第一章 集合、常用邏輯用語、不等式 第1節 集合（原卷版及解析版）

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

§1.1集合

【高考預測】預測2027年高考集合考向仍以集合的概念與表示、元素與集合關系、集合間

的包含與相等、交集并集補集運算為基礎主干，常結合一元二次不等式、分式不等式、絕對值

不等式、函數定義域值域、簡易邏輯綜合命題，題型固定以選擇題開篇為主，注重以不等式解

集、離散數集、點集為載體考查集合運算與數形結合，強化與常用邏輯用語、函數不等式的交

匯滲透，穩中求新、側重基礎運算與邏輯辨析，突出小考點綜合性、易錯點辨析及數學抽象與

運算求解能力的考查。

【雙基自測?明考向】

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打或"X”)

(1)集合{xWNIx^x},用列舉法表示為{4,0,1}.()

⑵區產}={比=爐+1)={(x,)沁=爐+1},()

⑶若1￡{x2,x),則x=-l或x=L()

(4)對任意集合4,B,都有(ArW)G(AUB).()

2.(2025?全國I卷)已知集合{小是小于9的正整數},A={[,3,5},貝中元素的個數為()

A.OB.3C.5D.8

3.(2023?全國乙卷)設集合U=R,集合M={小<1},心{斗10<2},則{加22}等于()

A.[t<MU7V)

C.[L<MA7V)D.MU[W

4.已知集合M={X|-1<A<3},N=(水1〃},若MClN=M,則實數a的取值范圍是.

【核心梳理?明考點】

1.集合與元素

⑴集合中元素的三個特性：、、.

(2)元素與集合的關系是—或,用符號且或g表示.

(3)集合的表示法：、、.

(4)常見數集的記法

非負整數集(或

集合正整數集整數集有理數集實數集

自然數集)

符號NN?（或N+）ZQR

2.集合的基本關系

(I)子集：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集

合A為集合B的子集，記作—(或83A).

(2)真子集：如果集合AG4,但存在元素x^B,且K4,就稱集合A是集合B的真子集，記作室(或

(3)相等：若AG8,且,則

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為。.空集是的子集，是的真子

集.

3.集合的基本運算

B微點提醒

1.掌握有限集了集個數的結論

若有限集A中有〃個元素，則4的子集有2〃個，真子集有(2勺)個，非空子集有(2”?1)個，非空真子集

有(2"-2)個.

2.靈活應用兩個常用性質

(l)l：c<AnB)=(CM)U(CaB).

(2)l：c<AUB)=(CM)n(C^).

3.牢記兩個注意點

(1)在應用條件時要樹立分類討論的思想，將集合4是空集的情況優先進行討

論.

⑵在解答集合問題時，要注意集合元素的特性，特別是互異性對集合元素的限制.

【題型突破?明方向】

題型一集合的含義與表示

例1(1)(多選)下列各組中M,2表示不同集合的是()

A.M={3,-1),P={(3,-1))

B.M={(3,1)),尸二{(1,3))

C.A/={y|y=x2+l,x￡R},P={x|x=F+l,rCR)

D.M={y|y=r2-1,x￡R},P=((x.y)l>,=^2-1?x￡R}

(2)已知集合A={-1,a2-2a+1,4-4},若4WA,則a的值可能為()

A.-1,3B.-l

C.-l,3,8D.-l,8

【跟蹤訓練】1已知a,bGR,若{a,5,1}={〃，a+b,0},則/。26+〃026二.

題型二集合間的基本關系

例2(1)(2026?青島模擬)已知全集U=R,集合A,8滿足AFACW),則下列關系一定正確的是()

A.A=BB.8G4

c/n([u8)=0D.(Ct^)nB=0

(2)己知全集。=1<,集合A=3-2WxW7},3={M〃2+lWxW2〃?-l),若AG[述，則實數機的取值范圍

是.

【跟蹤訓練】2(1)(2025?汕頭模擬)若集合4={疝”2)f+2/心-1=0}恰有兩個子集，則實數m的值是

()

A.-2或1B.2或1

C.-2D+2或1

(2)(多選)已知集合/(-1,1},7V={X|/MX=1),且NMM,則實數〃?的值可以為()

A.-2B.-lC.OD.1

題型三集合的基本運算

命題點1集合的運算

例3(1)(2022?新高考全國I卷)若集合M=3?<4},N={x|3x21},則MCN等于()

A.{x|0Wx<2}B.{x||<%<2]

C.{x|3^x<16)D.[x||<x<16}

(2)(2025?天津)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3),B={2,3,5},則[u(AU8)等于()

A.{1,2,3,4)B.{2,3,4)

C.{2,4)D.(4}

命題點2利用集合的運算求參數的值(范圍)

例4(2026?衡水模擬)己知集合A={xb，=ln(l-/)},若([RA)U8=R,則實數。的取值范

圍為()

A.(l,+8)B.[l,+8)

1)D.(-8,i]

命題點3集合的應用

(鏈接教材，人教A版必修第一冊P15閱讀與思考)容斥原理是一種數學計數方法，用于處理在計數過

程中出現的重疊問題.其基本思想是先不考慮重疊的情況，將所有對象數目計算出來，然后再將重復計

算的數目排除出夫.

我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)來表示有限集合A中元素的個數.例如，A=Q,

b,c),貝ijcard(A)=3.容斥原理告訴我們，如果被計數的事物有A,B,C三類,那么，card(AU8U

C)=card(4)+card(8)+card(C)-card[ACl8)-card(8nC)-card(AnC)+card(ACl3nC).

例5某校初一(4)班有學生46人，寒假參加體育訓練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊

24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，

則三項都參加的人數為()

A.2B.3C.4D.5

【跟蹤訓練】3(1)(2025?廣東八校聯考)設集合A={x|lO<2},B={x\x<a],若AA8=A,貝lja的取值

范圍是()

A.[l,+8)B.[2,+8)

C.(-8,1]D.(-8,2]

(2)(多選)已知全集U=R,集合M=3-3Wx<4},N={x|F-2x-8W0},貝U()

A.MUN={H-3Wxv4}

B.MnN={x|-2<<4}

CDUM)UN=(-8,-3)U[-2,+8)

D.Mn([uN)=(-3,-2)

(3)某年級先后舉行數理化三科競賽，學生中至少參加一科的：數學203人，物理179人，化學165

人；至少參加兩科的：數學、物理143人，數學、化學116人，物理、化學97人；三科都參加的

有90人.則參加競賽的學生總人數是

題型四集合的新定義問題

例6(多選)設P是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意小b￡P,都有“b,藍(除

數。W0),則稱尸是一個數域.例如有理數集Q是一個數域；數集片〃￡Q}也是一個數

域.下列關于數域的命題中是真命題的為()

A.0,1是任意數域中的元素

B.若數集M,N都是數域，則MUN是一個數域

C.存在無窮多個數域

D.若數集M,N都是數域，則有理數集QGA/nN

【跟蹤訓練】4(多選)(2025?渭南模擬淀義集合A與8的運算：48={4v￡R,且點(AU8)},A。4{.巾:

eR,且依(AC1B)}.已知A=(-l,41，B=[0,7),貝lj()

A.4B=(-8,-1]U[7,+oo)

B.4O8=(-8,0)U(4,+8)

C.4([R8)=[4,7]

D.(CRA)OB=(-OO,4]U[7,+8)

【限時訓練】

(60分鐘)

21知識過關

一、單項選擇題(每小題5分，共40分)

1.(2025?全國0卷)已知集合A二{40,1,2,8),B={小占汨，則”18等于()

A.(0,1,2|B.{1,2,8}

C.{2,8}D.{0,1}

2.(2023?全國甲卷)設全集U=Z,集合M=&k=3〃+1,&WZ},2{小=3k+2,kGZ),則[認仞UAQ等于()

A.{.v|x=3Zc?kQZ)

B.{巾=3hl,&￡Z}

C.{x|x=3〃-2,keZ}

D.0

3.(2025?淄博模擬)已知集合A二{e,Iogo.20.3,202),集合8={處(1次)>0},則A08的子集的個數為()

A.lB.2C.4D.8

4.(2026?寶雞模擬)若集合4={工￡網底2+1=0}中只有一個元素，則實數。等于()

A.lB.OC.2D.O或1

5.（2023?新課標H卷）設集合A={Q,-a},B={1,a-2,2a-2]f若AGS,則a等于（）

2

A.2B.lC.jD.-l

6.（2026?保定模擬）如圖,已知全集U={-2,?1,0,1,2,3},集合A={1,2,3）,8={x￡Z|（x+2）（x-l）＜0},

則圖中陰影部分表示的集合為（）

A.{2}B.{3}

C.{2,3)D.[2,3]

7.(2()2().新高考全國I卷)某中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的

學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比

例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

8.設集合/={1,3,5,7),若非空集合A同時滿足：①AM/；②card(A)Wmin(A)(其中card(A)表示A中

元素的個數，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為/的一個“好子集”，則/的所有“好子

集”的個數為()

A.7B.8C.9D.10

二、多項選擇題(每小題6分，共18分)

9.已知48是全集U的兩個非空真子集，下列說法中一定正確的是()

A.AC\I3=0

C.([uA)UA=U

D.(lM)U([M)=[MAn4)

1().已知/\={小2+〃計1=()},加={小＞()},若ACM=0,則實數p的可能取值為()

A.OB.-3C.3D.-

3

11.(2025?聊城模擬)已知㈤表示不超過x的最大整數,例如：[2.1]=2,[-3.5]=4[0]=0,A=(y\y=[x]t

-1.1＜XW3.2},B={y|-10WyW/n},下列說法正確的是()

A.集合A={-1,0,1,2,3)

B.集合A的非空真子集的個數是62

C若是“)，￡8”的充分不必要條件，則〃?的取值范圍是[3,+-)

D.若AnB=0,則加的取值范圍是(-8,-2)

三、填空題(每小題5分，共15分)

12.[2025?上海改編)已知全集小32遼工<5},集合4={x]2Wx<4},則(以二.

【答案】{x|4?5}

【解析】根據補集的含義知CuA={x|4<xW5}.

13.[2025?南京模擬)已知非空集合4={川〃-14<2〃+3},B={x\-2^x^4].AC\(lRB)=A,則實數a的取值范圍

為.

14.(2025?六盤水模擬)定義集合片-{3|，傲，…，陶⑶，6,…，a、￡A},比如：若A-{1,2},則A2T(1,

1),(1,2),(2,1),(2,2)}.把集合A"中滿足條件n+s+…+Wp的元素組成的集合記為A”(p)，即A"(p戶](m,

。2，…，cin)\a1+?2+,?,+an=p>a\ta?，…，已知集合+={1,2,3,4,5,6)?則

(1)集合并(6)中的元素個數為；

⑵若屋(〃)中的元素個數為56,則p的值為.

J能力拓展

[每小題5分,共10分]

15.(2020?浙江)設集合S,T,SGN"，TQN\S,7中至少有2個元素，且S,T滿足:

①對于任意的x,S,若x^y,都有xy^T-,

②對于任意的x,y^T,若x<y,則衿S.

下列命題正確的是()

A.若S有4個元素，則SU7有7個元素

B.若S有4個元素，則SU7有6個元素

C.若S有3個元素，則SUT有5個元素

D.若S有3個元素，則SU7有4個元素

16.設全集8{1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1組成的6位字符串，如{1,3}表示的是

從左往右第1個字符為1,第3個字符為1,其余均為0的6位字符串101000,并規定空集表示的字符

串為000000.

(1)若心{2,3,6},則(“N表示的6位字符串為；

(2)若B={5,6},集合AU8表示的字符串為011011,則滿足條件的集合A的個數為.

第一章集合、常用邏輯用語、不等式

§1.1集合

【高考預測】預測2027年高考集合考向仍以集合的概念與表示、元素與集合關系、集合間

的包含與相等、交集并集補集運算為基礎主干，常結合一元二次不等式、分式不等式、絕對值

不等式、函數定義域值域、簡易邏輯綜合命題，題型固定以選擇題開篇為主，注重以不等式解

集、離散數集、點集為載體考查集合運算與數形結合，強化與常用邏輯用語、函數不等式的交

匯滲透，穩中求新、側重基礎運算與邏輯辨析，突出小考點綜合性、易錯點辨析及數學抽象與

運算求解能力的考查。

【雙基自測?明考向】

1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“4”或“x”)

(1)集合{x￡N|?=x},用列舉法表示為{“，0,1).()

(2)3產占1}={m=『+1}={。，)2=f+1}.()

⑶若1￡{x2,x］,則x=-l或x=l.()

(4)對任意集合A,B,都有()

【答案】(1)X(2)X(3)X(4)4

2.(2025?全國I卷)已知集合U={.也是小于9的正整數},A={\,3,5},則［以中元素的個數為()

A.OB.3C.5D.8

【答案】C

【解析】因為U二{1,2,3,4,5,6,7,8),A={1,3,5),所以［以={2,4,6,7,8},故［以中元

素的個數為5.

3.(2023?全國乙卷)設集合U=R,集合M={小<1},N={x|-l<x<2),則{加22}等于()

A.［tXA/U/V)B.AMUM

ChMlMD.MU(UN

【答案】A

【解析】由題意可得MUN={X|A<2},

則］(XMUM={4r22},故A正確；

={巾21},

則NU［研={3［},故B錯誤;

Mn^=(x|-i<x<i|,

則[MMCIN)={.很W?1或x21},故C錯誤；

Ct'A^={x|x<-l或x22},

則MU[UN={HK<1或x22},故D錯誤.

4.已知集合M={R-V<3},2{小沁},若MCI2M,則實數。的取值范圍是—

【答案】(-8,-1]

【解析】因為MCN-M,所以MGN,所以“W-1.

【核心梳理?明考點】

1.集合與元素

(I)集合中元素的三個特性：確定性、互異性、無序性.

(2)元素與集合的關系是屬于或不屬于,用符號且或色表示.

(3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法.

(4)常見數集的記法

非負整數集(或

集合正整數集整數集有理數集實數集

自然數集)

符號NN+（或N+）ZQR

2.集合的基本關系

(1)子集：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素都是集合3中的元素，就稱集

合A為集合B的子集，記作回(或33A).

⑵真子集：如果集合AG8,但存在元素工￡3,且KA,就稱集合A是集合B的真子集，記作恒(或

8M.

(3)相等：若AGB,且0,則

(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為0.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子

集.

3.集合的基本運算

X.表示

運廣、集合語言圖形語言記法

并集[如三4或xd(3E)AUB

交集-EA,且(亞)AOB

補集U,且LuA

國微點提醒

1.掌握有限集子集個數的結論

若有限集A中有〃個元素，則兒的子集有2〃個，真子集有(2」)個，非空子集有(2〃?1)個，非空真子集

有(2”?2)個.

2.靈活應用兩個常用性質

(2)kAU5)=(C〃A)n(Cu3).

3.牢記兩個注意點

(1)在應用條件時要樹立分類討論的思想，將集合4是空集的情況優先進行討

論.

(2)在解答集合問題時，要注意集合元素的特性，特別是互異性對集合元素的限制.

【題型突破?明方向】

題型一集合的含義與表示

例1(1)(多選)下列各組中2表示不同集合的是()

A.M={3,-1),尸二{(3,-1)}

B.M={(3,1)),P={(1,3))

C.Af={y|y=x2+l,x^R),P={x|x=/2+l,/GR)

D.M={}i},=x2-!,x￡R},P={(x.j)ly=^2-1?x￡R}

【答案】ABD

【解析】選項A中，M={3,?1}是數集，P={(3,-1)}是點集，二者不是同一集合，故MWP；

選項B中，(3,1)與(1,3)表示不同的點，故MWP；

2

選項C中，M={地=f+1,x￡R}=[l,+8),P={x\x=l+\ir￡R)=[l,+°°),故M=P；

選項D中，M是二次函數產f-1,x￡R的所有y組成的集合，而集合P是二次函數)=f-l,x￡R圖

象上所有點組成的集合，故MNP.

(2)已知集合4={-1,a2-2a+1,4-4},若4WA,則a的值可能為()

A.-1,3B.-1

C.-1,3,8D.-1,8

【答案】D

【解析】由題意，若。2-2。+1=4,解得斫3或斫-1,若。-4=4,解得訴8,

當a=?l時，A={-1,4,-5}滿足題意；

當以-3時，A-{-l,4,-1}違背了集合中元素間的互異性；

當。=8時，A={-1,4,49}滿足題意，

綜上所述，。的值可能為-1,8.

【思維升華】解決集合含義問題的關鍵點

(I)確定集合中的代表元素.

(2)確定元素的限制條件.

(3)理解元素的互異性，在解決集合中含有字母的問題時，一定要返回代入臉證，防止與集合中元素的

互異性相矛盾.

【跟蹤訓練】1已知a,beR,若{a,5，1}={標，a+b,0),則a20%+〃026=

【答案】1

[解析]由巳知得a#0,則2=0,所以b=0,

a

于是々2=1,即a=l或a=-l,

又由集合中元素的互異性知，應舍去，故加-1,

0262

所以cr+/>026=(一])2026_|_Q2026—J

題型二集合間的基本關系

例2(1)(2026?青島模擬)已知全集U=R,集合A,8滿足A￡(ACW),則下列關系一定正確的是()

A.A=BB.BQA

c./in(C(/B)=0D.([M)nB=0

【答案】c

【解析】因為集合A,8滿足AG(AnB),

故可得AG8,

對A,當A為8的真子集時，不成立；

對B,當A為8的真子集時，也不成立；

對cAn([^)=0,恒成立；

對D,當A為8的真子集時，不成立.

(2)已知全集。=&集合A={M-2WX<7},4={X|〃7+1WXW2〃?-1},若AC［通，則實數用的取值范圍

是.

【答案】(-8,2)U(6>+°°)

【解析】①當8W0時，〃z+lW2〃?-l,即機22,因為集合A={x|-2WxW7),

B={x|m+1WxW2m-\},則［uB={x\x<m+1或x>2m-1},

又AG「uB,則m+1>7或2〃z-1<-2,解得m>6或/〃<-；,又22,所以m>6；

②當8=0時，〃即機<2,此時>后二R,符合題意.

綜上所述，實數機的取值范圍為〃?<2或小>6.

【思維升華】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合關系問題時，必須考慮空巢的情況，否則易造成

漏解.

(2)已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數

所滿足的關系，常用數軸、Venn圖等來直觀解決這類問題.

【跟蹤訓練】2(1)(2025?汕頭模擬)若集合4={疝”2)/+2/心-1=0}恰有兩個子集，則實數m的值是

()

A.-2或1B.2或I

C.-2D.±2或1

【答案】D

【解析】因為集合人={冰"卜2)『+2〃猶-1=0}恰有兩個子集，則集合A只有一個元素，

即關于x的方程(怙2濡+2〃31=0只有一個實數根，分以下兩種情況討論：

當時2=0,即〃?=2時，原方程為4片1=0,解得廣；，符合題意；

當.'?-2^0,即〃學2時，貝1/=4〃尸+4(〃2-2)=4(〃P+〃卜2)=0,

解得加=1或in=-2.

綜上所述，形=±2或1.

(2)［多選)已知集合M={-1,1},N={x|〃gl},且NGM,則實數〃?的值可以為()

A.-2B.-lC.OD.1

【答案】BCD

【解析】當20時，滿足NEM,此時〃尸0；

當NW0時，mW0,

解mx=1可得，x=—.

m

因為NJM,所以工=-1或2=1.

mm

當二=_]時,〃?=-];

當二=1時，"7=1.

綜上所述，〃?=0或〃?=-1或加=1.

題型三集合的基本運算

命題點1集合的運算

例3(1)(2022?新高考全國I卷)若集合y<4},N="|3xNl},則"ClN等于()

A.{x|0Wx<2}B.[x^<x<2]

C.{x|3Wxvl6}D.{x||<x<16]

【答案】D

[解析】因為M={A|VX<4),所以{x|0Wxv16}；

因為N={x|3x21},所以N={xk>|j.

所以MAN-116卜故選D.

(2)(2025?天津)已知集合U={1,2,3,4,5),A={1,3},B={2,3,5),則CMAUB)等于()

A.(l,2,3,4}B.(2,3,4|

C.(2,4)D.(4}

【答案】D

【解析】由A={1,3},B={2,3,5),則AUB={1,2,3,5),

又集合U={\,2,3,4,5),

故(M4U5)={4}.

命題點2利用集合的運算求參數的值(范圍)

例4(2026?衡水模擬)已知集合A=3)，=ln(l-/)},8={小<。},若([RA)U8=R,則實數。的取值范

圍為()

A.(l,+8)B.[l,+8)

C.(-8,1)D.(-8,1]

【答案】B

【解析】由題可知A=(妙=ln(l-W)}

={.r|-I<r<l},

%4={也忘1或X21}，

所以由([R4)UB=R,得

【思維升華】對于集合的交、并、補運算，如果集合中的元素是離散的，可用Venn圖表示；如果集合

中的元素是連續的，可用數軸表示，此時要注意端點的情況.

命題點3集合的應用

(鏈接教材，人教A版必修第一冊P15閱讀與思考)容斥原理是一種數學計數方法，用于處理在計數過

程中出現的重疊問題.其基本思想是先不考慮重疊的情況，將所有對象數目計算出來，然后再將重復計

算的數目排除出去.

我們把含有限個元素的集合A叫做有限集，用card(A)來表示有限集合A中元素的個數.例如，A二{小

b,c},則card(A)=3.容斥原理告訴我們，如果被計數的事物有4,B,C三類，那么，card(AU8U

C)=caid(/4)Icard(B)icard(C)-card(z4A5)-card(BPC)-card(A0C)?card(ACBGC).

例5某校初一(4)班有學牛.46人，寒假參加體育訓練，其中足球隊25人，排球隊22人，游泳隊

24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人,

則三項都參加的人數為()

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】設集合A={Hr是參加足球隊的學生},

集合8二{xk是參加排球隊的學生},

集合C二{人就是參加游泳隊的學生},

則card(A)=25,card(B)=22,card(C)=24,

card(AriB)=12,card(BnC)=8,card(/\ClC)=9.

設三項都參加的有/"人，即card(An8nC)="?,card(AUBUC)=46,

所以由card(4UUC)=card(?l)+card(B)+card(O-card(/^A^)-card(C)-card(4AC)+card(ACl7^0C),

即46=25+22+24-12-8-9+/〃，

解得〃-4,

故三項都參加的有4人.

【思維升華】在解決數量關系問題、陰影面積問題時，通過應用容斥原理，可以有效地解決涉及重疊

或包含關系的問題，確保計算結果的準確性.

【跟蹤訓練】3(1)(2025?廣東八校聯考)設集合A={x|l〃v2},B={x\x<a]t若AD8=A,則。的取值

范圍是()

A.[l,+8)B.[2,+8)

C.(-8,1]D.(-oo,21

【答案】B

【解析】由4n8=4知

又A={x[l<x<2},B={x\x<a}f所以

(2)[多選)已知全集U=R,集合M={R-3Wxv4},N={小也區在。},則()

A.MU2{H-3Wx<4}

B.MnM=3-2Wx<4}

C.([UM)UN=(-8,-3)U[-2,+<?)

D.Mn([0-AO=(-3,-2)

【答案】BC

【解析】由F2x?8W0,得?2WxW4,所以N={x|-2WxW4},

對于選項A,〃UN-3-3WAW4},故A錯誤；

對于選項B,MA/V={x|-2^x<4),故B正確；

對于選項C,由于CuM=(-8,-3)U[4,+OO),故([UM)UN=(-8,-3)U[-2,+?>),故C正確;

對于選項D,由于1U2(-8,-2)U(4,+8),故Mn([uN)=[3-2),故D錯誤.

(3)某年級先后舉行數理化三科競賽，學生中至少參加一科的：數學203人，物理179人，化學165

人；至少參加兩科的：數學、物理143人，數學、化學116人，物理、化學97人；三科都參加的

有90人.則參加競賽的學生總人數是.

【答案】281

【解析】由題意，用A,&。分別表示參加數學競賽、物理競賽和化學競賽的學生構成的集合，

貝ijcard(4)=203,card(B)=179,card(C)=165,

card(/inB)=143,card(BAC)=97,card(AClC)=l16,card(AClBnC)=90,

因比card(AUAUC)=card(/4)+card(B)+card(C)-card(An^)-card(RnC)

-card(AAO+card(AABA。=203+179+165-143-97-116+90=281.

所以參加競賽的學生總人數是281.

題型四集合的新定義問題

例6(多選)設尸是一個數集，且至少含有兩個數，若對任意小bQP,都有a+4藍￡尸(除

數。W0),則稱。是一個數域.例如有理數集Q是一個數域；數集4{〃+〃&?，也是一個數

域.下列關于數域的命題中是真命題的為()

A.0,1是任意數域中的元素

B.若數集N都是數域，則歷UN是一個數域

C.存在無窮多個數域

D.若數集M,N都是數域，則有理數集QGMnN

【答案】ACD

【解析】對于A選項，由定義可知，對任意的數域P,至少含有兩個數，則至少有一個非零元素

所以有故正確；

-a=1￡P,A

對于B選項，假設數域M={"6②a,/?eQ},N={a+b?a,bGQ),則當m&EM,.y=VJeN時，x

￡MUN,y￡MUN,x+產或且x+)，=應+g6N,

故x+)=&+百住MUN,故B錯誤；

對于C選項，可以利用題中的教域的例子進行構造，對于任意非完全平方數的正整數Z,

集合P={a+/八夕|〃，〃￡Q}都是教域，這樣就有無窮多個數域，故C正確；

對于D選項，在A選項的基礎上進行證明：任意數域P,都有有理數集QGP.

因為0,I是任意數域中的元素，而且任意整數都可以看成有限個0或1的和或差，

故所有整數都屬于數域P,

又任意有理數均能表示成兩個整數的商，故所有有理數都屬干數域P,即QGP,

所以QGM,QGN,即QGMCM故D正確.

【思維升華】此類題目常常以“問題”為核心，以“探究”為途徑，以“發現”為目的，以集合為依

托，考查學生理解問題、解決創新問題的能力.

【跟蹤訓練J4(多選)(2025?渭南模擬)定義集合4與8的運算:￡R,且m(AUB)),4。8={小

eR,且上(AAB)}.已知A=(-l,4J,B=[0,7),則()

A.A-8=(-8,-1]U[7,+8)

B.4OB=(-8,0)U(4,+8)

CJH[R8)=[4,7]

D.([RA)OB=(-8,4]U[7,+8)

【答案】ABD

【解析】VA=(-1,4],gO,7),

?"U8=(-1,7),AClg。4],

?"?8=(-8,-1]U[7,+8),

AoB=(-°°,0)U(4,+8),選項A,B正確；

V[RB=(-°O,())U[7,+8),

???4U(CR8)=(-8,4JU17,+8),

，4([R8)=(4,7),選項C錯誤；

V[RA=(-OO,-1]U(4,+8),

A(CRA)nB=(4,7),???(CRA)°B=(-8,4]U[7,+8),選項D正確.

【限時訓練】

(60分鐘)

□]知識過關

一、單項選擇題（每小題5分，共40分）

1.（2025?全國H卷）已知集合）={40,1,2,8）,B=[x^=x]f則415等于（）

A.[0,1,2}B.{1,2,8）

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【解析】6={小（xM）=0}={0,-1,1],故AD8={0,1}.

2.（2023?全國甲卷）設全集U-Z,集合知一{川-3&+1,&WZ},N-{A|A-3&+2,k^Z],貝此貿何UN）等丁（）

A.{x|x=3&,&￡Z}

B.{x|x=3M,keZ]

C.{xk=3h2,kGZ\

D.0

【答案】A

【解析】方法一A/-{…，-2,1,4,7,1（）,

心{…，-1,2,5,8,11,-）,

所以MU2{…，-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,…},

所以（u（MUN）={…，-3,0,3,6,9,…},其元素都是3的倍數，

即〔u（MUM={4V=3k,kGZ].

方法二集合MUN表示被3除余1或2的整數集，則它在整數集中的補集是恰好被3整除的整數集.

02

3.（2025?淄博模擬）已知集合4={e,log（）,20.3,2）,集合8={.小（1㈤>0},則ACI8的子集的個數為（）

A.lB.2C.4D.8

【答案】B

【解析】因為集合B={xMl-x）X））=M0<x<I）,

02

且e>l,0<log0,20.3<l,2>1,可得AC18={log也20.3},

所以AC18的子集的個數為2.

4.（2026?寶雞模擬）若集合4={]￡1<|加2+1=0}中只有一個元索，則實數。等于（）

A.lB.OC.2D.0或1

【答案】D

【解析】當。=0時，由蘇-21+1=0可得戶也滿足題意；

當q關0時，則浸2:+1=0滿足/=（-2）2"4O=0,解得a。.

綜上，實數。的值為0或1.

5.（2023?新課標0卷）設集合A={O?a},B={1,。2,2a.2},若A￡B,則。等于（）

2

A.2B.lC.gD.-1

【答案】B

【解析】若。-2=0,解得4=2,此時A={0,-2},B={1,0,2},不符合題意;

若2〃-2=0,解得“1,此時A={0,-1),B={1,-1,0),符合題意.

綜上所述，a=\.

6.(2026?保定模擬)如圖，已知全集t/={-2,-1,0,1,2,3),集合A二{1,2,3),B={x￡Z|(x+2)(x?l)W0},

則圖中陰影部分表示的集合為()

A.{2}B.{3}

C.{2,3)D.[2,3J

【答案】C

【解析】由(x+2)(x-l)W0,解得-2WxWl,所以8={-2,-I,0,I),

又全集U={-2,-1,0,1,2,3},A={1,2,3},所以圖中陰影部分表示的集合為AC([通戶{2,3}.

7.(2020.新高考全國【卷謀中學的學生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學生喜歡足球或游泳，60%的

學生喜歡足球，82%的學生喜歡游泳，則該中學既喜歡足球又喜歡游泳的學生數占該校學生總數的比

例是()

A.62%B.56%C.46%D.42%

【答案】C

【解析】用Venn圖表示該中學喜歡足球和游泳的學生所占的比例之間的關系如圖，

82%工，

設既喜歡足球又喜歡游泳的學生占該中學學生總數的比例為工，

則(60%-幻+(82%㈤+x=96%,解得.146%.

8.設集合/={1,3,5,7),若非空集合A同時滿足：?AQh②card(A)Wmin(A)(其中card⑷表示A中

元素的個數，min(A)表示集合A中最小的元素)，稱集合A為/的一個“好子集”，則/的所有“好子

集”的個數為()

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【解析】當card(I)=l,即集合4中元素的個數為1時，4的可能情況為{1},{3),{5},(7)；

當card(A)=2,即集合A中元素的個數為2時，A的可能情況為{3,5),{3,7),{5,7)；

當card(A)=3,即集合A中元素的個數為3時，A的可能情況為{3,5,7),

綜上所述，/的所有“好子集”的個數為8.

二、多項選擇題(每小題6分，共18分)

9.已知A,8是全集U的兩個非空真子集，下列說法中一定正確的是()

\.AQB=0

B.XC(AUB)

C.(luA)\JA=U

D.([M)U([u8)=[u(An8)

【答案】BCD

【解析】如圖所示，ACI8關0,A選項錯誤；

AC(AUB),(]uA)UA=U,([uA)U([4)=(認408),BCD選項正確.

10.已知A={x*+px+i=o},M={m>0},若AfW=0,則實數p的可能取值為()

A.OB.-3C.3D.-

3

【答案】ACD

【解析】當A=0時，J=p2-4<0,解得-2<p<2；

當AW0,即“W-2或〃22時，此時方程f+px+l：。的兩個根為，松需滿足小于等于0,

貝UX|X2=I>0,X|+X2=-p<0，得，

??卬22,

綜上，〃>2

11.⑵)25?聊城模擬)已知印表示不超過x的最大整數，例如：[2.1]=2,卜3.5]=4,[()]=(),A={y|y=[x],

-1.VW3.2},8:{〈-lOWyWm},下列說法正確的是()

A.集合A={-1,0,1,2,3)

B.集合A的非空真子集的個數是62

C.若“)，￡A”是“)，￡8”的充分不必要條件，則〃?的取值范圍是[3,+8)

D.若川8=0,則陽的取值范圍是(q,?2)

【答案】BCD

【解析】當時，)=[x]=?2,

當.IWxvO時，>=[x]=-l,

當0〈工<1時，)=[.x]=0,

當時，尸㈤=1,

當2Wx<3時，y=[x]=2,

當3WxW3.2時，)=3=3,

所以A={-2,-1,0,1,2,3},集合A的非空真子集有26?2=62(個)，故A錯誤，B正確；

若是“)，￡B”的充分不必要條件，則A是8的真子集，所以〃?23,C正確；

若408=0,當8=0時，"z<-10；

當BW0時，{:|二￡解得-10-

綜上