高考數學 計數原理、概率及其分布 隨機事件與概率 （附解析）

隨機事件與概率

激活思維

1.(教材經典題)某人打靶時連續射擊兩次，下列事件中與事件“至少一次中

靶”互為對立事件的是(D)

A.至多一次中靶B.兩次都中靶

C.只有一次中靶D.兩次都沒中靶

2.(教材經典題)拋擲兩枚質地均勻的硬幣，設事件A="第一枚硬幣正面朝

上”，事件8="第二枚硬幣反面朝上”，下列結論正確的是(D)

A.A與3互為對立事件B.A與8互斥

C.A與3相等D.P(A)=P(B)

【解析】拋擲兩枚炭地均勻的硬幣的所有結果是：(正，正)，(正，反)，(反，

正)，(反，反).事件4包含的結果有(正，正)，(正，反)，事件5包含的結果有

(正，反)，(反，反)，顯然事件A,事件B都含有“(正，反)”這一結果，即事件

4事件B能同時發生，因此，事件4與事件3既不互斥也不對立，故A,B錯

誤；因為事件A,事件B中有不同的結果，所以事件A與事件B不相等，故C

2121

錯誤；由古典概型知，P(A)=4=5，P(B)=W=Z，所以P(A)=P(B),故D正確.

3.(教材經典題)已知P(A)=0.5,P(8)=0.3.

(1)如果8UA,那么0.5,P(AB)=0.3：

【解析】如果8GA,那么AU8=A,AC8=B,所以尸(AU8)=P(A)=0.5,

P(AB)=P(B)=0.3.

(2)如果A,B互斥,那么尸(AU8)=21sP(AB)=Q.

【解析】如果A,B互斥,那么AG3=。，所以P(AUB)=P(A)+P(B)=0.5

+03=0.8,P(AB)=0.

4.(教材經典題)從長度為135,7,9的5條線段中任取3條，則這三條線段

能構成一個三角形的概率是_得_.

【解析】該試驗的樣本空間可表示為。={(1,3,5),(1,3,7),(1,3,9),(1,5,7),

(1,5,9),(1,7,9),(3,5,7),(3,5,9),(3,7,9),(5,7,9)},共有10個樣本點，其中能構

成三角形的樣本點有(3,5,7),(3,7,9),(5,7,9),共3個，故所求概率2=高

5.(教材經典題)從0?9這10個數中隨機選擇一個數，則這個數的平方的

個位數字為1的概率是_點_；這個數的四次方的個位數字為1的概率是

JJ

【解析】從0?9這10個數中隨機選擇一個數，共有10種可能，其樣本空

間可表示為。={0』,2,3,456,7,8,9}.若一個數的平方的個位數字為1,則該數為

1或9,共2個，故其概率為%=點若一個數的四次方的個位數字為1,則該數

平方的個位數為1或9,所以該數為1,379,共4個，故其概率為卡4奇2.

聚焦知識

1.樣本空間和隨機事件

(1)樣本點和有限樣本空間

①樣本點：隨機試驗E的每個可能的基本結果稱為樣本點,常用①表

示.

全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用。表示.

②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有〃個可能結果①1，G2,…，CDn，則

稱樣本空間。={。|,①2,…，①〃)為有限樣本空間.

(2)隨機事件

①定義：將樣本空間。的_±>_稱為隨機事件，簡稱事件.

②表示：大寫字母A,B,C,….

③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件.

2.兩個事件的關系和運算

含義符號表示

包含關系A發生導致6發生AS

相等關系83A且A38?=及

并事件(和事件)A與8至少一個發生AU8或A+8

交事件(積事件)A與8同時發生或A8

互斥(互不相容)A與B不能同時發生AGB=。

互為對立A與B有且僅有一個_4GL=0_,_AUB=Q

發生

3.古典概型

(1)有限性：樣本空間的樣本點只有有限個;

(2)等可能性：每個樣本點發生的可能性3^.

4.古典概型的概率公式

一般地，設試驗E是古典概型，樣本空間。包含〃個樣本點，事件A包含

其中的上個樣本點，則定義事件4的概率為0(加=5=版，其中，〃(A)和〃(0)

分別表示事件A和樣本空間。包含的樣本點個數.

5.概率的性質

性質1：對任意的事件4,都有尸(A)2().

性質2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(O)=1,P(0)=

0.

性質3：如果事件A與事件B互斥，那么RAU8)=P(A)+P(B).

性質4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1-P(A),P(A)=

性質5：如果AUB,那么P(A)WP(B),由該性質可得，對于任意事件A,因

為。UAG0,所以OWP(A)W1.

性質6：設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件，則P(AU8)=P(A)+P(8)

一P(ACB).

題型突破思維拓展

▲

舉題說法

13標H隨機事件的關系與運算

視角1事件的運算

例i—i(多選)某家商場舉行抽獎活動，小聰、小明兩人共同前去抽獎，設

事件A="兩人都中獎”，B="兩人都沒中獎”，C="恰有一人中獎”，。=

“至少一人沒中獎”,下列關系正確的是(ACD)

A.BUC=DB.AAC"

C.CQDD.BCD=B

【解析】對于A,事件3UC為“至多一人中獎”，即“至少一人沒中獎”，

所以3UC=O,故A正確；對于B,事件AAC表示兩人都中獎且恰有一人中

獎，沒有這樣的事件，所以AAC=。，故B錯誤；對于C,“至少一人沒中獎”

包括“恰有一人中獎”和“兩人都沒中獎”兩種晴況，所以CG。，故C正確；

對于D,由C選項可知所以故D正確.

?總結提燎》

事件間運算的方法：

(1)利用定義：列出試驗所有可能出現的結果；

(2)利用Venn圖：借助集合間運算的思想.

視角2事件的關系

例1一2(多選)從3名女生和2名男生中任選兩人組成學習小組，記“至

少1名女生”為事件4“至少1名男生”為事件“恰有1名女生”為事件

C,“2名都是男生”為事件Z),則下列結論正確的有(AD)

A.事件A和。是對立事件

B.事件8和。是對立事件

C.事件A和8是互斥事件

D.事件C和。是互斥事件

【解析】將3名女生設為b,C,兩名男生設為A,B,任選兩人組成學

習小組，樣本空間。包含的基本事件為m，⑥，(〃，c),m，A),(a,B),(b,c),

(b,A),(b,8),(c,A),(c,B),(A,B),其中事件A包含(a,b),(mc),(a,

A),(a,B),S，c),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),事件B包含(〃,A),(a,

B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B),事件。包含(a,A),(a,B),(b,

A),(b,B),(c,A),(c,B),事件。包含(A,B).因為40。=。，且AUO=。，

所以事件A和。是對立事件，A正確；因為3nc={(〃，A),(%B),(b,A),

S，B),(c,A),(c,8)},所以事件8和。不是互斥事件，也不是對立事件，B

錯誤;因為AG8={(a,A),3,B),(b,A),S，B),(c,A),(c,8)},所以事

件A和8不是互斥事件，C錯誤；因為cno=。，所以事件C和。是互斥事件，

D正確.

?總結遑煉A

判斷互斥事件、對立事件一般用定義，不可能同時發生的兩個事件為互斥事

件；若兩個事件中有且僅有一個發生，則這兩個事件互為對立事件.對立事件一

定是互斥事件.

變式1-2(2025?濰坊期末)從裝有3個紅球和3個黑球的口袋內任取3個

球，那么互斥而不對立的兩個事件是(D)

A.至少一個紅球和都是紅球

B.至少一個黑球和都是紅球

C.至少一個黑球和至少一個紅球

D.恰有一個紅球和恰有一個黑球

【解析】對于A,至少一個紅球和都是紅球不互斥，同時發生的情況是都

是紅球，A錯誤；對于B,至少有一個黑球和都是紅球互斥并對立，所以B錯

誤；對于C,至少一個黑球和至少一個紅球，都包含一個黑球兩個紅球，可以同

時發生，不互斥，C錯誤；對于D,恰有一個紅球和恰有一個黑球，互斥但不對

立，D正確.

視角3利用事件的互斥、對立關系求概率

例1一3(多選)甲袋中有5個紅球，15個白球，乙袋中有5個紅球，5個

白球，從兩袋中各摸出一個球.下列結論正確的是(AC)

A.2個球都是紅球的概率為！

B.2個球不都是紅球的概率為|

<5

C.至少有1個紅球的概率為1

O

3

D.2個球中恰有1個紅球的概率為c

O

【解析】記從甲、乙袋中摸出一個紅球的事件分別為A,B,事件A,3相

5|51—3—1

互獨立，則P(A)=而=不P(B)=YQ=2,尸(A)=4，P(B)=2?對于A,2個球都

是紅球的事件為A3,則P(A5)=P(A)?P(8)=￡,A正確；對于B,2個球不都是

7

紅球的事件的對立事件為A8,則其概率為I一尸(A3)=Q,B不正確；對于C,至

O

少有1個紅球的事件的對立事件為A&則其概率為1-P(A3)=1-P(A)P(8)

5————

=6,C正確；對于D,2個球中恰有1個紅球的事件為AB+A則其概率為

O

產(A石+TB)=P(A)PCB)+P(T)P(B)=1,D不正確.

＜總結提煉〉

求復雜互斥事件的概率的兩種方法

(1)直接法

(2)間接法(正難則反，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法求解更簡

單).

變式1—3(1)(2025?汕尾、肇慶二模)小王數學期末考試考了9()分，受到爸

爸表揚的概率為3,受到媽媽表揚的概率也為;，假設小王受爸爸表揚和受媽媽表

揚獨立，則小王被表揚的概率為(C)

A-2B-4

C.1D.1

【解析】記小王受到爸爸表揚為事件A,小王受到媽媽表揚為事件3,小王

受到表揚為事件。，小王同學受爸爸表揚和受媽媽表揚相互獨立，則P(O)=1-

——113

P(A)P(B)=\-^X-=-.

(2)高一年級某同學為了豐富自己的課外活動，參加了學校“文學社”“詠

春社”“音樂社”三個社團的選拔，該同學能否成功進入這三個社團相互獨

立.假設該同學能夠進入“文學社”“詠春社”“音樂社”三個社團的概率分別

為。，b,〃該同學可以進入兩個社團的概率為/且三個社團都進不了的概率為

3

仔則ab=(B)

A.而B?10

C工

J15

【解析】依題意，該同學可以進入兩個社團的概率為/則必-(1一?+]

1143

〃(1一切+心(1一〃)=不整理得向+。+〃=丁由三個社團都進不了的概率為行,

得(1—a)(l—〃)(1—；)=—,整理得a+Z?—R?=看,聯立

解得ab

_!_

=To-

目幀日古典概型

例2(1)(2023?全國乙卷文)某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽

同學從中隨機抽取一個主題準備作文，貝IJ甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題的概

率為(A)

A-6B-3

C.；D.1

【解析】甲有6種選擇，乙也有6種選擇，共有6X6=36種選法.若甲、

3()5

乙抽到的主題不同，則共有AW=3()種選法，則其概率為會蘭.

(2)(2025?武漢二模)一個不透明的袋中裝有2個紅球，2個黑球，1個白球，

這些球除顏色外，其他完全相同.現從袋中一次性隨機抽取3個球，則這3個球

的顏色各不相同的概率為(D)

AiB,

A.210

【解析】設2個紅球分別為Ai,A2,2個黑球分別為Bi,BiA個白球為

則取出的3個球的組合有以下1()種情形：(Ai,Az,BI),(Ai,42,&),(Ai,AI,

CI),(Ai,B\,&),(A\,Bi,Ci),(Ai,&,Ci),(A2,B\,&),(Ai,B\,Ci),

02,&,Ci),(Bi,Bi,Ci),其中3個球顏色各不相同的有以下四種情形：(Ai,

Bi,Ci),(Ai,&,Ci),(4,Bi,Ci),(4,BN,CI).因此從袋中一次性隨機抽

42

取3個球，則這3個球的顏色各不相同的概率為尸=正=不

，總結暹燎＞

求古典概型的概率的關鍵是求試臉的樣本點的總數和事件4包含的樣本點

的個數，這就需要正確列出樣本點，樣本點的表示方法有列舉法(列表法、樹狀圖

法)以及排列、組合法.

變式2(1)(2025?鄭州二檢)某高校計劃安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名

教師到4所不同的高中學校進行宣講，每個學校至少安排1人，其中甲、乙必須

安排在同一個學校的概率為(A)

22

A-13B-TT

c工…

「1311

【解析】將這6名教師分成四組，再分配到不同的學校，若教師人數分組

為則不同的安排方法種數為CAA3=480；若教師人數分組為2,2』,1,則

不同的安排方法種數為拶A才=1080,故不同的安排方法共有480+1080=1

560種.當甲、乙安排在同一個學校時，若教師人數分組為3,1,1』，則不同的安

排方法種數為CJA：I=96；若教師人數分組為2,2.1』，則不同的安排方法種數為

dA?=144,故不同的安排方法共有96+144=240種.所以所求事件的概率為

24()_2

1560=T3,

(2)(2025?廣州二模)一個袋子里有大小和質地相同的4個球,標號為1,23,4,

從中有放回地隨機取球，每次取1個球，共取4次，把每次取出的球的標號排成

一列數，則這列數中恰有3個不同整數的概率為_卷_.

【解析】每次均有4種不同的取法，故總的取法有44=256(種).若這列數

中恰有3個不同整數，則必有一個數取了2次，故這列數中恰有3個不同整數的

取法有Cr，X學=144(種)，故這列數中恰有3個不同整數的概率為技144=言Q

隨堂內化

1.已知隨機事件A和B互斥，且P(4UB)=0.7,P(B)=0.2,則P(A)=

(A)

A.0.5B.0.1

C.0.7D.0.8

【解析】因為隨機事件A和B互斥，且P(AUB)=0.7,P(B)=0.2,所以P(A)

=P(AU8)—P(8)=0.7—0.2=0.5,所以P(A)=1—P(A)=1—0.5=0.5.

2.口袋中裝有編號為1,2的兩個紅球和編號為1,2,345的五個黑球，小球

除顏色、編號外，形狀、大小完全相同，現從中取出1個小球，記事件A為“取

到的小球的編號為1”，事件3為“取到的小球是黑球”，則下列說法正確的是

(C)

A.A與3互斥B.A與8對立

66

--

7D.7

【解析】依題意，事件A8為取到編號為1的黑球，事件A與8能同時發

2

生，則A與8不互斥，也不對立，故A,B都不正確；由古典概型得P(A)=亍

56

--

77

確.

3.(2025?安陽三模)某校從2名女生和4名男生中選出3人去參加一項創

新大賽，則選出的3人中至少有1名女生的概率為(C)

【解析】以=1一5二亍

4.(2025?茂名一模)在一個箱子中放5個白球，3個紅球，搖勻后采用不放

回方式隨機摸球3次，每次一個，第3次摸到紅球的概率是(A)

C.示

AgA，+AlAgALM+A§3

【解析】記第3次摸到紅球為事件A,則p（m=

配套精練

一、單項選擇題

1.（2023-全國甲卷文）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2

名.從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的

概率為（D）

【解析】依題意，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，總的樣本

點個數為ca=6,其中這2名學生來自不同年級的基本事件個數為aa=4,所

以這2名學生來自不同年級的概率為］4=多2

2.（2025?佛山二模）學校舉辦籃球賽，將6支球隊平均分成甲、乙兩組，則

兩支最強的球隊被分在不同組的概率為（C）

【解析】由題意可知，兩支最強的球隊被分在不同組的分組組數為m,

所有的分組組數為C2,結合古典概型計算公式可得所求概率為詈=|.

3.（2025?遼寧省二調）設集合S中有10個元素，從S中每次隨機選取1個

元素，取出后還放回到S中，則取5次后所取出的元素有重復的概率是（保留兩

位有效數字）（C）

A.0.50B.0.55

C.0.70D.0.85

【解析】考慮反面，取5次后沒有重復元素的概率為$義卷xRx需乂益

3024,,一,如切山，3024八2

=10000'故所求概率為1-10000^0,70,

4.(2025?石家莊三模)已知隨機事件A,B,下表示事件8的對立事件，P(4)

=0.4,P⑻=0.6,則下面結論正確的是(D)

A.事件人與6一定是對立事件

B.P(AUB)=1

C.P(A3)=0.24

D.若事件A,B相互獨立，則P(AE)=0.16

【解析】對于A,B,一個密封的盒子中有標號為1,2,345的5個小球，從

中任取1球，記事件4為“從中取出球的標號為1,2”，事件B為“從中取出球

的標號為1,2,3"，則P(A)=0.4,尸⑻=0.6,滿足P(A)+P(B)=1,但A,B不是

對立事件，故A錯誤；由上例可知「(AU8)=P(B)=0.6,故B錯誤；對于C,

P(AB)=P(A)P(8)僅在事件A,8相互獨立時才成立，而不知道事件A,B的關系，

則不確定P(A8)的值，故C錯誤；對于D,若事件A,B相互獨立，則事件A,

方也相互獨立，所以尸(A萬)=P(A)P(~B)=P(A)[1—P(B)]=04X(1—0.6)=0.16,

故D正確.

二、多項選擇題

5.有甲、乙兩種報紙供市民訂閱，記事件上為“只訂甲報紙"，事件”為

“至少訂一種報紙”，事件G為“至多訂一種報紙"，事件”為“不訂甲報紙”，

事件/為“一種報紙也不訂”.下列說法正確的是(BC)

A.E與G是互斥事件

B.尸與/是互斥事件，且是對立事件

C.尸與G不是互斥事件

D.G與/是互斥事件

【解析】對于A,E與G有可能同時發生，不是互斥事件，故A錯誤；

對于B,/與/不可能同時發生，且發生的概率之和為1,是互斥事件，且是對

立事件，故B正確；對于C,“與G可以同時發生，不是互斥事件，故C正確；

對于D,G與/可以同時發生，不是互斥事件，故D錯誤.

6.某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表:

投籃次數投中兩分球的次數投中三分球的次數

1005518

記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A,投中三分球為事件B,

沒投中為事件C，用頻率估計概率，則下述結論正確的是(ABC)

A.P(A)=0.55B.P(B)=0.18

C.P(O=0.27D.P(B+C)=0.55

5518

【解析】依題意，P(A)=礪=0.55,P(3)=而=0.18,顯然事件A,B互

斥，P(0=1-P(A+S)=1-P(4)-P(B)=O.27,事件8,C互斥，則P(B+O=

P(8)+P(C)=0.45,故A,B,C正確，D不正確.

三、填空題

7.(2025?八省聯考)有8張卡片,分別標有數字123,4,5,6,7,8,現從這X張

卡片中隨機抽出3張，則抽出的3張卡片上的數字之和與其余5張卡片上的數字

之和相等的概率為一卷一

【解析】因為8張卡片上的數字之和為36,所以3張卡片上的數字之和

33

為18,只有3,7,8；4,6,8；5,6,7三種情況,故所求概率為辱=后.

8.(2025?保定期末)隨機數選擇器每次只能從123,4,5,6,7,8,9這九個數字

中選一個數，且以相等的概率做選擇，那么在2次選擇后，選出的2個數的乘積

Q

能被10整除的概率為一言一

【解析】隨機數選擇器每次只能從123,4,5,6,7,8,9這九個數字中選一個數,

選擇2次，每次都有9種結果，共92=81種結果.若選出的2個數的乘積能被

10整除，則其中有一次選擇的數為5,另一次選擇的數為偶數，則不同的選擇結

Q

果有2X4=8種，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為五.

O1

9.(2025?威海期末)已知甲、乙兩人投籃命中率分別為2,并且他們投籃

互不影響，現每人投籃2次，則甲比乙進球數多的概率為

【解析】甲比乙進球數多包含以下兩種情況：①甲進1球，乙進0球，概

率為〃|=(2區義］義弟)2=/②甲進2球，乙進1球，概率為〃2=&吩><a

(；｝=*；③甲進2球，乙進0球，概率為P3=cj，2><c9(；)2=表.所以甲比乙

進球數多的概率〃=〃|+〃2+〃3=/+表+上=5.

10.(2026?蘇州期初)在1,2,3,…，9中隨機選出一個數4,在一1,-2,

—3,…，一9中隨機選出一個數兒則次十8被3整除的概率為

【解析】由題意，數組(明與共有9X9=81種不同的選法,若。能被3整

除，則〃也能被3整除，此時圓人各有3種選法，即這樣的(m與有3X3=9

個.若。不能被3整除，即從124,5,7,8中選1個數，此時/除以3的余數為

1,要使得標+〃被3整除，則〃除以3的余數為2,所以〃從一1,-4,一7中

選1個數，所以a有6種選法，/?有3種選法，則這樣的(小力)有6X3=18個.所

771

以共有9+18=27種不同的選法，所以〃+/?被3整除的概率為尸=記=不

o13

四、解答題

11.4月23日是世界讀書日，其設立的目的是推動更多的人去閱讀和寫作.某

市教育部門為了解全市中學生課外閱讀的情況，從全市隨機抽取1000名中學生

進行調查，統計他們每日課外閱讀的時間，如圖是根據調查結果繪制的頻率分布

直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中。的值，并估計1000名學生每日的平均閱讀時間

(同一組中的數據用該組區間的中點值代表該組數據的平均值)；

【解答】由(0.0025+0.01004-6/+0.0150+0.0100)X20=1,得。=0.()12

5,則這1()()