2026高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（湘教版）教材拓展6 平面向量與三角形“四心”

教材拓展6平面向量與三角形“四心”

在三角形中，重心、內(nèi)心、垂心和外心簡稱“四心”，它們與向量知識(shí)的整

合，既自然又表達(dá)形式多樣，在新高考試題中，總會(huì)出現(xiàn)一些與“四心”相關(guān)的

既新穎又別致的試題，不僅考查了向量的表示與運(yùn)算、性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，而且培養(yǎng)

了考生“以向量為工具”的邏輯推理能力.

題型一平面向量與三角形的重心

更?已知點(diǎn)O為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足而=耐+從而+

前）（420）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△43C的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.垂心D.重心

答案：D

解析：因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)戶滿足加=耐+2（荏+冠）（220）,所以而=2（荏+前），取8C

中點(diǎn)。（圖略），則而=2/方，則動(dòng)點(diǎn)。的軌跡一定過△力8C的重心.故選D.

-規(guī)律方法?

設(shè)。是AABC的重心,P為平面內(nèi)任意一點(diǎn),則有以下結(jié)論:①耐+而+而=0；

②而卻同+而十方）；③動(dòng)點(diǎn)P滿足而=4頌+AC）S&OP=OA+/.（AB+照），&[0,

+oo）,則動(dòng)點(diǎn)P經(jīng)過三角形的重心.

對(duì)點(diǎn)練1.（2025?陜西渭南期末）如圖所示，△43C中G為重心,P。過G點(diǎn),布=掰荏

，AQ=nAC,則壯________.

inn--------

答案：3

解析:設(shè)四”近見根據(jù)題意，而=1前=1@荏+g啟）f邛；因?yàn)楹?〃?被

AQ=nAC,P,G,。三點(diǎn)共線，則存在；，使得可=2萬，即互■而成刀■明,

即nh-ma=X（^a4--ma）=Q-加卜*所以］43整理得

（『，

3mn=m+n,所以Li=3.

mn

題型二平面向量與三角形的垂心

典例?已知。是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P

滿足而=畫+乂肅+肅），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△力的（）

A.重心B.外心

C.垂心D.內(nèi)心

答案:C

解析：A-成吒器+孺—

4P=4￡：S8?/s）

所以近萬=2（匣麗+處市）

\\AB\cosB\AC\cosCj

（麗麗|cos（R-B）?回國cosQ

\\AB\cosB|JC|cosC/

=2（■國|+］麗尸0,所以阮，萬，所以動(dòng)點(diǎn)尸在BC的高線上，動(dòng)點(diǎn)。的軌跡一

定通過A48C的垂心.故選C.

-規(guī)律方法?

設(shè)。是。的垂心，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下結(jié)論：

①U7?而二布?沃=瓦?刀；?\OA\2+\^\2=\OB\2+\^\2=\OC\2+\AB\2；③動(dòng)點(diǎn)。滿

足通=4爵+熹）或訶=畫+從肅+蒜），&R，則動(dòng)點(diǎn)「經(jīng)過三角

形的垂心.

對(duì)點(diǎn)練2.⑴。是△48C所在平面上一點(diǎn),若瓦麗=麗?麗=正?麗,則P是A4BC

的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

(2)已知△/8C的垂心為點(diǎn)。面積為15,且418c=45。，則前尻=；若

貝！］網(wǎng)=.

答案：(1)D⑵305

解析：(1)由麗?麗=麗?無，得麗?麗-前同=0,即麗?(麗-麗)=0,即而a=0,

貝！1P3_LC4同理可證以18C,PCLAB,所以。為A/iBC的垂心'.故選D.

(2)如圖，/“是aXBC的BC邊上的高，貝!J而證=0；設(shè)而=7萬7,因?yàn)橐?8c=45。,

面積為15,所以三明國而45。=15,即

忸了||近|=30&；BDBC=(BA+AD\BC=(BA+AAH)BC=BABC=

|瓦磯府|cos45。=30.由第一空可知前阮=30,所以

前?沃=6瓦？+［前)就三瓦?由￡前2=30,所以前2=45,由|瓦研配|=30匹

可得忸H=2?U,即瓦*=40.因?yàn)榍癢瓦?《說，所以

BD2=^BA2-^BC2-^10+5+10=25,所以|而|=5.

1?O

題型三平面向量與三角形的內(nèi)心

典例?在ZUBC中，I荏1=3,I而1=2,AD=iAB-^AC,則直線力。通過A43c

的)

A.重心B.外心

C.垂心D.內(nèi)心

答案：D

解析：由題知，I|福W|河M.設(shè)荏WAB,而3AC.則|福=|麗.因?yàn)槎鳺

AB-^AC=AE^AF,所以/。平分即/。平分4陽C,所以直線力。通過

△J8C的內(nèi)心.故選D.

學(xué)生用書■第165頁

?規(guī)律方法?

設(shè)。是△48C的內(nèi)心，尸為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則有以下結(jié)論：

?\AB\dC+\BC\OA+\CA\OB=0（^aOA^bOB^cOC=^,其中%b,c分另!J是△18。

的三邊8GAC.48的長）；②動(dòng)點(diǎn)。滿足麗今（篙喘）或而=瓦稔?《爵+1），

加[0,+8）,則動(dòng)點(diǎn)尸經(jīng)過三角形的內(nèi)心.

對(duì)點(diǎn)練3.⑴若及其內(nèi)一點(diǎn)。滿足關(guān)系式:SBORCOA+S^OAC0B+S^OAB,0C=0,

即為經(jīng)典的“奔馳定理”若ZU8C的三邊為明b,c,有a而+c?玩=0,

則。為）

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

（2）在△48C中，AB=5,AC=6,cosA=^,。是A48C的內(nèi)心，若OP=xOB+yOC,

其中X,ye[0z1],則動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡所覆蓋圖形的面積為（）

A10V6c14n

A.——B.--

33

C.4>/3D.6V2

答案:（1）B（2）B

解析：（1）因?yàn)辂?耐+而，OC=dA+AC,a^+hOB+c:OC=aOA+h（pA+

福）+c（65+福=（a+b+c）?函+〃?荏+c充=0,所以加^^工（年+牛），因?yàn)楣?/p>

,牛分別是萬，前方向上的單位向量，所以向量曾平分4B力C即力。平分

bC0

乙BAC,同理40平分ZJ8C,所以。為△48。的內(nèi)心故選B.

（2）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡是以08,。。為鄰邊的

平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為△4OC面積的2倍在&44。中，設(shè)內(nèi)角4B,

。所對(duì)的邊分別為明b,c,由余弦定理*="+/_2〃ccos/,得〃=7.設(shè)△/BC

的內(nèi)切圓的半徑為乙則/csin/JS+b+c）,,解得尸孚，所以

5.W>"廣^7乂孚=陪故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2s△心手.故

選B.

題型四平面向量與三角形的外心

典例E］設(shè)P是44BC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若麗?（而+85）=2麗而且麗2=前2_

WCAP,則點(diǎn)尸是△為8。的（）

A.外心B.內(nèi)心

C.重心D.垂心

答案:A

解析:由方?（而+CA）=2ABCP^^AB^（CB+CA-2而）=0,即四［（而-CP）-（CA

-麗）］=0,所以而?（而+刀）=0,（麗-西?（而+麗=0,\PB\=\PA\.^AB2=AC2

?2瓦?而，得（而+乃?（前?尼）=-2瓦?麗，即麗?（荏+元）=2而?而，同理

可得，兩|=|府.所以|西=|而|=|耳，所以點(diǎn)。是△48。的外心.故選A.

?規(guī)律方法?

設(shè)。是△/灰:的外心，則有以下結(jié)論：①|(zhì)而|=|而H沆1=0不與石2=灰2；

②畫+函?而=（而+OCyBC=（OA+~OC）?格0；③若

（OA+OB）AB=（OB+OC）BC=（OC+^4）C4=0,則O是△NBC的外心.

對(duì)點(diǎn)練4.（1）已知點(diǎn)G是A4BC內(nèi)任意一點(diǎn)，若點(diǎn)D是想BC的底邊BC的中點(diǎn),

^^GDGB=GDGC,則點(diǎn)G可能通過△"（?的（填：重心、內(nèi)心、垂心

或外心）.

（2）在中，AC=2>/7,。是△"C的外心，M為5c的中點(diǎn)，ABAO^,N

是直線OM上異于M、O的任意一點(diǎn)，則而尻=（）

A.3B.6

C.7D.9

答案：⑴外心（2）B

解析：（1）由而?旗=而覺=而赤-GDGC=O^GD（GB-元）=0=而標(biāo)=0,所

以點(diǎn)G可能通過的外心.

（2）因?yàn)椤Ｊ恰鰽BC的外心，”為BC的中點(diǎn)，設(shè)力。的中點(diǎn)為。連接OD,所

LUOMA.BC,ODLAC,設(shè)而=/1麗，則麗阮=（彩+麗）前=同阮

+/.而阮=萬阮=布?（雨+而）=而?或+而?冠=-AOAB-VAOAC,又。是

△H3C的外心，所以而就=|彩||旅|COSNCZO=（|Z研coszC4O）|公卜

||^C|2=ix（2V7）2=14,所以麗阮=-AdAB+AdAC=-8+14=6.故選B.

對(duì)點(diǎn)練5.（多選）（