的數(shù)是l-a我們稱點是點P的“相關(guān)點”，已

知數(shù)軸上點4的相關(guān)點為&，點42的相關(guān)點為心，點4的相關(guān)點為人4,…，這樣依次得到點

A2,A3I4，…，4n?若點41在數(shù)軸上表示的數(shù)是3則點&024在數(shù)軸上表示的數(shù)是—?

解析：點兒在數(shù)軸上表示的數(shù)是j則點4在數(shù)軸上表示的數(shù)是々=2,點心

21-1

在數(shù)軸上表示的數(shù)是七二-1,點心在數(shù)軸上表示的數(shù)是；；=5點4在數(shù)軸

1—21-(-1)2

上表示的數(shù)是2,點力6在數(shù)軸上表示的數(shù)是-1，…，由此得$2,-1依次循環(huán).

因為2024+3=674……2,所以點4024在數(shù)軸上表示的數(shù)是2.故答案為2.

3數(shù)軸上數(shù)的變化規(guī)律問題

6.已知4,B在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別用處力表示，且Qb+150)2+g+10|=0,P是數(shù)軸上的

一個動點.動點P從原點開始第1次向右移動1個單位長度，第2次向左移動3個單位長度，

第3次向右移動5個單位長度，第4次向左移動7個單位長度，…，點P在移動過程中，第_

一次移動后與點A重合.

解析：點P第1次移動所得的對應(yīng)點Pi表示的數(shù)為0+1=1,點P第2次移動所得的對應(yīng)點P2表

示的數(shù)為1一3=-2,點P第3次移動所得的對應(yīng)點尸3表示的數(shù)為一2+5=3,點P第4次移動

所得的對應(yīng)點匕表示的數(shù)為3-7=-4,點尸第5次移動所得的對應(yīng)點心表示的數(shù)為-4+9=5,

點P第6次移動所得的對應(yīng)點26表示的數(shù)為5-11=-6,…，點P第九次移動所得的對應(yīng)點心表

示的數(shù)為-(-1尸?兒觀

察發(fā)現(xiàn)：當(dāng)幾為奇數(shù)時，點P對應(yīng)的數(shù)為奇數(shù)幾；當(dāng)九為偶數(shù)時，點P對應(yīng)的數(shù)為偶數(shù)-幾因為(ab

4-150)2>0,|b+10|>0,且(出?+150)2+也+10|=0,所以

b+10=0,即b=-10,ab+150=0,即a=15,所以點4表示的數(shù)是15,點B表示的數(shù)是一

10.因為當(dāng)九=15時，點匕5表示的數(shù)為15,所以點P第15次移動后與點力重合.

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7數(shù)上練技巧

數(shù)軸上數(shù)的變化規(guī)律問題

1.標出序列號.

2.①有的可對每個數(shù)同時加上或減去或乘或除以第一個數(shù)，成為新數(shù)列，再找出規(guī)律，并恢復(fù)

到原來的數(shù)列.

②有的可對每個數(shù)同加或減或乘或除以同一個數(shù)（一般為1,2,3,...）,成為新數(shù)列，然后

找出規(guī)律，再恢復(fù)到原來的數(shù)列.

③觀察一下，能否把一個數(shù)列的奇數(shù)位置與偶數(shù)位置分開成為兩個數(shù)列，再分別找規(guī)律.

7.如圖，在紙面所在的平面內(nèi)，一只電子螞蟻從數(shù)軸上表示原點的位置（0點）出發(fā)，按向上、

向右、向下、向右的方向依次不斷移動，每次移動1個單位長度，其移動路線如醫(yī)所示，第1

次移動到41,第2次移動到第3次移動到…，第九次移動到4八，則二角形。424020的

面積是（）

—I42—5.6,9J10^13

八八八八

???

o|it3t.4〔5上161r

°從34474411從12

A.幽B.505C.lonp.506

22

解析：由題意知，&&=1，因為4表示的數(shù)為2,“8表示的數(shù)為4,42表示的數(shù)為6,…,

所以可推導(dǎo)一般性規(guī)律：44n表示的數(shù)為2n，所以4020表示的數(shù)為1010,所以。4020=1010,

=xx

所以S三歷形042%0207。&020xA2A3=-1010x1=505,故選B.

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7數(shù)上練技巧

2,含參數(shù)的一元一次方程

4解的關(guān)系問題

1.已知關(guān)于x的方程:(8-x)=7+x的解與方程罕一一=：+2a的解互為相反數(shù),求Q的

值.

解：解方程*8-x)=7+%,得x=-2.

因為關(guān)于x的方程久8-x)=7+x的解與方程等-?=：+2a的解互為相反數(shù)，

所以方程竿一U=：+2Q的解為x=2.

￡36

把％=2代入，得士受—---=74-2a,解得a=

23。9

5錯解問題

2.晶晶在解關(guān)于x的方程等+6=等時，把6錯寫成1,解得％=1,并且晶晶在解題中沒有

錯誤，請你正確求出此方程的解.

解；因為解關(guān)于x的方程號6=等時，把6錯寫成1,解得％=1,

所以把x=1代入學(xué)+1=竽，解得Q=1,

所以原方程應(yīng)為一"4-6=平，解得％=—29.

6整數(shù)解問題

3.已知7九，八是有理數(shù)，單項式；-%“y的次數(shù)是3,方程(加+1)/+7n%一比+幾+2=0是關(guān)

于n的一元一次方程，其中〃2美心

(1)求相，九的值；

解；由題意得幾+1=3,m4-1=0,解得幾=2,m=—1.

(2)若該方程的解是x=3,求t的值；

解：由(1)得n=2,m=-1,所以原方程為—x-+4=0.將x=3代入

得，-3-3t4-4=0,所以￡=：.

?5

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7數(shù)上練技巧

(3)若該方程的解是正整數(shù)，求整數(shù)￡的值.

解：因為n=2,m=-l,所以原方程為一%-比+4=0,所以x=因為￡是整數(shù)，x是正

整數(shù)，所以￡+1=1,2,4,所以￡=0,1,3.

7解的個數(shù)問題

4.已知關(guān)于x的方程4+3ax=2a-7有唯一解，關(guān)于y的方程2+y=(b+l)y無解，判斷關(guān)于

z的方程az=b的解的情況.

解：關(guān)于%的方程4+3ax=2a-7可以整理為3ax=2a—11.因為關(guān)于x的方程4+3ax=2a

-7有唯一解，所以QH0.關(guān)于y的方程2+y=(b+l)y整理得by=2.因為關(guān)于y的方程2+y

=(b+l)y無解，所以b=0,則關(guān)于z的方程az=8可解得z=g,所以z=0,即關(guān)于z的方程az

=h有唯一解，為，=0.

解的個數(shù)問題

三種形式:

0-x=0,方程有無數(shù)個解;

0,%=非零的數(shù)，方程無解;

非零的數(shù)?X-常數(shù)，方程有唯一解.

5.已知關(guān)于x的方程(a-+4b=0為一元一次方程，且該方程的解與關(guān)于x的方程

片=1+1的解相同.

(1)求a,b的值；

解：因為關(guān)于x的方程(a-2)01+4b=0為一元一次方程，所以|a|-1=1,。一2二0,解

得Q=-2.當(dāng)Q=-2時，方程為-4%+4匕=0,解得x=b.又因為兩個方程同解，所以

—3=2—+1,解得b=l.

(2)若關(guān)于y的方程|m-1匹+幾=a+1+2by有無數(shù)個解，求m,幾的值.

解：把a=-2,b=1代入-l|y+n=a+1+2by,可得

|m-l|y+n=-1+2y,變形得-1|-2)y=-n-1.因為關(guān)于y的方程

-l|y+九=Q+1+2by有無數(shù)個解，所以-1|-2=0,-九一1=0,所以

m=3或一1,n=—1.

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7數(shù)上練技巧

3,方程的應(yīng)用一動點問題

8距離問題

1.本數(shù)軸上，點4在原點的左側(cè)，點B在原點的右側(cè)，點4距離原點12個單位長度，點B距離

原點2個單位長度.

(D點A對應(yīng)的數(shù)為____，點8對應(yīng)的數(shù)為一,兩點之間的距離為一;

解；因為點4在原點的左側(cè)，距離原點12個單位長度，所以點/對應(yīng)的數(shù)為-12,

同理可得點B對應(yīng)的數(shù)為2,所以4B兩點之間的距離為2-(-12)=2+12=14,

故答案為-12,2,14.

(2)若點P為數(shù)軸上一點，且8P=2,求4P的長；

解：分兩種情況：①當(dāng)點P在點8的右側(cè)時，AP=AB+8P=14+2=16；②

當(dāng)點尸在點B的左側(cè)時，4P=48-8。=14-2=12.綜上，4尸的長是16或12.

(3)若點N,Q,M同時向數(shù)軸負方向運動，點N從點4出發(fā)，點Q從原點出發(fā)，點M從點B出

發(fā)，且點N的運動速度是每秒6個單位長度，點Q的運動速度是每秒8個單位長度，點M的運

動速度是每秒2個單位長度.運動過程中，當(dāng)其中一個點與另外兩個點的距離相等時，求這時

三個點對應(yīng)的數(shù)各是多少.

解：設(shè)運動的時間為￡秒，則動點N,Q,M對應(yīng)的數(shù)分別為-12-6￡,-8t,

2-2￡.分三種情況：①當(dāng)NQ=QM時，一8￡-(一12-6￡)=2-2￡-(一&),所

以t=此時，點可對應(yīng)的數(shù)為一12-6乂9=一195點。對應(yīng)的數(shù)為

44

-8x：=-10,點M對應(yīng)的數(shù)為2-2x)=-0.5.

44

②當(dāng)NQ=NM時，-12-6￡-(-8。=2-2t一(一12-6。，所以￡=一13(舍).

③當(dāng)MN=MQ時，可得(2-2t)-(-12-6t)=(2-2t)-(-8t),解得t=6,

此口寸N點對應(yīng)的數(shù)為-12—6x6=-48,Q點對應(yīng)的數(shù)為一8x6=-48,M點對

應(yīng)的數(shù)為2—2x6=-10.

綜上，點N對應(yīng)的數(shù)為-19.5,點Q對應(yīng)的數(shù)為-10,點例對應(yīng)的數(shù)為-0.5或點N對

應(yīng)的數(shù)為-48,點Q對應(yīng)的數(shù)為-48,點M對應(yīng)的數(shù)為-10.

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7數(shù)上練技巧

距離問題

1.表示終點:起點位置表示的數(shù)為劭，終點位置表示的數(shù)為劭士區(qū)（”表示運動速度，￡表示運

動時間，向右為加，向左為減）.

2,求距離:①相對位置確定時距離=右邊的點表示的數(shù)-左邊的點表示的數(shù)；

②相對位置不確定時:距離=|b-a|（Q”分別表示始點與終點所表示的數(shù)）.

3.解方程.

相遇問題

1.表示終點:起點位置表示的數(shù)為劭，終點位置表示的數(shù)為劭士"表示運動速度，￡表示運

動時間，向右為加，向左為減）；

2.求距離:兩點同時相向出發(fā)，相遇時,Si+S2=起始位置之間的距離，即+u2t=\aQ-b0\；

3.解方程.

9相遇問題

2.數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點48表示的數(shù)分別為%b,則4B兩點之間

的距離表示為48=口一外如：點4表示的數(shù)為2,點8表示的數(shù)為3,M=|2-3|=1.

（D問題提出：填空：如圖，數(shù)軸上點4表示的數(shù)為-2,點8表示的數(shù)為13,4,8兩點之間

的距離4B=—,線段的中點表示的數(shù)為

---A??B?A

-2013

解：因為點人表示的數(shù)為一2,點B表示的數(shù)為13,所以AB=|13-（-2）|=15,線段AB的中

點表示的數(shù)為等=￡.故答案為15,青

（2）拓展探究：在（1）的條件下，若點P從點4出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向

右運動，同時點Q從點B出發(fā),以每秒2個單位長度的速度向左運動.設(shè)運動時間為￡秒?>0）.

①用含￡的式子表示：￡秒后，點P表示的數(shù)為，點Q表示的數(shù)為；

解析：t秒后，點P表示的數(shù)為—2+33點Q表示的數(shù)為13—2￡.故答案為—2+3313—2t.

②求當(dāng)￡為何值時，P,Q兩點相遇，并寫出相遇點所表示的數(shù).

解：根據(jù)題意得一2+31=13-2t,解得t=3,相遇點所表示的數(shù)為一2+3x3=7.

所以當(dāng)￡為3時，P,Q兩點相遇，相遇點所表示的數(shù)是7.

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7數(shù)上練技巧

（3）類比延伸：在（2）的條件下，如果P,Q兩點相遇后按照原來的速度繼續(xù)運動，當(dāng)各自

到達線段48的端點后立即改變運動方向，并以原來的速度在線段48上做往復(fù)運動，那么再經(jīng)

過多長時間P,Q兩點第二次相遇？請求出此時相遇點所表示的數(shù).

解：由已知得點P