第一節 實數-2026年中考數學一輪復習（解析版）

模塊一教與式

第一講實數

知識梳理夯實基礎

知識點1:實數的分類

正整數

整數零?"無理數的幾種常見形式？

有理數負整數

!⑴開方開不盡的數的方根，如行，正，JH等；!

實數正分數’及化簡后含的數；

分數有限小數或無限循環〃數|(2)Jin

負分數-(3)構造型的數，如0.1()100100()1…(相鄰兩個!

|1之間依次多一個0)等；

無理數負無理數無限不循環小數I

:(4)某些三角函數值，如sin60s,cos450等.

‘正實數!?

實數零J

負實數

知識點2:實數的相關概念

］、數軸

(1)數軸的三要素：原點、和。例:

原點正方向

-4-3-2-1014

單位長度

(2)實數和數軸上的點。

2、相反數

(1)定義：只有不同的兩個數互為相反數。

(2)。的相反數是,特殊地，0的相反數是—o

(3)實數〃，Z?互為相反數=〃+/?=()。

(4)互為相反數的兩個數在數軸上對應的點到原點的距離

3、絕對值

(1)定義：在數軸上，表示數〃的點到的距離，叫做數。的絕對值,

記作時O

(〃>。)

若。20,則史

(2)時=?(〃=())

若4SO,則同二

(〃<0)

4、倒數

(1)定義：如果兩個實數的乘積為,那么這兩個實數互為倒數。

(2)實數明〃互為倒數＜=＞訪=1。

(3)非零實數。的倒數為，0沒有倒數，倒數等于它本身的數

是O

知識點3:科學計數法

科學記數法的表示形式為,其中1引4＜10,〃為整數。

用科學記數法表示絕對值較大的數：當原數的絕對值大于等于10時，n等

于原數的整數位數減去1;

用科學記數法表示絕對值較小的數：當原數的絕對值小于1時，n是一個

負整數，它的絕對值等于原數左起第一個非零數字前面零的個數（含整數位上的

零）。

■aaaaaaI

I溫馨提示：

j將含有計數（量）單位的數字用科學記數法表示時,應先把計數單位轉化為數字，I

!把計量單位轉化為題目要求的單位，再用科學記數法來表示。常考的計數單位j

I有：1千二10,，1萬二10,，1億=1（）8；常考的計量單位有：lmm=10*m,l///n=10~6/n,j

|l〃〃z=10一"〃2等。.

知識點4:近似數

1、定義：一個與很接近的數叫做近似數。

2、精確度：一般日“四舍五入”法取近似數，“四舍五入”到哪一位，就說

這個近似數精確到哪一位。

知識點5:平方根、算術平方根與立方根

名稱定義性質

一般地，如果一個數的

一個正數。的平方根有兩個，它們互

平方等于。（〃之0）,那么

平方根為__________；0的平方根是0；負數沒有平

這個數就叫做。的平方

方根。

根。

算術平當。之0時,是有意義的，一個正數的算術平方根是一個正數;0的算術

方根它表示〃的算術平方根.平方根是____，即C二—0

一般地，如果一個數的正數的立方根是一個正數；負數的立方根是

立方等于。，那么這個數一個負數；0的立方根是0。立方根具有唯一

就叫做。的立方根.性。

易失分點&的“雙重非負性”

右具有雙重非負性:①被開方數a必須是非負數，即。幺）；②&是非負數，即

4a20。

知識點6：實數的運算

1、加、減、乘、除、乘法的運算法則

(1)加法法則：

同號兩數相加，取與加數相同的符號，并把絕對值相加；

絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕

對值減去較小的絕對值，互為相反數的兩數相加和為零；

一個數與零相加，仍得這個數。

(2)減法法則：

減去一個數，等于加上這個數的相反數。

(3)乘法法則：

兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對喧相乘；

任何數與。相乘仍得0。

(4)除法法則：

除以一個不為0的數，等于乘以這個數的倒數。

(5)幾種常見的運算：

乘方：an=a-aaIn個“相乘)

零次累：任何非零數的零次寨都為1,即a°=l(a，O)

T的奇、偶次霖:T的偶次黑為1,奇次嘉為-1。

負整數指數累：任何不為零的數的-p(p為正整數)次嘉，等于這個數p次嘉的倒

數；特別地，一個不為零的數的-1次嘉是其倒數。即。心=4(。=0，〃為正

a

整數)，

2、運算律：.

(1)加法運算律

加法交換律：a+h=b+a;

加法結合律：(〃+〃)+c=a+(〃+c)o

⑵乘法運算律

乘法交換律：ab=ba;

乘法結合律：?c=a?(be)；

分配律：a(Z?+c)=a/?+ac。

3、實數的混合運算順序

(1)計算每一小項的值(如零次幕、負整數指數轅、開方、絕對值、乘方等)；

(2)根據原式中的運算符號進行實數的混合運算(先乘除，后加減，有括號的先算

括號內的，同級運算按照從左到右的順序進行)；

⑶寫出算式的結果。

知識點7：實數的大小比較

數軸法將兩個數表示在同一數軸上，右邊點表示的數總比左邊點表示的數大。

正數大于0,0大于負數，正數大于一切負數；兩個負數比較大小，絕對值大

類別法

的反而小。

設是兩個任意實數，則〃一6>()=々>/?；a-b=O<^>a=b\

差值法

a-h<0<=>a<h

平方法若心b20,則右〉6（用于二次根式的估值及含有根式的實數的大小比較）.

作商法若b>0,則a>b；若b<0,則水b.

h

估算法對任意兩個正實數a,b,先估算出a,匕兩數的范圍，再進行比較.

把要比較的兩個數進行適當放大或縮小，使復雜的問題得以簡化，來達到比較

放縮法

兩個實數大小的目的.

直擊中考勝券在握

31

-----7t-----

1.實數tan45。，V8,0,5,炳,3,sin600,0.3131131113...（相鄰兩個3之間

依次多一個1）,其中無理數的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

試題分析：掌握無理數的三種形式：①開方開不盡的數，②無限不循環小數，③含有71

的數，結合題意判斷即可.根據無理數的定義可得無理數有：-，，sin60%

0.3131131113...（相鄰兩個3之間依次多一個1）,共3個

考點：無理數

2.（2021?山東?膠州市初級實驗中學一模）網的相反數（）

A.2B.-2C.±2D.g

【答案】B

【分析】

先計算出阪=2,再求出2的相反數即可.

【詳解】

解：自癢2,2的相反數是-2,

團相的相反數是-2,

故選：B.

【點睛】

此題主要考查了立方根和相反數，求出酶=2是解答此題的關鍵.

3.（2021?廣東?珠海市文園中學三模）實數-3的絕對值是（）

A.-3B.+3C.3D.--

3

【答案】C

【分析】

直接利用絕對值的性質分析得出答案.

【詳解】

解：實數-3的絕對值是3.

故選：C.

【點睛】

此題主要考查了絕對值，正確掌握絕對值的性質是解題關鍵.

4.（2019?山東?寧津縣育新中學七年級階段練習）下列說法①-5的絕對值是5；（2）-1

的相反數是1；③。的倒數是0；④64的立方根是±4,⑤g是無理數，⑥4的算術平方

根是2,其中正確的個數為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

根據絕對值、相反數、倒數、立方根、無理數、算術平方根的概念及性質逐一進行分析即

可得.

【詳解】

①-5的絕對值是5,正確；②-1的相反數是1,正確；③0沒有倒數，錯誤；④64的

立方根是4,錯誤，⑤g不是無理數，是有理數，錯誤，⑥4的算術平方根是2,正確，

故選B.

【點睛】

本題考杳了絕對?值、相反數、倒數、立方根、無理數、算術平方根等，熟練掌握各相關概

念以及性質是解題的關鍵.

5.（2022?全國?九年級專題練習）下列各數：-4,-2.8,0,|-4|,其中比-3小的數是

（）

A.-4B.|-4|C.0D.-2.8

【答案】A

【分析】

根據正數比負數人，正數比。人，負數比。小，兩個負數中，絕對值人的反而小解答即

可.

【詳解】

解：能1-40=4,4>3>2.8,

（2-4<-3<-2.8<0<（3-40,

回比-3小的數為-4,

故選：A.

【點睛】

本題考查有理數大小比較，熟知有理數的比較大小的法則是解答的關鍵.

6.（2020?陜西?一模）■三的立方根是（）

9

D.——

16

【答案】A

【分析】

如果一個數x的立方等于。，那么x是。的立方根，根據此定義求解即可.

【詳解】

644x4x4I4）II4J

回--3的立方等于-7三7

464

回-2三7的立方根等于-工3

644

故選A.

【點睛】

此題主要考查了一個數的立方根，解題時先找山所要求的這個數是哪一個數的立方，由于

開立方和立方是互逆運算，用立方的方法求這個數的立方根.需要注意的是立方根與原數

的性質符號相同.

7.（2021?四川涼山?中考真題）商的平方根是（）

A.±3B.3C.9D.±9

【答案】A

【分析】

先求得如=9,再根據平方根的定義求出即可.

【詳解】

而=9,

9的平方根是±3,

故選A.

【點睛】

本題考查了算術平方根的定義，求一個數的平方根，能熟記算術平方根的定義的內容是解

此題的關鍵.

8.（2021?內蒙古赤峰?中考真題）實數a、b、c在數軸上對應點的位置如圖所示.如果

。+〃=0,那么下列結論正確的是（）

---------1---------------；——1----------?

abc

A.同>同B.a+c<0C.abc<0D.=1

【答案】C

【分析】

根據a+b=0,確定原點的位置，根據實數與數軸即可解答.

【詳解】

解：國a+b-O,

回原點在。，b的中間，

如圖，

---------1---------------!——'----------?

abc

由圖可得：|a|V|c|,a+c>0,abc<0t￡=一1,

故選：C

【點睛】

本題考查了實數與數軸，解決本題的關鍵是確定原點的位置.

9.下面不等式正確的是（）

C.(—8)2<(—7)2D.-0.91<-I.l

【答案】B

【分析】

根據正數大于負數、兩負數相比較，絕對值越大則值越小，結合選項即可作出判斷.

【詳解】

解：A、|42|<|-34|,故《9>-3=，故本選項錯誤；

3434

13j3

B、—<—?故|-二IVI-77I,故本選項正確；

611

C、(-8)2=64,(-7)2=49,故(-8)2>(-7)2,故本選項錯誤；

D、|-0.91|=0.91,|-1.1|=1.1,0.9K1.1,故故本選項錯誤.

故選B.

【點睛】

此題考查了有理數的大小比較，屬「基礎題，解答本題的關鍵是掌握正數大于負數、兩負數

相比較，絕對值越大則值越小，難度一般.

10.（2019?天津濱海新?中考模擬）若2=回，b=|-6|,c=則下列關系正確的為（）

A.a>h>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a

【答案】C

【解析】

【分析】

先估算出病和病的取值范圍，再進行比較即可得答案.

【詳解】

025<30<36,

05<V30<6,HP5<a<6,

0b=H,

13b=6,

064<65<125,

04<^65<5,即4<c<5,

0b>a>c,

故選C.

【點睛】

本題主要考查無理數的估算，熟練掌握估算方法是解題關鍵.

11.（2019?福建南安?中考模擬）已知”=4+2石，則以下對|m|的估算正確的（）

A.2<|m|<3B<3<|m|<4C<4<|m|<5D.5<|m|<6

【答案】A

【分析】

首先根據完全平方根式，將m2展開可得m的絕對值的大小.

【詳解】

：0m2=4+273=（5/3+1）2,

團m=±（5/3+1）,

即m|=6+l，

01<73<2,

02<|n?|<3.

故選4.

【點睛】

本題主要考查學生的的完全平方展開式的用法，關鍵在于將實數分成兩個數的平法和.

12.設a為最小的正整數，b是最大的負整數，c是絕對值最小的數，d是倒數等于自身的

有理數，則a?b+c?d的值為（）

A.1B.3C.1或3D.2或-1

【答案】C

【解析】解：由題意得，。=1,b=T,c=0,d=±l,

當c/=l時，—￡/=1—（—1）+0—1=1,

當d=—1時，a—力+c—"=1—（-1）+0—（-1）=3,

故選Co

13.（2020濱州中考）冠狀病毒的直徑約為80?120納米，1納米==1.Ox109米，若用科

學記數法表示110納米，則正確的結果是（）

A.1.1x10-9米B.LlxlCr8米c.1.1x10-7米D.1.以10.6米

【答案】C

【分析】

絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為axio-n,與較大數的科學記

數法不同的是其所使用的是負整數指數累，指數n由原數左邊起第一個不為零的數字前面

的0的個數所決定.

【詳解】

解：110納米=110x109米=1.1X107米

故選：C.

【點睛】

本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為axion,其中14|a|V10,n為由原數左

邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定.

14.第七次全國人口普查結果顯示，我國具有大學文化程度的人口超218000000人.數據

218000000用科學記數法表示為（）

A.218xl（rB.21.8x107C.2.18x10sD.0.2l8xl09

【答案】C

【分析】

用科學記數法表示較大的數時，?般形式為axIO”，其中1引《＜10,。為整數，據此判斷

即可.

【詳解】

解：218OOOOOO=2.18xl（）x,

故選：C.

【點睛】

此題主要考查了用科學記數法表示較大的數，一般形式為axicr,其中1引4＜10,確定a

和〃的值是解題關鍵.

15.（2021?江蘇儀征?八年級期中）下列說法正確的是（）

A.近似數4.80精確到十分位

B.近似數5000萬精確到個位

C.近似數4.5T萬精確到0.01

D.L15X104精確到百位

【答案】D

【分析】

一個近似數四舍五入到哪一位，那么就說這個近似數精確到哪一位，帶有單位的近似數與

用科學記數法表示的近似數要由最后一位在原數中的位置確定，再逐一分析各選項從而可

得答案.

【詳解】

解：近似數4.80精確到百分位，故A不符合題意；

近似數5000萬精確到萬位，故B不符合題意；

近似數4.51萬精確到口位，故C不符合題意；

1.15x104精確到百位，正確，故D符合題意；

故選D

【點睛】

本題考查的是近似數的精確度問題，掌握近似數的精確度是解本題的關鍵.

16.（2021?山東膠州?八年級期中）比較大小：1一匕叵.（用”＞〃，"V"或”=〃填空）

33

【答案】＞

【分析】

先求出而＞3,然后利用作差法得到2-紀叵=姮匚＞0,即可得到答案.

333

【詳解】

解：032=9＜（VH）2=11,

團招＞3，

⑸25-VHVH-3

團---------=-------＞0N?

333

團2＞百

33

故答案為：>.

【點睛】

本題主要考查了實數比較大小，解題的關鍵在于能夠熟練掌握實數比較大小的方法.

17.（2021?浙江?杭州第十四中學附屬學校八年級階段練習）若實數a,b互為相反數，c,

d互為倒數，e是疝的整數部分，，是石的小數部分，則代數式7^拓+&-?+/的值

是.

【答案】4-

【分析】

根據互為相反數、互為倒數、無理數的整數部分、小數部分的意義求解即可.

【詳解】

解.：團實數。、b互為相反數，

國a+b=0,

比、d互為倒數，

E）cd=l,

03<Vi2<4,

回屈的整數部分為3,e=3,

02〈百V3,

同石的小數部分為6-2,即「6-2,

+b+\[cd-e+f=0+1-3+>/5-2=

故答案為：4-75.

【點睛】

本題考查相反數、倒數、無理數的估算，掌握相反數、倒數的意義，以及無理數的整數部

分、小數部分的表示方法是解決問題的關鍵.

18.（2021?全國?八年級專題練習）在如圖所示的數軸上，點C與點B關于點A對稱，C、A

兩點對應的實數分別是石和1,則點B對應的實數為

B.4C

0145

【答案】2-石

【分析】

根據對稱的意義得到AC=AB=V5-1,可得答案.

【詳解】

解：回點C與點B關于點A對稱，AC=>/5-l,

0AB=75-1,

團點B對應的數是1-（石-1）=1-石+1=2-6

故答案為：2-石.

【點睛】

本題考查了實數與數軸，利用AB=AC得出點B對應的實數是解題關鍵.

19.（2021?四川廣元?中考真題）如圖，實數屈,m在數軸上所對應的點分別為

A,8,C,點6關于原點。的對稱點為。.若m為整數，則m的值為.

??????A

DCAOB

【答案】-3

【分析】

先求出D點表示的數，再得到m的取值范圍，最后在范圍內找整數解即可.

【詳解】

解：回點8關于原點。的對稱點為。，點8表示的數為相，

回點。表示的數為-歷，

購點表示-岳，C點位于4、。兩點之間，

團-\[\5<m<-5/5，

團m為整數，

例m=—3:

故答案為：-3.

【點睛】

本題考查了數軸上點的特征，涉及到相反數的性質、對無理數進行估值、確定不等式組的

整數解等問題，解決本題的關鍵是牢記相關概念和性質，本題蘊含了數形結合的思想方

法.

20.（2021?江蘇涕陽?七年級期中）數軸上有兩個實數a,b,且a>0,b<0,a+b<0,則四

個數a,b,?a,-b的大小關系為一（用“V”號連接）.

【答案】b<-a<a<-b

【分析】

根據a與b的關系，在數抽上表示它們的位置，然后根據在數軸上右邊的數比左邊的數大

解答即可.

【詳解】

國a>0,b<0,a+bVO,

團四個數a,b,?a,-b在數軸上的分布為:

b-a0a-b

0b<-a<a<-b.

故答案為b<-a<a<-b.

【點暗】

本題考查了相反數在數軸上的分布特點，實數與數軸的關系，以及利用數軸比較實數的大

小，根據a與b的關系，在數軸上表示它們的位置是解答本題的關鍵.

21.（2021?麗水中考）計算：|一2021|+（-3）°-〃.

【答案】2020

【分析】

先計算絕對值、零指數呆和算術平方根，最后計算加減即可；

【詳解】

解：|-2021|+（-3）0-^

=2021+1-2,

=2020.

【點睛】

本題主要考查實數的混合運算，解題的關鍵是掌握實數的混合運算順序及相關運算法則.

22.（2021?金華）計算：喜-4疝145。+|-2|.

【答案】1

【分析】

利用乘方的意義，二次根式的化簡，特殊角的函數值，絕對值的化簡,化簡后合并計算即可

【詳解】

解：原式=-1+2&-4x變+2

2

=-1+20-20+2

=1.

【點睛】

本題考查了二次根式的化簡，特殊角的三角函數值，絕對值的化簡等知識，熟練運用各自的運

算法則化簡是解題的關鍵.

23.（2021?全國?九年級專題練習）計算：|1一正|-241145'+（3.14-九）“一0"、.

【答案】-4

【分析】

根據絕對值的性質，特殊甬的三角函數值，零次累，負整數指數系進行運算即可.

【詳解】

|1-V2|-2sin45°+（3.14-^）°一（：

=V2-l-2x—+1-4

2

=72-1-72+1-4

=-4

【點睛】

本題考查了絕對值的性質，特殊角的三角函數值，零次幕，負整數指數第，熟知以上運算

是解題的關鍵.

24.（2019?四川達州?中考真題）a是不為1的有理數，我們把」一稱為a的差倒數，如2

1-a

的差倒數為」=-1,T的差倒數了4不=；,已知4=5,%是4的差倒數，的是用的差

1-2?一2

倒數，處是勺的差倒數”依此類推，a2。力的值是（）

【答案】D

【分析】

根據差倒數的定義分別求出前幾個數便不難發現，每3個數為一個循環組依次循環，用

2019除以3,根據余數的情況確定出與出oi9相同的數即可得解.

【詳解】

解：*/?|=5,

I4

回數列以5,一^三個數依次不斷循環,

2019+3=673,

4

?'??2oi9=?5=-

故選D.

【點睛】

本題是對數字變化規律的考查，理解差倒數的定義并求出每3個數為一個循環組依次循環

是解題的關鍵.

25.觀察下列等式：

211

第一個等式：

1l+3x2+2x2?2+12?+l'

________2______