北師大版九年級（上）數(shù)學(xué)期末試卷+解析

北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期末試卷

考試范圍：九上第1章-九下第2章；考試時間：150分鐘；總分：150分

注意事項：

1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息

2.請將答案正確填寫在答題卡上

第［卷（選擇題）

評卷人得分

-----------------一、單選題

1.已知2=5,則工的值是（）

aa+b

A.--B.--C.-D.-

3333

【答案】A

【分析】由工5,可得力=5”，然后代入r，即可求出其值.

aa+b

【詳解】解：W=5,

；.b=5a,且aW0,

rniia-ba-5a-4a2

則--=----=---=---,

a+ba+5a6a3

故選:A.

【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確運用基本性質(zhì).本題中要先確定。與力的關(guān)系，再確

定a-b與a+b的關(guān)系.

2.如圖是一個正五棱柱，它的俯視圖是（）

【答案】B

第1頁共24頁

【分析】根據(jù)俯視圖的定義：從上方看幾何體得到的圖形叫幾何體的俯視圖，直接判斷即可得到答案.

【詳解】解：由圖像可得，

正五棱柱的俯視圖是長方形，中間有三條線，兩條虛線一條實線，

故選B.

【點睛】本題考查俯視圖的定義：從上方看幾何體得到的圖形叫幾何體的俯視圖，解題的關(guān)鍵是注意能看

到的是實線看不到的是虛線.

3.如果反比例函數(shù)y="的圖象位于第二、四象限，那么k的取值范圍是()

A.k<2B.k<-2C.k>2D.k>-2

【答案】A

【分析】由反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，得出2<0,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，

：.k-2<0,

：.k<2,

故選：A.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象以及性質(zhì)；熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證

是解決問題的關(guān)鍵.

4.已知一元二次方程(a+1)爐+2旅+(a+1)=0有兩個相等的實數(shù)根，則下面選項正確的是()

A.1一定不是方程+bx+G=0的根B.0一定不是方程X2+bx+Q=0的根

C.1和一1都是方程X2+bx+a=o的根D.1和一1不都是方程X2+bx+a=0的根

【答案】D

【分析】先根據(jù)一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根得到/=(2b)2—4(Q+4=0,據(jù)此求出a-b+l=O或。

+方+1=0,從而判斷出1和-1不都是方程d+bx+a=0的根.

【詳解】解：???一元二次方程(a+1)必+2取+(a+1)=0有兩個相等的實數(shù)根，

???/=(2b)2-4(a+1)2=0,

.*.fc2=(a+l)2,

，力=。+1或h=-a-l,

，Q-b+l=O或a+b+l=O,

當(dāng)”-〃+l=0時，x=-l是方程(+bx+a=0的根，

當(dāng)a+6+1=0時，x=l是方程/|bxIa=0的根，

第2頁共24頁

Al和-1不都是方程%2+bx+a=O的根，

而0有可能是方程必+bx+a=Q的根，

故選：D.

【點睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程?2+與+c=0(QH0)的根與A=b2-4ac

有如下關(guān)系：①當(dāng)/>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)/=0時，，方程有兩個相等的兩個實數(shù)

根；③當(dāng)4V0時，方程無實數(shù)根.

5.已知與、必是一元二次方程，一6%+3=0的兩個實數(shù)根，則與冷的值為()

A.6B.-6C.一3D.3

【答案】D

【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求解即可.

【詳解】解：???巧、不是一元二次方程6%+3=0的兩個實數(shù)根，

??x?=3,

故選：D

【點睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系.

6.如圖，||l2II13,直線。、〃與小12>%分別相交于點力、B、。和點。、仄￡若43=3,DE=2,EF=4,

【答案】C

【分析】由。11%II的可得普=需再代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計算即可.

L/CCI

【詳解】解：llIIl2II%，

A3_DE

'EF'

???48=3,DE=2,EF=4,

32

,,正一不

??.BC=6,經(jīng)檢驗符合題意.

第3頁共24頁

故選c

【點睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握"兩條直線被一組平行線所截得的對應(yīng)線段成比例〃是解本

題的關(guān)鍵.

7.如圖，長30m,寬20m的矩形基地上有三條寬％m的小路，剩余522m2種花，依題意列方程()

A.20%+30X2%=600—522B.20%+30x2%—x2=600—522

C.(20-2x)(30-x)=522D.(20-x)(30-2%)=522

【答案】C

【分析】根據(jù)題意可得種植花苗的部分可以合成長(30-x)m,寬(20-2x)m的矩形，從而即可得出關(guān)于x

的一元二次方程，此題得解.

【詳解】解：?.?長30m,寬20m的矩形基地上有三條寬xm的小路，

???種植花苗的部分可以合成長(30-x)m,寬(20-2%)m的矩形，

根據(jù)題意得：(20-2%)(30-％)=522,

故選：C.

【點睛】本題主要考杳了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題

的關(guān)鍵.

8.將拋物線y=-2無2+1繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，則旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式為()

A.y=2x2B.y=2x2+1C.y=-2x2-1D.y=2x2-1

【答案】D

【分析】先求得拋物線的頂點坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)旋轉(zhuǎn)不改變函數(shù)圖象形狀大小，只改變開口方向，得到新的

拋物線的頂點坐標(biāo)，進(jìn)而求解

【詳解】解：??3=-2d+1的頂點坐標(biāo)為(0』)，繞原點。旋轉(zhuǎn)180。，新的拋物線的頂點坐標(biāo)為(0,-1),

且開口朝上，大小不變，即a=2

工旋轉(zhuǎn)后拋物線的解析式為y=2M-1

故選D

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，丫=。必+上缶工0)的圖象與性質(zhì)，求得旋轉(zhuǎn)后的頂點坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

9.兩個三角形相似比是2:3,其中小三角形的周長為18,則另一個大三角形的周長是()

第4頁共24頁

A.12B.18C.24D.27

【答案】D

【分析】根據(jù)周長比等于相似比，進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：???兩個三角形相似比是2:3,

，兩個三角形的周長比為：2:3,

???小三角形的周長為18,

工大三角形的周長是18X3+2=27；

故選D.

【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì).熟練掌握相似三角形的周長比等于相似比，是解題的關(guān)鍵.

2x

10.已知拋物線y=ax-2ax4-c(a<0)過點4a1,m),B^x2,Tn),C(x3,n),D(x4,n),其中；q<x2?3<

若仇>小則下列式了一定正確的是()

A.0<—<1B.0<—<1C.—>1D.—>1

X3X4X3X4

【答案】B

【分析】由題意可得%對=一券=1,可得當(dāng)時，y隨%增大而減小，當(dāng)xvl時，y隨%增大而增大，由

%1<x2?X3<%4，rn>n,可知不</V1<小<仙，進(jìn)而可判斷答案.

2

【詳解】解：Vy=ax-2ax+c(a<0),A(xltm)tB(x2,rn),C(x3,n)fD(x4,n),

???拋物線的對稱軸為：“對二一愛=1,

則當(dāng)％>1時，y隨x增大而減小，當(dāng)xv1時，y隨x增大而增大，

*.*X1<x2?x3<%4?rn>n,

,不<Xi<1<x2<x4,

Vx3,力的正負(fù)不能確定,

???也的值可能為負(fù)，

1V%2Vx4，

0<WV1,

X4

故選：B.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

第5頁共24頁

第II卷(非選擇題)

評卷人得分

11.如圖，在AABC中，48=8,8c=14,D,E分別是邊力從4c的中點，點尸在。E上，且乙4尸B=90。,

則EF的長是___________

【答案】3

【分析】根據(jù)三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】解：???點。，E分別是邊AB,AC的中點，

???DE是△4BC的中位線，

?:BC=14,

：.DE=^BC=7,

,：z.AFB=90°,AB=8,

?"T"=%

：.EF=DE-DF=7-4=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

12.若關(guān)于x的一元二次方程ad+.+2=0(Q豐0)有一根為％=2021,則一元二次方程a(x-I)2+b(x-

1)=-2(a*0)必有一根為.

【答案】2022

【分析】把所求一元二次方程-I)2+b(x-1)=-2(a工0)變形，再與原一元二次方程a，+bx+2=

0(a。0)比較即可求出答案.

【詳解】解：???0%2+版+2=0940)有一根為％=2021,

將一元二次方程a。-I)2+b(x-1)=-2(a豐0)變形得a(x-I)2+b(x-1)+2=0(a豐0),

：.x-l=2021,即％=2022,

第6頁共24頁

故答案為:2022.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的變形，掌握一元二次方程未知數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

13.往往高端的食材，只需要采用樸素的烹飪方式.當(dāng)某房間里累積了足夠多的丸子時，令人期待的午餐,

也就飄香四溢了.在一個四宮格火鍋里有倒卜?了兩種鍋底，?種是清湯鍋底，一種是麻辣鍋底.小伙伴們

將100粒丸子隨機投入四個宮格中，將其都裝出后拿出房間，外面的小伙伴數(shù)了數(shù)有49粒是清湯味的，估

計倒入紅湯鍋底的宮格數(shù)是

【答案】1

【分析】先求出清湯味的概率進(jìn)而求出清湯味的宮格數(shù)為2,由此即可得到答案.

【詳解】解：???一共有100粒丸子，其中有49粒是清湯味的，

，清湯味的概率為器-0.5,

又?.?一共有4個宮格，

???清湯味的宮格數(shù)為2,

又???在一個四宮格火鍋里有倒下了兩種鍋底，一種是清湯鍋底，一種是麻辣鍋底，

???紅湯鍋底的宮格數(shù)為1,

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查了用頻率估計概率，用概率求數(shù)量，正確求出清湯味的宮格數(shù)為2是解題的關(guān)鍵.

14.AJO4三個頂點的坐標(biāo)分別為出5,0),0(0,0),以3,6),以原點。為位似中心，相似比為j將△408

縮小，則點4的對應(yīng)點8的坐標(biāo)是.

【答案】(1,2)或(-1,-2)/(-1,-2)或(1,2)

【分析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)解答即可.

【詳解】解：???△403頂點3的坐標(biāo)為(3,6),以原點O為位似中心，相似比為%將△4OB縮小，

???點4的對應(yīng)點夕的坐標(biāo)為(3x；,6x1)或[3x(-?6x(-1)],即(1,2)或(-1,-2),

故答案為：(1,2)或(-1,-2).

第7頁共24頁

【點睛】本題考查的是位似變換的性質(zhì)，在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似

比為A,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或

15.若二次函數(shù)y=2(x-1)2+1的圖象先向左平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到函數(shù)

的解析式為.

【答案】y=2(x+1)2-1

【分析】直接根據(jù)"上加下減，左加右減〃的原則進(jìn)行解答.

【詳解】解：將拋物線y=2(x-1)2+1向左平移2個單位，再向下平移2個單位得到y(tǒng)=2(x-1+2)2

+1-2.故得到拋物線的解析式為y=2(x+1)2-1.

故答案為：y=2(x+1)2-l.

【點睛】本題考查二次函數(shù)平行問題，熟記口訣是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，正方形4BCD的邊長為8,E是CD邊上的動點(E不與C,D重合)，△ME與△ADE關(guān)于直線4E

對稱，把△AOC繞點力順時針旋花90。得到△AOG,連結(jié)PG,『C.現(xiàn)有以下結(jié)論：

①乙/=ADAF：

②次?的最小值為8或-8：

③當(dāng)DE=2時，G尸=10；

④當(dāng)E為CC中點時，C尸所在直線垂直平分4G.

其中一定正確的是.(寫出所有正確結(jié)論的序號)

【答案】②③

【分析】如圖，連接BE,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到"=/10,Z-EAD=Z.EAF,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

LGAB=LEAD.求得乙G力瓦4F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到FG=8￡根據(jù)正方形的性質(zhì)得到

BC=CD=AB=8,根據(jù)勾H殳定理即可得至IJ結(jié)論；

【詳解】解：如圖，連接BE,

第8頁共24頁

???△AFE^j^ADE關(guān)于4E所在的直線對稱，

AF=AD,Z-EAD=Z-EAF,

???△4/無按順時針方向繞點A旋轉(zhuǎn)9。"得到△ABG,

AG=AE,Z.GAB=Z-EAD,

AZ.GAB=Z.EAF

z.GAB+^.BAF=^.BAF+z.EAF,

???Z.GAF=Z.EAB,

故①錯誤；

當(dāng)CFIE尸時,CF有最小值，此BTNCFE=90。,

AZ.AFE=90°,

/.Z.AFE+Z.CFE=180°,

??.4F、C三點共線，

即CF有最小值時，點尸在對角線AC上，

Z.ACD=45°,

EF=CF,

CE=V2EF,

???CE+EF=8,

二夜EF+EF=8,

AEF=-^—=8>/2-8,

企+1

???CF=8V2-8,

故②正確；

在aGAF和△EAB中，

(AG=AE

\z.BAG=Z.EAF,

(AF=AB

.??△G/IFw△EAB(SAS),

第9頁共24頁

FG=BE,

???四邊形48CD是正方形,

???BC=CD=AB=8.

???DE=2,

???CE=6,

在RtA8CE中，BE=y/BC2+CE2=>j82+62=10,

:.GF=10,

故③正確；

當(dāng)E為CD中點時，BG=DE=4,

???CG=BC+BG=12,

又AC=>/AD2+CD2=8V2,

**?CG*CAj

點C不在AG的垂直平分線上，

二CF所在直線不會垂直平分AG,

故④錯誤；

故答案為：②③.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線

構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

評卷入得分

17.解下列一元二次方程

(1)3/+5(2x+l)=0；

(2)4X2-4A+1=/+6工+9.

【答案】(1)(2)工=4或工=

【分析】(1)將方程化為一般式，確定a,b,c值，代入公式求解:

(2)將方程左右兩邊配成完全平方式，利用直接開平方法求解.

【詳解】(1)V3x2+5(2x+l)=0,

/.3x2+10x+5=0,

3—3?b—10,c—5,

第10頁共24頁

.*.△=100-4x3x5=40〉0,

.一10士、硒-5±Vio

??x=——-——=---

63

(2)4x2-4x+l=x2+6x+9,

:、(2x-l)2=(x+3)2,

A2x-1=±(x+3),

/.x=4或x=-1

【點睛】本題考查解一元二次方程，掌握解方程的步驟及根據(jù)系數(shù)特征選擇合適的解法是解答此題的關(guān)鍵.

18.如圖，。力。。。的對角線力C，8。相交于O,AE=CF.求證：DE=BF.

【答案】詳見解析

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得8。=。。，NO=C。，再利莊等式的性質(zhì)可得反?=產(chǎn)。，然后再利用S4S

定理判定凡進(jìn)而利用平行四邊形的判定和性質(zhì)解答即可.

??,四邊形"是平行四邊形,

：,BO=DO,AO=CO,

??NE=CF,

：.AO-AE=CO-FO,

:?EO=FO,

在△8OE和△OO產(chǎn)中，

(BO=DO

I乙BOE=LDOF,

(EO=FO

:.△BOEQXDOF(SAS),

:?BE=DF,ZBEO=ZDFO,

第11頁共24頁

:.BE//DF,

???四邊形4瓦必是平行四邊形,

:?BF=DE.

【點睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的對角線互

相平分，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

19.學(xué)完了《圖形的相似》這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實踐小組決定利用所學(xué)知識去測量一古建筑力B的高度（如

圖1）,如圖2,在地面上取E,G兩點，分別豎立兩根高為2G的標(biāo)桿E尸和G"，兩標(biāo)桿間隔EG為27m,

并且古建筑A8,標(biāo)桿E尸和GH在同一豎直平面內(nèi)，從標(biāo)桿EF后退2m到。處，從。處觀察力點，A,F,。三

點成一線；從標(biāo)桿G”后退4m至此處，從C處觀察X點，4,H,C三點也成一線，請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫

助實踐小組求出該古建筑的高度.

A

卜、

BEDGC

圖1圖2

【答案】29m

【分析】設(shè)E8=xm,由題意可知兩組三角形相似，利用相似比找出關(guān)于x的方程，即可求出建筑物43的

高度.

【詳解】解：由題意可知：ADFEMDAB,△CHGCAB

FEDEHGCG

?e?=11,

43DBABCB

???EF=HG=2,

茄一布'

DE_CG

DB-CB"

設(shè)xm,則」=4

￡B=4+27+x,

解得:x=27,

—FE=一DE，

A3DB

.2_2

""A3~27+2’

第12頁共24頁

AB=29.

答：該占建筑高29m.

【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，求出=的值是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，一次函數(shù)y=%+b的圖象經(jīng)過點8（-1,0）,且與反比例函數(shù)y=g（x>0）的圖象在第一象限交

于點力（1,n）.

⑴求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）當(dāng)1vXV6時，求反比例函數(shù)y的取值范圍.

【答案】（l）y=%+1,y

（2）\<y<2

J

【分析】（1）根據(jù)題意首先把點網(wǎng)一1,0）代入一次函數(shù)y=%+b求出一次函數(shù)解析式，又點人（1,九）在一

次函數(shù)y=x+b的圖象上，再利用一次函數(shù)解析式求出點力的坐標(biāo)，然后利用代入系數(shù)法求出反比例函數(shù)解

析式；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)分別求出當(dāng)％=1,%=6時的y值，即可得到答案.

【詳解】（1）解：把點B（-l,0）代入一次函數(shù)y=x+b,

得0=-1+b,

h=1,

，一次函數(shù)解析式為：y=x+l,

???點4（1,n）在一次函數(shù)y=%+3的圖象上,

n=14-1=2,

工點A的坐標(biāo)是（1，2）.

???反比例函數(shù)y=:的圖象過點4（1,2）.

第13頁共24頁

，A=1x2=2,

???反比例函數(shù)關(guān)系式是：y=；；

(2)解：由(1)知反比例函數(shù)y=

當(dāng)4>0時-，y隨工的增大而減小，

而當(dāng)％=1時，y=2,當(dāng)％=6時，y=

工當(dāng)1<xV6時，反比例函數(shù)y的值：<y<2.

【點睛】此題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出解析式，

再利用性質(zhì)求反比例函數(shù)y的取值范圍.

21.如圖，在中，AB=AC,點、D、E分別是線段8C、4)的中點，過點力作方可8C,交8E的延長

線于點立連接CE試判斷四邊形/JOCE的形狀，并給予證明.

【答案】四邊形405是矩形，理由見解析

【分析】先根據(jù)三線合一定理證明力Z)J_8C,再證明。后是△85的中位線推出DEIIC/結(jié)合4FIBC即可證明

四邊形力。。尸是平行四邊形，由此即可證明四邊形力OC產(chǎn)是矩形.

【詳解】解：四邊形4OC/是矩形，理由如下：

9

：AB=ACt。是的中點，

：.AD1.BC,

,：AF\\BC,

：?/EAF=/EDB,NEFA=/EBD,

???￡是4。的中點,

：.AE=DE,

:.△AEgADEB(AAS),

第14頁共24頁

???BE=FE,即點E是BF的中點,

又?：點、D是BC的中點，

是△比下的中位線，

ADFHCF,

又；”||BC,

，四邊形力。6是平行四邊形，

\,ADlCD,

???平行四邊形4OCE是矩形.

【點睛】本題主要考杳了矩形的判定，三角形中位線定理，三線合一定理，熟知相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

22.為促進(jìn)消費，助力經(jīng)濟發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓〃，于“五?〃期間舉辦了抽獎促銷活動.活動規(guī)定：

凡在商場消費一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機會.抽獎方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同的1個

紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若摸得

黃球，則不中獎.同時?，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃球(它

們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同)，然后從中隨機摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機摸出

1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份.現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機會.

⑴求該顧客首次摸球中獎的概率；

(2)假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機會獲得精美禮品，他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球？說明你的

理由

【答案】(1);

(2)應(yīng)往袋中加入黃球，見解析

【分析】(1)直接由概率公式求解即可；

(2)根據(jù)列表法求分別求得加入黃球和紅球的概率即可求解.

【詳解】(1)解:顧客首次摸球的所有可能結(jié)果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結(jié)果.

記"首次摸得紅球〃為事件4則事件A發(fā)生的結(jié)果只有1種，

所以P(4)=),所以顧客首次摸球中獎的概率為;.

(2)他應(yīng)往袋中加入黃球.

理由如下：

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記往袋中加入的球為“新”，摸得的兩球所有可能的結(jié)果列表如卜.:

第二球

紅黃①黃②黃③新

第一球

紅紅，黃①紅，黃②紅，黃③紅，新

黃①黃①，紅黃①，黃②黃①，黃③黃①，新

黃②黃②，紅黃②，黃①黃②，黃③黃②，新

黃③黃③，紅黃③，黃①黃③，黃②黃③，新

新新，紅新，黃①新，黃②新，黃③

共有20種等可能結(jié)果.

（i）若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結(jié)果共有8利。此時該顧客獲得精美禮品的概率Pi=4=或

（ii）若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結(jié)果共有12種，此時該顧客獲得精美禮品的概率P2=蔓=小

因為所以P1VP2,所作他應(yīng)往袋中加入黃球.

【點睛】本小題考查簡單隨機事件的概率等基礎(chǔ)知識，考查抽象能力、運算能力、推理能力、應(yīng)用意識、

創(chuàng)新意識等，考查統(tǒng)計與概率思想、模型觀念，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

23.隨著某市養(yǎng)老機構(gòu)建設(shè)的穩(wěn)步推進(jìn)，擁有的養(yǎng)老床位不斷增加.

（1）該市的養(yǎng)老床位數(shù)從2018年底的2萬個增長到2020年底的2.88萬個，求該市這兩年（從2018年底

到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率；

（2）若該市某社區(qū)今年準(zhǔn)備新建一養(yǎng)老中心，其中規(guī)劃建造三類養(yǎng)老專用房間共100間，這三類養(yǎng)老專用

房間分別為單人間（1個養(yǎng)老床位），雙人間（2個養(yǎng)老床位），三人間（3個養(yǎng)老床位），因?qū)嶋H需要，規(guī)劃

建造單人間的房間數(shù)為/（104W30）,且雙人間的房間數(shù)是單人間的2倍.設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老

床位），個，求y與，的函數(shù)解析式，并求該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位多少個？

【答案】（1）20%；（2）y=-4t4-300,10<t<30,該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位263個

【分析】（1）設(shè)該市這兩年（從2018年度到2020年底）擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為x,根據(jù)該市

2018年底和2020年底的養(yǎng)老床位數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論：

（2）設(shè)該養(yǎng)老中心建成后能提供養(yǎng)老床位歹個，根據(jù)床位數(shù)=單人間數(shù)+2x雙人間數(shù)+3x三人間數(shù)，即可得

出『關(guān)于，的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

第16頁共24頁

【詳解】解：（1）設(shè)該市這兩年擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為X，

依題意得:2（1+刈=2.88

解得:Xi=0.2,X2=~2.2

Vx>0,

，x=0.2,

答：該市這兩年擁有的養(yǎng)老床位數(shù)的平均年增長率為20%；

（2）依題意得：y=f+2Z+3（100-3f）=-4f+300,其中10MW30,

VA=-4<0,

?\y隨，的增大而減小，

；?當(dāng)，=10時，y取得最大值，最大值為一4x10+300=260（個）.

答：該養(yǎng)老中心建成后最多提供養(yǎng)老床位260個.

【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系，正確的列出

對應(yīng)的一元二次方程以及能根據(jù)各個數(shù)量間的關(guān)系找到.y關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式.

24.如圖①，在正方形4BC0中，點E,F分別在AB,8c邊上“8=kAE,DE1",垂足為G,過點。作CH||AF,

交DE于點、H.

圖②

⑴求證：AE=BFi

（2）求需的值（川含A的代數(shù)式表示）；

⑶如圖②，當(dāng)k=2時，連接4H并延長，交。。于點求證：CM=2DM.

【答案】（1）證明見解析

哈一

⑶證明見解析

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【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到全等，再依據(jù)全等三角形的判定可以得到線段相等;

⑵先根據(jù)正方形得到平行，再利月平行線分線段成比例得到結(jié)論；

⑶根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得相似三角形，再根據(jù)相似比可以得到線段的關(guān)系.

【詳解】（1）證明:?:DE1AF,

工乙4G。=90。,

：,Z.DAG+Z.ADE=9O°.

???在正方形48co中，AD=AB,LDAE=/.ABF=90°,

：.z.DAG+z.BAF=90°,

：.z.ADE=乙BAF,

：.^ADEBAF,

*.AE=BFx

（2）解：延長C〃交HO于點P,

圖1

在正方形ABC。中，AD=AB=BC,ADWBC,

又：Cmi4F,

???四邊形HFCP是平行四邊形，黑=瞿

DHUr

：.AP=FC,

：,DP=BF,

*：AE=BF,

：.DP=AE,

?ZB=kAE,

?\AD=kDP,

\'AP=AD-DP=(k-ly)DP,

第18頁共24頁

（3）證明：

圖2

*：AB=kAE,k=2,

?\AB=2AE,

設(shè)正方形。。的邊長為2a,則47=a,

，在Rt^/lOE中，由勾股定理得DE=V§Q,

???在正方形48co中，/-DAE=Z.CDA=90°,

：.z.ADE+^-CDH=90°,

VDE1/1F,

?LOGF=90。，

,：CH\\AF,

:?乙DHC=^DGF=90°,

：.￡DCH+Z-CDH=90°,Z-DAE=/.DHC,

：,LADE=/-DCH,^ADE-AHCD,

.AE_DE

,*DW-CD

a_y/5a

DH~2a

?no2西

??DH=—Q.9

?、行

..EvHu=-3a

o

???任正方形為BCD中，ABIIDC,

=AAEH,乙DMH=LEAH,

???△MDH?△AEH,

第19頁共24頁

.DM_PH

*'~EA~前

2VS

.DM-ya

??「咯，

2

??.DM=：a,

3

=CD-DM=2a-^a=:a，

33

：.CM=2〃M.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行線分線段

成比例，掌握常用輔助線的作法是解題的關(guān)鍵.

25.已知拋物線y=。/+匕”—3(a>0)與x軸交于力，B兩點、(點4在x軸正半軸)，與y軸交于點C,

連接BC,AB=4,LBCO=45°.

⑴求拋物線的解析式；

(2)若點。在點8,C之間的拋物線上運動(不與點8,C重合)，連接。。交8。于點E,連接。。.記△CDE,

△COE的面積分別為Si，S,求心的最大值；

2S2

(3)已知拋物線的頂點的為G,過點G的直線/與拋物線的另一個交點為P,直線/與直線八y=一?交于點

F,過點尸作廠的垂線，交拋物線于點。，過PQ的中點"作MN1「于點N.求證：MN=gPQ.

【答案】(l)y="2-2X-3

屁

⑶見解析

【分析】(1)根據(jù)拋物線解析式可得C(0,-3),根據(jù)等角對等邊推得8(3,0),4(-1,0),待定系數(shù)法即可求

得拋物線的解析式；

(2)過點￡?作EM_LOC于點M,點。作ONJ.OC于點N,根據(jù)三角形的面積公式可推得普=當(dāng)薩，待定系數(shù)

法求直線8C的解析式為丫二無一3,設(shè)E(Q,Q-3),求得直線。E的解析式為y二尸工,設(shè)。(b,叢一2b-3),

求得直線。。的解析式為丫=巴產(chǎn)X,根據(jù)史瀉=卓，推得一=一3(6-3)3+i根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

可得當(dāng)b=泄，等有最大值為不即可求得；

(3)根據(jù)拋物線的性質(zhì)可求得頂點G(l,-4),連接QN和PN,過點、P作PHJ.I'與點H,待定系數(shù)法求直線PG

第20頁共24頁

的解析式為:ypG=k(x-1)-4,求得直線PG與直線廠的交點坐標(biāo)為尸(1一5一今，求得Q(1-5高一4)

根據(jù)直線PG與拋物線交于P,G兩點，求得「(1+化好-4),PH=k2+^Q尸=￡記++根據(jù)平行線分線

段成比例公理可求得FN=NH=：FH="飛,根據(jù)正切的定義推得“NF=乙NPH,根據(jù)等角的余角相等

上LOK

可得"QN=NHNP,推得“NP=90。，根據(jù)中線的判定可得MN是RtZkPNQ斜邊上的中線，根據(jù)直角三

角形斜邊上的中線是斜邊的一半口]可證明MN=]PQ.

【詳解】(1)解：???拋物線丫=。/+力X-3(a>0)與x軸交于/,B兩點、(點8在x軸正半軸)，與y

軸交于點C,連接3C,

.”(0,-3),

??N8C0=45。，

：?OC=OB,

J8(3,0),

VAB=4,

將小一1,0),8(3,0)代入拋物線y=a/+bx-3得：

(Q=a—b—3

l0=9a+3d-3，

解得：L"=\，

lb=-2

???拋物線的解析式為：y