中考數學基礎知識純理論

代

數

部

分

根底知識完整版

有理數

m

有理數：整數和分數統稱為有理數。有理數都可以表示為有限小數或無限循環小數，所有形婦三(m,n

為互質的整數，n#0)的數都是有理數。

⑴整數和分數統稱為有理數.正整數、0、負整數統稱整數；正分數、負分數統稱分數；整數和分數統稱

有理數.注意：0即不是正數，也不是負數；-a不一定是負數，+a也不一定是正數；冗不是有理數；

IF有理數!正整數正整數

止侶理效［正分數整數零

⑵有理數的分類：①有理數零②有理數.負整數

負有理數｛鬻得分數,正分數

負分數

數軸：數軸是規定了原點、正方向、單位長度的一條直線.

相反數：(1)只有符號不同的兩個數，我們說其中一個是另一個的相反數；0的相反數還是0：

(2)相反數的和為0oa+b=0oa、b互為相反數.

絕對值：數軸上表示某數的點離開原點的距離；

⑴正數的絕對值是其本身，0的絕對值是0,負數的絕對值是它的相反數；

a(a>0)八

(2)絕對值可表示為：同=0(a=0)或|a|=r\器*；絕對值的問題經常分類討論；

-a(a<0)「a’a)

有理數比大?。?1)正數的絕對值越大，這個數越大；(2)正數永遠比0大，負數永遠比0?。?3)正數

大于一切負數；(4)兩個負數比大小，絕對值大的反而??；(5)數軸上的兩個數，右邊的數總比左邊的數

大；(6)人數-小數>0,小數-大數<0.

互為倒數：乘積為1的兩個數互為倒數；注意：0沒有倒數；假設aWO,則〃的倒數是,；假設ab=l=a、

a

b互為倒數；假設ab=Toa、b互為負倒數.

有理數加法的運算律：

(I)加法的交換律:a+b=b+a；(2)加法的結合律：(a+b)+c=a+(b+c).

有理數減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數；即a-b=a+(-b).

有理數乘法法則：(1)兩數相乘，同號為正，異號為負，并把絕對值相乘；

(2)任何數同零相乘都得零;

(3)幾個數相乘，有一個因式為零，積為零：各個因式都不為零，積的符號由負因式的個數決定.

有理數乘法的運算律：

⑴乘法的交換律:ab=ba；(2'乘法的結合律:(ab)c=a(be)；

⑶乘法的分配律:a(b+c)=ab+ac.

有理數除法法則：除以一個數等于乘以這個數的倒數；注意：零不能做除數，即*無意義.

有理數乘方的法則：

(1)正數的任何次第都是正數；

(2)負數的奇次舞是負數；負數的偶次轅是正數；注意:當n為正奇數時：(-a)n=-a“或(a-b)n=-(b-a)n,

當n為正偶數時：或(a-b)n=(b-a)n.

乘方的定義：

(1)求一樣因式積的運算，叫做乘方；

(2)乘方中，一樣的因式叫做底數，一樣因式的個數叫做指數，乘方的結果叫做暴；

科學記數法：把一個大于10的數記成aX10"的形式，其中a是整數數位只有一位的數，這和記數法叫科

學記數法.小數的科學記數法：有了負整數指數靠后，小于1的上數也可以用科學記數法表示為。x1(T*的

形式，其中。是整數數位只有一位的正數，n是正整數。這種形式不僅便于記數，而且便于比擬數的大小。

近似數的準確位；一個近似數，四舍五入到那一位，就說這個近似數的準確到那一位.

有效數字：從左邊第一個不為零的數字起，到準確的位數止，所有數字，都叫這個近似數的有效數字.

混合運算法則：先乘方，后乘除，最后加減.

實數

無理數：無限不循環小數叫做無理數，無理數不能表示成分數的形式。如：口，及,-耶，-事……。

我們一股用以下兩種情況將實數進展分類：

西有愛M正分數

尸毗既碰

I正分數或賓數1。

i負分數伊玄■?十分效

了正無修1負實M貨無理效

I負無

實數及數軸上的點是一一對應的。每一個實數都可以用數軸上的一個點來表示；反之數軸上的每一個點又

都表示一個實數。

實數的相反數：如果a表示一個正實數，-a就表示一個負實數，又如果a表示一個負實數，則-a表示一

個正實數。a及-a互為相反數。Q的相反數仍是0。如“及-“，+及-幣,m及-m…均互為相反數。

實數的絕對值：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0。

例如，|-布|=#,|-n|=JT,|不|=/,|V2-布|=-(A/3)=◎…

注意：-a(a<0)是正數，

平方根：①如果一個正數X的平方等于A,則這個正數X就叫做A的算術平方根。②如果一個數X的平方

等于A,則這個數X就叫做A的平方根。③一個正數有2個平方根/()的平方根為0/負數沒有平方根。④求

一個數A的平方根運算，叫做開平方，其中A叫做被開方數。

立方根：①如果一個數X的立方等于A,則這個數X就叫做A的立方根。②正數的立方根是正數/0的立方

根是0/負數的立方根是負數。③求一個數A的立方根的運算叫開立方，其中A叫做被開方數c

二次根式

二次根式的意義

形如右(420)的代數式叫二次根式。二次根式&有意義，。的取值范圍是。20;當。<()時，右在實

數范圍內沒有意義。如:m20)等都是二次根式。

最筒二次根式

滿足以下兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：

(D被開方數的因數是整數，因式是整式；

(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

同類二次根式

幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數一樣，這幾個二次根式就叫做同類二次根式。

二次根式的主要性質

2

⑴(4a)=a(a>0)o

a(a>0)

(2)=|fz|=?0(。=0)

-a(a<0)

⑶y[ab=y[a-y[b(a>0,b>0).(b>0,a>0)

二次根式的運算

(1)因式的外移和內移

如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，則，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方

數是代數和的形式，則先分解因式;，變形為積的形式，再移因式到根號外面。反之，也可以將根號外面的

正因式，平方后移到根號里面去,

(2)有理化因式及分母有理化

兩個含有二次根式的代數式相乘，假設它們的積不含二次根式，則稱這兩個代數式互為有理化因式。

把分母中的根號化去，叫做分母有理化。

(3)二次根式的加、減法

先把二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式。

(4)二次根式的乘、除法

二次根式相乘(除)，把被開方數相乘〔除)，所得的積〔商)仍作積〔商)的被開方數，并將運算結

果化為最簡二次根式。

(5)有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律、結合律，乘法對加法的分配律，以及多項式的乘法公

式，都適用于二次根式的運算。

根式患S>(),〃>0)的化簡方法

(1)把、「化為坐，然后分母有理化為叵.

Vay/aa

(2)運用積的算術平方根的性質［Jab=da-yjb\a>(),/?>())］,二次根式的性質［籽=。(。20)］及

因式分解等知識化簡二次根式JR(K的值為大于或等于零的整式)。注意：K是多項式時要先分解因式，

K為整數時要先分解質因數

(4)利用(石)2=〃給多項式在實數范圍內分解因式。如:a2—b=(a+現—為大于零

的常數)

分母有理化的方法及技巧

分母有理化的關健是確定有理化i1式，其根本方法為：①根據(右)2=。(420)可知八的有理化因

式是土向②根據平方差公式，可知a±6的有理化因式為。干逐，力亦的有理化因式是

整式

單項式：如10()t、6a2、2.5x、vt.-n,它們都是數或字母的積，像這樣的式子叫做單項式，單獨的一個

數或一個字母也是單項式。

單項式的系數：單項式中的數字因數叫做這個單項式的系數。

例如：單項式lODt、vt、-n的系數分別是100、1、-lo

單項式的次數：一個單項式中，所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數。

例如：在單項式100t中，字母t的指數是1,100t是一次雙項式；在單項式vt中，字母v及t的指

數的和是2,vt是二次單項式。

多項式：如2x-3,3x+5y+2z,-i-ab-nr2,它們都可以看作兒人單項式的和，像這樣幾個單項式的和叫做

2

多項式。其中每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項。

例如：在多項式2x-3中，2x和-3是它的項，其中-3是常數項。

多項式的次數：多項式里次數最高項的次數，叫做這個多項式的次數。

例如：在多項式2x-3中，次數最高的項是一次項2x,這個多項式的次數是1；在多項式x?+2x+18

中，次數最高的項是二次項X2,這個多項式的次數是2。

整式：單項式及多項式統稱為整式。

例如：單項式100t、vt>-n,以及多項式2x-3,3x+5y+2z,，ab-nr?等都是整式。

2

同類項：在單項式3ab2及-4ab2,它們都含有字母a,b并且a都是一次，b都是二次，像3ab?及一4ab?

這樣，所含字母一樣，并且一樣字母指數也一樣的項想叫做同類，幾個常數項也叫做同類項。把多項式中

同類項合并成一項叫做合并同類項。

我們可以運用交換律、結合律、分配率把多項式中的同類項進展合并。

整式的加減

(1)整式的加減：幾個整式相加減，通常用括號把每?個整式括起來，再用加減號連接.整式加減的?

般步驟是：去括號合并同類項

(2)如果遇到括號.按去括號法則先去括號：括號前是“十”號，把括號和它前面的“+”號去掉。括

號里各項都不變符號，括號前是“一”號，把括號和它前面的“一”號去掉.括號里各項都改變符號.

(3)合并同類項：同類項的系數相加，所得的結果作為系數.字母和字母的指數不變.

整式的乘除

同底數箱的乘法：々3。"=”^,(叫n都是整數),即同底數暮相乘,底數不變，指數相加。

哥的乘方：(m,n都是整數)，即塞的乘方，底數不變，指數相乘。

積的乘方：(〃〃)“=〃》",In為整數)，即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的寤相

乘,

整式的乘法：(1)單項式的乘法法則：一般地，單項式相乘，把它們的系數、一樣字母的事分別相乘，對

于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數作為積的一個因式.

(2)單項式乘多項式法則：單項式及多項式相乘，就是根據乘法分配律，用單項式乘多項式的每一項，

再把所得的積相加。可用下式表示：成方卅加■mMa、b、。都表示單項式)

(3)多項式的乘法法則：多項式及多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再

把所得的積相加.

整式的除法：優'+優=/?"，(。工()，m,n都是正整數，并且小>〃)，即同底數晶相除，底數不變，

指數相減。

(1)任何不等于0的數的0次暴都等于L

(2)單項式相除，把系數及同底數累分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它

的指數作為商的一個因式。

(3)多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加。

分式

A

分式：一般地，如果A,B表示兩個整式，并且B中含有字母，則式子一叫做分式。其中A叫做分子，B

B

叫做分母。

A

分式的意義：當A和B都表示有理數且B不等于0時，則式子一表示一個分數。由于字母可以表示不同

B

的數，所以分式比分數更具有一般性。由于分式中的分母表示除數，而除數不能為0,所以分式中的分母

不能為0,即當BW0時，分式一才有意義。

B

分數的根本性質：分數的分子或分母同時乘以或除以一個不為0的數分數的值不變。

分式的根本性質：分式的分子及分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變。

用式子表示為

AA-C

AA-C?二C一上（CW0）,其中A,B,C是整式。

BB-CBB+C

X

分式的約分及最簡分式：及分數的約分類似，我們利用分式的根本性質，約去工的分子和分母的公

VI

因式X,不改變分式的值，使一一化為——，這樣的分式變形叫做分式的約分。經過約分后的分式

x：-lxx-2

―,其分子及分母沒有公因式，像這樣分子及分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式。分式的約分，

x-2

一般要約去分子和分母所有的公因式，使所得結果化為最簡分式或整式。

分式的通分及最簡公分母：及分數的通分類似，利用分式的根直性質，使分子和分母同乘適當的整式，不

改變分式的值，化成分母一樣的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分。為通分要先確定各分式的公分母,

一般取各分母的所有因式的最高次暴的積作公分母，它叫做最簡公分母。

分式的運算：

乘法法則：分式乘分式，川分了的積作為積的分了，分母的積作為積的分母。

除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，及被除式相乘。

aca?cacacada?d

—?—=———+—=—X—=

bdb?dbdbdbcb?c

在分式的計算中，運算結果應化為最簡分式，分子、分母是多項式時，先分解因式便于約分。

根據乘方的意義和分式乘法的法則，可得：

分式的乘方：一般地，當n是正整數時，（￡）"=/即分式的乘方要把分子、分母分別乘方。

分式的加減法法則：同分母分式巾加減，分母不變，把分子相加減。

異分母分式相加減：先通分，變為同分母分式，再加減。

a,ba±ba,ccid,bead±be

-±-=------±—=±=-------

cccbdbdbdbd

式及數有一樣的運算法則：先乘方，再乘除，然后加減。

負數整數幕的意義；一般地，當n是正整數時，「=，（〃/（））,這就是說，才〃（。工（））是。〃的倒數。

乘法公式

乘法公式：（】）平方差公式:平方差公式可以用語言表達為“兩個數的和及這兩個的差積等于這兩個數的

平方差"，即用字母表示為：（/。）0?一方）="一氏其構造特征是：公式的左邊是兩個一次二項式的乘積，

并且這兩個二項式中有一項為哪一項完全一樣的，另一項則是互為相反數，右邊是乘式中兩項的平方差.

（2）完全平方公式：完全平方公式可以用語言表達為“兩個數和（或差）的平方，等于第一數的平方加

上（或減去）第一數及第二數乘積的2倍，加上第二數的平方〃，即用字母表示為：（a+b）2=J+2a〃凡（a

-5）2=，一2日加濟其構造特征是：左邊是“兩個數的和或差〃的平方，右邊是三項，首末兩項是平方項，

且符號一樣，中間項是2數，且符號由左邊的“和〃或“差”來確定.在完全平方公式中，字母a、。都具

有廣泛意義，它們既可以分別取具體的數，也可以取一個單項式、一個多項式或代數式.如（3外f一2/=

（3日力2-2X（3Gy）X2+22=9f+6燈一12戶/-4rM,或者（3外9-2）2=（3x）?+2X3x（夕一2）+（y-2）2=

9戶6燈一12戶/-看成是完全平方公式中的a,2看成是戾后者是把3x看成是完全平方公式中的a,

y—2看成是b.

（3）添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變號；如果括號前面是負號，括到括號里

的各項都變號。

乘法公式的幾種常見的恒等變形有：（證明方法：左右展開計算，比照）

(1).a+t)=(^*-^)7—2ab=(a-i>)?+2ab.

(2).ab=-[(Kb)?—(a2+Z>2)]=-[(^)2-(a-?2]=-f—1.

24I2JI2J

(3).(a+a2+(a-/>)2=2a2+2/?2.

⑷.2=a2+/>2+c+2aZH-2/?c^2ca.

利用.上述的恒等變形，我們可以迅速地解決有關看似及乘法公式無關的問題，并且還會收到事半功倍的效

果.

因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這就叫做把這個多項式因式分解，也可稱為將

這個多項式分解因式，它及整式乘法互為逆運算。

常用的因式分解方法：

(1)提公因式法：把〃心+〃76+加5分解成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式01,另

一個因式(a+/?+c)是，〃a++除以m所得的商，像這種分解因式的方法叫做提公因式法。

i多項式各項都含有的一樣因式，叫做這個多項式各項的公因式。

ii公因式的構成：①系數：各項系數的最大公約數；

②字母：各項都含有的一樣字母；

③指數：一樣字母的最低次豪。

(2)公式法：(1)常用公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2

(2)常見的兩個二項式基的變號規律：

①(。一份2"二S一4產；②(〃一份21二—3—。產，為正整數)

⑶十字相乘法：i二次項系數為1的二次三項式*+x+g中，如果能把常數項夕分解成兩個因式”⑦

的積，并且。+〃等于一次項系數中〃，則它就可以分解成

x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=(x+a^x+b)

ii二次項系數不為1的二次三項式以2+"+c中，如果能把二次項系數〃分解成兩個因數4,4的

積，把常數項。分解成兩個因數G，Q的積，并且等于一次項系數8,則它就可以分解成：

22CX+cc

ax+bx+c=a[a2x+(qc2+^2\)\2=+a\a2x+c2)

步驟：(1)列出常數項分解成兩個因數的積的各種可能情況：

(2)嘗試其中的哪兩個因數的和恰好等于一次項系數；

(3)將原多項式分解成(x+〃)(x+q)的形式。

關鍵：乘積等于常數項的兩個因數，它們的和是一次項的系數

二次項、常數項分解堅直寫，符號決定常數式，穿插相乘驗中項，橫向寫出兩因式

(4)分組分解法

i定義：分組分解法，適用于四項以上的多項式，例如"一"2+〃一力沒有公因式，又不能直接利用

分式法分解，但是如果將前兩項和后兩項分別結合，把原多項式分成兩組。再提公因式，即可到達分解因

式的目的.例如：

2222>

a-b-^-a-h=(^-^)^-^-b)=(a-b)(<a+b)+(a-b)=(a-bXa+b-i-\),

這種利用分組來分解因式的方法叫分組分解法。

ii原則：分組后可直接提取公因式或可直接運用公式，但必須使各組之間能繼續分解。

iii有些多項式在用分組分解法時，分解方法并不唯一，無論怎樣分組，只要能將多項式正確分解即

可,

方程

方程的概念：

(I)含有未知數的等式叫方程.

(2)在一個方程中，只含有一個未知數，并且未知數的指數是1,系數不為0,這樣的方程叫一元一次方

程.

等式的根本性質：

a=b,則a+c=b+c或

a-c=b-c.

(2)等式兩邊同時乘以(或除以)同一個數(除數不能為0),所得結果仍是等式.假設a=b,則ac=bc或

ab

7=7

(3)對稱性：等式的左右兩邊交換位置，結果仍是等式.假設a=b,則6=2.

⑷傳遞性:如果a=b,且b=c,則a=c,這一性質叫等量代換.

解方程

移項的有關概念：

把方程中的某一項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊，叫做移項.這個法則是根據等式的性質1推出

來的，是解方程的依據.要明白移項就是根據解方程變形的需要，把某一項從方程的左邊移到右邊或從右

邊移到左邊，移動的項一定要變號.

解一元一次方程的步驟：

⑴去分母等式的性質2

注意拿這個最小公倍數乘遍方程的每一項，切記不可漏乘某?項，分母是小數的，要先利用分數的性質，

把分母化為整數，假設分子是代數式，則必加括號.

⑵去括號去括號法則、乘法分配律

嚴格執行去括號的法則，假設是數乘括號，切記不漏乘括號內的項，減號后去括號，括號內各項的符號一

定要變號.

⑶移項等式的性質1

越過“一的叫移項，屬移項者必變號；未移項的項不變號，注意不遺漏,移項時把含未知數的項移在左邊,

數移在右邊，書寫時，先寫不移動的項，把移動過來的項改變符號寫在后面

⑷合并同類項合并同類項法則

注意在合并時，僅將系數加到了一起，而字母及其指數均不改變.

⑸系數化為1等式的性質2

兩邊同除以未知數的系數，記住未知數的系數永遠是分母(除數)，切不可分子、分母顛倒.

⑹檢驗

分式方程

分式方程：分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

解分式方程的思路：解分式方程的根本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程

兩邊同乘最簡公分母，這也是解分式方程的i般思路和做法。

注意：一般的解分式方程時，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為0,因此應如下檢驗：

將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0,則整式方程的解是原分式方程的解；否則,

這個解不是原分式方程的解。

二元一次方程組

有關概念

含有兩個未知數，并且未知數的指數都是1的方程叫做二元一次方程

把具有一樣未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。

使二元次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元次方程的解

二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

消兀

由二元一次方程組中的一個方程，將一個未知數用含有另一未知數的式子表示出來，再代入另一方程，實

現消元，進而求得這個二元一次方程組的解。這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。

兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個

未知數，得到一個一元一次方程,這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。

一元二次方程：

1、只含有一個未知數的整式方程，且都可以化為辦2+/比+。=0（a、b、c為常數，a#0）的形式，這

樣的方程叫一元二次方程。

2、把這2+加：+。=0（a、b、c為常數，a#0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項系數；b為一

次項系數；c為常數項。

3、解一元二次方程的方法：①配方法〈即將其變為（X+6）2=幾?的形式。

②公式法（注意在找a、b、c時須先把方程化為一般形式）

2a

③分解因式法把方程的一邊變成0,另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提

公因式”和"十字相乘”）

4、根及系數的關系：當b2-4ac〉0時，方程有兩個不等的實數根；

當b'4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；

當b?-4ac<0時，方程無實數根。

5、韋達定理：如果一元二次方程0^+加+0=。的兩根分別為xi、x2,則有：

hc

X1+X,=--X],X-y=-o

a~a

6、一元二次方程的根及系數的關系的作用：

（1）方程的一根，求另一根；

（2）不解方程，求二次方程的根治、X2的對稱式的值，特別注意以下公式：

22

?%14-^2=（X]+x2）-lxX②，+，='卜"

x2

z

③（芭-x2）=（斗+x2y-4x^2

x+x22

④|罰一%2l=7(i2)-4X,X2⑤(IX]I+1七1)2=(內+X2)-2七々+2|4工21

⑥X；+^2=(X]+X2Y-3X]X2(X1+x2)⑦其他能用玉+々或陽工2表達的代數式。

2

（3）方程的兩根XI、X2,可以構造一元二次方程：x-u+x2）x+x,x2=o

（4）兩數XI、X2的和及積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程/一（為+%）上+M七=0

的根

不等式

不等關系

1.一般地，用符號“<〃（或）,">"（或"2”）連接的式子叫做丕等式.

2.要區別方程及不等式：方程表示的是相等的關系;不等式表示的是不相顯的關系.

3.準確“翻譯”不等式，正確理解“非負數”、"不小于”等數學術語.

非負數<=>大于等于0（20）<=>0和正數<=>不小于0

非正數<=>小于等于0（WQ）<=>0和負數<=>不大于0

4.不等式的根本性質：掌握不等式的根本性質，并會靈活運用：

（1）不等式的兩邊加上（或減去）同一個整式,不等號的方向不變，即：

如果a>b,則a+c>b+c,a-c>b-c.

（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數,不等號的方向不變，即

如果a>b,并且c>0,則ac>bc,.

CC

（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，即：

如果a>b,并且c<0,則ac<bc,—<—

cc

6、比擬大小：（a、b分別表示兩個實數或整式）

一般地:如果a>b,則a-b是正數;反過來，如果a-b是正數,則a>b;

如果a=b,則a-b等于0;反過來,如果a-b等于0,則a=b;

如果a<b,則a-b是負數;反過來,如果a-b是正數,則a<b;

即:a〉b<==>a-b>0

a=b<===>a-b=0

a<b<===>a-b<0

（由此可見,要比擬兩個實數的大小，只要考察它們的差就可以了）

7.不等式的解集：

1.能使不等式成立的未知數的值,叫做丕笠式的解;一個不等式的所有解，組成這個不等式的解集;求不等

式的解集的過程,叫做解不等式.

2.不等式的解可以有無數多個，一般是在某個范圍內的所有數，及方程的解不同.

3.不等式的解集在數軸上的表示：

用數軸表示不等式的解集時，要確定邊界和方向：

①邊界:有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈；

②方向：大向右,小向左

8.一元一次不等式：

1.只含有?個未知數，且含未知數的式子是整式，未知數的次數是1.像這樣的不等式叫做?元?次不等

式,

2.解一元一次不等式的過程及解一元一次方程類似，特別要注意，當不等式兩邊都乘以一個負數時，不等

號要改變方向.

3.解一元一次不等式的步驟：

①去分母；

②去括號；

③移項；

④合并同類項；

⑤系數化為1（不等號的改變問題）

4.一元一次不等式根本情形為ax>b（或ax<b）

①當a>0時，解為

a

②當a=0時，且b<0,則x取一切實數；

當a=0時，且b，0,則無解;

③當水o時，解為工<2；

a

9、一元一次不等式組

把兩個不等式合起來，就組成了一個一元一次不等式組。

幾個不等式的解集的公共局部，叫做由它們所組成的不等式的解集。解不等式就是求它的解集。

對于具有多種不等關系的問題，可通過不等式組解決。解一元一次不等式組時。一般先求出其中各不

等式的解集，再求出這些解集的公共局部，利用數軸可以直觀地表示不等式組的解集。

列方程解應用題

1、列方程解應用題的一般步驟：

（1）將實際問題抽象成數學問題；

（2）分析問題中的量和未知量，找出等量關系；

（3）設未知數，列出方程；

（4）解方程；

（5）檢驗并作答.

核心：在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數（在設未知數時，大多數情況只要設問

題為x;但也有時也須根據條件及等量關系等諸多方面考慮）；②尋找等量關系（一般地，題目中會含

有一表述等量關系的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程）。

不等式應用的探索（利用不等式解決實際問題）

列不等式解應用題根本步驟及列方程解應用題相類似,即：

①審：認真審題,找出題中的不等關系，要抓住題中的關鍵字眼，如"大于”、"小于〃、“不大于〃、

“不小于”等含義；

②設：設出適當的未知數；

③列：根據題中的不等關系列出不等式；

④解：解出所列的不等式的解集；

⑤答：寫出答案,并檢驗答案是否符合題意.

函數

變量及函數：在一個變化過程中，有兩個變量（如x、y）,對于自變量（x）的每一個確定值.函數（y）

都有唯一確定的值及它對應，這時，y就是x的函數，常量：在變化過程中，始終保持不變的量；變量：

在變化過程中，可以取不同數值的量：通常在表土時，等式左功的是函數，等式右i力的是自變量。

一次函數:假設兩個變量x、y之間的關系式可以表示成kkx+b（k,b為常數，kWO）的形式，則稱y是x

的一次函數（X為自變量，y是函數）.正比例函數y=kx（kHO）是一次函數y=kx+b（k#0）特例.

一次函數的圖像：1、一次函數丫=1<乂+1）（k#0）的圖象是一條直線，我們只要確定兩個點，再過這兩個點

作直線就可以作出一次函數的圖象，它也稱為直線y=kx+b.直線y=kx+b（kWO）可以看著由直線尸kx（k

K0）上下平移|b|個單位長度而得到.當b>0時，向上平移；當b<0時，向下平移.

畫密數圖象的一般步驟：一、列表（一次函數只用列出兩個點即可，其他函數一般需要列出5個以上的點，

所列點是自變量及其應的函數道），二、描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應函數的

值為縱坐標，描出表格中的個點，一般畫一次函數只用兩點），三、連線（依次用平滑曲線連接各點）。

一次函數的性質：

正比例函數一次函數

表達式y二kx(kWO)y=kx+b(krO)

k>0k<0k>0k<0

/

圖象/./

1.圖象是經過原1.圖象是經過原

點及第一、三象限點及第二、四象限

函數y的值隨x的函數y的值隨x的攙

性質的直線；的直線；

增大再增大.大而減小.

2.函數y的值隨x2.函數y的值隨x

的增大而增大.的增大而減小.

一次函數的圖象及k,b的關系如下頁圖所示:

y=kx+bk>()K<0

i卜

/

___z----------?

b>0/

k

b<0

/

待定系數法求一次函數的解析式的步驟：

設出函數解析式；②根據條件確定解析式中未知的系數（把兩點帶入函數一般式列出方程組，求出待定系

數，把待定系數值再帶入函數一般式，得到函數解析式）；③寫出解析式.

反比例函數

定義：一般地，形如），二幺（%為常數，kwo）的函數稱為反比例函數。），=（還可以寫成y=

XX

反比例函數解析式的特征；

⑴等號左邊是函數），，等號右邊是一個分式。分子是不為零的常數％［也叫做比例系數〃），分母中

含有自變量X,且指數為1.（2）比例系數左。0,（3）自變量X的取值為一切非零實數。（4）函數y的

取值是一切非零實數。

反比例函數的圖像

（1）、圖像的畫法：描點法

①列表（應以。為中心，沿0的兩邊分別取三對或以上互為相反的數）

②描點（有小到大的順序）連線（從左到右光滑的曲線I

k

⑵、反比例函數的圖像是雙曲線，y=-（2為常數，女工0）中自變量xwO,函數值y=（）,所以雙

x

曲線是不經過原點，斷開的兩個分支，延伸局部逐漸靠近坐標軸，但是永遠不及坐標軸相交。

⑶、反比例函數的圖像既是中心對稱圖形1對稱中心是原點），也是軸對稱圖形（對稱軸是），=x或

y=-x）?

VL

⑷、反比例函數），二七（ZwO）中比例系數2的幾何意義是：過雙曲線>（左工0）上任意引x軸

XX

），軸的垂線，所得矩形面積為陽。

反比例函數性質如下表：

k的取值圖像所函數的增減性圖像例如

在象限

k>o一、三象在每個象限內，y值

限隨X的增大而減小

k<o二、四象在每個象限內，y值

限隨X的增大而增大

反比例函數解析式確實定：利用待定系數法（只需一對對應值或圖像上一個點的坐標即可求出女）

“反比例關系”及“反比例函數"：成反比例的關系式不一定是反比例函數，但是反比例函數丁二&中的

X

兩個變量必成反比例關系。

一次函數及一元一次方程的關系。

由丫=10<+>當y取一個確定的值時，可以將y值代入y=kx+b得到一元一次方程，從而求出x的值。特別

的，y=0時，一元一次方程的解就是一次函數及x軸的交點坐標的橫坐標的值。

一次函數及二元一次方程組的關系。

一元一次方程的解就是一次函數及x軸的交點坐標的橫坐標的值。二元一次方程組的解可以把方程組中的

兩個方程看作是兩個?次函數，畫出這兩個函數的圖象，則它們的交點坐標就是方程組的解。

一次函數及不等式的關系：

可以借助函數圖象解決一元一次不等式的有關問題。

函數圖像的交點

利用多個不同的函數解析式可以建立方程組，假設方程組有解，則這些函數有交點，交點坐標即為方程組

的麻

函數值的大小比擬

當兩個或兩個以上的函數圖像同時在坐標系中時，中選定X的值時，假設某一個函數圖像在其余函數圖像

上方，則該函數值在此X值時大于其余函數值，依據此方法可以確定X的取值范圍。

二次函數

二次函數的定義:一般地，形如y=ax2^hx+c(0/九。為常數，。工。)的函數稱為式的二次函數，其中

x為自變量，'為因變量，4戾°分別為二次函數的二次項、一次項和常數項系數.這里需要強調：和一元

二次方程類似，二次項系數awO,而Me可以為零.

二次函數丁二奴?+加?的構造特征：

⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量X的二次式，X的最高次數是2.

⑵4,dC是常數，。是二次項系數，力是一次項系數，C是常數項.

二次函數的三種形式

一般式

y=ax：+bx+c(aWO,a、b、c為常數),頂點坐標為(-b/2a,4ac-b2/4a)；

頂點式

y=a(x-h)2+k(a^O,a>h、k為常數)頂點坐標為(h,k)對稱軸為x二h

交點式

y=a(x-xi)(x-x2)［僅限于及x軸有交點A(xi,0)和B(x2?0)的拋物線］;

二次項系數〃決定拋物線的開口方向：

當時o拋物線開口向上；當時=拋物線開口向下

同決定拋物線的開口大?。夯卦酱螅瑨佄锞€開口越??；間越小，拋物線開口越大.

注：拋物線y=a(x-h)2+k(aK0,a、h、k為常數)及產ax?(aHO,a為常數)形狀一樣，位置不同，把拋物

線丫=a*2向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線y=a(x-h)2+k,平移的方向、距離要根據h,k的

值來決定，拋物線y=a(x-h)2+k(aK0,a、h、k為常數)頂點坐標為(h,k)對稱軸為x=h。

用待定系數法求函數的表達式

二次函數的表達式(a'"'C為常數，"0)中有三個量a、b、c,因此需要知

道三個點確實定坐標，將點的坐標代入表達式中得到一個三元一次方程組，再利用消元法解

出a、b、co得到二次函數的表達式，這種方法稱之為待定系數法。

二次函數的特性

軸對稱

拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a0

對稱軸及拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

頂點

拋物線有一個頂點P,坐標為P(-b/2a,4ac-b74a)

當-b/2a=()時，P在y軸上；當△=b2;-4ac=0時，P在x軸上。

決定對稱軸位置的因素

一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a及b同號時〔即ab>0),對稱軸在y軸左：因為假設對稱軸在左邊則對稱軸小于0,也就是-b/2a<0,

所以b/2a要大于0,所以a、b要同號

當a及b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0,也就是-b/2a>0,

所以b/2a要小于0,所以a、b要異號

可簡單記憶為左同右異,即當a及b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左；當a及b異號時

(即abV0),對稱軸在y軸右。

決定拋物線及y軸交點的因素

常數項u決定拋物線及y軸交點。

拋物線及y軸交于(0,c)

二次函數及一元二次方程的關系

22

拋物線y=ax+bx+c及x軸交點的橫坐標Xi.x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a#0)的根。

拋物線y=ax2+bx+c,當y=0時，拋物線便轉化為一元二次方程ax2+bx+c=0

從-4ac>0時，一元二次方程有兩個不相等的實根，二次函數圖像及x軸有兩個交點；

從一44。二0時，一元二次方程有兩個相等的實根，二次函數圖像及x軸有一個交點；

4ac<0時，一元二次方程有不等的實根，二次函數圖像及x軸沒有交點

注意：二次函數尸ax?+bx+c通過移項后可以變成ax?+bx+c-y=0,因此的y(縱坐標)值確定并且該點在

二次函數的的圖像上時，可以借助ax2+bx+c-y=0來求得x(橫坐標)。

實際應用

1、實際問題模型

(1)日歷上數字排列的規律是：橫行每整行排列7個連續的數，豎列中，下面的數比上面的數大7.日歷

上的數字范圍是在1到31之間，不能超出這個范圍.

(2)幾種常用的面積公式：

長方形面積公式：S=ab,a為長，b為寬，S為面積；正方形面積公式：S=a2,a為邊長，S為面積；

梯形面積公式：S=L(a+b)h,a,b為上下底邊長，h為梯形的高，S為梯形面積；

2

圓形的面積公式：S=-r為圓的半徑，S為圓的面積；

三角形面積公式：S=-ah,a為三角形的一邊長，h為這一邊上的高，S為三角形的面積.

2

(3)幾種常用的周長公式：

長方形的周長：L=2(a+b),a,b為長方形的長和寬，L為周長.

正方形的周長：L=4a,a為正方形的邊長，I.為周長.

圓：L=2nr,r為半徑，L為周長.

(4)柱體的體積等于底面積乘以高，當體積不變時，底面越大，高度就越低.所以等積變化的相等關系一

般為：變形前的體積;變形后的體積.

(5)工程問題根本關系式：

工作總量工作總量

工作總量=工作效率X工作時間工作時間二工作效率=

工作效率工作時間

合作效率=甲的效率I乙的效率

（6）關于銷售問題：①進價，本錢價，售價，定價，標價的意義；

②單件利潤:售價-進價，總利潤;銷量X單件利潤；

利潤

③利潤率=淅71乂100%。

進價

（7）關于儲蓄中的一些概念：本金：顧客存入銀行的錢；利息：銀行給顧客的酬金；

本息：本金及利息的和；期數：存入的時間；

利率：每個期數內利息及本金的比；

利息=本金x利率X期數；

本息=本金+利息.

（8）行程類應用題根本關系：

路程=速度X時間速度二路程?時間時間:路程+速度

相遇問題：甲、乙相向而行，貝IJ：甲走的路程+