2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)講義（新高考）冪函數(shù)與二次函數(shù)（學(xué)生版+解析）

第03講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

考情探究................................................................2

知識(shí)梳理................................................................2

探究核心考點(diǎn)............................................................4

考點(diǎn)一基函教的圖象......................................................................4

考點(diǎn)二基函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性..........................................................7

考點(diǎn)三利用賽舀教單調(diào)性遂行大小比較..................................................8

考點(diǎn)8基為數(shù)的綜合應(yīng)用.................................................................9

考點(diǎn)五二次法數(shù)的綜合應(yīng)用..............................................................9

三階突破訓(xùn)練...........................................................10

基礎(chǔ)過關(guān)..................................................................................10

能力提升..................................................................................11

真題感知..................................................................................12

A考情探究＜

一、5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2。24年新I卷，第1題,5分解三次不等式交集的概念及計(jì)算

2023年新I卷，第1題,5分二次函數(shù)圖象解不等式集合間的基本運(yùn)算

二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

2023年新I卷，第4題,5分

或范圍判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

二、命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握基函數(shù)的基本

性質(zhì)，難度中等偏下

【備考策略】1.掌握基函數(shù)的定義及一般形式，掌握），=X,），=丁,y=x3,y=x"=’,y=x，=6的圖象

X

和性質(zhì)

2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等）

3.理解并掌握基函數(shù)y=/，a=幺（。/0）的單調(diào)性和奇偶性

P

4.會(huì)解一元二次不等式、分式不等式、單絕對(duì)值不等式和高次不等式

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容會(huì)結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考

A知識(shí)梳理.

知識(shí)點(diǎn)1幕函數(shù)的定義及一般形式

一般地，函數(shù)叫做暴函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2寡函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）常見的五種轅函數(shù)的圖象

(2)常函數(shù)的性質(zhì)

①所有的寡函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖象，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1).

②如果a>0,則基函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).

③如果a<0,則恭函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)：當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y

釉右方且無限地逼近)，軸；當(dāng)x無限增大時(shí)，圖象在x軸上方且無限地逼近x軸.

(3)常見的五種轅函數(shù)的性質(zhì)

解

21i

析y-xy=y=x3y=x2

y=-.X

式

定

義—————

域

值

—————

域

奇

偶—————

性

單

調(diào)

性

定

(1,1)

點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)3森函數(shù)的奇偶性

a為整數(shù),為偶數(shù)，/⑴為偶函數(shù)

必他為奇數(shù)，/（.E）為奇困數(shù)

/（》）=上〃為偶數(shù)時(shí)，/（、）為非奇非偶函數(shù)

a為分?jǐn)?shù)設(shè)a=幺.小在將Jq為奇數(shù)，/（x）為奇函數(shù)

P〃為奇數(shù)時(shí)彳4m有“\耳/田二將

[H為偶數(shù)t，/（工）為偶函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)4二次函數(shù)及其性質(zhì)

一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a工0）有如下性質(zhì)：

（1）函數(shù)y二0/+力工+^:的圖象是一條,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對(duì)稱軸是直線—.

（2）當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上.在區(qū)間（一8,一盤上，函數(shù)值），隨自變量％的增大而減小;在區(qū)間卜盤,+8）

上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.函數(shù)在％=處有最小值，即.

當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下.在區(qū)間（一8,-/]上，函數(shù)值），隨自變量x的增大而增大；在區(qū)間卜城,+8）

上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小.函數(shù)在x=-之處有最大值，即.

>探究核心考點(diǎn)<

考點(diǎn)一嘉函數(shù)的圖象

典例1.若雇函數(shù)），=『,），=/與y=x"在第一象限內(nèi)的圖象如學(xué)所示，則，〃與〃的取值情況為（）

B.-l</?<O</zz<—

2

C.-1</n<0<w<—D.—1</z<0</?;<1

2

典例2.(2025?江西??模)若直線與基函數(shù)y=>=?,>，=■!■的圖象從左到右依次交于

不同的三點(diǎn)A,B,C,則|AC|=()

A.--/2B.--PC.1一%D.近―廣

ttt

(o,+8)的圖象如圖所示，則函數(shù)&(力=1。8/+108“(2-同的圖象大致為()

跟蹤訓(xùn)練1.轅函數(shù)y=),=尸,),=%,在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線()

A.C,C2,g,C4B.G,C4,C3,C2

C.G，G,C,,C4D.C,,C4,G，G

跟蹤訓(xùn)練2.在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)/3=1。8/送（力=。7,網(wǎng)力=工”的部分圖象可能是（）

跟蹤訓(xùn)練3.塞函數(shù)/（“=/的圖象大致為（）

考點(diǎn)二基函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

典例L已知幕函數(shù)/（幻的圖像經(jīng)過點(diǎn)（31）,則（）

A./3）的定義域?yàn)镽B.7（x）為奇函數(shù)

C./0）為減函數(shù)D./（刈的值域?yàn)椤?8）

典例2.（2025?廣東?三模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在（0,*o）單調(diào)遞增的是（）

A.y=x3B.y=|x|+l

C.y=-x2+\D.），=2小

典例3.（2025?湖南?一模）已知寤函數(shù)/3=（〃『+2,〃-2）尸2在（0,+8）上單調(diào)遞增，則加的值為（）

A.1B.-3C.-4D.1或-3

典例4.已知事函數(shù)/（"=（＞-3〃?+3）/是口上的偶函數(shù)，且函數(shù)8（刈="6-%1在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞

減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.［3,+oo）B.（-co,l］C.（fl）D.（-8,1卜［3,+8）

跟蹤訓(xùn)練1.（2025?湖北?模擬預(yù)測(cè)）己知鼎函數(shù)/（X）=（2"'+〃?）/L2,則下列結(jié)論正確的是（）

A./&）為奇函數(shù)B./&）在其定義域上單調(diào)遞減

C./（/n+l）＞/（2）D./（〃1）＜/（-2）

跟蹤訓(xùn)練2.'曷函數(shù)f（x）=（〃/1）/+2d5在區(qū)間（0,+00）上單調(diào)遞增,且a+"0,則/（?）+/⑼的值（）

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷

跟蹤訓(xùn)練3.已知事函數(shù)）,=，（〃國eZ且互質(zhì)）的圖象關(guān)于），軸對(duì)稱，如圖所示，則（）

A.p,q均為奇數(shù)，且‘＞。

B.q為偶數(shù),〃為奇數(shù)，且/<。

C.夕為奇數(shù)，〃為偶數(shù)，且/〉0

D.，/為奇數(shù)，〃為偶數(shù)，且￡<()

考點(diǎn)三利用幕函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行大小比較

典例1."總"是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

典例2.(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃刈=(〃-I)"-為基函數(shù)，若〃=logo,30.4,^=log50.4,則()

A.f(ab)<f(a+b)<f(\)B.+

C.f(l)<f(a+b)<f(ab)D.f(a+b)<f(\)<f(ab)

跟蹤訓(xùn)練1.已知幕函數(shù)/（X）=（〃L1X的圖象過點(diǎn)d8）.設(shè)。=/（2°3）,〃=/（0.32）,c=/（log=0.3）,則。,

b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

跟蹤訓(xùn)練2.(多選)已知轅函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)字)

，P(x23Q(冷)3)(X<W)是函數(shù)圖象上

的任意不同兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是()

A.

B.?WJv巧f（巧）

C.-f----M---.-----f----M---

“X1

D.--------<----------

考點(diǎn)四基函數(shù)的綜合應(yīng)用

典例L（2025?天津?二模）已知函數(shù)丁=2公3（〃＜0）,則此函數(shù)是（）

A.偶函數(shù)，且在區(qū)間（3,0）上單調(diào)遞減B.偶函數(shù)，且在區(qū)間（0,+力）上單調(diào)遞增

C.奇函數(shù)，且在區(qū)間（YC,0）上單調(diào)遞減D.奇函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增

典例2.（2025?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力=/，若|/（內(nèi)）-/'（三）|=2,則氏-到的最大值為

跟蹤訓(xùn)練1.（2025?云南?模擬預(yù)測(cè)）已知幕函數(shù)/"）=（2加+3）￡,寫出一個(gè)使得不等式一1＜〃3-2力＜-］

6

成立的自然數(shù)X的值.

跟蹤訓(xùn)練2.已知事函數(shù)y=/『-2吁3（〃?wZ）的圖象關(guān)于）'軸對(duì)稱，旦在（0,+8）上單調(diào)遞減，則滿足

57）=＞（3-20'的實(shí)數(shù)”的取值范圍為（）

232

A.y,T)5§，5)B.(弋

23

C.D.

考點(diǎn)五二次函數(shù)的綜合應(yīng)用

典例1.若函數(shù)/（x）=f-2m,+4在［0,內(nèi)）上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

典例2.（2025?天津紅橋?模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)/（力=加+2*+°（1€1＜）的值域?yàn)椋?,內(nèi)），則：的最

小值為.

典例3.（2025?云南大理?模擬預(yù)測(cè)）已知/（%）,g（x）是定義域?yàn)镽的函數(shù),且例（力是偶函數(shù),g（x）是奇

函數(shù)，滿足/（x）+g（工）=奴2+3工+2,若對(duì)任意的1＜凡＜々＜2,都有/（X）［/?）＞_2成立,則實(shí)數(shù)〃的

X\~X2

取值范圍是（）

A.［0,-Ko）B.-g,0C.(4,+81

D.—,+oo

2

跟蹤訓(xùn)練1.已知函數(shù)f（x）=Y-4工一11,若則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

跟蹤訓(xùn)練2.已知當(dāng)+時(shí)，函數(shù)/"）=/-2工+1的最大值為4,則。的值為

跟蹤訓(xùn)練3.已知函數(shù)/（司=丁-（/+2〃卜+16,若當(dāng)x>0時(shí)，〃司>0恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

是?

>三階突破訓(xùn)練<

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2025?上海?模擬預(yù)測(cè)）基函數(shù)尸x"在（0,+。）上是嚴(yán)格減函數(shù)，且經(jīng)過（T7）,則。的值可能是（）.

211

A.—B.—C.-D.3

333

2.（2025?江蘇鹽城?三模）"/〃=2〃是"/（力=（，〃2_〃1）/+2吁3為豪函數(shù),,的（）條件.

A.充要B.必要不充分C.既不充分也不必要D,充分不必要

3.（2025?廣東揭陽?三模）下列函數(shù)是奇函數(shù)且在（0,y）上單調(diào)遞增的為（）

A.丁==B.y=yC.）'=愴.+&+]）D.y=sinx

4.（2025?云南昆明?一模）已知函數(shù)/。）=工“一1（a>0）,實(shí)數(shù)機(jī)，〃滿足/（加）+/5）=4,八切）/（〃）=3,

則/（加）=（）

A.1B.7C.8D.12

5.（2025?青海西寧?二模）已知函數(shù)/（x）=e/a在區(qū)間（-2,7）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是（）

A.[0,+oo）B.[-2,*0）C.（-20,0]D.（-co,-2]

2x,x<ni

6.（2025?河南南陽?模擬預(yù)測(cè)）已知/*）={2,「是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

x-4X+J,X>in

A.[1,2]B.[2,5]C.[2,-K?)D.[5,+oo)

—X'r<2

7.（2025?湖北宜昌?二模）已知函數(shù)/（"=4''"的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

log”x,x>2

A.⑵+8)B.(1,72]C.(1,72)D.[&,+8)

二、填空題

8.（2025?上海浦東新?三模）已知幕函數(shù)『=（>+機(jī)-5戶1在（0,+8）上嚴(yán)格增，則實(shí)數(shù)機(jī)=

9.（2025?甘肅定西?模擬預(yù)測(cè)）已知鼎函數(shù)/（.r）=f的定義域?yàn)镽,其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在（0,+8）上

單調(diào)遞增，則。的值可以是.（寫出一個(gè)即可）

Q

10.（2025?全國?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)=]（4>0且戶1,〃>0）的圖象過定點(diǎn)4,且點(diǎn)A在累函數(shù)

〃（X）=（3〃L2）X"㈤上，則〃=.

能力提升

一、單選題

11.（2025?湖南婁底?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（幻=卜「：2"+3。/〈-1，在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范

圍是（）

A.y,-l]B.f-1,0]C.[0,1]D.[-1,1]

12.（2025?黑龍江齊齊哈爾?三模）已知點(diǎn)（八9）在轅函數(shù)/（X）=（〃L2）X”的圖象上，設(shè)“=7—1,

Z?=/（ln2）,c=j[3點(diǎn)），則（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a

13.（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測(cè)）已知/（'=&一。）2,g（x）="V3=|g(x)j(x)<g(x)‘若〃⑴,恒

成立，則。的取值范圍是（）

A.[0,1]B.[-1,0]C.[L-KX>）D.F

14.（2025?江蘇南通?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若對(duì)于任意壯1,/（卜-。|）>/閭，則實(shí)數(shù)

?Xi"1,X>vzj\X/

”的取值范圍是（）

A.（-coj）B.（-1,+oc）C.卜8,；）D.（-1,1）

15.（2025?貴州黔南?三模）設(shè)函數(shù)〃力=〃2_巾+4,當(dāng)x>4時(shí)，〃力<0,則〃的取值范圍為（）

A.[—4,2]B.[—2,1]C.[—1,2]D.[—2,4]

16.（2024?安徽淮北?二模）當(dāng)實(shí)數(shù)f變化時(shí)，函數(shù)/⑺二,十心武工可最大值的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

二、填空題

'口

17.（2025?河南?三模）已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)兒使函數(shù)）'=/（6-〃恰有三個(gè)零點(diǎn)，

則a的取值范圍為.

真題感知

一、單選題

18.（2025?天津?高考真題）函數(shù)“r）=03-五的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）

A.（0,0.3）B.（0.3,0.5）C.（0.5,1）D.（1,2）

19.（2024?新課標(biāo)國卷?高考真題）已知集合4={乂-5</<5},8={-3,-1,0,2,3},則（）

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}

20.（2023?天津?高考真題）設(shè)〃=1.01°5,力=1.（）1。64=0.6。5,則。也c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

第03講幕函數(shù)與二次函數(shù)

目錄

考情探究............................................................2

知識(shí)梳理............................................................2

探究核心考點(diǎn)........................................................4

考點(diǎn)一基函數(shù)的圖象.....................................................................4

考點(diǎn)二基函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性.........................................................7

考點(diǎn)三利用基后數(shù)單調(diào)性遂行大小比較..................................................8

考點(diǎn)R基濟(jì)數(shù)的綜合應(yīng)用.................................................................9

考點(diǎn)五二次函數(shù)的綜合應(yīng)用..............................................................9

三階突破訓(xùn)練.......................................................10

基礎(chǔ)過關(guān)..................................................................................10

能力提升..................................................................................11

真題感知..................................................................................12

A考情探究＜

一、5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

2。24年新I卷，第1題,5分解三次不等式交集的概念及計(jì)算

2023年新I卷，第1題,5分二次函數(shù)圖象解不等式集合間的基本運(yùn)算

二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值

2023年新I卷，第4題,5分

或范圍判斷指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

二、命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握基函數(shù)的基本

性質(zhì)，難度中等偏下

【備考策略】1.掌握基函數(shù)的定義及一般形式，掌握），=X,），=丁,y=x3,y=x"=’,y=x，=6的圖象

X

和性質(zhì)

2.理解并掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等）

3.理解并掌握基函數(shù)y=/，a=幺（。/0）的單調(diào)性和奇偶性

P

4.會(huì)解一元二次不等式、分式不等式、單絕對(duì)值不等式和高次不等式

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容會(huì)結(jié)合其他函數(shù)內(nèi)容綜合考查，需綜合性學(xué)習(xí)備考

A知識(shí)梳理.

知識(shí)點(diǎn)1幕函數(shù)的定義及一般形式

一般地，函數(shù)y=xa叫做尋函數(shù)，其中x是自變量，。是常數(shù).

知識(shí)點(diǎn)2寡函數(shù)的圖象和性質(zhì)

（1）常見的五種轅函數(shù)的圖象

(2)常函數(shù)的性質(zhì)

①所有的寡函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上都有定義，因此在第一象限內(nèi)都有圖象，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1).

②如果a>0,則基函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+8)上是增函數(shù).

③如果a<0,則恭函數(shù)在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)，且在第一象限內(nèi)：當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y

釉右方且無限地逼近)，軸；當(dāng)x無限增大時(shí)，圖象在x軸上方且無限地逼近x軸.

(3)常見的五種轅函數(shù)的性質(zhì)

解

211

析y-xy=y=x3y=x2

y=-.X

式

JV

圖

象JL

-MJ(Vor_*

定

義_R—_R_____R_____{"%H0}一_W，+8)____

域

值

_R____[0,+oo)__R_____{y1y工o)_,[。,+8)____

域

奇

偶_奇函數(shù)__偶函數(shù)__奇函數(shù)__奇函數(shù)__非奇非偶函數(shù)_

性

單_(-oo,0]±_(一8,0)上減,

一增—一增——增_____

調(diào)減，(0,+8)上(0,+8)上減_

性增_____

定

(1,1)

點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)3森函數(shù)的奇偶性

必赦將位為偶數(shù)，/⑴為偶函數(shù)

a為整數(shù)《

必他為奇數(shù)，/(R)為奇困數(shù)

/(》)=上〃為偶數(shù)時(shí)，/(')為非奇非偶函數(shù)

a為分?jǐn)?shù)設(shè)。=幺q為奇數(shù)，/(x)為奇函數(shù)

〃為奇數(shù)時(shí)

Pq為偶數(shù)，/(x)為偶函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)4二次函數(shù)及其性質(zhì)

一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a工0)有如下性質(zhì):

2

(1)函數(shù)y=a/+.+c的圖象是一條_拋物線—，頂點(diǎn)坐標(biāo)是一(-/b,4ac-b)—，對(duì)稱軸是直線_

b

X=---

2a

(2)當(dāng)Q>0時(shí)，拋物線開口向上.在區(qū)間(-8,-2上，函數(shù)值)，隨自變量上的增大而減小;在區(qū)間卜盤,+8)

函數(shù)在％=一^處有最小值，即—暇J.

2a4a

當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下.在區(qū)間(一8,—/］上，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；在區(qū)間卜段,+8)

上，函數(shù)值y隨自變量人的增大而減小.函數(shù)在x--方處有最大值，即—想薩—?

A探究核心考點(diǎn)<

考點(diǎn)一募函數(shù)的圖象

典例1.若需函數(shù)y=x=廣與），=（1在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則，"與〃的取值情況為（）

A.B.-1</?<0</??<—

2

C.-\<in<O<n<-D.-1</1<0</??<1

2

【答案】D

【分析】根據(jù)基函數(shù)的圖像性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解.

【詳解】當(dāng)。>0時(shí)，塞函數(shù)y=在（0,+8）上單調(diào)遞增，且0<a<l時(shí)，圖象上凸，「.OVECI.

當(dāng)以<0時(shí)，基函數(shù)y=￡在（0,+?）上單調(diào)遞減.不妨令工=2,由圖象得2」〈2"，則一lv〃<0.

綜上可知,-l<n<0<m<l.

故選擇:D.

典例2.（2025?江西?一模）若直線y=?O</<D與基函數(shù)y=y=?,，，=?!■的圖象從左到右依次交于

X

不同的三點(diǎn)A,B,c,則kq=（）

A.—t2B.—廣'C.—y[tD.\[t—t2

ttt

【答案】A

【分析】求得交點(diǎn)AC的橫坐標(biāo)，比較大小可求|A。.

【詳解】當(dāng)了二，時(shí)，由尸「得戶S；由y=4,得x=〃；由y=L得x=L

Xt

因?yàn)镺vrvl,所以），=〃是關(guān)于/的減函數(shù).

乂—i<g<2,所以>>0>/，所以卜。=；—產(chǎn)

故選：A.

【分析】根據(jù)給定的基函數(shù)圖象可得Ov〃vl,再變形函數(shù)以外并由函數(shù)值的特性得解.

【詳解】由鼎函數(shù)圖象可得0<々<1,

2

函數(shù)g(x)=log/+log”(2—x)=logu(2A-A-)=logJ-U-D-+l］定義域?yàn)?0,2),

而0<-(X-1)2+1K1,則gCONO恒成立,BCD錯(cuò)誤,A正確.

故選：A

；在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線()

A.G,C],G，°4

c.G，c2,C，CAD.C,,G，G，G

【答案】D

【分析】根據(jù)哥函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】根據(jù)基函數(shù)）=X"的性質(zhì)可知，在第一象限內(nèi)的圖像，當(dāng)〃>0時(shí)，圖像遞增,

且〃越大，圖像遞增速度越快，由此可判斷G是曲線y=f,C?是曲線）,=）：

當(dāng)〃<（）時(shí)，圖像遞減，且回越大，圖像越陡，由此可判斷G是曲線丫=￡：，

C4是曲線y=綜上所述某函數(shù)y=y=fy=j，y=x~^

在第一象限內(nèi)的圖象依次是如圖中的曲線G，孰,C2,G.

故選：D.

跟蹤訓(xùn)練2.在同一個(gè)坐標(biāo)系中，函數(shù)/（力=1。8/送（"=武,人3=犬的部分圖象可能是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和寤函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合排除法即可求解.

【詳解】因?yàn)?（"=10gdg（X）==夕在同一坐標(biāo)系中，

所以/（x），g（x）的單調(diào)性一定相反，且/（x）,g（x）圖象均不過原點(diǎn)，故排除AD：

在BC選項(xiàng)中，過原點(diǎn)的圖象為基函數(shù)〃（力=犬的圖象，

由圖象可知0<a<l，所以〃力=1留心單調(diào)遞減,8（力=尸單調(diào)遞增,故排除B,

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練3.轉(zhuǎn)函數(shù)/的圖象大致為（）

yt

A.--------------?B.---------------------?C.---------TV7\------

-------^\OxO\xf\Ox

D.

【答案】B

【分析】根據(jù)基函數(shù)的定義域及奇偶性判斷圖象即可.

【詳解】幕函數(shù)/(6=%=y了的定義域?yàn)镽,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

因?yàn)椤═)=4二孑=V7="V，所以/(X)為偶函數(shù)，故A,c選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

考點(diǎn)二幕函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

典例1.已知某函數(shù)/(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(34),則()

A./*)的定義域?yàn)镽B./(?為奇函數(shù)

C./(%)為減函數(shù)D./(X)的值域?yàn)椤?nèi))

【答案】D

【分析】根據(jù)圖象過點(diǎn)求出函數(shù)解析式，再由解析式判斷定義域、單調(diào)性、奇偶性、值域得解.

【詳解】設(shè)/5)=/，

由函數(shù)/(幻的圖像經(jīng)過點(diǎn)(34),則3a=g,解得。=-2,

所以/(x)=x-'=-V，故函數(shù)的定義域?yàn)?-8,0)(0,E),故A錯(cuò)誤；

X

由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱及Z(-x)=/(x)可知函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

由f(x)=4■在(F,O)J(O,”)上無單調(diào)性，故C錯(cuò)誤；

■A

因?yàn)榘嘶?±>0,故八”)的值域?yàn)?0,+8),故D正確.

X

故選：D

典例2.(2025?廣東?三模)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在(。,*0)單調(diào)遞增的是()

A.y=x3B.y=|x|+l

C.y=-x2+\D.y=2'w

【答案】A

【分析】利用奇偶性及單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)y=d是奇函數(shù)，在(0,+ao)上單調(diào)遞增，A是;

對(duì)rB,函數(shù)y=U1+l是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，B不是；

對(duì)于C,函數(shù)y=+i是偶函數(shù).不是奇函數(shù)，c不是；

對(duì)「D,函數(shù))，=2由是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)，D不是.

故選:A

典例3.(2025?湖南?一模)已知嘉函數(shù)/3=(〃/+2〃?-2卜2在(0,+8)上單調(diào)遞增，則,〃的值為()

A.1B.-3C.-4D.1或-3

【答案】A

【分析】根據(jù)尋函數(shù)定義和函數(shù)單調(diào)性列出關(guān)于胴的方程和不等式即可求解.

【詳解】由題意可得二2二二"m=-3或=1

=>冽=1.

m>-2

故選:A

典例明已知冢函數(shù)/(%)=(-3〃"3)*“足1<上的偶函數(shù)，且函數(shù)8(工)=/(6在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞

減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.［3,-K?)B.(-co,l］C.(y/)D.(-8/卜［3,+8)

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)得到〃［=2,則網(wǎng)力二丁-2奴，其對(duì)稱釉方程為x=%根據(jù)單調(diào)性得到不等式，

求出答案.

【詳解】因?yàn)檗D(zhuǎn)函數(shù)/(x)=(，/3,，"3)/是R上的偶函數(shù)，

則〃/一3"+3=1,解得〃7=1或，〃=2,

當(dāng)〃?=1時(shí)，f(x)=x,該函數(shù)是奇函數(shù)，不合乎題意；

當(dāng)加=2時(shí)，/(x)=x2,該函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，合乎題意，所以/(力=］2,

則g(x)=f-2ar,其對(duì)稱軸方程為x=a,

因?yàn)間(x)在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞減，則aN3.

故選：A.

跟蹤訓(xùn)練1.(2025?湖北?模擬預(yù)測(cè))已知哥函數(shù)/(幻=(2"+同r2,則下列結(jié)論正確的是()

A.八幻為奇函數(shù)B./*)在其定義域上單調(diào)遞減

C./(/n+l)>/(2)D./(〃1)</(-2)

【答案】C

【分析】由第函數(shù)的定義求出加=0,由函數(shù)奇偶性得到A錯(cuò)誤，求出定義域，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，從

而判斷BCD.

【詳解】因?yàn)?*)=(2'"+⑼廿々是某函數(shù)，根據(jù)事函數(shù)的定義可知2機(jī)+旭=1,

當(dāng)7=0時(shí),20+0=1,等式成立,

因?yàn)?,=2'"+m在R上單調(diào)遞增,故，〃=0為唯一解.

此時(shí)/(X)=廠2=」，其定義域?yàn)?-00,())J(0,+00).

x

A選項(xiàng)，/(-x)=-^-T=-^=/(x),所以f(x)是偶函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

(T)X”

1?

B選項(xiàng)，對(duì)/*)=-r求導(dǎo)，可得f'(x)=--r.

當(dāng)工>0時(shí)，r(x)<o,當(dāng)xvo時(shí)，r(x)>o,

f(x)在(YO,0)上單調(diào)遞增，在(0,+co)上單調(diào)遞減，

所以/3)在其定義域上不單調(diào)遞減的，B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，m+l=l,/。)=-^在(。,*0)上單調(diào)遞減.

x~

因?yàn)?<2,所以/⑴>/(2),即f(〃?+l)>/(2),C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，〃-1=T,/(幻在(-8,0)上單調(diào)遞增,-2<-1,

所以gp/(m-l)>/(-2),D錯(cuò)誤.

故選：C.

跟蹤訓(xùn)練2.嘉函數(shù)/(X)=(1T〃_1)/+2I在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增，且a+h>0,則/(〃)+/⑸的值()

A.恒大「0B.恒小于0C.等于0D,無法判斷

【答案】A

【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)解析式，再由奇偶性與單調(diào)性判斷即可.

【詳解】由函數(shù)f(x)=是暴函數(shù),可得〃『一〃7-1=1，解得〃?=2或加=一1.

當(dāng)"?=2時(shí)，/(幻=胃；當(dāng)，〃=-1時(shí)，fM=x-6.

因?yàn)楹瘮?shù)/5)在(0，十功上是單調(diào)卷增函數(shù)，故/(x)=V.

又a+b>3所以。>一力，所以f(a)>f(-b)=-f(b),貝(/⑷+。(。)>0.

故選：A.

跟蹤訓(xùn)練3.已知哥函數(shù)）,=/（PMeZ且〃國互質(zhì)）的圖象關(guān)于），軸對(duì)稱，如圖所示，則（）

A.p,q均為奇數(shù)，且‘>。

q

夕為偶數(shù)，〃為奇數(shù)，且‘<。

4為奇數(shù)，〃為偶數(shù)，且￡>0

q

D.g為奇數(shù)，〃為偶數(shù)，且￡<。

【答案】D

【分析［根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷出4<0;根據(jù)函數(shù)的奇偶性及〃，4互質(zhì)可判斷出〃為偶數(shù)，夕為奇數(shù).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)）,=/的定義域?yàn)椋?8，。）.（0，”），且在（。,微）上單調(diào)遞減,

所以‘<0，

q

因?yàn)楹瘮?shù)尸丁的圖象關(guān)于y軸無■稱，

所以函數(shù)二/為偶函數(shù)，即〃為偶數(shù)，

又P、夕互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，

所以選項(xiàng)D正確，

故選：D.

考點(diǎn)三利用嘉函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行大小比較

典例1."肪"是的（

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)y=j的單調(diào)性結(jié)合充分條件和必要條件的定義，即可判斷.

【詳解】由v=/是R上單調(diào)增函數(shù)，得加>次oa>b.

故"赤〉版"是為充要條件.

故選：C.

典例2.(2025?遼寧?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃刈=(〃一1)/”‘為事函數(shù)，若〃=k)go.304,=log.0.4,則()

A.f(ab)<f[a+b)<f(\)B./(〃+/?)</(〃?)</⑴

C..f(\)<f(a+b)<f(ab)D.f(a+b)<f(1)<f(ab)

【答案】B

【分析】由轅函數(shù)的定義得膽的值，得/(x)=￡l根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logo.4的單調(diào)性性質(zhì)及換底公式得到

ab<a+b<0,再利用基函數(shù)〃x)=/單調(diào)性比較大小得到3v〃他)v〃l)即可.

【詳解】由/(司=(，〃-1)15為甯函數(shù)，得加一1=1

和〃=2,所以/(*)=/,所以/⑴=|,

又10go31<log0J0.4<log030.3,所以0<a<1,

又log,0.4<log?1,所以8vO,

由換底公式得a=log。)0,4=--------,b=log?0.4=1,

log(u°?3logo43

所以,+；==log0403+log043=Iog040.9,

abab

又0vlog°s0.9vl,所以。<竺2<1,得"va+HO.

ab

又〃力=/在區(qū)間(F,0)內(nèi)單調(diào)遞減，所以/(〃+〃)</(妨)<0.

綜上，/(?+^)</(^)<0</(1).

故選:B.

跟蹤訓(xùn)練1.已知鼎函數(shù)/(幻=(〃一)/的圖象